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泰尔指数公式及计算方法

1.泰尔指数

泰尔指数（Theil index ）或者泰尔熵标准(Theil ’s entropy measure)泰是由泰尔(Theil,1967)利用信息理论中的熵概念来计算收入不平等而得名。

熵在信息论中被称为平均信息量。在信息理论中，假定某事件E 将以某概率p 发生，而后收到一条确定消息证实该事件E 的发生，则此消息所包含的信息量用公式可以表示为：

1h()ln()p p

= 设某完备事件组由各自发生概率依次为12(,,,)n p p p 由n 个事件12(,,,)n E E E 构成，则有

11n i i p

==∑，

熵或者期望信息量等于各事件的信息量与其相应概率乘积的总和：

1111()()log()log()n n

n i i i i i i i i i H x p h p p p p p ======-∑∑∑（6-4）将信息理论中的熵指数概念用于收入差距的测度时，可将收入差距的测度解释为将人口份额转化为收入份额（类似于洛伦兹曲线中将人口累计百分比信息转化为收入累计百分比）的消息所包含的信息量。而泰尔指数只是熵指数中的一个应用最广泛的特例。泰尔指数的表达式为：

11log()n i i i y y T n y y

==∑ （6-5）式中T 为收入差距程度的测度泰尔指数，

i y 与y 分别代表第i 个体的收入和所有个体的平均收入。

2.泰尔指数分解法

泰尔指数作为收入不平等程度的测度指标具备良好的可分解性质，即将样本

分为多个群组时，泰尔指数可以分别衡量组内差距与组间差距对总差距的贡献。假设包含n 个个体的样本被分为K 个群组，每组分别为(1,2,,)k g k

K =,第

k 组k g 中的个体数目为k n ，则有1

K k k n n ==∑，i y 与k y 分别表示某个体i 的收

入份额与某群组k 的收入总份额，记b T 与w T 分别为群组间差距和群组内差距，则可将泰尔指数分解如下：

1log (log )1k K K

k i i k b w k k k k i g k k k y y y y T T T y y n n y n ==∈=+=+∑∑∑ (6-6)

在上式中群组间差距b T 与群组内差距w T 分别有如下表达式： 1log

K k b k k k y T y n n

==∑ （6-7）

1(log )1k K i i k w k k i g k k y y y T y y n =∈=∑∑ （6-8）另外，值得注意的是群组内差距项分别由各群组的组内差距之和构成，各群组的组内差距的计算公式与样本总体的计算公式并无二致，只是将样本容量控制在第k 组的个体数目k n 。

泰尔指数材料-

上海市的收入差距_基于泰尔指数分解的分析.caj 一、引言收人分配问题已经正式纳人了中国社会主义市场经济改革的议程。2006年5月26日，中共中央政治局召开专题会议，称要更加注重社会公平，努力缓解部分社会成员收人分配差距扩大的趋势，构建科学合理、公平公正的社会收人分配体系。政界、学术界及社会各界对收人差距问题的关注迅速升温。一项在东西部八省市(包括上海市)实施的问卷调查结果显示，在百姓最为关心的和谐社会十大热点问题中，“收人差距扩大”高居第一位。② 正是在这样一个大背景下，研究上海市的收人差距问题便有了特殊的意义。简单来说，作为国内经济发展与改革的领导者和先驱者，解决收人差距问题的是否得力，不仅关系到上海市的持续稳定发展，而且也将关系到上海市在公共管理工作中政策表率作用的继续发挥。本文正是对上海市收人差距问题的一个实证分析.简单来说，文章借助家庭层面的调研数据，采用科学的收人差距度量指标，考察了上海市收人差距的现状，并运用泰尔指数分解法对收人差距进行了细分，以达到厘清收人差距状况并为政策制定提供依据的目的。四、收入差距的泰尔指数分解回答“收人差距的现状是怎样的”仅是收入差距相关问题的第一步;事实上，如何在此基础上挖掘出是什么因素带来了收人差距，进而为控制收人差距提出有针对性的具体措施才是重中之重。在这一部分中，我们将运用泰尔指数分解法，对收入差距的决定因素进行分析。泰尔指数是广义嫡(GE)指标体系的一种特殊形式，和基尼系数一样，它满足一个好的描述收人差距水平的指标所应有的全部性质。除了能用来度量收人差距水平外，泰尔指数更为重要的优点和用途在于，它可以直接分解为组内和组间的差距，从而既能达到细分收人差距的目的，又可以为制定更有针对性的政策

指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）（注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例求值（1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值

（1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5）6323 1.512??= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）例：比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 O x y a d c b