7.1-7.5 一元一次不等式(1)

第七章 一元一次不等式（7.1-7.5）

一、知识要点

1．不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

3．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 4．解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 5．不等式解集的表示方法

（1）一般地，一个含有未知数的不等式有无数多个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表示出来。

（2）用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。 注意：一是定边界点，二是定方向。 6．不等式的解与它的解集的关系

不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有值，不等式的所有解组成了解集，解集中包括了每一个解。 7．不等式的性质

性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 8．不等式的互逆性与传递性

（1）互逆性：若a b >，则b a <；

（2）传递性：若a b >，b c >，则a c >；

（3）同向不等式相加性：若a b >，c d >，则a c b d +>+。 9．数的大小比较方法

数的大小比较有很多方法：常见的方法有：（1）作差法；（2）作比法（含取倒数法）；（3）平方法等。

10．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。 11．一元一次不等式的解法

解一元一次不等式就是根据不等式的基本性质，逐步通过去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤，把一个比较复杂的不等式转化为系数为1的最简形式的不等式的过程。 12．列一元一次不等式解决实际问题的步骤

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等式关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等的含义； （2）设：设出适当的未知数；

（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （4）解：解出所列的不等式的解集；

（5）答：写出答案，并检验是否符合题意。 二、典型例题

例1．利用不等式的基本性质，填“>”或“<”号： （1）若a b >，则21a +_______21b +； （3）若a b <，且0c >，则a c c +_______bc c +； （2）若5

104

y -

<，则y _______-8； （4）若0,0,0,a b c ><<则()a b c -_______0。 例2．小红的妈妈下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，她以每件a 元的价格购

进20件甲种小商品，每件b 元的价格购进30件乙种小商品（a b >）；回来后，根据市场行情，她将这两种小商品都以每件

2

a b

+元的价格出售，在这次买卖中，小红的妈妈（ ） A ．赚钱 B ．赔钱 C ．不赚不赔 D ．无法确定赚赔 例3．已知关于x 的不等式(2)3m x -<的解集为3

2x m

>

-，则m 的取值范围是_________。 例4．满足其和小于13的三个连续的正整数共有_________组。 例5．已知0a <，10b -<<，试比较：a ﹑ab ﹑2

ab 的大小。

例6．判断下列各式是不是一元一次不等式。

（1）3x ≥1； （2）0x y -<； （3）275

x

x +>； （4）152x +≤-； （5）2

320x x -+≤； （6）21143

x x ++>。

例7．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

（1）（2x +2）≥4(x -1)+7； （2）17

(3)222

x x -<-； （3）215312+--x x ≤1； （4）255.014.0x x ---≤03

.002.003.0x

- 。

例8．若关于x 的方程222

x m x

x ---=的解是非负数，求m 的取值范围。

例9．已知不等式50x a -<正整数解为1、2、3、4，求a 的取值范围。

例10．已知2

224(3)0x x y m -+--=，若0y <，求m 的取值范围。

例11．已知不等式424233x x a +<-（x 为未知数）的解也是不等式12162

x -<的解，求a 的取值范围。

例12．已知关于x 、y 的方程组321

431

x y P x y P +=+??+=-?，的解满足x y >，求P 的取值范围。

例13．对于任意有理数,,,,a b c d 我们规定ab

ad bc c d =-，例如：

343(1)421121=?--?=--，如果210

1035

x -<--，那么x 的取值范围是多少？

例14．阅读下面材料，回答问题。

要比较a 、b 的大小，可先求出a 与b 的差，再看这个差是正数、负数还是0。若差为正数，则a b >；若差为负数，则a b <；若差为0，则a b =。例如：若3-2>0，则3>2；若-5-（-4）<0，则-5<-4；若6-6=0，则6=6。问题：试比较2

525x x -+与2

421x x --的大小。

例15．某校师生组织春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空位。 （1）求该校参加春游的人数；

（2）已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租一辆，所需租金比单独租用一种客车要少，按这种方案需要租金多少元？

例16．2008年6月，在世界金融危机到来之前，某公司为了扩大经营，决定购进6台机器，用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活

（1）按该公司的要求可以有几种购买方案？

（2）若该公司购进6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？

例17．某市2007年的污水处理量为34万吨/天，平均每天的污水排放量约为59万吨。预计该市2010年平均每天的污水排放量比2007年平均每天的污水排放量增加20%，按照国家要求“2010年城市的污水处理率不低于70%”，那么该市2010年每天污水处理量在2007年每天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？

例18．某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元。相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%。

（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？ （2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？

（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？

例19．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶。

（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于．．．1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？

三、课堂练习

1．若0a b <<，则下列式子：①12a b +<+；②

1a b

>；③a b ab +<；④11

a b <。正确

的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．已知关于x 的方程332436x a x a +-=++的解是负数，求a 的取值范围。

3．已知24(23)0x x y -+--=，z 为正整数且满足5103xz yz -<，求z 的值。

四、拓展深化

1．已知:两个正整数的和与积相等，求这两个正整数。 解:不妨设这两个正整数为a 、b ，且a ≤b ，

由题意，得ab a b =+，…………………………（*） 则2ab a b b b b =+≤+=，所以2a ≤。 因为a 为正整数，所以a =1或2。

①当a =1时，代入等式（*）得1·

b =1+b ,b 不存在； ②当a =2时，代入等式（*）得2·

b =2+b ,b =2。 所以这两个正整数为2和2。

仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等？试说明你的理由。

2．解方程125x x -++=。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x 的值。在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x 对应点在1的右边或-2的左边，若x 对应点在1的右边，由下图可以看出x ＝2；同理，若x 对应点在-2的左边，可得x ＝-3，故原方程的解是x =2或x =-3。

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程34x +=的解为________________； （2）解不等式349x x -++≥；

（3）若34x x a --+≤对任意的x 都成立，求a 的取值范围。

3．设实数x满足：31426313

23510

x x x

---

-≥-。求214

x x

-++的最小值。

4．小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a＞8，）就站到A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。

（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达A窗口所花的时间是多少？（请用含有a 的代数式表示）

（2）此时，若小杰迅速从A窗口转移到B窗口队伍后面重新排队，但是到达B窗口所花的时间和继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间一样，求a的值。（不考虑其他因素）（3）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口的所花时间要少，求a的取值范围。（不考虑其他因素）

5．为响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种冰箱的总金额不超过132000元。已知甲、乙、丙三种冰箱的出场价格分别为1200元/台、1600元/台、2000元/台。

（1）至少购进乙种冰箱多少台？

（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？

五、小结（这次课我学到了什么？）

第七章 一元一次不等式（7.1-7.5）作业

一、选择题

1．已知关于x 的不等式(1－a)x ＞2的解集是x ＜

2

1a

-，则a 的取值范围( ) A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a ＜0 D ．a ＜1 2．若a b a ->，a b b +<，则有( )

A ．0ab <

B ．a

b

>0 C ．0a b +> D ．0a b -< 3．下列不等式中：①x>－3；②xy≥1；③x 2<3；④2x －3x ≤1；⑤1

x x

+>1。一元一次不等式

的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 4．解不等式

221

35

x x +->的下列过程中错误的是（ ） A ．去分母得5（2+x ）>3（2x －1） B ．去括号得10+5x >6x －3 C ．移项，合并同类项得－x >－13 D ．系数化为1，得x >13 5．不等式2（x －2）≤x －2的非负整数解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

6．某车间工人刘伟，接到一项任务，要求10天里加工完190个零件，最初2天，每天加工15个，以后平均每天至少加工（ ）个零件，才能在规定的时间内完成任务。 A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 二、填空题

7．若不等式（k －1）x

2

k +2>

1

3

是一元一次不等式，则k=_______________。 8．若不等式3x －m≤0的正整数解是1，2，3，则m 的取值范围是_______________。 9．不等式2x －7<5－2x 的正整数解有_______________个。 10．不等式x －2≤3（x+1）的解集为____________________。

11．如果关于x 的不等式(1)5a x a -<+和24x <的解集相同，则a 的值为__________。 12．满足不等式312231n n n -->+的整数n 的个数是__________。 三、解答题

13．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）2－5x ≥8－2x ； （2）532

122

x x ++-<；

（3）1－x≤3x －16（x+1）； （4）255.014.0x x ---≤03

.002.003.0x

-。

14．已知关于x 的方程3224x m m -=－1

3

的解为非负数，求m 的取值范围。

15．某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的纪录是89环。（10

次射击，每次射击环数只取1～10中的正整数）

（1）如果他要打破纪录，第7次射击不能少于多少环？ （2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10?环才能打破录？ （3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才可能打破纪录？

16．解应用题：某商场用2500元购进A 、B 两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示。

类型 价

格

[

来

源:Z+xx+https://www.wendangku.net/doc/987928308.html,]

A 型

B 型

进价(元/盏) 40 65 标价(元/盏)

60

100

（1）这两种台灯各购进多少盏？

（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B 种台灯多少盏 ？

17．某超市销售有甲、乙两种商品。甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元。

（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？

（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元。请你帮助该超市设计相应的进货方案。