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MBA数学必备公式(打印版)

MBA联考数学基本概念和必备公式

（一）初等数学部分

一、绝对值

1、非负性：即|a| ≥ 0，任何实数a 的绝对值非负。归纳：所有非负性的变量

（1）正的偶数次方（根式） 0,,,,4

214

2≥a a a a

（2）负的偶数次方（根式） 1124

,,,,0a a a a -

-->

（3）指数函数 a x

(a > 0且a ≠1)>0

考点：若干个具有非负性质的数之和等于零时，则每个非负数必然为零。 2、三角不等式，即|a| - |b| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| 左边等号成立的条件：ab ≤ 0且|a| ≥ |b|

右边等号成立的条件：ab ≥ 0

3、要求会画绝对值图像二、比和比例

1、%(1%)a

p a p ???→+原值增长率现值

%)1(%p a p a -??→?现值下降率原值

%%%%p p p p ?=?=-?

乙甲，甲是乙的乙

乙

甲注意：甲比乙大 2、合分比定理：d b c

a m md

b m

c a

d c b a ±±=±±==1

等比定理：.a c e a c e a b d f b d f b

++==?=++ 3、增减性

1>b a b a m b m a <++ (m>0) , 01a b << b

a m

b m a >++ (m>0) 4、注意本部分的应用题三、平均值

1、当n x x x ，??,,21为n 个正数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即

),1 0( ·2121n i x x x x n

x x x i n

n n ，＝＞＋＋＋??≥?

当且仅当时，等号成立＝n x x x ??==21。

2、 2ab b a ≥＋??

??>>等号能成立

另一端是常数，0

0b a 3、2(0)a b

ab ab b a

≥>＋

，同号 4、n 个正数的算术平均值与几何平均值相等时，则这n 个正数相等，且等于算术平均值。四、方程

1、判别式（a, b, c ∈R ）

???

???-=?无实根两个相等的实根两个不相等的实根00042ac b

2、图像与根的关系

3、根与系数的关系

x 1, x 2 是方程ax 2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0)的两个根，则

4、韦达定理的应用

利用韦达定理可以求出关于两个根的对称轮换式的数值来：（1）

1212

11x x x x x x ++=

（2）21212

222

1212()211()

x x x x x x x x +-+= （3）21221221214)()(x x x x x x x x -+=-=

（4）33

2212121121()()x x x x x x x x +=+-+]3))[((212

2121x x x x x x -++=

5、要注意结合图像来快速解题五、不等式

1、提示：一元二次不等式的解，也可根据二次函数c bx ax y ++=2

的图像求解。

2、注意对任意x 都成立的情况

（1）2

0ax bx c ++＞对任意x 都成立，则有：a>0且△< 0

x 1，x 2是方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0) 的两根

（2）ax 2

+ bx + c<0对任意x 都成立，则有：a<0且△< 0 3、要会根据不等式解集特点来判断不等式系数的特点六、二项式 1、

r n r

n n C C -=，即：与首末等距的两项的二项式系数相等

2、0

n n n n C C C +++= ，即：展开式各项二项式系数之和为2n 3、常用计算公式

(1)(1)(1)n

n m m m n p =?--+ 有个

(2)01m

p ==1规定！

(3)!

n n

m n p

C =

(1)(1)

m m m n n ?--+=

(4)1n

n n C C == 1

(5)n n n n C C -==

(1)

(6)2

n n n n n C C --==

4、通项公式(△) 11(0,1,2,)k n k

k n k T C a b k n -++=?= 第项为

5、展开式系数

2(1)n n n

n C

+=n

当为偶数时，展开式共有(n+1)项(奇数)，则中间项第(+1)项

2二项式系数最大，其为T

1322

(2)n n n n n n n C C -+++==n+1

当为奇数时，展开式共有(n+1)项(偶数)，则中间两项，即第

项2

n+1n+3和第(+1=)项的二项式系数最大，其为T 或T 22

5、内容列表归纳如下：

七、数列

121()

.n n n

n n n n i

i a S a S S a a a a =?=+++=∑ 1、与的关系 (1)已知，求公式：

(2) (2)n n n n n a S S a a S S n =??

≥?－已知，求＝－

(1)()()

11 ()()()

1,. (,)(,)a a n d a n k d nd a d n k f x xd a d a f n n a a

n m

a a d m a n a d m n m n n m

=+-=+-=+-=+-?=--2、等差数列（核心）(1)通项

比如：已知及求与共线

斜率＝

(2)()n n S 前项和梯形面积

211121212(1) ()2222()22

()(),()22

(1) (2) 23, 4

(3n n n n n a a n n d d

S n na d n a n d d S n a n

d d

n f x x a x S f n d

S n n d +-?=+=?+-?+-=+-=-=＝

＝抽象成关于的二次函数函数的特点：无常数项，即过原点

二次项系数为如＝)d 开口方向由决定

3.(1),n

m n k t a a a a a m n k t +=++=+重要公式及性质通项（等差数列）当时成立

(2) 1232n S n S S S S S n n n n n n 前项和性质

为等差数列前项和，则，－，－，仍为等差数列

2 n n 21

121

(21)212121

2212112121

(21)2

a S

k k a b n S T n n b T k k a a k k a a a a S k k k k b b b b b b T k k k k k k -=-+-?-+--====++---?- 等差数列｛｝和｛｝的前项和分别用和表示，则分析： 1

11140(1) ()(1)2 11n n k

n k n k n n n a a q

a q

a a n k d

a a q

a q n S q q

--===+---==

--、等比数列

注意：等比数列中任一个元素不为通项：()前项项和公式：

1(3) q 1q 0 1S

a S q ≠=

-所有项和对于无穷等比递缩（＜，）数列，所有项和为

5. 1m n k t

m n k t a a a a +=+?=?等比数列性质

()通项性质：当时，则

1261

,(1)

1111

122334(1)

11111111(1)()()()12233411

n n

n n a S n n S a a a n n n n n =

+=+++=++++

????+=-+-+-++-=-

++ 、特殊数列求和。（差分求和法）求

（二）微积分部分

一、函数、极限、连续

1、单调性：（注意严格单调与单调的区别）

设有函数y = f(x)，x ∈D ，若对于D 中任意两点x 1，x 2(x 1 < x 2)，都有f(x 1) ≤ f(x 2)(或f(x 1) ≥ f(x 2))，则称函数f(x)在D 上单调上升(或单调下降)。

若上述不等号为严格不等号“<”(或“>”)，则称函数f(x)在D 上严格单调上升(或严格单调下降)。

2、奇偶性：

（1）定义：

设函数y = f(x)的定义域D 关于原点O 对称，若对于D 中的任一个x ，都有 f(– x ) = – f(x) (或f(– x) = f(x))，则称函数f(x)为奇函数(或偶函数)。（2）图像特点：

奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y 轴对称，函数y ＝0既是奇函数，也是偶函数。

3、，按以下方法处理：，只要符合遇到"1")()(∞

x g x f

()

lim ()

lim[1(()1)]

g x g x x x x x f x f x →→=+-)(]1)([1

)(1

)]

1)((1[lim 0

x g x f x f x x x f ?-?-→-+=

0[()1]()

lim (()1)()

()1lim [1(()1)]x x f x g x f x g x f x x x f x e

→-?--→????=+-=??????

)

()1)((lim )

)

(lim x g x f x g x x x x e

x f -→→=公式：

4、常用等价无穷小：当x 0时，有

e x －1～x ln(1＋x)～x (1＋x)n －1～nx

引申：当α(x) →0时，ln(1＋α(x))～e α(x)－1～α(x)，(1＋α(x))n －1～n·α(x)

5、当x →+∞时，增长速度由慢到快排列：lnx ，x α

，αx

，x x

6、0

00()lim ()()x x f x x f x f x →=在点连续定义：

7、闭区间上连续函数的性质

（1）最值定理

一个闭区间函数一定在某一点，达到最大值，在某一点达到最小值。（2）零值定理

设f(x) ∈C([a,b])，且f(a).f(b)<0，0)())(.(=∈?ξξf b a ，使开区间。注意：零点定理只能说明存在性不能说明唯一性。

应用：f(x) = 0 是一个方程，证明它在某一个区间上一定有根。二、一元函数微分学 1、导数的数学定义式

)

()

(')

()(lim

0000

可导用于抽象函数判定是否x f x

x f x x f x =?-?+→?

000

()()

lim

'()

()x x f x f x f x x x →-=-用于表达式给定的具体函数，求导数值

2、可导与连续的关系

)(0x f '连续在0)(x x x f =

3、左右导数

000)

()(lim )(0

x x x f x f x f x x --='-

→-左导数：x x f x x f x ?-?+=-→?)()(lim 000 0

00)

()(lim )(0

x x x f x f x f x x --='+

→+右导数：x x f x x f x ?-?+=+→?)()(lim 000 A x f x f A x f ==?=+-)()()(0'

0'0'结论：

4、导数的几何意义

设点M 0(x 0 , f(x 0))是曲线y = f(x)上的上点，则函数f(x)在x 0点处的导数f ’(x 0)正好是曲线y=f(x)过M 0点的切线的斜率k ，这就是导数的几何意义。

（1）切线方程'

000()()()y f x x x f x =-+，00'

()()()

y x x f x f x =--+法线方程为（2）切线平行x 轴

切线方程：y = f(x 0)，法线方程：x = x 0 (3) 切线平行y 轴

切线方程：x = x 0，法线方程：y = f(x 0)

6、常见函数求导公式 6、2

()'()()()'()'()()f x f x g x f x g x g x g x ??-= ??? 7、高阶导数（掌握二阶导数即可）常见函数的二阶导数

8、可导、可微、连续与极限的关系

可导一定连续，连续不一定可导

9、奇偶函数，周期函数的导数

（1）可导的偶函数的导函数为奇函数，且f ‘

(0) = 0 （2）可导的奇函数的导函数为偶函数

（3）可导的周期函数的导函数仍为同周期函数 10、微分公式（*核心*）：'

()()d f x f xd x

11、0()0∞

∞

洛必达法则，

()

lim ()0lim ()0(),lim lim ()()

f x f x f x

g x g x g x '∞=∞='若＝（或）,或则＝A 12、判断函数的增减性，求函数单调区间（1）单调性定义

121212,,()()(),()x x D x x f x f x f x ?∈<≤≥当时,有则为单调递增(减)

（2）判别方法：用f ’(x)判断

()(,)(),()()0f x a b f x a b f x '≥≤设在上可导，则在()内单调增加(减少)的充要条件为()()0f x f x '≥ 单调增

注意：设f(x)在(a ，b)区间内可导则f(x)在(a ，b)内严格单调增加(减少)的充分条件是f ’(x)＞0(f ’(x)

＜0)

严格单调下降＜严格单调增加＞?→??→?←/

←/

0)('0)('x f x f

13、极值点的定义（局部最大或局部最小）

（1）定义：设y ＝f(x)，若对?x ∈(x 0－δ，x 0＋δ)均有f(x)≤f(x 0)(f(x)≥f(x 0))则称x 0为f(x)的极大值点(极小值点) ，f(x 0)为极大值(极小值)。（2）判定方法：两个充分条件第一充分条件：

若f(x)在x 0处连续，在x 0的邻域内可导，且当x< x 0时，f ’(x)>0,(f ’(x)<0) 当x> x 0时，f ’(x)<0,(f ’(x)>0)，则称x 0为极大值点(极小值点)。第二充分条件：

设f(x)在x 0点的某一领域内可导且f ’(x 0)＝0，f ’’(x 0)≠0

''000''

000()0()()0()f x x f x f x x f x ><若则是极小值点，为极小值若则是极大值点，为极大值

注意：''

0()0f x =不能判定用，有可能为极值，也可能不是极值。（3）极值存在的必要条件

若x 0为f(x)的极值点，且f ’(x 0)存在，则f ’(x 0)＝0 注：f ’(x 0)＝0不能推出x 0为f(x)的极值点如：y ＝x 3 ，在x ＝0处必有y ’＝0 0)('00＝极值点即：x f x ?→?←/ 14、驻点(稳定点)

（1）()0f x '=定义：满足的点，称为驻点

（2）驻点??→←??

极值点 15、函数的最值及其求解

（1）若f(x)在[a ，b]上连续，则f(x)在[a ，b]上必有最大值、最小值（2）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有一个极值点x 0，则

若x 0是f(x)的极大值点，那么x 0必为f(x)在[a,b]上的最大值点；若x 0是f(x)的极小值点，那么x 0必为f(x)在[a,b]上的最小值点。（3）求最值的方法（最值是[a,b]整体概念，极值是局部概念） (a)求f(x)在(a,b)内所有驻点和导数不存在的点 (b)求出以上各函数值及区间[a,b]端点的函数值 (c)比较上述数值，最大的为最大值，最小的为最小值

最大值：M:max{f(a)，f(b)，f(x 1)，……，f(x 0)} 最小值：m:min{f(a)，f(b)，f(x 1)，……，f(x 0)} 其中：x 1，……，x 0为f(x)所有可能的极值点

16、驻点、极值点、最值点的联系与区别

驻点 ?

??=的点图像：找存在水平切线的点定义：使0)('x f

??????

?=???

??≠+=+的大小关系极大值与极小值无必然

最大（小）值点极大（小）值点为局部很小的邻域内研究极值点为局部概念，在存在，则为极值点，且：必要条件（求参数值）

）第二充分条件：驻点（导数两侧异号）第一充分条件：连续（图像（适用于给定了的函数）严格按照定义判断。（判别方法：极值点..0)0(')0('0x 0)(''0)('321x f x f x f x f

?????

?.]b a [b a 最低点为最小值

上最高点为最大值，，数图像在开区间最值为整体概念，即函

用题），则此点为最值点（应）内可能的极值点唯一，在开区间（求最值点的方法最值点： 17、函数的切线与法线切线与法线求法

00000000'()()

()'()

x y y f x x x x y y x x f x -=--=-

-一般地，在处切线方程为在处法线方程为 18、函数凹凸性及其判定（1）凹弧

（a ）定义：如果曲线在其任一点切线之上，称曲线为凹弧（b ）凹弧的切线斜率随着x 的增大而增大，即f ’(x)单调递增

（c ）设f(x)在(a ，b)上二阶可导，f(x)为凹弧的充要条件为f ’’(x) ≥0 ?x ∈(a,b) (2)凸弧

（a ）定义：若曲线在其任一点切线之下，称曲线为凸弧

（b ）凸弧的切线斜率随着x 的增大的而减小，即f ’(x)单调递减（c ）设f(x)在(a,b)二阶可导，f(x)为凸弧的充要条件为f ’’(x) ≤0 (3)常见函数的性质

19、拐点及其判定

（1）定义：曲线上凸弧与凹弧的分界点称为拐点。

二阶导数从大于0到小于0，或从小于0到大于0，中间的过渡点称为拐点。（2）必要条件：f ’’(x)存在且(x 0，f(x 0))为拐点，则f ’’(x 0)＝0

拐点0()

f x ''= （3）充分条件：若f ’’(x 0)＝0，且在x 0的两侧 f ’’(x)异号，则(x 0，f(x 0))是拐点三、一元函数积分学 1、不定积分与导数的关系

(())()f x dx f x '=?

?+=

'C x f dx x f )()(

2、基本初等函数的不定积分公式

（1）?

=C dx 0 （2）C x dx x ++=

1αα

α（1-≠α）， ??+=+=

c x dx x c x xdx 21,212 ，?+-=c x dx x

112 （3）

C x dx x +=?ln 1

（4）C a

a dx a x

+=?ln ，C e dx e x x +=?

（5）

1dt x a -?C a

x a

x a ++-=ln 21 （6）

111

[]()()dx dx a x b x b a a x b x =-++-++??

（7

）

C a x x +±+=22ln

()/

()

(())(())'()(())'()

x x

x f t dt f x x f x x βαββαα???

3、变限积分求导公式：＝－

4、

(),(),()x

f x dx f t dt f x dx ???联系与区别

(1)()()f x dx f x ?表示的全体原函数，它是一族函数，

且任两个原函数相差一个常数

(2)()()()()x x

f t dt f t f x dx f t dt C =+???表示的一个原函数，有

(3)()()()()()

()()()

()()b

a f x dx f x x a

b F b F a f x b

f x dx F x F b F a a

-==-??表示一个数值，其值为的任一个原函数F 在从到的增量并且其值由上下限和决定，与用何符号表示无关即

5、奇偶函数的积分

???????

=-为偶函数

为奇函数)(,

)(0

2)(,0)(x f dx x f a x f dx x f a a

四、多元函数 1、偏导的定义

设函数z = f(x, y)定义在P 0(x 0, y 0)点的一个邻域内，若将y 固定在y 0，作为x 的函数f(x, y 0)在x 0点处的导数

y x f y x x f x ?-?+→?)

,(),(lim

00000

称为函数f(x, y)在P 0(x 0, y 0)点处对x 的偏导数，记作

)

,(00)

,('

00'0000),(),(y x y x x

x x

z x y x f z y x f ????，，或

2、一般极值

（1）00(,)(,)z f x y x y =定义：设在的某邻域内有定义，恒有

000,000(,)(,)[()] (,)(,)()f x y f x y f x y x y z f x y ≥≤=则称为的极小大值点，相应地，

。极大值的极小值为)(),(),(00y x f y x f

（2）000000(,)Z (,)(,),(,)x y x y f x y f x y f x y ''=必要条件：若为的极值点，且存在，则：

0000000000(,)0,(,)03(,)0,

(,)(,)(,)0,

x y x y f x y f x y f x y x y f x y f x y ''=='=??'

=?（）驻点的定义：

称为的驻点

（4）0),(,0),(0000='='y x f y x f y x

充分条件：设，则不一定

若时为极小值点时极为值点，为极值点，且，则若不是极值点

，则若则：

令0AC -B 30A 0A ),(0AC -B 2),(0AC -B 1,B ),(f ),,( ,),(2002002200xy 0000==??><<=??>=??-=?''''=''=y x y x AC y x y x f B y x f A xy xx

（三）线性代数部分

一、矩阵

1、矩阵的乘法一般没有交换律，即AB BA ≠；常见可交换矩阵： (1) 逆A -1：A ?A -1=A -1?A=E (2) 单位矩阵E ：A ?E=E ?A=A (3) 数量矩阵kE ：A ?(k ?E)=(kE)?A=kA (4) 零阵0：A ?0=0?A=0 (5) 幂：A m ?A n = A n ? A m =A m+n (6) 伴随A *：A A *= A *A=|A|E (重要)

2、00,AB A ?

??→==←??

或B=0，当且仅当A 或B 可逆时才成立；对于0AB =，应该认识到B 的每一列都是齐次方程组AX ＝0的解，若0B ≠，则齐次方程组有非零解；

3、AB AC B C ?

??→==←??，当且仅当A 可逆时，才成立； 4、20A A A E A ?

??→===←??

或，当且仅当A 可逆时，有A ＝E ；当A －E 可逆时，有A ＝0；

200A A ???→==←??

，仅当A 为对称矩阵，即T A A =时，命题才成立； 5、注意数乘矩阵和数乘行列式的区别：||||||n

kA k A k A =≠。 6、列表对比矩阵的逆、转置和伴随的公式

7、重要结论与公式

{}n m min A r A )1(n

m ，）（对于≤?

（2）()()T r A r A = 有行 B A )3(?→?

① A 与B 的行向量相互等价

② 不改变列向量的线性关系（一般用初等行变换求矩阵的秩） ③ r （A ）=r （B ）

（4）()()()r A B r A r B +≤+

类似 |x+y|≤|x|+|y| P(A+B)≤P(A)+P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)+P(B)

（5）()min((),())r AB r A r B ≤ ?

?≤≤?r(B)B)r(A r(A)

B)r(A

（6） B 可逆?

??→←??

r （AB ）=r （A ） B 不可逆?

??→←??

r （AB ）< r （A ） ???? ?

?=00

01A 取 ???? ??=0002B ???

??=0002AB r （AB ）=r （A ）=1

（7） A 中任意两行成比例?

??→←??

r （A ）=1 11A=00??

???

（8） A =B ?

??→←??

r （A ）=r （B ）（9） A =0??→←??

r （A ）=0

（10） ()()(0)r A r kA k =≠

（11） A B 0()()m n n p AB r A r B n ??=≤若是阶矩阵，是阶矩阵，当时，＋ 7、重点掌握以下矩阵可逆性的判断：

||0

()(),0,n A A r A n

A n

B AB BA E AX AX ββ?≠?=??==?=?=阶方阵可逆的行列向量组线性无关

存在阶方阵有（可逆矩阵的定义）

齐次方程组只有零解

对于任意的非齐次方程组总有唯一解

A A

C C ??=方阵的特征值全不为零(可逆）

设A 为n 阶矩阵，有以下等价命题 a) r （A ）=n （满秩矩阵） b) A 可逆 c) |A|≠0 d) A T

可逆 e) r （A *）=n f) A *

可逆

g) A 的n 个列（行）向量线性无关，即A 列（行）满秩 h) AX=0只有零解 i) AX=β有唯一解二、向量组

1、线性相关性基本定义

.02211=+???++m m αλαλαλ

.0)1(21使上式成立，则其相关，的存在不全为m λλλ??? ..0)2(21无关使上式成立，则其线性当且仅当==???==m λλλ 2、常见相关性归纳

01=αα线性相关能推出）单个向量（ (2)αβαβ两个向量、线性相关与、成比例的关系

（3）包含0向量的任何向量组，线性相关.

()121(4)2m m m ααααα???≥??? ，，线性相关中有一个向量可由其余向量线性表示

1m (5)(m 2).

αα≥ 线性无关任何一个向量都不能由其余向量线性表示n

12m 3R ,m n ααα∈== 、，，即向量组的个数个维数

(1) m>n 时，则其线性相关.

.0|A |).,,,(A n (2)m 21n n 判断相关性根据时，令≠==?n ααα

三、线性方程组

（一）关于方程组解的性质

()()()121122112211221121122112211221211,00:021)1,:2)k k k k k k k k k k k k k k k k AX AX A A A A AX AX A A A A ηηηληληληληληληληληληηηβλλλληληληβληληληληληληλλλββ

λ=+++=+++=+++==+++=+++=+++=+++=+++=+ 、若为的解,则为的解分析、若为的解

当时为的解分析当211220,0k k k AX λλληληλη++=+++= 时为的解

()1212121230:,,--0-0AX AX x x AX A x x Ax Ax x x AX ββββ=====-==、任何两个解之差为的解

分析若为的解即为的解

（二）含有参数的线性方程组的求解。 1．齐次线性方程组AX ＝0

解题提示：对系数矩阵A 进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：（1）线性方程组只有零解，即r(A)＝n ；

（2）线性方程组有非零解，即r(A)

解题提示：对增广矩阵A 进行初等变换，化成阶梯型，然后按两步进行讨论：