道路改造项目中碎石运输的问题

道路改造项目中碎石运输的问题

(彭超王中涛胡平川哈尔滨工业大学华德应用技术学院)

摘要

本文讨论道路改造项目中碎石运输的设计问题,找到总费用最少的线路设计方案。

道路改造项目中碎石运输的问题。

第一步、可以肯定从S1运输碎石必须先经过陆地，然后通过上游河流顺流而下由此我们建立1个离S1最近的码头，并在m4点建立一个码头这样相对而言比直接建立临时公路经济、费用省。

第二步、我们假设在S2和公路之间建立一条最省钱的临时公路，从而得到从S2运输碎石到X3到m4之间以及S1运输碎石到X3到m4之间最省钱的临界点。

第三步、我们分析比较了几种方案，验证了我们模型的可行性。

我们通过MATLAB软件，涉及到的有曲线积分以及多次函数求最值等数学方法从而保证了我们模型理论的可行性具有比较好的实用价值和参考价值。

关键词：曲线积分临界点

一、问题重述

在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。）S1，S2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。而在A，B之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1立方米碎石1km运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。

建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：

A（0,100），B（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。

河与AB的交点为m4(50,100)（m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1→m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。

桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。

此地区没有其它可以借用的道路。

为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。

二、模型假设

１．假设上，下游均近似为一条二次抛物线且以x轴为对称轴（如图1所示）。

２．不考虑空车以及空船运输时的费用问题。

３．不考虑运输次数的问题，且每次铺完路后碎石所剩量忽略不计。

４．不存在时间限制问题。

５．假设卡车数量以及轮船数量足够使用，且不存在道路阻塞问题。

６．不考虑碎石的装卸费用问题。

7.不考虑施工费用以及施工队的数量等问题。

三、参数和符号说明

设

S1,S2：为两个采石点

N1,N2:为从S1，S2所取的碎石量（立方米）

Y1:上游抛物线方程

Y2:下游抛物线方程

X1:S1到上游河流的最短距离的交点

X2:为总费用最少时S1与S2在m4到X3之间的临界点

X3：为总费用最少时从S2与公路垂直的交点

P1:码头1

P2;码头2

F：总费用（元）

F1：修S1到X1之间的临时公路所要的费用（元）

F2：从S1到m4之间为修m4到A之间的道路所运碎石的运输费用（元）

F3：从s1到m4之间为修m4到x2之间道路所需碎石的运输费用（元）

F4：修s2到x3之间的临时路所需费用（元）

F4：从s2到x3之间为修x3到x2之间道路所需碎石的运输费用（元）

F5：从s2到x3之间为修x3到b之间道路所需碎石的运输费用（元）

C1：为S1到Y1的最短距离（千米）

C2:为S2到道路的距离（千米）

C3：为X1到m4的曲线距离（千米）

L：为公路长（千米）

B：为公路宽（米）

D：为公路厚度（米）

b：为临时公路宽（米）

d：临时公路厚度（米）

M：每立方米碎石的成本（元）

m：为公路运输1立方米碎石的运费（元）

y1：为顺流平均运输1立方米碎石的运费（元）

y2：为建一个码头所需要的费用（万元）

S1，S2:两个采石场

A，B：为所要改造公路的两个端点

m4:河流与所要改造公路的交点

四、模型分析

由于道路改造所需的碎石只能从就近的两个地点开采运输，若运输方式一样，则只能在图上找最短距离运输；而且由于水路运费比公路运费便宜得多，修路所需的碎石量非常大

所以运费便宜的水路更值得考虑，而且联系实际我们可以知道由于修临时路既浪费钱又占用土地而且不利于实际操作而且施工还需要大量投入人力物力，所以如果在用水路和用临时路费用之间相差不是太大的情况下我们尽量考虑用水路，所以我们的模型基本上在可以选择的情况下都采用了水路

首先，由于S1点比S2点距离河流的相对更近，且公路的费用是水陆运输的3倍多，由于运输总量很大相对于修建码头的费用而言，水运仍然比经临时公路划算（具体论证见模型建立和求解）。由假设可知河流上游近似为一开口向左的抛物线。设一条过S1的直线与此抛物线相交于X1点，当过X1点的切线与此直线垂直时，S1和X1之间的距离最短，记为l1。并在X1、m4点处各修建一个码头，经过水路运至m4点处。

其次，因为S2点远离河流，故对于S2点采取水运是不实际的，因此要想从S2点的公路最短，即选取垂直于AB公路的临时公路，且交于AB点于X3。

五、模型建立与求解

1、为了使求解简便，我们建立直角坐标系（如图1）

我们根据假设求出上游河流的近似抛物线方程为

y^2=-8x+400

下游近似抛物线方程为

y^2=(50/3)x-2500/3

设上游抛物线上一点x1

（1）修建s1到x1之间的临时路所需要碎石的总体积V1

V1=b*d*L1*1000

运输费用f1=

V1体积碎石的成本费F1=60*V1

（2）修建m4到之间的道路所需碎石的体积V2

V2=B*D*L*1000

运输费用f2

f2=

碎石的成本费用F2=60*V2

从S1到m4之间运输V2体积碎石所需的费用f2ˊ

f2ˊ=（20*L1+6*L2）*V2

（3）从m4到X2所需碎石的体积V3

V3=B*D*L3*1000

从m4到x2运输V3体积的碎石费用为f3

f3=

从m4到x2之间的所需碎石的成本费为f3ˊ

f3ˊ=60*V3

从s1到m4运输V3体积的碎石的运输费用为f3ˊˊ=（20L1+L2）*V3修建S2到X3之间临时公路需的碎石体积

V4=b4*d4*L4*10^3

运输费f4=

成本费f4ˊ=60*V4*10^3

从X3到B所需的碎石的体积

V5=L5*B*D*10^3

运输费f5=

S2到X3运输V5体积的碎坏死的费用f5ˊ

F5ˊ=20*V5*10^3

X3到X2之间的所需碎石的体积为V6=B*D*L6*10^3

运输费为f6=

成本费f6ˊ=60*V6

S2到X3运输费为f6ˊˊ=20*L5*V6

临界点X2的求解

六、模型评价

本模型侧重从实际情况的考虑，考虑到施工费用以及修临时道路对土地占用等问题，采取了

修建最短临时公路的方案。尽量多运用河流运输比较符合实际，有较高的实用价值和参考价值。但由于未考虑多条临时公路的情况所以总费用可能稍微偏高。

附件:

图1

图2(运输碎石的路线)

参考文献

[1]瞿亮，基于MATLAB的控制系统计算机仿真[M].北京：清华大学出版社；北京交通大学出版社，2006。

[2]姜启源等，数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003。