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2008—数二真题、标准答案及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设2

()(1)(2)f x x x x =--，则'

()f x 的零点个数为（）

()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3

（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分

()a

t af x dx ?

（）

()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.

()D 三角形ACD 面积.

（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x

y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）

()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''

440y y y y +++=

()

C ''''''440y y y y --+=

()

D ''''''440y y y y -+-=

（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）

()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.

()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.

（6）设函数f

连续，若22(,)uv

D F u v =

，其中区域uv D 为图中阴影部分，则

?= ()A 2()vf u ()

B 2()v

f u u ()C ()vf u ()D ()v

f u u

（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若3

0A =，则（）

()A E A -不可逆，E A +不可逆.

()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.

()D E A -可逆，E A +不可逆.

（8）设1221A ??

???

，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）

()A 2112-?? ?-??

()B 2112-?? ?-??

. ()C 2112??

???

()D 1221-??

?-??

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）已知函数()f x 连续，且2

1cos[()]lim

1(1)()

x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.

（10）微分方程2()0x

y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.

（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线2

(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x

y z x ??=

???，则(1,2)

____z x

?=?.

（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分9分）

求极限()4

0sin sin sin sin lim

x x x x x →-????. (16)（本题满分10分）

设函数()y y x =由参数方程2

0()ln(1)t x x t y u du =??

?=+???确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --?-=???=?

的解.求22y x ??. (17)（本题满分9分）求积分

(18)（本题满分11分）

求二重积分

max(,1),D

xy dxdy ??其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤

(19)（本题满分11分）

设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，

曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积

在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）

(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得

()()()

f x dx f b a η=-?

(2)若函数()x ?具有二阶导数，且满足3

(2)(1),(2)()x d x ????>

>?，证明至少存在一点

(1,3),()0

ξ?ξ''∈<使得（21）（本题满分11分）

求函数2

u x y z =++在约束条件2

z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）

设矩阵22

21212n n a a a A a a ??? ? ?= ? ??? ，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，

（1）求证()1n

A n a =+；

（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

（23）（本题满分10分）

设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、选择题 (1)【答案】D

【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】

()()()()()()a

a a a

xf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-?

???

其中()af a 是矩形ABOC 面积，0

()a

f x dx ?

为曲边梯形ABOD 的面积，所以0

()a

xf x dx '?为曲边三角形的面

积．

本题的难度值为0.829.

(3)【答案】D

【详解】由微分方程的通解中含有x

e 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根

1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的

微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A

【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点

因为 0

00ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x x

f x x x x x

→→→→=?=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x x

x x x

++→→=-=-=

同理 0

lim ()0x f x -

→= 又 1

11ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++

++→→→→?

?=?== ?-?

? 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.

本题的难度值为0.486.

(5)【答案】B

【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在

极限.

本题的难度值为0.537. (6)【答案】A

【详解】用极坐标得 ()

222()20

,()v

f r r D

f u v F u v dv rdr v f r dr +===??

所以

()2F

vf u u

?=? 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C

【详解】2

()()E A E A A E A E -++=-=，2

()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D

【详解】记1221D -??

= ?-??

，

则()2

142

E D λλλλ--=

=---，又()2

142

E A λλλλ---=

=----

所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.

又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2

【详解】222220001cos[()]

2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()

x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-?==?- 011

lim ()(0)122

x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()x

x e

C --+

【详解】微分方程()20x

y x e

dx xdy -+-=可变形为

x dy y

xe dx x

--= 所以 11

1()dx x x x x x

y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----??????=+=?+=-+?? ?

????

?? 本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+

【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1

cos()1

1cos()x y y xy F dy y x

dx F x xy y x

-'-=-=-

-，将(0)1y =代入得

1x dy dx

==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+

本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】5235y x

x =-?231313

51010(2)

333x y x x x -+'=

-= ?134343

101010(1)

999x y x x x --+''=+=

1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在

在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)

21)- 【详解】设,y x

u v x y

=，则v z u = 所以

121(ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y

-?????=?+?=-+?????? 2ln 11ln x y

vy u y y u ux

y x y x ????

=-+=?-+ ? ?

?????

?? 所以

(1,2)21)2

z x ?=-?

本题的难度值为0.575.

(14)【答案】-1

【详解】||236A λλ =??= 3

|2|2||A A =

2648λ∴ ?=- 1λ?=-

本题的难度值为0.839.

三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )

lim

lim x x x x x x x x x

→→--= 2

2220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336

x x x x

x x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331

sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+

4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x x

x o x x x x →→??-∴ =+=????

本题的难度值为0.823.

(16)【详解】

方法一：由

20x dx

te dt

--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222

ln(1)2(1)ln(1)21dy

dy t t

dt t t dx

t dx dt t +?===+++

222

[(1)ln(1)]2ln(1)221d

t t d y d dy t t t

dt dx t dx dx dx dt t ++++??=== ???

+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++

方法二：由

20x dx

te dt

--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222

ln(1)2(1)ln(1)21x dy

dy t t

dt t t e x dx

t dx dt t +?===++=+

所以 22

(1)x d y e x dx

=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】方法一

：由于21

lim x -

→=+∞

，故21

是反常积分.

令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈

2220

000sin cos 2cos sin ()cos 22

t t t t t tdt t tdt dt t π

ππ===-?

???

222200

1sin 21sin 2sin 24

4164

t t td t tdt π

ππ

π=

-=-+?? 2

220

cos 2168164t π

π=-=+

方法二：

1(arcsin )2x d x =

? 1

211222

2000

1(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-??

令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈

200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-???

22200

111

(cos 2)cos 242164t t t tdt π

ππ=-+=-?

故，原式2

164

π=

+ 本题的难度值为0.631.

(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两

个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对区域分割，最后为

()max ,1D

xy dxdy ??

D D D xydxdy dxdy dxdy =++??????

1122

221110

11x x

dx dy dx dy dx xydy =++??????

1512ln 2ln 24=++

-19

ln 24

=+ 本题的难度值为0.524.

(19)【详解】旋转体的体积20

()t

V f x dx π

，侧面积0

2(t

S f x π=?，由题设条件知

()(t

f x dx f x =?

上式两端对t 求导得

2()(f t f t = 即

y '=

由分离变量法解得

1l n (

)y t C +=+，即

t y C e =

将(0)1y =代入知1C =

，故t y e +

=，1()2

t y e e -=

+ 于是所求函数为 1()()2

x x

y f x e e -==

+ 本题的难度值为0.497.

(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即

()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈

由定积分性质，有 ()()()b

m b a f x dx M b a -≤

≤-?

，即 ()b

f x dx m M b a

≤

≤-?

由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b a

f x dx f b a

η=

即

()()()b

f x dx f b a η=-?

(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 3

()()(32)()x dx ??η?η=-=?

又由

(2)()()x d x ???η>=?，知 23η<≤

对()x ?在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)??<，()(2)?η?<得

1(2)(1)

()021

???ξ-'=>- 112ξ<<

2()(2)

()02

?η??ξη-'=

<- 123ξη<<≤

在12[,]ξξ上对导函数()x ?'应用拉格朗日中值定理，有

2121

()()

()0?ξ?ξ?ξξξ''-''=

<- 12(,)(1,3)ξξξ∈?

本题的难度值为0.719. (21)【详解】

方法一：作拉格朗日函数22222

(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-

令 2222022020040

x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=??'=++=??

'=-+=??'=+-=?'=++-=??

解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.

方法二：问题可转化为求2

2u x y x x y y =++++在2

4x y x y +++=条件下的最值设4

(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-

令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λ

λλ'?=++++=?

'=++++=??'=+++-=?

解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入2

z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：

21213210

1221221122a a a a a a a a a A r ar a

a a =

2130

1240

134(1)2(1)3

231(1)0

n n n a a a

n a a n a r ar a n a n

n a n

--+-=?

??=++

证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n

n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．

当2n =时，222

2132a D a a a

=，结论成立．

假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得

2121212n n a a a a

D aD a a

-=-

21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+

故 ||(1)n

A n a =

+ 证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2

122n n n D aD a D --=-，所以 2

11212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-

222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=

即 1

2122()2n

n n n n n n D a aD a a a

aD a a D ----=+=++=++

2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+

1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+?=+

(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n

A n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为

112

(1)(1)

2102121221122n n n n

n n a a

a a a a a a D na a a a a --?-?-=

所以 11(1)n n D n

x D n a

(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为

12101101001000n n x x x x -?????? ? ? ?

? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?

? ? ?????

此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100,T

k k + 为任意常数．

本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)

证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3

α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)

11,A αα=-22A αα=

∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=

则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.

证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)

用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得

1123233()0k k k k ααα-+++= (2)

(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)

因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)

得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.

(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，

123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+

123100(,,)011001ααα-?? ?= ? ???100011001P -?? ?

= ? ???

所以 1

100011001P AP --?? ?= ? ???

本题的难度值为0.272.

1989考研数二真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) 0 lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿. (2) 0 sin t tdt π = ? ＿＿＿＿＿＿. (3) 曲线0 (1)(2)x y t t dt =--?在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿. (4) 设 ()(1)(2)() f x x x x x n =++??+L ,则 (0)f '= ＿＿＿＿＿＿. (5) 设()f x 是连续函数,且1 ()2()f x x f t dt =+?,则()f x =＿＿＿＿＿＿. (6) 设 2,0()sin ,0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿. (7) 设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿. 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin x y e -=求y '. (2) 求2 ln dx x x ?. (3) 求1 lim(2sin cos )x x x x →+.

(4) 已知 2ln(1),arctan , x t y t ?=+? =?求dy dx 及 22 d y dx . (5) 已知1(2),(2)02f f '==及20 ()1f x dx =? ,求12 (2)x f x dx ''?. 三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设 x >时,曲线 1 sin y x x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若2350 a b -<,则方程532340 x ax bx c +++= ( ) (A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos ()22 y x x ππ=-≤≤与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为

考研数二真题及解析

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 0 lim ln x x x + →=＿＿＿＿＿＿. (2) 函数()y y x =由方程2 2 2 sin()0x x y e xy ++-=所确定,则 dy dx =＿＿＿＿＿＿. (3) 设1 ()(2(0)x F x dt x = >? ,则函数()F x 的单调减少区间是＿＿＿＿＿＿. (4) =＿＿＿＿＿＿. (5) 已知曲线()y f x =过点1 (0,)2 - ,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,则()f x =＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 当0x →时,变量 211 sin x x 是 ( ) (A) 无穷小 (B) 无穷大 (C) 有界的,但不是无穷小 (D) 有界的,但不是无穷大 (2) 设2|1| ,1,()1 2, 1,x x f x x x ?-≠? =-??=? 则在点1x =处函数()f x ( ) (A) 不连续 (B) 连续,但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续 (3) 已知2,01, ()1, 12, x x f x x ?≤<= ?≤≤? 设1 ()()x F x f t dt =?(02)x ≤≤,则()F x 为 ( ) (A)31,013,12x x x x ?≤,函数()ln x f x x k e =-+在(0,)+∞内零点个数为 ( ) (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (5) 若()()f x f x =--,在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''>>,则()f x 在(,0)-∞内 ( )

1999考研数二真题及解析

1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。) (1) 曲线sin 2cos t t x e t y e t ?=??=??，在点()0,1 处的法线方程为 (2) 设函数()y y x =由方程() 23 ln sin x y x y x +=+确定，则 x dy dx == (3) 25 613x dx x x +=-+? (4) 函数2 y = 12???? 上的平均值为 (5) 微分方程24x y y e ''-=的通解为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1) 设()20(),0x f x x g x x >= ≤? ，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处 ( ) (A) 极限不存在. (B) 极限存在，但不连续. (C) 连续，但不可导. (D) 可导. (2) 设()()()15sin 0 0sin ,1x x t t x dt x t dt t αβ= =+? ?，则当0x →时()x α是()x β的 ( ) (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小 (3) 设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( ) (A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数. (B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数. (C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数. (D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数. (4) “对任意给定的()0,1ε∈ ，总存在正整数N ，当n N ≥时，恒有2n x a ε-≤”是数列{}n x

考研数二真题及解析

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1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题（每小题３分,满分２１分.把答案填在题中横线上．) (1） 0 lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿. (２) sin t tdt π =? ＿＿＿___． (3) 曲线0 (1)(2)x y t t dt = --? 在点(0,0)处的切线方程是＿__＿_＿. (4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =++??+,则(0)f '=__＿___. (5) 设()f x 是连续函数,且1 ()2 ()f x x f t dt =+? ,则()f x =＿＿＿＿＿_．（6) 设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是___＿＿. (７) 设tan y x y =+，则dy =_____＿. 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin x y e -=，求y '. （2) 求 2ln dx x x ?. (３）求10 lim(2sin cos )x x x x →+. (４) 已知2ln(1),arctan , x t y t ?=+?=?求dy dx 及22d y dx . (5）已知1 (2),(2)02 f f '= =及20()1f x dx =?，求120(2)x f x dx ''?. 三、选择题（每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内．) (1) 设 x >时，曲线 1 sin y x x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线（B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线（Ｄ）既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若 2350 a b -<,则方程 532340x ax bx c +++=

考研数学二真题及答案解析

2006年数学（二）考研真题及解答一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . （2）设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 (1) xdx x +∞=+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 A dy dx == . （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（A ）0.dy y <

2017年考研数学二真题与答案解析

2017考研数学二真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数?? ? ??≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax x x f 在0=x 处连续，则（） )(A 21= ab 。 )(B 2 1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。【答案】)(A 【解】a ax x f x 21 cos 1lim )00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而2 1 = ab ，应选)(A 。（2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（） ) (A ? ->1 10)(x f 。 ) (B ? -<1 1 0)(x f 。 )(C ??->10 1 )()(dx x f x f 。 )(D ??-<1 1 )()(dx x f x f 。【答案】)(B 【解】取12)(2 -=x x f ，显然 ? -<1 1 0)(x f ，应选)(B 。（3）设数列}{n x 收敛，则（） )(A 当0sin lim =∞ →n n x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(B 当0)||(lim =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(C 当0)(lim 2 =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。【答案】)(D 【解】令A x n n =∞ →lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞ →A A x x n n n 得0=A 。（4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=* y （） )(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。 )(B )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。 )(C )2sin 2cos (22x C x B xe Ae x x ++。)(D )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。

2013考研数二真题及解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2 x π α< ，则当0x →时，()x α是（）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等价的无穷小（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n →∞ ??-=??? ? （）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2, 2x x f x x π ππ≤ （C ）20α-<< （D ）02α<< （5）设()y z f xy x = ，其中函数f 可微，则x z z y x y ??+=??（）（A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ） 2()f xy x （D ）2 ()f xy x - （6）设k D 是圆域{}22 (,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)k k D I y x dxdy k =-=??，则（）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价

考研数学二真题与解析

2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）

99考研数二真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) 0 lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿. (2) sin t tdt π =? ＿＿＿＿＿＿. (3) 曲线0 (1)(2)x y t t dt = --? 在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿. (4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =++??+,则(0)f '=＿＿＿＿＿＿. (5) 设()f x 是连续函数,且1 ()2 ()f x x f t dt =+? ,则()f x =＿＿＿＿＿＿. (6) 设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿. (7) 设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿. 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin y e =,求y '. (2) 求 2ln dx x x ?. (3) 求10 lim(2sin cos )x x x x →+. (4) 已知2ln(1),arctan , x t y t ?=+?=?求dy dx 及22d y dx . (5) 已知1 (2),(2)02 f f '= =及20()1f x dx =?,求120(2)x f x dx ''?. 三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设0x >时,曲线1 sin y x x = ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若2 350a b -<,则方程5 3 2340x ax bx c +++= ( )

2011考研数二真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==． (B) 1,4k c ==-． (C) 3,4k c ==． (D) 3,4k c ==-． (2) 已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()() 233 2lim x x f x f x x →-=( ) (A) ()20f '-． (B) ()0f '-． (C) ()0f '． (D) 0． (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( ) (A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (4) 微分方程2 (0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( ) (A) ()x x a e e λλ-+． (B) ()x x ax e e λλ-+． (C) ()x x x ae be λλ-+． (D) 2()x x x ae be λλ-+． (5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''>< (6) 设4 ln sin I x dx π = ? ，40 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大小关系是( ) (A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (7) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1 21P P -． (8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组

2005—数二真题、标准答案及解析

2005年考研数学二真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设x x y )sin 1(+=，则|x dy π==______ . （2）曲线x x y 2 3) 1(+= 的斜渐近线方程为______ . （3） =--?1 2 2 1)2(x x xdx ______ . （4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9 1 )1(- =y 的解为______ . （5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= ______ . （6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵 ),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f(x)在),(+∞-∞内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ] （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 (A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ] （9）设函数y=y(x)由参数方程? ??+=+=)1ln(, 22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是 (A) 32ln 81+. (B) 32ln 8 1 +-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ] （10）设区域}0,0,4),{(2 2≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则 =+ +?? σd y f x f y f b x f a D ) ()()()( (A) πab . (B) π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2 b a + . [ ]

1990考研数二真题及解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线3 3 cos sin x t y t ?=??=??上对应于点6t π=点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿. (2) 设1 tan 1 sin x y e x =?,则y '=＿＿＿＿＿＿. (3) 1 =? ＿＿＿＿＿＿. (4) 下列两个积分的大小关系是：3 1 2 x e dx ---? ＿＿＿＿＿＿ 3 1 2 x e dx --?. (5) 设函数1, ||1 ()0, ||1x f x x ≤?=? >? ,则函数[()]f f x =＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 已知2lim 01x x ax b x →∞?? --= ?+?? ,其中,a b 是常数,则 ( ) (A) 1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=- (2) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ???? ? 等于 ( ) (A) ()f x (B) ()f x dx (C) ()f x C + (D) ()f x dx ' (3) 已知函数()f x 具有任意阶导数,且2 ()[()]f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数() ()n f x 是 ( ) (A) 1 ![()] n n f x + (B) 1 [()] n n f x + (C) 2[()]n f x (D) 2![()]n n f x (4) 设()f x 是连续函数,且()()x e x F x f t dt -= ? ,则()F x '等于 ( )

1998考研数二真题及解析

1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 2 2 lim x x →= . (2) 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . (3) 2ln sin sin x dx x =? . (4) 设()f x 连续,则220 ()x d tf x t dt dx -=? . (5) 曲线1 ln()(0)y x e x x =+>的渐近线方程为 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞ =,则下列断言正确的是 ( ) (A) 若n x 发散,则n y 发散 (B) 若n x 无界,则n y 必有界 (C) 若n x 有界,则n y 必为无穷小 (D) 若 1 n x 为无穷小,则n y 必为无穷小 (2) 函数23 ()(2)f x x x x x =---的不可导点的个数是 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (3) 已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2 ,1y x y x α??= ++其中α是比(0)x x ??→高阶的无穷小,且(0),y π=,则(1)y = ( ) (A) 4 e ππ (B) 2π (C) π (D) 4 e π (4) 设函数() f x 在x a =的某个邻域内连续,且()f a 为其极大值,则存在0δ>,当 (,)x a a δδ∈-+时,必有 ( ) (A) ()[()()]0x a f x f a --≥ (B) ()[()()]0x a f x f a --≤ (C) 2()()lim 0()()t a f t f x x a t x →-≥≠- (D) 2 ()() lim 0()()t a f t f x x a t x →-≤≠-

1991考研数二真题及解析

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设ln(13)x y -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线2 x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3) 2 1 ln x dx x +∞ =? ＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度2 sin()t t 米每秒作直线运动, 则从时刻1t = 秒到2 t =的路程等于＿＿＿＿＿＿米. (5) 1 10 1lim x x x e x e + →-=+＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 若曲线2 y x ax b =++和3 21y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( ) (A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=- (2) 设函数2 , 01, ()2,12, x x f x x x ?≤≤=?-<≤?记0 ()(),02x F x f t dt x =≤≤?,则 ( ) (A) 32 , 013()12,1233x x F x x x x ?≤≤??=??+-<≤?? (B) 32 , 013 ()72,1262x x F x x x x ?≤≤??=??-+-<≤?? (C) 3 22 , 013 ()2,123 2x x F x x x x x ?≤≤??=??+-<≤?? (D) 32 , 013()2,122x x F x x x x ?≤≤??=??-<≤?? (3) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则 ( ) (A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点

2020年考研数学二真题及答案解析

2020考研数学二真题及解析完整版来源：文都教育一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x + →，下列无穷小量中最高阶是（） A.( ) 2 0e 1d x t t -?B.(30 ln d x t t ?C.sin 20 sin d x t t ? D. 1cos 30 sin d t t -? 答案：D 解析:A.( ) 2 32001~3 x x t x e dt t dt -= ??B.(3 5 322002ln 1~5 x x t dt t x =??C.sin 223001sin ~3 x x t dt t dt x =??D.2 3 1 1cos 3220 sin ~x tdt t dt -??2512 20 25 x t =5 225 2152102 x ??== ???2.11 ln |1| ()(1)(2) x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数（） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点

1111 0000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1 1 2 2ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x -→→+==∞ --2x =为第二类间断点11 1 1 ln |1| lim ()lim 0 (1)(2)x x x x e x f x e x -- -→→+==--11 1 1 ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x ++ -→→+==∞--1x =为第二类间断点111 1ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x -→-→-+==∞ --1x =-为第二类间断点 3. 1 (1) x x x x = -? A. 2π4B.2π8C.π4D.π8 答案：A 解析： 1 (1) x x x x -? 令u x =，则原式= 1 2 2 d (1) u u u u -?

1995考研数二真题及解析

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设2 2 1 cos()sin y x x =,则y '=＿＿＿＿＿＿. (2) 微分方程2y y x ''+=-的通解为＿＿＿＿＿＿. (3) 曲线2 3 1x t y t ?=+??=??在2t =处的切线方程为＿＿＿＿＿＿. (4) 22 2 12 lim( )12 n n n n n n n n n →∞ +++ =++++++＿＿＿＿＿＿. (5) 曲线2 2x y x e -=的渐近线方程为＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()f x 和()x ?在(,)-∞+∞内有定义,()f x 为连续函数,且()0f x ≠,()x ?有间断点, 则 ( ) (A) [()]f x ?必有间断点 (B) 2 [()]x ?必有间断点 (C) [()]f x ?必有间断点 (D) () () x f x ?必有间断点 (2) 曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围图形的面积可表示为 ( ) (A) 2 (1)(2)x x x dx ---? (B) 1 20 1 (1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----? ? (C) 12 1 (1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--?? (D) 2 (1)(2)x x x dx --? (3) 设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且对任意12,x x ,当12x x >时,都有12()()f x f x >,则 ( ) (A) 对任意,()0x f x '> (B) 对任意,()0x f x '-≤ (C) 函数()f x -单调增加 (D) 函数()f x --单调增加 (4) 设函数()f x 在[0,1]上()0f x ''>,则(1)(0)(1)(0)f f f f ''-、、或(0)(1)f f -的大小

2002考研数二真题及解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设函数tan 21,0 arcsin ()2, x x e x x f x ae x ?->?? =???≤?在0x =处连续，则a = . (2) 位于曲线(0)x y xe x -=≤<+∞下方，x 轴上方的无界图形的面积是_______. (3) 微分方程2 0yy y '''+=满足初始条件0 1 1,2 x x y y ==' == 的特解是_________. (4) 1lim n n →∞=_____ . (5) 矩阵022222222--????-????--?? 的非零特征值是_________. 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()f u 可导，2 ()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x ?=-时，相应的函数增量y ? 的线性主部为0.1，则(1)f '=( ) (A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5 (2) 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( ) (A)20()x f t dt ? (B)20 ()x f t dt ? (C) [()()]x t f t f t dt --? (D)0 [()()]x t f t f t dt +-? (3) 设()y x =是二阶常系数微分方程3x y py qy e '''++= 满足初始条(0)(0)0y y '==的特解，则当0x →，函数2ln(1) () x y x +的极限( ) (A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3 (4) 设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则( ) (A)当lim ()0x f x →+∞ =时，必有lim ()0x f x →+∞ '=.

中业考研数学二真题及答案解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()()33123 cos 1,ln 1,11a x x a x x a x =-= +=+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -

2017年考研数学二真题与解析

2017年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（）（A ）1 1()0f x dx ->? （B ）1 1 ()0f x dx -? ? （D ）01 1 ()()f x dx f x dx -，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以 1 01 1 1 ()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=? ??．所以选择（B ）．当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2()21f x x =-，此时 11011(),()33 f x dx f x dx -=-=-??，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列{}n x 收敛，则（A ）当lim sin 0n n x →∞ =时，lim 0n n x →∞ = （B ）当lim(0n n x →∞ + =时，lim 0n n x →∞= (C ）当2 lim()0n n n x x →∞ +=时，lim 0n n x →∞ = （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞ +=时，lim 0n n x →∞ = 【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的．其实此题注意，设lim n n x A →∞ =，则 2 2limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞ →∞ →∞ →∞ ==+=++=+ 分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯

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