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4.1圆的对称性(3)

为半径的圆交AB于点D,（二）总结提高

圆的对称性—知识讲解(基础)

圆的对称性—知识讲解（基础）【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念 1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

圆的对称性_知识点与典型例题

圆的对称性【典型例题】例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。解：例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。解：例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。分析：略解：【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（）第5题

第8题 A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为厘米． 8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。 9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。 10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为___________。 11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝ 5cm ，∠DEB ＝60°，则CD ＝___________。三. 解答题。 12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为，你能求出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。 13. 已知，⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC 。求证： 14. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长是怎么变化的？请说明理由。 15. 如图，⊙O 上有三点A 、B 、C 且AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，求⊙O 的半径。第11题

9下-§3.2 圆的对称性

9-§3.1 圆一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.） 1.圆的对称性：（1）轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。（2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 2. 圆的相关性质：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．如图1，⊙O 和⊙O 1是两等圆，111AOB AO B ∠=∠，则AB=A 1B 1，AB=A 1B 1. 如图2，在⊙O 中，11AOB AOB ∠=∠，则AB=A 1B 1，AB=A 1B 1. （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。如图3所示，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，根据圆心角、弧、弦之间的关系填空： ① 若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ； ②若CD ，则AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，AB ＝CD ．二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.） 1.圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。（圆的中心对称性是旋转不变性的特例） 2.在运用本节课所学的圆的相关性质时，一定要抓住“同圆，等圆”这一重要前提。 3.本节课采用的几何图形研究方法总结：折叠，轴对称，旋转，推理证明等。三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）【典例】如图，在⊙O 中，AB ，CD 为是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．图1 图2 B D A C O 图3

九年级数学下册第二章2.1圆的对称性练习(新版)湘教版

第2章圆 2．1 圆的对称性基础题知识点1 圆的有关概念 1．下列说法正确的是(C) A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．直径只有一条 2．下列命题中正确的有(A) ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个 3．如图，已知AB是⊙O的弦，且AB＝OA，则∠AOB＝60度． 4．如图，在⊙O中，点A，O，D以及B，O，C分别都在同一条直线上． (1)图中共有几条弦？请将它们写出来； (2)请任意写出两条劣弧和两条优弧．解：(1)2条，它们是弦AE，AD.

(2)答案不唯一，如：劣弧有AC ︵，DE ︵等，优弧有ACE ︵，AEC ︵等．知识点2 点与圆的位置关系 5．已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是(C) A ．点A 在⊙O 上 B ．点A 在⊙O 内 C ．点A 在⊙O 外 D ．点A 与圆心O 重合 6．已知⊙O 的半径为6，点P 在⊙O 内，则OP 的长可能是(A) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 7．圆心在坐标原点，其半径为7的圆，则下列各点在圆外的是(D) A ．(3，4) B ．(4，4) C ．(4，5) D ．(4，6) 8．已知⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥R ，则点P 与圆O 的位置关系是点P 在⊙O 上或⊙O 外． 9．(教材P46练习T2变式)已知⊙O 的半径为5 cm ，A 为线段OP 中点，试判断点A 与⊙O 的位置关系： (1)OP ＝6 cm ；(2)OP ＝10 cm ；(3)OP ＝14 cm. 解：(1)点A 在圆内．(2)点A 在圆上．(3)点A 在圆外．知识点3 圆的对称性 10．下列图形中，不是轴对称图形的是(A)

鲁教版九年级数学下册圆的对称性教案

《圆的对称性》教案教学目标 1．知识与技能 (1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； (2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 2．过程与方法 (1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； (2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 3．情感、态度与价值观经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程一、创设情境，导入新课问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ (如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？生：折叠．今天我们继续来探究圆的对称性．问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？生：圆心和半径．问题2：你学习过圆中的哪些概念吗？填一填： 1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________． 3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．问题3：你还知道圆的哪些概念吗？ 1.弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；

2.弦：圆的任意两个端点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． 3.在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧.圆的任意一条直径的两个端点分别为两条等弧，每一条弧都叫做半圆. 二、探究交流，获取新知知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．知识点二：圆的中心对称性．问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．做一做：在等圆⊙O 和⊙O ' 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图3-8)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．

示范教案3.2圆的对称性第2课时

3．2 圆的对称性课时安排 2课时从容说课圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形．学生已经通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．同时结合图形让学生认识一些和圆相关的概念．本节课的重点是垂点定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理．本节课的难点是垂点定理及其逆定理的证明与“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解及定理的证明．第二课时课题 §3．2．1 圆的对称性(一) 教学目标 (一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理． 3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明． (二)能力训练要求 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 2．培养学生独立探索，相互合作交流的精神． (三)情感与价值观要求通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点垂径定理及其逆定理．教学难点垂径定理及其逆定理的证明．教学方法指导探索和自主探索相结合．教具准备投影片两张：第一张：做一做(记作§3．2．1 A) 第二张：想一想(记作§3．2．1 B) 教学过程 I．创设问题情境，引入新课， [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?， [生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?

圆的对称性—知识讲解(提高)

圆的对称性—知识讲解（提高）【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念 1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧 AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

圆的对称性

圆的对称性温故知新： 1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点 A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD 1、圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心， DE的度数． CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒ AD、⌒

【例3】如图，在同圆中，若⌒ AB＝2⌒ CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ． A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？

【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习 1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( ) A ．122° B ．120° C ．61° D ．58° 2．下列结论中，正确的是( ) A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．长度相等的两条弧是等弧 3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝ 60°，则∠COD 的度数是________． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝

圆的对称性(教案)

5.2 圆的对称性（二）班级姓名学号学习目标 1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程一、情境创设（1）圆是轴对称图形吗？（2）你是如何验证的？设计意图1、体验折叠是验证轴对称图形的非常好的方法。 2、确信圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径所在的直线，这样的对称轴有无数条。圆是轴对称图形，我们这节课就来研究与圆的轴对称有关的性质。二、探索与发现如图，AB是⊙O的直径，画弦CD⊥AB，垂足为P，探索图形中的相等关系。你是如何发现的？教学设计：经历从感性到理性的认知过程通过观察操作说理等方法获取结论。垂径定理文字语言：_________________________________________________________。符号语言：。三、例题讲解 2cm，你能求出圆心O到CD的距离吗？例1. 已知：如图，直径AB⊥CD，⊙O的半径为2cm，若弦CD=3 例2. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？

四、及时巩固： 1．如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？ 2.填空（1）如图，已知⊙O 的半径为13cm ，AB 为⊙O 的一条弦,点O 到AB 的距离为5cm ，则AB=____. （2）如图，已知⊙O 的直径为10cm 中，弦AB=8cm ，P 是AB 上的一个动点。ＯＰ长度的范围是。（3）如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为（4，2），点A 的坐标为（2，0）则点B 的坐标为_________．第（1）题第（2）题第（3）题五、应用与拓展： 1．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图所示，已知污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问修理人员应准备半径多大的管道？思考: 如果水面宽度由60cm 变为80cm ，那么污水面下降了多少厘米? 2. (思维拓展)已知⊙O 的半径为5cm ，点P 是⊙O 内一点,OP=4cm ，则过点P 的所有弦中，最短弦的长为多少cm? 过点P 的所有弦中，长度为整数的弦有几条? O B A P O B A

27.1.2圆的对称性(教学设计)

第27章圆 27.1.2．圆的对称性一、学情分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。在上节课中，学生学习了圆的轴对称性，并利用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。学生具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备合情推理的能力，并逐步发展了逻辑推理能力。学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。同时，在平时的教学中，比较注重学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。二、教学任务分析知识与技能： 1．理解圆的旋转不变性； 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．过程与方法： 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 2．通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题的能力。情感态度与价值观：培养学生积极探索数学问题的态度与方法。教学重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．教学难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。

第一环节课前准备活动内容：（提前一天布置） 1、每人用透明的胶片制作两个等圆。 2、预习课本P37--39内容。第二环节创设情境，引入新课活动内容：问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它们的定义是什么？活动目的：为了引出圆的轴对称和旋转不变性。第三环节合作探究感受新知活动内容：（一）通过教师演示实验，探究圆的旋转不变性；请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆。请回答：它们重合吗？如果重合，将它们的圆心固定。将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ? 归纳：圆具有旋转不变性。即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称圆形，对称中心为圆心。（二）通过师生共同实验，探究圆心角、弧、弦之间相等关系定理；做一做按下面的步骤做一做 1、利用手中已准备的两张半径相等的透明圆胶片，在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角 ∠A O B 和∠A ′O ′B ′ 圆心固定。

圆的对称性教学设计与反思

圆的对称性教学设计与反思一、教学内容分析：《圆的对称性》是青岛版九年数学圆的章节的第一课时，在认识了圆这种图形了解了圆的概念、表示方法和点和园的位置关系之后从本节课开始学习圆的有关性质。本节课设两课时，第一课时主要是对圆是轴对称图形的认识和圆的第一个性质定理：垂径定理（及逆定理）。作为初中阶段圆的重要的性质定理。本节课的教学策略是通过学生自己动手折叠、思考、交流等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再者通过教师演示讲解认识圆的轴对称性和垂径定理，学习定理的推导和使用。二、学生情况分析：我所教学的两个教学班一个是一直带着的一个是新接手的，后者学生的基础差了一些。基本情况：一部分学生自主学习能力差，自习预习能力不好；一部分男生的头脑很聪明但是有懒惰的状态，课后复习巩固的不够，学点丢点，丢点学点；还有一部分女同学学习热情不高，有时依赖答案；每班都有一部分同学学习水平较高，甚至可以为其他同学答疑解惑。三、教学目标及重难点：学习目标 1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程一、情境创设（1）什么是轴对称图形？（2）如何验证一个图形是轴对称图形？二、探究学习 1.尝试（1）在圆形纸片上任意画一条直径. （2）沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： 2.探索

如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对通过折叠活动，你发现了什么？请试一试证明！ 3.总结垂径定理： 4.典型例题例1.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与B D相等吗？为什么？例2.如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。（1）求的半径；（2）若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。 5.巩固练习（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。（2）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离是3.求⊙O的半径. （3）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE=3，求弦CD的长. （4）如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？（5）在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB= 600mm，求油的最大深度. （6）设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，若⊙O的半径为5，AB=8,CD=6，则AB与CD之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结 1．圆的轴对称性及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 【课后作业】 1．如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，CB=12，则AD=_____。

圆的对称性(第一课时)教案

§4.2.1 圆的对称性设计理念数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人. 教学内容《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时. 教材分析圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习. 教学目标 1.知识与技能理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明． 2.过程与方法经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力． 3.情感、态度与价值观通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 教学重点垂径定理及其推论的探索．教学难点

2.1圆的对称性

湘教版九年级数学下册第2章圆§2.1圆的对称性教案教学目标：【知识与技能】 1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义. 2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念. 3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形. 4.点与圆的位置关系. 【过程与方法】通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆. 【情感态度】结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解. 【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系. 教学过程：一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象. 1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形. 2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的. 【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识. 二、思考探究，获取新知 1.圆的定义问题如教材P 图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？ 43

由此你能得到什么结论？【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象. 如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”. 注意:圆指的是圆周,不是圆面. 【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义. 2.点与圆的位置关系一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有（1）点P在⊙O内d＜r （2）点P在⊙O上d=r （3）点P在⊙O外d＞r 3.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB、AC) 直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径. 注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 如图,以A、B为端点的弧记作,AB,读作:弧AB. 注:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. ②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的ABC,叫做优弧. 小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的AC,叫做劣弧. 等圆:能够重合的两个圆叫做等圆. 注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等. 等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧. 注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等. ②等弧只存在于同圆或等圆中. 【教学说明】结合图形,使学生准确地掌握与圆有关的概念,为后面的学习打

圆的对称性练习题

圆的对称性（一）练习题 1．下列说法中正确的是( ) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等，所对的圆心角相等 2．在 O 中，圆心角∠AOB ＝80°，圆心角∠COD ＝40°，那么下列说法中正确的是( ) A ．2A B CD = B ．2AB CD > C ．2AB C D < D ．AB ＝2CD 3．如图，C ，D 为半圆上的三等分点，则下列说法正确的有( ) ①AD =CD =BC ②∠AOD =∠DOC =∠BOC ③AD =CD =OC ④△AOD 沿OD 翻折与△C OD 重合 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．若 O 内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧，且 O 的半径为R ，那么这条弦的长为( ) A ．R B ．2R C ．2R D ．3R 5．如图，O 是∠EPF 的平分线上的一点，以点O 为圆心的圆与该角的两边所在直线分别交于点A ，B 和C ，D ，则AB 与CD 的关系是( ) A ．AB ＝CD B ．AB ＞CD C ．AB ＜CD D ．无法确定 6．如图，AB ，CD 是 O 的直径，若弦DE ∥AB ，则弦AC 与AE 的大小关系为__________． 7．如图，在 O 中弦AB =AC ，AD 是O 的直径，试判断弦BD 与CD 是否相等，并说明理由． 8．如图，在ABCD 中，以A 为圆心，以AB 为半径作圆交A D 于点F ，交BC 于点G ，BA 的延长线交 A 于点E ，求证：EF FC = . 9．如图， AB ， CD 是 O 的弦，OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且OE ＝OF ，请你来猜想一下， AC BD =吗？请加以说明．

圆的对称性教案一

圆的对称性教学目标 (一)教学知识点 1．圆的轴对称性． 2．垂径定理及其逆定理． 3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明． (二)能力训练要求 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神． (三)情感与价值观要求通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．垂径定理及其逆定理．垂径定理及其逆定理的证明．指导探索和自主探索相结合．投影片两张：第一张：做一做(记作§3．2．1A) 第二张：想一想(记作§3．2．1B) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴． [师]我们是用什么方法研究了轴对称图形 [生]折叠． [师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性． Ⅱ．讲授新课 [师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗如果是，它的对称轴是什么你能找到

多少条对称轴 [生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． [师]是吗你是用什么方法解决上述问题的大家互相讨论一下． [生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴． [师]很好．教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念． 1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)． 2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)． 3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．如下图，以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．注意： 1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧． 2．直径是弦，但弦不一定是直径．下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A) 按下面的步骤做一做： 1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两

圆的对称性(教学设计)

４.１圆的对称性(第一课时) 〖学习目标〗1．经历探索圆的对称性及有关性质的过程. 2．理解圆的对称性及有关性质. 3．会垂径定理解决有关问题. 〖学习过程〗一.知识回顾: （1）什么是轴对称图形？（2）我们采用什么方法研究轴对称图形？二、探究新知: 活动一操作、思考 1.在圆形纸片上任意画一条直径. 2.沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： ________________________________________________________________________. 活动二思考、探索如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P；将圆形纸片沿AB对折. 通过折叠活动，你发现了什么？ __________________________________________________________________. 请试一试证明！垂径定理：_________________________________________________________。三、例题分析 1300多年前,我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为３７.４m,拱高(拱的中点到弦的距离,也叫弓形的高)为７.2m,求桥拱的半径.(精确到0.1m) ＢＯ四、巩固练习

1．如何确定圆形纸片的圆心？说说你的想法。 2．（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是轴对称图形，指出它的对称轴。 ① ② ③ ④ ⑤ D D B B （2）如果将图①中的弦AB 改成直径(AB 与CD 相互垂直的条件不变) ，结果又如何？将图②中的直径AB 改成怎样的一条弦，图②将变成轴对称图形。 3.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径. 4.如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3 ，求弦CD 的长. 五、拓展延伸１.如图，过⊙O 内一点P ，作⊙O 的弦AB ，使它以点P 为中点。２.如图，⊙O 的直径是10，弦AB 的长为8，P 是AB 上的一个动点，求OP 的求值范围。３.如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？

2 圆的对称性

2 圆的对称性关键问答 ①在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都具有什么关系？ ②弧、弦、圆心角之间的相等关系成立的前提是什么？ 1.① 下列命题中正确的有( ) (1)相等的圆心角所对的弧相等；(2)圆是中心对称图形；(3)长度相等的两条弧是等弧；(4)圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 2．如图3－2－1，已知AB 是⊙O 的直径，D ，C 是劣弧EB 的三等分点，∠BOC ＝40°，那么∠AOE 的度数是( ) 图3－2－1 A ．40° B ．60° C ．80° D ．120° 3．② 如图3－2－2，ABD ︵＝BDC ︵，若AB ＝3，则CD ＝________．图3－2－2 命题点 1 利用圆的对称性解题 [热度：81%] 4.③如图3－2－3所示，三个大小不同的圆的圆心都为O ，AB ＝4 cm ，CD ⊥AB 于点O ，则图中阴影部分的面积为________cm 2. 图3－2－3 方法点拨 ③求解不规则图形的面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形. 5．学校有一个圆形花坛，现要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，如图3－2－4，你认为符合设计要求的图案是________．(将所有符合设计要求的图案的序号都填上) 图3－2－4 命题点 2 圆心角、弧、弦之间的关系 [热度：74%] 6.④如图3－2－5，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么( )

A .A B ︵>2CD ︵ B .AB ︵<2CD ︵ C .AB ︵＝2C D ︵ D .AB ︵与2CD ︵的大小关系不能确定易错警示 ④注意弧与弦的对应关系. 7．如图3－2－6，C ，D 为半圆的三等分点，则下列说法正确的有( ) 图3－2－6 ①AD ︵＝CD ︵＝BC ︵；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 8．如图3－2－7，在三个等圆上各有一条劣弧：AB ︵，CD ︵，EF ︵，如果AB ︵＋CD ︵＝EF ︵，那么AB ＋CD 与EF 的大小关系是( ) 图3－2－7 A ．A B ＋CD ＝EF B ．AB ＋CD ＜EF C ．AB ＋C D ＞EF D ．大小关系不确定命题点 3 利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明 [热度：100%] 9.⑤ 如图3－2－8，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若BC ＝CD ＝DA ＝4 cm ，则⊙O 的周长为( ) 图3－2－8 A ．5π cm B ．6π cm C ．8π cm D ．9π cm 解题突破 ⑤利用同圆中，等弦所对的圆心角相等，再结合圆的性质，即可解决. 10. ⑥⑦形如半圆的量角器的直径为4，把它放在如图3－2－9所示的平面直角坐标系中(量角器的中心与坐标原点O 重合，零刻度线在x 轴上)，连接60°和120°刻度线的端点P ，Q ，线段PQ 交y 轴于点A ，则点A 的坐标为( )

圆及对称性一对一辅导讲义

x 教学目标 1．理解圆、弧、弦等有关概念,学会圆、弧、弦等的表示方法． 2．掌握点和圆的位置关系及其判定方法. 3．理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。重点、难点 1．理解圆、弧、弦等有关概念特殊角的三角函数值 2. 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理考点及考试要求 1、圆、弧、弦等有关概念 2、点和圆的位置关系 3、圆的轴对称性教学内容第一课时圆及其对称性知识梳理 1．若二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值必为( ) A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 2．把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）（A ）y=3（x+3）2 -2 （B ）y=3（x+2）2+2 （C ）y=3（x-3）2 -2 （D ）y=3（x-3）2+2 3．)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2的图象大致为（） y y y y O x O x O x O x A B C D 4．对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是（） A 顶点作标为(－3，2) B 对称轴为y=3 C 当3≥x 时y 随x 增大而增大 D 当3≥x 时y 随x 增大而减小 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论中正确的是：（）y A a>0 b<0 c>0 B a<0 b<0 c>0 C a<0 b>0 c<0 D a<0 b>0 c>0 0 课前检测

2.1 圆的对称性.1 圆的对称性

2.1 圆的对称性【知识与技能】 1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义. 2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念. 3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形. 4.点与圆的位置关系. 【过程与方法】通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆. 【情感态度】结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解. 【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系. 一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.

1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形. 2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的. 【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识. 二、思考探究，获取新知 1.圆的定义问题如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象. 如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”. 注意:圆指的是圆周,不是圆面. 【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义. 2.点与圆的位置关系一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有（1）点P在⊙O内d＜r （2）点P在⊙O上d=r