双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
一．知识点：
焦点位置 在x 轴上 在y 轴上
备注
形 状
标 准方 程 22
22-1x y a b
=（a>0. b>0） 22
22
--1x y b a =（a>0，b>0）
焦 点 1F （-c,0） 2F （c,0） 1F （0,-c ） 2F （0,c ） 顶 点
（±a,0）（0,±b ）
（±b,0） （0,±a ）
焦 距 2c 2c 实轴 长 2a 2a 虚轴 长 2b 2b A,b,c,之间的关系 c 2=a 2+b 2
c 2=a 2+b 2
范 围 x ≥a y ∈R |y|≥b x ∈R
离 心 率 e=a
c
=221a b + e>1
e=a
c
=221a b + e>1
对 称 性 关于x,y 轴轴对称 关于原
点中心对称。
关于x,y 轴轴对称 关于原点中心
对称。 焦半径 p （x 0,y 0）在椭圆上 1PF =a+ex 0
2PF =a －ex 0
1PF =a+ey 0 2PF =a －ey 0
过焦点的弦长AB （A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）） 过左焦点的弦长 |AB|=2a+ e （x 1+x 2） 过右焦点的弦长 |AB|=2a －e （x 1+x 2）
过下焦点的弦长 |AB|=2a+ e （y 1+y 2） 过上焦点的弦长 |AB|=2a －e （y 1+y 2）
通径 2
2b a 2
2b a
通径端点的坐标
（c,2b a ±），（c,2
b a
±）
焦三角形的面积 S ?=2tan 2b θ P 在椭圆上∠1F P 2F =? S ?=2
tan
2
b θ
P 在椭 圆上∠1F P 2F =?
y x 0
x
y y
x 0
x
y
特殊的双曲线： 1.、共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线, 则
(1)双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的共轭双曲线方程22
221(00)y x a b b a
-=>>，
即把双曲线方程中的常数项1改为-1就得到了它的共轭双曲线方程。
(2)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;
(3)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点共圆.2
212
111e e +=
（4）设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的共轭双曲线方程22
221(00)y x a b b a
-=>>，的
离心率分别为1e 、2e ，则
11
12
1=+e e
2.等轴双曲线
我们把实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线
性质一等轴双曲线22221(0)x y a a a -=>的渐近线方程为y x =±,离心率为2
2
e =.
性质二 等轴双曲线上关于实轴对称的两点分别与此双曲线两个顶点的连线互相垂直。
性质三 等轴双曲线上一点张直角之弦平行于过此点的法线。 性质四 过等轴双曲线上任意一点的法线截实轴、虚轴所得线段中点的轨迹是此等轴双曲线
求弦AB 的长的公式
|AB|=
()()
22
1212x x y y -+-
=
22
1212
1-4x k x x x ++（）=
2121221
1()4y y y y k
+
+-
|AB|=()()
22
1212x x y y -+-
=22
12121-4x k x x x ++（）
=2
12122
11()4y y y y k
+
+-
点差法：
（A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2））
是椭圆上的
点P （x,y ）
是AB 的中点 x 1,≠x 2时
()()22121
22121y b x x y x x a y y --=--- K AB =0202y a x b
x 1,≠x 2时
()()
22121
2
2121y b x x y x x a y y --=--- K AB =2020
b x a y -
本身。
性质五等轴双曲线中通过焦点且平行于一对共轭直径的两条弦彼此相等。
性质六若等轴双曲线经过直角三角形的三个顶点，则直角顶点处的切线垂直于斜边。性质七若等轴双曲线经过一个三角形的三个顶点，则它也经过此三角形的垂心。
题型一：双曲线性质的考察1．填写下表
曲线
类型
曲线方程范
围焦
点
坐
标
顶
点
坐
标
实
轴
长
虚
轴
长
离
心
率
通
径
渐近
线
方程
焦点
到渐
近线
距离
顶点
到渐
近线
距离
双曲线
1
4
9
2
2
=
-
y
x
2
3
4
2
2
=
-
x
y
1
6
8
2
2
=
-
x
y
1
4
92
2=
-y
x
1
3
3
2
2
=
+
x
y
1
1
22
2
2
=
+
-
n
x
y
1
1
2
2
2
=
+
-
n
x
n
y
椭圆
2
3
4
2
2
=
+
x
y
1
5
62
2=
+y
x
1
3
3
2
2
=
+
x
y
直线
1
3
2
= -
x
y
1
4
5
= +
x
y
题型二：与双曲线相关的线段
1.求双曲线22mx ny mn -=的半实轴长，半虚轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标和渐近线方程
2.双曲线221mx ny +=的虚轴长是实轴长的二倍，则m 的值为（ ）
题型三：与双曲线的范围相关问题
2.若x 、y 满足椭圆2
212
x y -=，则22+2x y x +的最小值 答案：7,3??+∞????
4.若直线y=x+b 与曲线2
12
x y =
-有两个交点，求b 的取值范围。 答案：12,2
??--???
?
题型四：双曲线的离心率问题 1.下列双曲线中离心率为
6
2
的是 A.
22124x y -= B.22142x y -= C.22146x y -= D.22
1410
x y -= 2.双曲线的渐近线为y ＝±3
4
x ，则双曲线的离心率是________．
3.若双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )
A ．2 B. 3 C.32
D ．1
4.已知双曲线()22
2210x y b a a b
-=>>的半焦距为c ，直线l 过点(),0A a 、()0,B b 两点，
且原点到直线l 的距离为
3
4
c ，双曲线的离心率（ ）。 5.双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B, 如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
A.2;
B.3;
C.
312+; D.51
2
+.
6.过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，
B ，若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线
C 的离心率为________．
题型五：由双曲线的性质确定双线的曲线的方程问题 求满足下列条件的双曲线的标准方程 (1).虚轴长为12，离心率为5
4
；
(2).顶点间的距离为6，渐近线方程为y ＝±3
2x ；
(3).过点M (2，－2)与x 22－y 2
＝1有公共渐近线．
（4).焦点是（-4,0）（4,0）过点（2,0）； (5).渐近线方程为230x y ±=且过点
(
)
6,0；
（6）.已知F 1、F 2是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于x
轴的双曲线的弦，如果290PF Q ∠=求双曲线的方程。
（7）.已知双曲线的焦点在原点，对称轴为坐标轴，且过点（3，-1），一条渐近线与直线3x-y=10
平行，求双曲线的标准方程
（8）.双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为________．
题型六：综合应用 1.中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1、F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两条曲线的方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．