中职数学基础模块下册《平面向量的运算》word练习题

平面向量

一、知识要点（平面向量的线性运算）： 1、平面向量的加法运算：三

角形法则与平行四边形法则， 2、平面向量的减法运算：三角形法则， 3、实数与向量

的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa

=0，4、几何与向量综合时常出

现的向量内容归纳如下：

（1）给出

与

相交,等于已知

过

的中点;

（2）给出,等于已知是的中点;

（3）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;

（4） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数

,等于已知

三点共线.

（5） 给出,等于已知

,即是直角,给出

,

等于已知

是钝角, 给出

,等于已知

是锐角。

（6）给出,等于已知是的平分线。

（7）在平行四边形中，给出，等于已知是菱

形;

（8） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

例题精选：

例1. 如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=

（A ）0

（B ）BE （C ）AD

（D ）CF

C

B A 答案：D

例

2. 在平行四边形

ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，

其中

，

R ，则

+

= _________。 4/3

练习题：

1.在△ABC 中， =a ， =b ，则等于( )

A.a +b

B.-a +(-b )

C.a -b

D.b -a 2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ， =b ， =c ， =d ，则 A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -d =0 C.a +b -c -d =0 D.a -b -c +d =0

3.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=

，则（ ）

A.0PA PB +=

B.0PC PA +=

C.0PB PC +=

D.0PA PB PC ++=

4..如图1， D ，E ，F 分别是?ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）

A ．0AD BE CF ++=

B ．0BD CF DF -+=

C ．0A

D C

E C

F +-=

D ．0BD B

E FC --=

5.ABC ?中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若a CB =，b CA =，1a =，2b =，则=CD （ ） （A ）1233a b +

（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355

a b + 答案：Ｂ， B ， Ｂ， Ａ， B.

二、知识要点（平面向量的坐标运算）：设)

,(),,(2211y x b y x a ==，

(1)=±b a __________, =a λ___________________.

(2)b a 与共线的充要条件：___________,__________, b a

与垂直的充要条件：_______________._______________. (3)a 向量的摸：a =____________.

(4) 2121y y x x b a +=? ，a ? b = |a ||b |c os θ ， cos θ =|

|||b a b a ? ，22

a a =. 例题精选：

例3. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，

若3,1AB BD ==，则A B A D ?= ． 解：()AB AD AB AC CD AB AC AB CD ?=?+=?+?

915cos 60cos 60322

AB AC AB CD =+=+=

．

练习题：

1.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .

2.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°

3．已知向量a 、b 的夹角为3

π

，|a | = 2 , |b | = 1,则 |a +b |= , |a －b |=

4.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-36

5.|a |=3，|b |=4，向量a +

43b 与a -4

3

b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为

3

π

D.不平行也不垂直 6. 已知向量a ,b 夹角为45° ，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |= 7. 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量k a-b 垂直，则

k=_____________．

8. a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值

等于 （A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）16

65

-

9. 在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则________AD BE ?=

。

10. 在ABC ?中，0

120=∠BAC ，AB=2，AC=1，D 是边BC 上一点，DC=2BD ，则

=?_____________________.

11. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE =_______.

12.已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,0

90ADC ∠=,2,1AD BC ==,P

是腰DC 上的动点， 则3PA PB +

的最小值为____________.

13.若平面向量βα,满足1||≤α，1||≤β，且以向量βα,为邻边的平行四边形的面积为

12

， 则α与β的夹角θ的取值范围是 。

14. 在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC

= 1则___BC =.

（ ）

A

B

C

．D

答案：121,2D ，3 3,7，4B ，5B ，623,7 1,8C ，9 1

4

-

，10 320，

11 2,

12解：设λ=，则CD PC )1(-=λ，而)(33CB PC DA PD PB PA +++=+

CB CD 5)34(+-=λ

，故5|3|≥=+PB PA ，此时4

3=

λ 13解：由题意得：2

1

sin =

θβα，∵1α≤，1≤β，∴11sin 22θαβ=

≥， 又∵),0(πθ∈，∴5[

,

]65ππ

θ∈.

14 A

三、平面向量的应用：在直角坐标系中，利用向量的坐标运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，来解平面几何中的角、距离问题；以及直线与曲线的位置关系中所涉及的角、距离问题能起到事半功倍的效果。

例题精选：

例4. 在矩形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上

的点,|

|||CD CN BC BM ,则?的取值范围是_________ . 解析： 如图，则A (0,0),B (2,0),D (0,1),C (2,1).

t CD BC ==|

|||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2,t ),N (2-2t ,1),

故AN AM ?=4-4t +t =4-3t=f (t ),因为t ∈[0,1],所以f (t )递减, 所以(AN AM ?)max = f (0)=4,(AN AM ?)min = f (1)=1.

例5. 已知函数x e x f x

+=)(，对于曲线)(x f y =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，

给出以下判断：

①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是

A.①③

B.①④

C. ②③

D.②④

解：设这三个点的坐标分别是))(,(),,(),,(321332211x x x y x C y x B y x A <<，

2312x x x x -=-，),(),,(23232121y y x x y y x x --=--=，

由于x e x f x

+=)(为R 上的增函数，所以，0

3

13

12

22x x x x x e

e e e

+>+=，与

2312x x x x -=-矛盾，故④正确选B 。

练习题：

1. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ?

的值为________.

2. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则BD AE ?=_______.

3. 如图,在矩形ABCD 中,2AB BC =，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,

若AB AF = 则AE BF

的值是___.

4. 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,0

90ADC ∠=,2,1AD BC ==,P

是腰DC 上的动点， 则3PA PB +

的最小值为____________.

答案：1, 2，2，5。