巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/968638308.html,

巧用基底法和坐标法解决平面向量数量积问题

作者：顾俊华

来源：《教育教学论坛》2013年第23期

摘要：本文主要介绍了在求平面向量数量积时的两种常用的方法：基底法和坐标法，对这两种方法的使用条件做了适当的阐述，并通过对比对这两种方法之间的差异和联系进行了适当的分析.

关键词：数量积；基底法；坐标法

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）23-0084-02

平面向量在高考中占有非常重要的地位，它不仅可以单独命题，也可以与函数、方程、不等式、三角函数以及解析几何相结合来考查，充分体现了平面向量作为一种工具在教材中的突出地位.而数量积作为平面向量的核心内容也就成为了各类考试的必出题.

我们知道数量积ab在知道两个向量的模和夹角时只需利用其定义∣a∣∣b∣cos来求，或者在知道两个向量的坐标a=（x1，y1），b=（x2，y2），时可用坐标公式ab=x1x2+y1y2来求即可，但是很多问题中要求数量积的两个向量并不具备上述条件，比如：

例1：在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是BC上一点，CD=2BD，则？摇■·■=？摇？摇

分析：该题直接用定义■·■=∣■∣·∣■∣cos∠ADC求解虽说可行，但运算烦琐.我们换个角

度考虑，题中已知两向量■和■的模和夹角，意味着它们的数量积值很容易求，因此如能用这

两个向量作为基底表示■和■，进而转化成基底之间的数量积运算（可称之为基底法），那么

这道题就容易解决了.解法如下：

解：■·■=（■+■）·（■-■）

=（■+■■）·（■-■）

=（■■+■■）·（■-■）

=■■2+■■·■-■■2=-■

其实很多能用基底法解决的数量积问题如果能够合理建系，利用坐标求数量积（可称之为坐标法），也不失为一种好办法.解答如下：