高等数学二重点题目

1求曲面e^x-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。

解：∵e^x-z+xy=3==>z=e^x+xy-3

==>αz/αx│(2,1,0)=e2+1，αz/αy│(2,1,0)=2

∴在点(2,1,0)处切平面的法向量是(e2+1,2,-1)

故所求切平面是(e2+1)(x-2)+2(y-1)-(z-0)=0，即(e2+1)x+2y-z=2(e2+2) 所求法线方程是(x-2)/(e2+1)=(y-1)/2=z/(-1)

只要求曲面在那一点的法向量就行

f(x,y,z)=e^z-z+xy

▽f(x,y,z)=(y,x,e^z-1)

▽f(2,1,0)=(1,2,0)

则平面方程设为1x+2y=a

再把(2,1,0)代入平面

2+2=a=4

则平面是x+2y=4

2函数z=ln(1+x^2+y^2) 当x=1,y=2时的全微分为

z=ln(1+x^2+y^2)

dz/dx=1/(1+x^2+y^2)*2x=1/(1+1^2+2^2)*2*1=1/3

dz/dy=1/(1+x^2+y^2)*2y=1/(1+1^2+2^2)*2*2=2/3

函数z=ln(1+x^2+y^2) 当x=1,y=2时的全微分为

dz=(dx+2dy)/3

10求球面x2+y2+z2=9在点(1,2,-2)的切平面及法线方程

球心（0，0，0），因此切平面法向量为（1，2，-2），

又切平面过（1，2，-2），因此切平面方程为1*(x-1)+2*(y-2)-2*(z+2)=0 ，

化简得x+2y-2z-9=0 。

由于直线方向向量为（1，2，-2），

所以法线方程为x-1=(y-2)/2=(z+2)/(-2) 。

求球面X^2+Y^2+Z^2=21在点(1,2,4)处的法线方程及切平面方程求解题过程

法线即圆心和该点的连线

∴为(x-0)/1=(y-0)/2=(z-0)/4

即x=y/2=z/4

其法向量为(1,2,4)

切平面上的任意两点的连线都应与法向量垂直

设切平面是ax+by+cz=C

设面上两点分别为(x1,y1)(x2,y2)

则ax1+by1+cz1=C

ax2+by2+cz2=C

两式相减得：

a(x1-x2)+b(y1-y2)+c(z1-z2)=0

左边正好是向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)的形式

∴向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是垂直的

由于(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是任取的，所以向量(a,b,c)只能为法向量

∴a=1，b=2，c=4

∴其切平面则应为x+2y+4z=C

解出C=21

∴切平面为x+2y+4z=21

14交换下列积分次序1 ∫（积分限0到1）dx∫(积分限x的平方到x）f(x,y)dy 解：原式=∫(0,1)dy∫(√y,y)f(x,y)dx。

交换积分次序,∫(上限2,下限0)dy∫(上限2y,下限y^2)f(x,y)dx

|(上限4，下限2) dx |（上限2，下限x/2）f()dy

15∫ ∫(D)sinx/xdxdy,其中D是由直线y=0,y=x及x=1围成计算二重积分

∫D∫xsiny/xdxdy

=∫[0,1]∫[0,x]xsiny/xdxdy

=∫[0,1]∫[0,x]x^2siny/xd(y/x)dx

=∫[0,1]x^2(-cos(y/x))[0,x]dx

=∫[0,1]x^2(1-cos1)dx

=x^3/3(1-cos1)[0,1]

=(1-cos1)/3

I=重积分sinX/Xdxdy 其中D是由直线y=x 和y=x^2围成的闭区域显然被积函数关于x不可积，故肯定要先对y积分

I=∫（0,1)∫(x^2,x)sinx/xdydx

=∫(0,1)(sinx/x)(y)(x^2,x)dx

=∫(0,1)xsinx+sinxdx

下面就简单了。

（）内为积分上下限

∫∫*D+sinx/xdxdy

=∫(0,1)dx∫(x,x^2)sinx/xdy

=∫(0,1)(x-1)sinxdx

=[sinx-xcosx+cosx]|(0,1)

=sin1-1

求二重积分∫∫sinx/x dxdy, D:y=x,y=x/2,x=2所围区域

∫∫e^(-y^2)dxdy,其中D是由x=0，y=x，y=2所围成的闭区域。求解D的顶点是：(0，0)、(0，2)、(2，2)

∫∫ e^(-y2) dxdy，Y型区域

= ∫(0~2) ∫(0~y) e^(-y2) dxdy

= ∫(0~2) ye^(-y2) dy

= (-1/2)∫(0~2) e^(-y2) d(-y2)

= (-1/2) ? *e^(-y2)] |(0~2)

= (-1/2) ? *e^(-4) - 1]

= (-1/2) ? (1/e′ - 1)

= 1/2 - 1/(2e′) ≈ 0.49084

计算∫∫e^(-y^2)dxdy 其中D是由y=x, y=1及y轴所围成的区域

先对x积分在对y积分

∫∫e^(-y^2)dxdy

=∫(0,1)*∫(0,y)e^(-y^2)dx]dy

=∫(0,1)ye^(-y^2)dy

=-1/2 ∫(0,1)e^(-y^2)d(-y^2)

=-e(-y^2)/2|(0,1)

=(1-1/e)/2

二重积分∫∫√x2+y2dxdy D:x2＋y2≤a2

x=rcost,y=rsint

那么

∫∫√x2+y2dxdy D:x2＋y2≤a2

=∫∫r√(rcost)2+(rsint)2drdt D:0≤r≤a，0≤t≤2π

=∫∫r*rdrdt

=∫∫r2drdt

=∫r2dr *∫dt D:0≤r≤a，0≤t≤2π

=r3/3（从0到a）* t（从0到2π）

=a3/3*2π

=2πa3/3

算三重积分∫∫∫(x^2+y^2)^(-0.5)dv，其中V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=(x^2+ y^2)/3所围成的立体。要用极坐标，答案5*3^(0.5)/pi

应该是柱坐标吧，极坐标是对于二位图形的。

V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=(x^2+y^2)/3所围成的立体，也就是上面是球面，下面是抛物面。故z的范围为(x^2+y^2)/3≤z≤√（4-x^2-y^2），上半个球面z大于0.

化为柱坐标为(ρ^2)/3≤z≤√(4-ρ^2)

x^2+y^2+z^2=4与z=(x^2+y^2)/3的交平面为z=1，x^2+y^2=3

故将图形投影至XOY平面，图形是ρ=x^2+y^2=3

所以ρ，θ的范围为：0≤ρ≤√3,0≤θ≤2π

dV=ρdρdθdz

故积分化为

I=∫∫∫(x^2+y^2)^(-0.5)dv

=∫∫∫(1/ρ)ρdρdθdz

2π √3 √(4-ρ^2)

=∫ dθ ∫ dρ∫ dz

0 0 (ρ^2)/3

√3

=2π*∫ [√(4-ρ^2)- (ρ^2)/3]dρ

=2π（2π/3+√3/6）

计算∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz Ω是由曲面z=x^2+y^2及平面z=4所围成的闭区域

直接上柱面极坐标

x=rcosθ，y=rsinθ

原积分=∫∫∫r^2 rdrdθdz

=∫(0->2π)dθ ∫(0->2) r^3dr ∫(r^2->4)dz

=32π/3

计算三重积分∫∫∫（x^2+y^2）dxdydz其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域.

选用柱坐标系：0≤θ≤2Pi,0≤r≤2,r^2/2≤z≤2

原式=∫dθ∫dr∫r^3dz=∫dθ∫r^3(2-r^2/2)dr

=2Pi*(r^4/2-r^6/12)|r=2

=16Pi/3

已知L为x2+y2=1在第二象限部分的曲线弧,则∫(x2+y2)ds

：∵x2+y2=1 ==>y=√(1-x2)

==>y'=-x/√(1-x2)

∴ds=√(1+y'2)dx=dx/√(1-x2)

故原式=∫<-1,0>dx/√(1-x2)

=∫<-π/2,0>dt (令x=sint)

=π/2。

求L=∫（x^2+2xy)dx-(x^2+y^2siny)dy,其中L是抛物线y=x^2从点A(-1,1)到点B（1，1）的一段弧。

补线段L1：y=1，x：1→-1，

这样L+L1为封闭曲线，所围区域是D

∮(L+L1) （x2+2xy)dx-(x2+y2siny)dy

格林公式

=∫∫ (2x+2x) dxdy 积分区域为D

=0

由于积分区域关于y轴对称，且被积函数关于x是奇函数，所以积分为0

下面算L1上的积分

∫(L1)（x^2+2xy)dx-(x^2+y^2siny)dy

=∫ *1→-1] (x2+2x)dx

=-2/3

因此原积分=0-(-2/3)=2/3

计算∫L(e^xsiny-3y)dx+(e^xcosy+x)dy，其中L是由点(0,0)到点(0,2)x^2+y^2=2y的右半圆周解：(e^xsiny-3y)对y求导得：e^xcosy-3

(e^xcosy+x)对x求到得：e^xcosy+1

考虑L1：（0,2）到（0.0）的直线段，则L和L1构成封闭曲线，逆时针方向，所围区域为D 由格林公式：∫L+L1=∫∫D（1-（-3））dxdy=4*1/2*π=2π

所以：∫L=2π-∫L1，在L1：（0,2）到（0.0）的直线段上，x=0，

故：∫L=2π+∫*0,2+cosydy=2π+sin2

∫L（e∧xsiny-2y+1）dx+（e∧xcosy+3y）dy,其中L是由点A（2，0）到点（0，0）的上半圆周x∧2+y∧2＝2x

证明锥面z=2√x^2+y^2被柱面x^+y^=2x所截得的有限部分的面积为√5π

可以用曲面积分来求。

因为曲面是锥面z=2√x^2+y^2的一部分。

满足z'x=2x/√x^2+y^2, z'y=2y/√x^2+y^2

设∑表示x^2+y^2=2x所围成的圆域，S∑表示这个圆的面积。

所求曲面的面积

S=∫∫ds=∫∫∑√*1+(z'x)^2+(z'y)^2] dxdy

=√5 (∫∫∑ dxdy)

=√5(S∑)

=√5π

求锥面z=根号(x^2+y^2)被圆柱面x^2+y^2=2x割下部分的曲面面积(是曲面积分)，求详细答案

对于z=f(x,y)，曲面面积为

A=∫∫D dA=∫∫D √*1+(?f/?x)2+(?f/?y)2]dxdy

锥面z=√(x2+y2)被圆柱面x2+y2=2x所割

则积分区域D为：0≤x≤2，-√(2x-x2)≤y≤√(2x-x2)

化为极坐标为：0≤θ≤2π，0≤r≤2cosθ

锥面方程为：z=r；柱面方程为：r=2cosθ

?f/?x=x/r=cosθ，?f/?y=y/r=si nθ

(?f/?x)2+(?f/?y)2=cos2θ+sin2θ=1

∴A=∫∫D √[1+(?f/?x)2+(?f/?y)2]dxdy

=∫∫D √*1+1+ rdrdθ

=√2∫<0,2π>*∫<0,2cosθ>rdr+dθ

=√2∫<0,2π>*<0,2cosθ>r^2/2+dθ

=√2∫<0,2π>*2cos2θ+dθ

=√2∫<0,2π>*1+cos2θ+dθ

=√2/2∫<0,2π>*1+cos2θ+d(2θ)

=√2/2*<0,2π>(2θ+sin2θ)+

=√2/2*4π-0]

=2√2π

锥面z^2=x^2+y^2被圆柱面x^2+y^2=2ax所截部分的曲面面积

解：∵锥面z2=x2+y2被圆柱面x2+y2=2ax所截

∴所截部分的曲面面积在xy平面上的投影是D：x2+y2=2ax

∵αz/αx=x/√(x2+y2)，αz/αy=y/√(x2+y2)

∴dS=√[1+(αz/αx)2+(αz/αy)2]dxdy=√2dxdy

故所截部分的曲面面积=2∫∫√2dxdy

=2√2∫∫dxdy

=2√2*πa2。

求幂级数x^(n+1)/n收敛区间和和函数

ρ=lim(n->∞)|*1/(n+1)+/(1/n)|=lim(n->∞)|n/(1+n)|=1 收敛半径是R=1/ρ=1

当x=1时∑*x^(n+1)+/n=∑1/n 级数发散

当x=-1时∑*x^(n+1)+/n=∑*(-1)^(n+1)/n] 级数收敛

所以幂级数∑x^(n+1)/n的收敛区间是[-1,1)

令S(x)=∑x^(n+1)/n=x∑(x^n)/n=-xln(1-x) (-1<=x<1)

求幂级数∑(∞ n=1) x^n/n 的收敛域和函数

显然由比值审敛法易知其收敛域为(-1,1)

∑(n+1)/n(x^n)=∑(1+1/n)*x^n=∑x^n+∑(1/n)*x^n=x/(1-x)+∑(1/n)*x^n

令f(x)=∑(1/n)*x^n

则f′(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)

所以f(x)=∫(上x,下0)1/(1-x) dx =-ln(1-x)

所以

∑(n+1)/n(x^n)=x/(1-x)-ln(1-x)

求幂级数∑(∞,n=1)n(n+1)x^n的在其收敛域的和函数

后项比前项的绝对值的极限=|x|

收敛域：|x|<1

级数∑(n=1,∞)x^(n+1)=x^2/(1-x)=-1-x+1/(1-x)

两边求导：∑(n=1,∞)(n+1)x^(n)=x^2/(1-x)=-1+1/(1-x)^2

再求导：∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n-1)=x^2/(1-x)=2/(1-x)^3

所以：∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n)=2x/(1-x)^3 |x|<1

追问

麻烦再问一下，答案第三行级数∑(n=1,∞)x^(n+1)为什么等于x^2/(1-x)？？？？回答

首项x^2 ，公比x的等比级数求和

求对面积曲面积分：∫∫(x+y+z)dS ∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2上z≥h(0

法如下：重积分的基础是定积分，要善于利用积分区域的对称性，奇偶性简化计算，用普通坐标运算，（x+y）部分其实分别是xy的奇函数，积分结果等于0

计算曲面积分∫∫(x^2+y^2+z^2）ds，其中∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2(a>0）

不用那么麻烦

把曲面公式代入被积函数中

∫∫(x^2+y^2+z^2）ds=∫∫a^2ds=(a^2)*4πa^2=4πa^4

追问

但答案是8πa^4

回答

答案是4πa^4，我用不同的方法算了一遍，请看：

被积函数x^2+y^2+z^2关于z是偶函数，而且被积曲面关于xOy平面对称

故∫∫[∑](x2+y2+z2)ds=2∫∫[∑1](x2+y2+z2)ds ∑1是上半球面

原式=2∫∫[D](x2+y2+z2)√[1+(?z/?x)2+(?z/?y)2]dσ D是∑1在xOy平面投影（?z/?x用-(?F/?x)/(?F/?z)求.）

原式=2∫∫[D](x2+y2+(a2-x2-y2))√(1+x2/z2+y2/z2)dσ

=2∫∫[D] a2√(a2/(a2-x2-y2)dσ

化为极坐标

=2*2π*∫[0->a] a2√(a2/(a2-r2)rdr

=-2πa3∫[0->a] 1/√(a2-r2)d(a2-r2)

=-2πa3[2√(a2-r2)] | [0->a]

=4πa^4

应该是答案错了

求曲面积分∮∫x2ydzdx+z2xdydz+y2zdxdy,其中∑为x2+y2=1.z=x2+y2与z=0所围成的封闭曲面的外侧,

Gauss公式。

?P/?x + ?Q/?y + ?R/?z = 1 + 1 + 2z - 2 = 2z

∫∫Σ xdydz + ydzdx + (z2 - 2z)dxdy

= ∫∫∫Ω 2z dxdydz

= 2∫(0→1) z dz ∫∫Dz dxdy

= 2∫(0→1) z * πz2 dz

= 2π * (1/4)* z′ +|(0→1)

= 2π * (1/4)

= π/2

普通方法。Σ?：z = √(x2 + y2)下侧、Σ?：z = 1上侧

∫∫Σ xdydz + ydzdx + (z2 - 2z)dxdy

= ∫∫Σ? xdydz + ydzdx + (z2 - 2z)dxdy + ∫∫Σ? xdydz + ydzdx + (z2 - 2z)dxdy

= - ∫∫D (- P * ?z/?x - Q * ?z/?y + R) dxdy + ∫∫D (1 - 2) dxdy

= - ∫∫D *- x * x/√(x2 + y2) - y * y/√(x2 + y2) + (z2 - 2z)] dxdy - ∫∫D dxdy

= - ∫∫D *- x2/√(x2 + y2) - y2/√(x2 + y2) + (x2 + y2) - 2√(x2 + y2)+ dxdy - π(1)2

= - ∫∫D *x2 + y2 - 3√(x2 + y2)+ dxdy - π

= - ∫(0→2π) dθ ∫(0→1) (r2 - 3r)r dr - π

= - 2π * *1/4 * r′ - r3+|(0→1) - π

= - 2π * (1/4 - 1) - π

= π/2

∮∮(下标∑）(xdydz+ydzdx+zdxdy)，其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2的外侧．

用Gauss公式:

∮∮(下标∑）(xdydz+ydzdx+zdxdy)

=∫∫∫【x^2+y^2+z^2<=R^2】3dV

=3∫∫∫【x^2+y^2+z^2<=R^2】dV

=4πR3

计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy，其中S是旋转抛物面z=(x^2+y^2)/2介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧。

用第二类曲面积分做。

2011-2-7

【最佳答案】

加个盖子S1：x2+y2≤4的上侧.

S1和S构成封闭曲面的外侧.

对S1+S应用GAUSS，有

∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫0dv=0.

S1+SΩ

盖子S1的曲面积分中，dz=0,z=2,故

∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=-2∫∫dxdy=-8π.

S1Dxy

∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=0-(-8π)=8π.

计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy其中积分面为z=1/2(x^2+y^2）介于z=0，和z=2之间部分下侧

不要用两类曲面积分间关系转化为第一类曲面积分做，就直接按第二类曲面积分算下，谢谢本题最简单的方法是高斯公式

补Σ1：z=2，x2+y2≤4，上侧

则两曲面加起来为封闭曲面，由Gauss公式

∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy=∫∫∫(1-1)dxdydz=0

因此原积分与Σ1上的积分互为相反数

原式=-∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy积分曲面为Σ1：z=2，x2+y2≤4上侧

=-∫∫-2dxdy

=2∫∫1dxdy

被积函数为1，积分结果为区域面积：π*22

=8π

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

大学高等数学下考试题库(附答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（ ）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（ ）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中2 2224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

高等数学试题及答案91398

《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

大学高等数学第一册考试试题+答案

一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 .

关于大学高等数学期末考试试题与答案

关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020

（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、

5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x

高等数学试题及答案(广东工业大学)

《高等数学-广东工业大学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

大一高等数学试题及答案

期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

中南大学高等数学答案

中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案 高等数学(专科) 一、填空题： 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 。 解：),2[]2,(∞+--∞ 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f 。 解：62 -x 3.sin lim x x x x →∞-= 。 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知，024=++b a ，得42--=a b ， 又由234 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x ，∴0,1a b =≠ 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7.设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n +

高数练习题及答案

高等数学（下）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ?? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交 （2）设是由方程2222xyz x y z + ++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（ ） A.dx dy + B.2dx dy + C.22dx dy + D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面2 2 2 425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A. 225 30 d r dr dz πθ? ?? B. 245 30 d r dr dz πθ? ?? C. 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ?? D. 22 5 2 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数 ，则其收敛半径 （ ） A. 2 B. 1 C. 1 2 D. 2 （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（ ） A. B.()x ax b xe + C.()x ax b ce ++ D.()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??， z y ?? 3、 设 22 {(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 得分 阅卷人

(完整版)高等数学测试题及答案.docx

高等数学测试试题 一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （ ） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （ ） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （ ） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （ ） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （ ） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（ ） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （ ） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（ ） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（ ） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（ ） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（ ） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （ ） h 0 f ( h) f (0) 2

《高等数学》题库及答案

《高等数学（一）》题库及答案 一、求下列函数的定义域 （1）x y cos =； （2）)1ln(+=x y 。 （1）;11x y -= 二、用区间表示变量的变化范围： (1)6≤x ； (2)1)1(2≤-x (3）41≤+x ； 三、求下列极限 (1)x x x x 3)1(lim +∞→； (2)h x h x h 2 20)(lim -+→； (3）n n n 1lim 2+∞→ (4)211lim(2)x x x →∞-+; (5)x x x arctan lim ∞→; (6)x x x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6)12)(2)(1(lim 3n n n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0x x x → (9）1 45lim 1---→x x x x (10）)13(lim 3 n n +∞→； (11）55sin()lim sin x x x →∞；

(12）0tan 3lim x x x →； 四、求下列函数的微分： （1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）； （2）)3cos(x e y x -=- 五、求下列函数的导数 (1）54323-+-=x x x y ； (2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=； (4);cos ln x y = (5)x x y ln = ; (6)x y 211+=; (7);)7(5+=x y (8)21x e y +=； (9)3.1x y =； (10))1ln(2x y +=； (11)4)52(+=x y ； (12）)ln(ln x y =； 六、求下列函数的二阶导数 （1）)1ln(x y +=； （2）x e x y 22=。 （3）x y sin =； 七、求下列不定积分 (1）x dx ?； (2）xdx 2cos ?； (3）x dx +?1； (4)xdx 3sin ;

大学高数试卷及标准答案

. 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题

A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x

高等数学试题及答案

《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学试题及答案

一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝_____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａn发散，则级数∑ ａn_______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，

１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ １１１ ①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘ ｘｘ１－ｘ １ ２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（） ｘ ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量 ３．下列说法正确的是（） ①若ｆ（X ）在X＝Xo连续，则ｆ（X ）在X＝Xo可导 ②若ｆ（X ）在X＝Xo不可导，则ｆ（X ）在X＝Xo不连续 ③若ｆ（X ）在X＝Xo不可微，则ｆ（X ）在X＝Xo极限不存在 ④若ｆ（X ）在X＝Xo不连续，则ｆ（X ）在X＝Xo不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ） 内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（） ①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧 ５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（） ① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ ｄｄ ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘ ｄｘｄｘ 1 ６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（） -1 ① ０② １③ ２④ ３

高等数学试卷及答案(一)

浙江师范大学《高等数学（一）》（上册）考试卷 考试类别 闭 卷 使用学生 考试时间 120 分钟 出卷时间 2006 年 2 月 22日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理 一、 选择题（每小题1分，共6分）。 1. 设函数552()6kx f x x -=+，且1 lim ()3 x f x →∞=，则=k （ ） A ． 12 B ．12- C ． 1 3 D ． 3 2. 设(0)0f =，(0)3f '=，则当0x →时，()f x 是x 的 （ ） A ．低阶无穷小量 B 同阶无穷小量 C ．高阶无穷小量 D ．等价无穷小量 3. 函数cos y x x =-在(),-∞+∞上（ ） A ．单调减少 B ．单调增加 C ．为奇函数 D ．为偶函数 4. 设()2sin ()x f x '=，则()d f x x =?（ ） A. 2sin x C + B. 22cos x x C + C. 2cos x C + D. 2cos x C -+ 5. 若()f x 4x -=，0()()d x x f t t Φ=?，则 d [()]d x x Φ=（ ） A. 5 4x -- B. 5 4x - C. 4 x - D. 3 3 x -- 6. 设函数f()sin 3x x kx =+，且1 f ()2 π'=，则=k （ ） A ． 52- B ．12 C ．32 D ．72

二、 填空题（每小题2分，共16分） 1. 若3lim 1+e x x k x →∞ ?? = ??? ，则=k ① . 2. 曲线sin 2y x =在点(0,0)处的切线的方程是. ② . 3. 设()f x 为e x -的一个原函数，则()f x '= ③ . 4. 函数2sin y x =，则 d y = ④ . 5. 若 2arctan y x =，则(1)y ' ⑤ . 6. 2 2e d x x x ? ⑥ 7. 曲线323y x =+的拐点为 ⑦ . 8. 2d a a x x -? = ⑧ 三、 计算题（每小题10分，共60分） 1.求1 7lim( )1 x x x x -→∞ ++ 2.已知隐函数()y y x =由方程22y x y x +=确定，求d d y x . 3.计算定积分2π 0cos d x x x ?. 4.已知参数方程2cos x t y t ?=?=?，求导数d d y x 和22d d y x . 5.设0,1()1,1x f x x x ≤??=?>??，求2 0()d f x x ? 6.求()e x f x x -=在区间[]0,3上的最大值和最小值。 四、 证明题（8分） 设()f x 为可导的偶函数，求证()f x '为奇函数. 五、 应用题（10分） 求由抛物线 25y x =-与直线3x y +=所围图形的面积.

大学一级高等数学试题及答案

期 末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分221 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、 微 分 方 程 222()()0 y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为

大学高等数学上考试题库(附答案)

))))))))) 3?曲线y = xln x 的平行于直线x - y T = 0的切线方程为( (A) y =x -1 (B ) y =—(x 1) 4?设函数f x =|x|，则函数在点X=0处( ) 5 .点x = 0是函数y = x 4的( ) 1 6. 曲线y 的渐近线情况是( ). |x| (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. f — _2dx 的结果是( ). l x /X f 1 L f 1 L CL f 1 L (A ) f 一丄 C (B ) -f 一丄 C (C ) f 1 C ( D ) -f - C I X 丿 I x 丿 l x 丿 J x 丿 dx & 匚出的结果是( ). e e (A ) arctane x C (B ) arctane" C (C ) e x C ( D ) ln(e x e^) C 9.下列定积分为零的是( ). 《高数》试卷1 ?选择题(将答案代号填入括号内，每题 3分，共 (上) 30 分). 1 ?下列各组函数中，是相同的函数的是 (A) f x = In (C ) f x =x x 2 和 g(x) = 2ln X (B ) f ( x ) =| x|和 g (x )=P 和 g (x ) =(V X ) (D ) f (X )= |x| 和 X g (x )“ Jsin x +4 -2 x 式0 ? In (1+x ) 在X = 0处连续，则 a =( a x = 0 1 - (C ) 1 (D ) 2 ). ). (C ) y = Inx -1 x-1 (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点