《理论力学》第八章 刚体的平面运动习题解
第八章 刚体的平面运动习题解
[习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。
解：
椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为：
t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?==
t 0ω?-=（顺时针转为负）。
[习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点
的平面运动方程。
解：
αω
=dt
d dt d αω=
1C t +=αω
100C +?=α 01=C
t αω=
t dt
d αω?
== tdt d α?=
222
1C t +=α?
22021
0C +?=α
02=C
22
1t α?=
2cos )(cos )(2
t r R r R x A α?+=+= 2
sin
)(sin )(2
t r R r R y A α?+=+=
A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)(
t r
r
R A αω?+=
t r
r
R dt d A α??+= dt t r
r
R d A ??+=
α? 32
2
C t r r R A +??+=α?
32020C r
r
R +??+=
α 03=C
22t r
r
R A α??+=
故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：
2
cos )(2
t r R x A α+= 2
sin
)(2
t r R y A α+=
22t r
r
R A α??+=
[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。
已知：如图所示，CB AC =，
→A v ，→
B v
求证：)(2
1→
→→
+=B A C v v v
证明：
→
1
v
→
→→→→?+=+=AB A BA A B AB v v v v ω
)(21)(2121→
→→→→→→
→
→→+=-+=?+=+=B A A B A AB A CA
A C v v v v v A
B v v v v ω 。本题得证。
[习题8-4] 两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同：ｖ1＝６ｍ／ｓ， ｖ２＝２ｍ／ｓ。齿条之间夹有一半径ｒ＝０.5ｍ的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心Ｏ的速度。 解：
运动分析如图所示。其中，I 为速度瞬心。
1
5
.0262=--o v )/(4242
1
0s m v =+?=
（齿轮中心O 的速度，方向如图所示。） 266
1-=
AI )(5.1m AI =
齿轮的角速度为：
)/(45
.16
1s rad AI v ===
ω [习题8-5] 用具有两个不同直径的鼓轮组成的铰车来提升一圆管，设ＢＥ∥ＣＤ，轮轴的转速ｎ＝１０ｒ／ｍｉｎ，ｒ＝５０ｍｍ，Ｒ＝１５０ｍｍ，试求圆管上升的速度。 解：
)/(047.160
10
14.32602s rad n =??==
πω )/(05.157047.1150s mm R v E =?==ω（向上）
→
E
v D
x
)/(35.52047.150s mm r v D =?==ω（向下）
钢管作平面运动，其中心的速度（习题8－3结论）为：
)/(35.52)35.5205.157(2
1
0s mm v =-=
（方向：向上。） [习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。试求Ｃ点的速度。 解：
→
→
→
+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→
→
= Cx v =0 0=Cx v
→
→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→
→
=
0030cos 30cos cy A v v -=
)/(200s mm v v A cy =-=
s mm v v cy C /200-==（方向沿着负y 轴方向）
[习题8-7] 题8-６中若ｖＢ与ＢＣ的夹角为６０°，其它条件相同，试求Ｃ点的速度。
→
B
v x
x
解：运动分析如图所示。
→
→→+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→
→= Cx B v v =060cos
)/(505.0100s mm v Cx =?=
→
→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→
→
=
00060cos 30cos 30cos cx cy A v v v +-=
5.05086
6.0866.0200?+?-=?cy v 25866.02.173+?-=cy v
)/(13.171866
.02
.17325s mm v cy -=-=
)/(29.178)13.171(50222
2
s mm v v v cy cx c =-+=+=
071.7329
.17850arccos arccos
===c cx v v α
[习题8-8] 杆ＯＢ以ω＝２ｒａｄ／ｓ的匀角速度绕Ｏ转动，并带动杆ＡＤ；杆ＡＤ上的Ａ点沿水平轴Ｏｘ运动, Ｃ点沿铅垂轴Ｏｙ运动。 已知ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ＝ＤＣ＝１２０ｍｍ，求当φ＝４５°时杆上Ｄ点的速度。
解：
)
/
(
240
2
120s
mm
OB
v
B
=
?
=
?
=ω
)
/
(2
120
240
s
rad
OB
v
IB
v
B
B
AD
=
=
=
=
ω
2
2135
cos
2CD
IC
CD
IC
ID?
-
+
=
2
2
120
2
120
2
120
)2
120
(2
2?
?
?
+
+
=
)
(
33
.
268
5
120mm
=
=
)
/
(
66
.
5636
2
33
.
268s
mm
ID
v
AD
D
=
?
=
?
=ω
[习题8-9] 图示一曲柄机构，曲柄ＯＡ可绕Ｏ轴转动，带动杆ＡＣ在套管Ｂ内滑动，套管Ｂ及与其刚连的ＢＤ杆又可绕通过Ｂ铰而与图示平面垂直的水平轴运动。已知：ＯＡ＝ＢＤ＝３００ｍｍ，ＯＢ＝４００ｍｍ，当ＯＡ转至铅直位置时，其角速度ω０＝２ｒａｄ／ｓ，试求Ｄ点的速度。
解：
解：
BD杆与AC杆的角速度相同，即：
AC
BD
ω
ω=，确定了
AC
ω，问题便可解决。AC杆作平面运动。
OA与BD作定轴转动。如图1所示，I为AC杆此时的速度瞬心，图中'
B
v为AC杆上此瞬时与铰B重合的'B的速度。
AI
AI
AB
AB
OA500
500
300
cos=
=
=
=
α
)
(
3
2500
mm
AI=
→
B
v )/(60023000s rad OA v A =?=?=ω
)/(72.03
/2500600s rad AI v A BD AC ===
=ωω )/(21672.0300s mm BD v BD D =?=?=ω
[习题8-10] 图示一传动机构,当ＯＡ往复摇摆时可使圆轮绕Ｏ１轴转动。设ＯＡ＝１５０ｍｍ，Ｏ１Ｂ＝１００ｍｍ，在图示位置，ω＝２ｒａｄ／ｓ，试求圆轮转动的角速度。
解：OA 作定轴转动，AB 作平面运动。圆轮作定轴转动。
)/(3002150s mm OA v A =?=?=ω
→
→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→
→
=
)/(8.259866.030030cos 0s mm v v A B =?==
)/(6.2)/(598.2100
8
.25911
s rad s rad B O v B O ≈===
ω [习题8-11] 在瓦特行星传动机构中，杆Ｏ１Ａ绕Ｏ１轴转动，并借杆ＡＢ带动曲柄ＯＢ，而曲柄ＯB 活动地装置在Ｏ轴上。在Ｏ轴上装有齿轮Ⅰ；齿轮Ⅱ的轴安装在杆ＡＢ的Ｂ端。已知：
mm r r 330021==， Ｏ１Ａ＝７５０ｍｍ，ＡＢ＝１５００ｍｍ，又杆Ｏ１Ａ的角速度ωＯ１
＝６ｒａｄ／ｓ，求当α＝６０°与β＝９０°时，曲柄ＯＢ及轮Ⅰ的角速度。
v A
解：O 1A 作定轴转动，AB 作平面运动。圆轮O 及OB 作定轴转动。
)/(4500675011s mm A O v O A =?=?=ω
→
→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→
→
=
)/(3897866.0450030cos 0s mm v v A B =?==
)/(75.33
300232250s rad OB v B OB =?==
ω )(30005
.01500
30sin mm AB AI ===
)/(5.13000
4500
s rad AI v A AB ===
ω 两轮啮合点（OB 的中点）的速度：
)/(6.31175.1)732.1300866.03000()BI (2s mm r v AB nhd =??-?=?ω－＝
)/(6732
.13006
.31171s rad r v nhd I =?==
ω [习题8-12] 活塞Ｃ由绕固定轴Ｏ′转动的齿扇带动齿条而上下运动。在题8-１２附图所示位置，曲柄ＯＡ的角速度ω０＝３ｒａｄ／ｓ，已知ｒ＝２００ｍｍ，ａ＝１００ｍｍ，ｂ＝２００ｍｍ，求活塞Ｃ的速度。
'
O '
ω
解：
)/(60032000s rad OA v A =?=?=ω
→
→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→
→
= 60030cos 0==A B v v
)/(84.692866
.0600
s mm v B ==
)/(464.3200
84.692'
s rad b v B B O ===
ω )/(4.346464.3100's mm a v v B O C =?==ω＝啮合点 （活塞的速度，方向向上）
[习题8-13] 在图示机构中，杆ＯＣ可绕Ｏ转动。套筒ＡＢ可沿ＯＣ杆滑动。与套筒ＡＢ的Ａ端相铰连的滑块可在水平直槽内滑动。已知ω＝２ｒａｄ／ｓ，ｂ＝２００ｍｍ，套筒长ＡＢ＝２００ｍｍ，求φ＝３０°时套筒Ｂ端的速度。 解： 动点：A 点。
动系：固连于AC 杆的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 相对运动：A 对于AC 的运动。
→
v
v .0F
牵连运动：AC 杆上与A 相重点相对于地面的运动。 绝对运动：A 相对于地面的运动。
→
→→+=r e A v v v
)/(4622866.0200
230cos 0s mm b OA v e =?=?=?=ω
)/(533866.0462
30
cos 0
s mm v v e A === →
→→+=BA A B v v v
)/(4002200s mm AB v BA =?=?=ω
02
2150cos 2BA A BA A B v v v v v -+=
866.0400533240053322???++=
)/(902s mm ≈
[习题8-14] 图示矩形板BDHF 用两根长0.15m 的连杆悬挂，已知图示瞬时连杆AB 的角速度为4rad/s ，其方向为顺时针。试求：(1)板的角速度；(2)板中心G 的速度；(3)板上F 点的速度；(4)找出板中速度等于或小于0.15m/s 的点。
解：
(1)求板的角速度
)/(32
.0415.0s rad BI AB BI v AB B =?=?=ωω＝
板 (2)求板中心G 的速度
)(1732.030cos 2.00m IJ ==
G
)(0482.02
15
.01732.0m IG =-
= )/(0.144630.0482s m IG v G ＝＝板??=ω
(3)求板上F 点的速度
)(1243.0)1732.025.0(1.022m IF =-+=
)/(0.37330.1243s m IF v F ＝＝板??=ω
(4)求板中速度等于或小于0.15m/s 的点
15.0≤?=板ωx v x
)(05.03/15.0m x =≤
板中速度等于或小于0.15m/s 的点在以瞬心I 为圆心，半径为m 05.0的圆内：圆周上速度为
s m /15.0，圆内速度小于s m /15.0。
[习题8-15] 图示一静定刚架，设Ｇ支座向下沉陷一微小距离，求各部分的瞬时转动中心的位置及Ｈ与Ｇ点微小位移之间的关系。
解：
整个刚架的瞬时转动中心如图所示。
t
a s a v G
G BCG ???==
ω G G BCG B B s t t a s a a t BI t v s ?=??????+=???=??=?2
5
)2(223ω
D
S 2
t
a s s t
a t a s BI v G G B B
AB ???=
??
??=
???==
25
522
5
2
ω G G AB A A s t t a s a t AI t v s ?=??????=
???=?=?2
5252ω t
a s s t
a t a s AI v G G A A
AD ???=
??
??=
???==
25
522
5
1
ω G G
AD H H s t t
a s a t HI t v s ?=??????
=???=?=?ω1 即： G H s s ?=?
[习题8-16] 机构在图示位置时，曲柄A O '垂直于AB ，AB 平行于O O '
，试求A 、D 两点微小位移之间的关系。已知mm CD 400=，BO BC =。 解：
t
s t
CD s DI v D
D D
CD ??=??==
80030sin 0
1
ω
t v s C C ??=?
t CI CD ???=ω1
t t
s D ??????
=80023800( D s ?=23 D C B s s s ?=?=
?4321 t
BI s BI v B
B AB ???==
22ω t v s A A ??=?
t AI AB ???=ω2
t t
BI s AI B
??????
=22
B
S D s ??=4
3
30cos 0 D s ??=
4
323 D s ?=8
3
即：D A s s ?=?8
3
[习题8-17] 桥由三部分组成，支承情况如图所示。（１）当Ｂ支座有一微小水平位移；（２）Ａ支座向下沉陷一微小距离；（３）Ｃ处发生一微小水平位移。试分别绘出三种情况下桥各个部分的瞬时转动中心。
解：
（１）绘制当Ｂ支座有一微小水平位移时，桥各个部分的瞬时转动中心。
此时，只有BE 部分和DE 总分会运动。 这两部分的瞬时转动中心如图所示。
1
I +∞
=s
I →
A
a →
A
a →
（２）绘制Ａ支座向下沉陷一微小距离时，桥各部分的瞬时转动中心。
ACD 的瞬时转动中心在右边的无穷远处；DE 的瞬时转动中心在E 点；EB 的瞬时转动中心在
I 3处。
（３）绘制当Ｃ处发生一微小水平位移时，桥各部分的瞬时转动中心。 图中1I 、2I 、3I 分别为ACD 、DE 、EB 的瞬时转动中心。
[习题8-18] 刚体作平面运动时，在什么情况下平面图形内任意两点的加速度在此两点连线上的投影相等？
解：刚体作平面运动时，平面图形内任意两点的加速度之间的关系为：
→→→+=BA B A a a a ，或→
→
→
→++=n
BA BA B A a a a a τ
。
上式的关系如图所示。由图可知，当且仅当
=→
BA a 时，才有→
→
=B A a a ，即AB B AB A a a ][][→
→
=。
当→
→
=B A a a 时，作平面运动的刚体作瞬时平动。换句话说，
C
→
O
当刚体作瞬时平动时，平面图形内任意两点的加速度在此两点连线上的投影相等。 [习题8-19] 绕线轮沿水平面滚动而不滑动，轮的半径为Ｒ，在轮上有圆柱部分，其半径为ｒ，线绕于圆柱上，线的Ｂ端以速度ｕ与加速度ａ沿水平方向运动，求绕线轮轴心Ｏ的速度和加速度。 解：
→
→=B A v v
→
→
→
+=OA A O v v v （C 点为速度瞬心I ） r
R R v v A O -= r
R Ru
r R Rv v A O -=-=
因为O 点作直线运动，所以
r
R Ra
a r R R dt du r R R r R Ru dt d dt dv a o O -=?-=?-=-==
)( [习题8-20] 在图示机构中，曲柄ＯＡ，长l ，以匀角速0ω绕Ｏ转动，滑块Ｂ沿ｘ轴滑动。已知
l AC AB 2==，在图示瞬时，ＯＡ垂直于ｘ轴，求该瞬时Ｃ点的速度及加速度。
解：
（1）求该瞬时Ｃ点的速度 OA 作定轴转动；BC 作平面运动。
00ωωl OA v A =?=
2
020ωωl OA a n A =?=
00
0=?
=?=dt
d l OA a A ωατ
A
a
→
B
a →τCA
→
C
a →→
C
v B
→
→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→
→= 0
30cos 30cos A B v v =
A B v v =，即刚体BC 作瞬时平动，故 0ωl v v A C ==
（2）求该瞬时Ｃ点的加速度 A 点的加速度：
∞?=BC C v ω
0=BC ω
2020ωωl OA a n A =?=
00
0=?=?=dt
d l OA a A ωατ 20
ωl a a n
A
A ==
B 点的加速度：
→
→→
→++=τBA n BA
A B a a a a 0222=?=?=BC
BA
n BA
l AB a
ω
ω
BC BA A
BA
l AB l a a ααωτ
?=?===23
230cos 200
3
2
0ωα=
BC
C 点的加速度：
→
→
→
→++=τ
CA n CA
A C a a a a
0222=?=?=BC CA n CA l AC a ωω
3
23
220
2
0ωωατ
l l AC a BC CA =
?
=?=
022
150cos 2)(τ
τCA A CA A C a a a a a -+=
A
→
→
τD
a )2
3
(3
22)3
2(
)(2
02
02202
20-
??
?-+=ωωωωl l l l a C 2023
41ωl ?++
= 2
008.2ωl ≈
[习题8-21] 图为一机构的简图，已知轮的转速为一常量min /60r n =，在图示位置ＯＡ∥ＢＣ ，ＡＣ⊥ＢＣ，求齿板最下一点Ｄ的速度和加速度。 解：
（1）求D 点的速度
在图示瞬时，AB 作瞬时平动。
)/(14.360
60
14.36025.0s m n OA v v A B =?=??
=?==πω 45
.02===CB CD v v B D )/(56.1214.34s m v D =?=
（2）求D 点的加速度 B 点的加速度：
AB AB B IB v ωω?∞=?=
0=AB ω
02=?=AB n BA AB a ω
→
x
→
→
→
→
+
+
=τ
BA
n
BA
A
B
a
a
a
a
→
→
→
→
→
+
+
=
+τ
τ
BA
n
BA
A
n
B
B
a
a
a
a
a
上式在x轴上的投影为：
β
β
θ
τcos
cos
cos
A
n
B
B
a
a
a=
-
)
90
cos(
)
90
cos(
cos0
0θ
θ
θ
τ-
=
-
-
A
n
B
B
a
a
a
θ
θ
θ
τsin
sin
cos
A
n
B
B
a
a
a=
-
θ
θ
θ
θ
τtan
)
(
cos
sin
sin
n
B
A
n
B
A
B
a
a
a
a
a+
=
+
=
θ
ωtan
)
5.0
5.0(
2
2
B
A
v
+
=
θ
ωtan
)
5.0
5.0(
2
2
A
A
v
+
=
θ
ω
ωtan
)
5.0
5.0[2
2
OA
OA
+
=
θ
ωtan
2
OA
=
2.1
5.0
)
60
2
(2?
?
=
n
π
2.1
5.0
)
60
60
2
(2?
?
=
π
3.0
5.02π
=
3.0
5.02
π
α
τ=
?
=
CD
B
BC
a
3.0
5.0
5.0
2
π
α=
CD
3.0
2
π
α=
CD
3.0
22π
α
τ=
?
=
CD
D
CD
a
CD
A
B
BC
v
vω
π
π
?
=
=
?
?
=
=
60
60
2
5.0
I 1
ππ
π
ω25
.0==
=
BC
CD
2228)2(2ππω=?=?=CD n D CD a
)/(675.102)8()3
.02()()(2222222
s m a a a n D
D D =+=+=ππτ
81.3983.0/2arctan arctan ===n
D
D a a τ? [习题8-22] 在图示机构中，曲柄OA 长r ，绕O 轴以匀角速度0ω转动。在图示瞬时，0
60=α，
090=β，又r AB 6=，r BC 33=，试求滑块C 的速度和加速度。
解：
→
→→+=BA A B v v v
0ωr v A =（OA 作定轴转动）
AB AB A r A I v ωω31=?=（AB 作平面运动）
故，03
1
ωω=
AB 000133
1
30cos 6ωωωr r B I v AB B =?=?=（AB 作平面运动）
BC BC B r B I v ωω362=?=（BC 作平面运动）
B
→
A
v
→
=n
A
a →τa
故，06
1ωω=
BC 00223
619ωωωr r C I v BC C =?=?=
0=τA a
2
0ωr a n A =
20
ωr a a n
A A == →
→
→
→++=τ
BA n BA
A B a a a a
上式在法线（AB ）方向上的投影为：
0060cos 60cos A n
BA B a a a -=
2020202026121)31(621621ωωωωωr r r r r a AB B =-?=-= 2
3
1ωr a B = →
→
→
→
++=τ
CB n CB
B C a a a a 上式在BC 线上的投影：
202020012
3)61(33233160sin ωωωr r r a a a n
CB B C =?-?=-=
[习题8-23] 四连杆机构ＯＡＢＯ１中，ＯＯ１＝ＯＡ＝Ｏ１Ｂ＝１００ｍｍ，ＯＡ以匀角速度
s rad /2=ω转动，当φ＝９０°时，Ｏ１Ｂ与ＯＯ１在一直线上，求这时：（１）ＡＢ及Ｏ１Ｂ
的角速度；（２）ＡＢ杆与Ｏ１Ｂ杆的角加速度。
解：
理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A ==ω 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v
平面机构的运动分析答案
1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心； 若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。 4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。 5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有 6 个速度瞬心，其中 3 个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μ ν 表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为： (m/s)/mm 。 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为 (m/s2)/mm。 9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij P直接标注在图上)。 P 24）
12 三、 在图a 所示的四杆机构中， l AB =60mm,l CD =90mm ，l AD =l BC =120mm ，ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： 1）当φ＝165°时，点C 的速度v C ； 2）当φ＝165°时，构件3的BC 线上速度最小的一点E 的位置及速度的大小； 3）当v C ＝0时，φ角之值（有两个解）； 解：1）以选定的比例尺μl 作机构运动简图（图b ）。 2）求v C ，定出瞬心P 13的位置（图b ） a ) （P 13） P P 23→∞
清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析
6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
理论力学刚体的平面运动
理论力学-刚体的平面运动
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第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 ( ) ２．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ) 3．刚体作平面运动时,平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 ( ) 4.某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。 ( ） 5.刚体作平面运动,若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ) ６．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动,则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 ( ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ) 二、选择题 １．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动,已知B 端的速度为B u ,则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。 ①ｕB si ｎθ; ②u B cos θ； ③ｕＢ/sin θ； ④u Ｂ/cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中,齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r １和r 2，曲柄ＯA 以匀角速度ω0逆时针转动,则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相对角速度ω1r 应为 。 ①ω１r =（r 2/ r 1)ω0（逆钟向）; ②ω1ｒ＝(r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1ｒ=［（r 2＋ r １）／ r 1] ω0(逆钟向)； ④ω1r ＝[(ｒ2＋ r 1)/ r 1］ ω０（顺钟向)。 3.一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A 、B 、C 、D 的速度方向如图(a ）、图(b)所示,则图(a)的运 动是 的，图（b)的运动是 的。 ①可能; ②不可能; ③不确定。
第八章刚体的平面运动习题解答资料
习 题 8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 图8-28 t t r y t r x O O C O C ω?ωω===sin cos 8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。 图8-29 3/32gh v A = 3/22 gh v A = 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =? 8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。 图8-30 瞬心法 θ θθθ ωcos sin cot sin 2R v R v AI v A = = = 基点法 θsin v v CA = θθ θθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA = == 8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的 齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。 图8-31 AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 22 1-= ω OB B O v v v += 2 2 12v v r v v O += +=ω 8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。当ADBC 成一平行四边形时，m/s 4.0m/s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。 图8-32
刚体平面运动习题
第8章 刚体平面运动习题 1.是非题（对画√，错画×） 8-1.刚体平面运动为其上任意一点与某一固定平面的距离始终平行的运动。（ ） 8-2.平面图形的运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成.( ) 8-3.平面图形上任意两点的速度在某固定轴上投影相等。（ ） 8-4.平面图形随着基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。（ ） 8-5.平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关。（ ） 8-6.速度瞬心点处的速度为零，加速度也为零。（ ） 8-7.刚体的平移也是平面运动。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上） 8-8.在平直轨道作纯滚动的圆轮，与地面接触点的速度为 。 8-9.平面图形上任意两点的速度在 上投影相等。 8-10.某瞬时刚体作平移，其角速度为 ；刚体上各点速度 ；各点加速度 。 3.简答题 8-11.确定图示平面运动物体的速度瞬心位置。 题8-11图 (a) (b) (c) 8-12.若刚体作平面运动，下面平面图形上A 、B 的速度方向正确吗？ 题8-12图 (a) (b) (c) 8-13.下面图形中O 1A 和AC 的速度分布对吗？ 8-14.圆轮做曲线滚动，某瞬时轮心的速度o v 和加速度o a ，轮的半径为R ，则轮心的角
加速度等于多少？速度瞬心点处的加速度大小和方向如何确定？ 题8-13图 B 8-15.用基点法求平面图形个点的加速度时，为什么没有科氏加速度？ 4.计算题 8-16.椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度o ω绕O 轴转动，如图所示，若取C 为基点，OC=BC=AC=r ，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 8-17.半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以匀角加速度α绕O 轴转动，设初始时角速度0=ω、角加速度0=α、转角0=?，若选动齿轮的轮心C 点为基点，试求动齿轮的平面运动方程。 题8-16图 题8-17图 8-18.曲柄连杆机构，已知OA =40cm ，连杆AB =1m ，曲柄OA 绕O 轴以转速180=n r/min 匀速转动，如图所示。试求当曲柄OA 与水平线成o 45角时，连杆AB 的角速度和中点M 的速度大小。 8-19.已知曲柄OA =r ，杆BC=2r ，曲柄OA 以匀角速度4rad/s =ω顺时针转动，如图所示。试求在图示瞬时点B 的速度以及杆BC 的角速度。
理论力学-刚体的平面运动
第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 （ ） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 （ ） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ 永远成立。 （ ） 5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ） 6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 （ ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ） 二、选择题 1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为。 ①u B sin ； ②u B cos ； ③u B /sin ； ④u B /cos 。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度 0逆时针转动，则
齿轮Ⅰ对曲柄OA的相对角速度 1r应为 。 ① 1r=（r2/ r1） 0（逆钟向）； ② 1r=（r2/ r1） 0（顺钟向）； ③ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（逆钟向）； ④ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（顺钟向）。 3．一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶 点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则 图（a）的运动是的，图（b）的运动是的。 ①可能； ②不可能； ③不确定。 4．图示机构中，O1A=O2B。若以 1、 1与 2、 2分别表示O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。 ① 1= 2， 1= 2； ② 1≠ 2， 1= 2； ③ 1= 2， 1≠ 2； ④ 1≠ 2， 1≠ 2。
理论力学 刚体平面运动部分参考答案
一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ， AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。 一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ，AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。（18分） 解：（1）速度分析及计算：AB 杆和圆轮作平面运动，选A 为基点 BA A B v v v += OA 杆绕O 轴转动：ω?=R v A AB=2R ，圆轮半径为R ，所以杆AB 与水平面夹角为30° 速度平行四边行如图。由图中几何关系可得： 3/330tan ω?= =R v v A B C 为速度瞬心，此瞬时，圆轮可看成绕速度瞬心C 做定轴转动。 O 轴转动： 2ω?==R a a n A A 由速度平行四边行中几何关系可得： 3 / 230cos /ω?==R v v A BA 所以：22 2 3 2 2// ω?== = R R v AB v a BA BA n BA 选A 为基点，则B 点加速度: τ ++=BA n BA a a a a A B 将上式向x 轴投影得：n BA a a a n --= 30cos 30cos
二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加 速度αOA =0，θ=60°。图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 解：以A 为基点，根据速度合成定理BA A B v v v +=，对B 进行速度分析, 在速度平行四边形中得： cm /s 30310=?=?===OA v v v oA B A BA ω 选A n B A B A a a a a ++= τ A B 即：n B A B A B n B a a a a a ++=+ττA B 点作加速度矢量图如图。由题可知： 222cm /s 90310=?=?=ωOA a n A 222cm/s 5.3724 30===AB v a BA n BA 22 2cm/s 5.372430===BC v a B n B 将 B 点作加速度矢量式向y 轴投影得： τBA n BA n A n B a a a a +-=- 60cos 30sin 得 ： 2cm /s 75.63 -=τBA a 因此得杆AB 的角加速度：
第八章 刚体的平面运动习题解
第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 2202 1 0C +?=α 02=C 22 1t α?=
2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：
刚体平面运动习题
刚体平面运动习题 第八章刚体平面运动的练习 1.真或假(勾选正确和交叉错误) 8-1。刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。()8-2。平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。()8-3。平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。()()()8-6。瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。()8-7。刚体的平移也是一种平面运动。()2。填空(在横线上写出正确答案) 8-8。在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。8-9。平面图上任意两点的速度在上投影中相等。 8-10。瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。 3.简短回答问题 8-11。确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d) 8-12。如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c) 8-13。下图中O1A和AC的速度分布是否正确？ 8-14。当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度 加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？
蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13 图8-14 8-15。为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题 8-16。椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。 8-17。半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。 yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO 图8-17 8-18。曲柄和连杆机构，称为OA = 40cm厘米，连杆AB = 1m米，曲柄OA绕O轴以N？180转/分钟均匀旋转，如图所示。当曲柄臂与水平线成45度角时，试着找出连杆臂的角速度和中点的速度。 8-19。众所周知，曲柄OA=r，连杆BC=2r，曲柄OA处于均匀角速度ω？4顺时针旋转/秒，如图所示。试着找出图中瞬时点B的速度和连杆BC的角速度。 AMnOBArOB302rCω问题8-18 图8-19 8-20。如图所示，筛选机通过曲柄OA驱动筛BC摆动。众所周知，
第6章刚体的平面运动习题解答080814
第六章 刚体的平面运动 本章要点 一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即 BA A B v v v +=， 其中BA v 的大小为ωAB v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法 速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法 任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。 平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。 面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即 ωCM v M =， 其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领： 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。 2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是
刚体的平面运动作业习题参考答案1
8-1 图示四杆机构1OABO 中，AB B O OA 2 1 1= =；曲柄OA 的角速度s rad /3=ω。求当090=?而曲柄B O 1重合于1OO 的延长线上时，杆AB 和曲柄B O 1的角速度。 参考答案： 因OA 杆作定轴转动，故OA v A ?=ω。AB 杆做平面运动其速度瞬心为O 点， s rad OA v A AB /3=== ωω，而OA OB v AB B ?=?=ωω3， 所以s rad s rad B O OA B O v B B O /2.5/3333111≈==?== ωωω（逆时针） 8-2 四连杆机构中，连杆AB 上固联一块三角板 ABD 。机构由曲柄A O 1带动。已知：曲柄 的角速度s rad A O /21=ω；曲柄cm A O 101=，水平距离cm O O 521=；AD=5cm ,当A O 1铅垂时， AB 平行于21O O ，且AD 与1AO 在同一直线上；角030=?。求三角板ABD 的角速度和D 点的速度。 参考答案：三角板 ABD C ，由此可得： s rad ctg O O AO AO AC v A O A /07.121111=?+?==?ωω s cm CD v D /35.25=?=ω 8-7 如图所示，在振动机构中，筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA 的转速cm OA r n 30min,/40==。当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，090=∠BAO ，求此瞬时筛子BC 的速度。 解：由图示机构知BC 作平行移动，图示位置时，B v 与CBO 夹角为30°， 与AB 夹角为60°。 A v B v A v B v
第3章平面机构的运动分析答案
一、填空题： 1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心； 若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。 4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。 5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－ 1)/2 。
7．铰链四杆机构共有 6 个速度瞬心，其中 3 个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μν表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为：(m/s)/mm 。 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为(m/s2)/mm。 9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 P直接标注在 ij 图上)。
12 三、在图a所示的四杆机构中，l AB=60mm,l CD=90mm，l AD=l BC=120mm，ω2=10rad/s，试用瞬心法求： 1）当φ＝165°时，点C的速度v C；
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0 ω=0 ?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ?=CP CP 0 ，即 θ?r R = ?θr R =， ??r r R A +=（4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ? ? ??? +=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作 平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωA v C A B C v o h θ 习题6－2解图
习题6-6图 习题6-6解图 l ? υ l 2B O 1ωA B A υB υO 1 O AB ωω 解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。 图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆 AD 做瞬时平移。 6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B = 2 1 AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。试求当示。?= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。 解：杆AB 的瞬心在O 3===ωωOA v A AB rad/s ωl v B 3= 2.531===ωωl v B B O rad/s 6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？ 解：如图 333.16 .08 .03.09.0==-=A O v ωrad/s 2.16 89.09.0=?==O O v ωm/s 卷轴向右滚动。 ω ω 习题6-5解图 O O 1 A B C O O 1 A B D v B v v v v B v v P (a (b 习题6-7图
《理论力学》第八章 刚体的平面运动习题解
第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点 的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 22021 0C +?=α 02=C 22 1t α?=
2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：
理论力学课后习题标准答案-第6章--刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄ＯA 带动,沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动,当运动开始时,角速度0ω= 0,转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解:?cos )(r R x A +=?(１） ?sin )(r R y A +=?（2） α为常数,当ｔ = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （３) 起始位置,P 与Ｐ０重合，即起始位置ＡP 水平,记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += (4) 将（３）代入(１）、（2)、（4)得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为: ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα ６-2 杆A Ｂ斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动,如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动,点C 的速度v Ｃ沿杆A Ｂ如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ,点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 6-３ 图示拖车的车轮A 与垫滚Ｂ的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时,轮A 与垫滚Ｂ的角速度A ω与B ω有什么关系?设轮A 和垫滚Ｂ与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解: R v R v A A == ω R v R v B B 22== ω B A ωω2= ６－4 直径为360ｍｍ的滚子在水平面上作纯滚动,杆ＢC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时,滚子的角速度ω＝12 ra ｄ／ｓ，θ=3０?,?=60?，BC ＝２70mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
理论力学练习题
一、判断下列论述是否正确。 1、首尾相接构成一封闭多边形的平面力系是平衡力系。 2、力对物体的作用效果分为外效应（运动效应）和内效应（变形效应），理论力学中主要研究的是力的外效应。 3、根据硬化原理和力的可传性，作用在平衡的刚体系统中的某个刚体上的力可以沿其作用线移到另一个刚体上。 4、如果刚体是静止的，作用其上的力具有可传性；如果刚体作一般运动，作用其上的力就不具有可传性了。 5、平面任意力系向平面内简化所得到的主矢大小一定等于该力系的合力大小。 6、根据力平移定理，可以将一个力分解成一个力和一个力偶。反之一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。 7、根据二力平衡条件（公理），两个大小相等、作用线相同、指向相反的力构成一个平衡力系，因此将他们作用在任何物体上，都不会改变物体的运动。 8、作用在一个物体上有三个力，当这三个力的作用线汇交于一点时，则此力系必然平衡。 9、作用在刚体的八个点上的力满足 11' F F =-， 22' F F =-， 33' F F =-， 44' F F =-，如下图所示，因为力多边形封闭，所以该刚体平衡。
1 F 2F 3F 4 F 2-14' F 2'F 1' F 3' F 10、用解析法求平面汇交力系的合力时，若选用不同的直角坐标系，则所求得的合力不同。 11、力偶只能使刚体转动，而不能使刚体移动。 12、力对于一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。 13、力系的主矢就是合力，力系的主矩就是合力矩。 14、对任何点主矩均不为零的力系可以等效为一个力偶。 15、如果作用在一个刚体上的力系对任何点主矩均不为零，该力系可以等效为一个力偶或一个力螺旋。 16、一个不为零的力对某轴的矩为零，则力的作用线与该轴共面。 17、作用在任意质点系上的两个力系等效的充分必要条件是主矢相等和对同一点的主矩相等。 18、作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 19、刚体平衡的充分必要条件是作用其上的力系的主矢和对同一点的主矩等零。 20、若平面汇交力系构成首尾相接、封闭的力多边形，则合力必然为零。
理论力学第八章_刚体的平面运动习题解
→ 1 v 第八章刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω ０ 绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t ω ?- =（顺时针转为负）。 [习题8-2]半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为 Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０， 转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。 解： 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的 连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC=， → A v， → B v 求证：) ( 2 1→ → → + = B A C v v v 证明： ) ( 2 1 ) ( 2 1 2 1→ → → → → → → → → → + = - + = ? + = + = B A A B A AB A CA A C v v v v v AB v v v vω。本题得证。 [习题8-4] 两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同：ｖ 1 ＝６ｍ／ｓ，ｖ ２ ＝２ｍ／ｓ。齿条之间夹有一半径ｒ＝０.5ｍ的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心Ｏ的速度。 解： 运动分析如图所示。其中，I为速度瞬心。 ) / (4 2 4 2 1 s m v= + ? =（齿轮中心O的速度，方向如图所示。）齿轮的角速度为： [习题8-5] 用具有两个不同直径的鼓轮组成的铰车来提升设ＢＥ∥ 1文档来源为:从网络收集整理.word
理论力学-刚体平面运动的习题
共 2 页 第 1 页 二、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ，AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。（18分） 解：（1）速度分析及计算：AB 杆和圆轮作平面运动，选A 为基点 BA A B v v v += OA 杆绕O 轴转动：ω?=R v A AB=2R ，圆轮半径为R ，所以杆AB 与水平面夹角为30 ° 速度平行四边行如图。由图中几何关系可得： 3/330tan ω?==R v v A B C 为速度瞬心，此瞬时，圆轮可看成绕速度瞬心C 做定轴转动。 O 轴转动： 2ω?==R a a n A A 由速度平行四边行中几何关系可得： 3 / 230cos /ω?==R v v A BA 所以：222 3 2 2//ω?== = R R v AB v a BA BA n BA 选A 为基点，则B 点加速度: τ ++=BA n BA a a a a A B 将上式向x 轴投影得：n BA a a a n --= 30cos 30cos 三、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 解：以A 为基点，根据速度合成定理BA A B v v v +=，对B 进行速度分析, 在速度平行四边形中得： cm/s 30310=?=?===OA v v v oA B A B A ω 选A
第2章 刚体的平面运动—习题2-19
2-19 在图示平面系统中，等边三角形薄板ABD 在顶点A 、B 处分别与可绕轴O 1、O 2转动的直杆O 1A 、O 2B 铰接，已知O 1A = AB = O 2B = l ，杆O 1A 转动的角速度0ω= 常数，转向为逆时针，试求图示位置，三角板中心C 的速度和加速度。（习题难度：中） 解： (1) 运动分析：杆O 1A 、O 2B 作定轴转动；三角板ABD 作平面运动。 (2) 速度分析：如图(a)所示 杆O 1A ：001ωωl A O v A =?= (三角板ABD ： 0022 ωω ω===l l PA v A ABD 2)2331(ωω??=?=l PC v ABD C 02)2 3 ( ωω?=?=l PB v ABD B =杆O 2B ：B O v B B O 22ω== 题2-19图 题2-19图(a) ABD
(3) 加速度分析：如图(b)所示 t n t n t n BA BA A A B B a a a a a a + ++ = + 大小 22 B O l ω B O l 2α? 2 0ωl 0 2A B D l ω A B D l α? 方向 ↓ ← ← A B → BA ⊥ 沿y 轴投影得到 30sin 30cos t n n BA BA B a a a -=- ? 2 1 23)2()3(2020?-? =-ABD l l l αωω ? 2 )323(2ωα+=ABD （逆时针） t n n CA A C a a a a + + = 大小 ? 20 ωl 2ABD AC ω ? ABD AC 方向 ? ← A C → AC ⊥ 沿x 轴投影得到 30sin 30cos t n n CA CA A Cx a a a a ---=2 1 23220 ??-??--=ABD ABD AC AC l αωω 2 1)323(2)2332(23)2()2332(202020?+??-???--=ωωωl l l 沿y 轴投影得到 30cos 30sin t n CA CA Cy a a a -=2 3)323(2)2332(21)2()2332(2020?+??-???=ωωl l 题2-19图(b) D
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