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2010年广东省初中毕业生学业考试数学试题参考答案及评分标准

绝密*启用前

2010年广州市中考试题

数学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，考试用时102分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第三面、第五面上用黑色字迹的钢笔或签字笔走宝自已的考生号、姓名；走宝考场室号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。）

1．如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（）

A ．－18%

B ．－8%

C ．＋2%

D ．＋8% 【分析】正数和负数可以表示一对相反意义的量，在本题中“增加”和“减小”就是一对相反意义的量，既然增加用正数表示，那么减少就用负数来表示，后面的百分比的值不变．

【答案】B

2．将图1所示的直角梯形绕直线l 旋转一周，得到的立体图开是（）

A ．

B ．

C ．

D ．图1 【分析】图1是一个直角题型，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，因此得到的立体图形应该是一个圆台．

【答案】C

3．下列运算正确的是（）

A ．－3(x －1)＝－3x －1

B ．－3(x －1)＝－3x ＋1

C ．－3(x －1)＝－3x －3

D ．－3(x －1)＝－3x ＋

【分析】去括号时，要按照去括号法则，将括号前的－3与括号内每一项分别相乘，尤其需要注意，－3与－1相乘时，应该是＋3而不是减3．

【答案】D

4．在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC ＝5，则DE 的长是（）

A ．2.5

B ．5

C ．10

D ．15

【分析】由D 、E 分别是边AB 、AC 的中点可知，DE 是△ABC 的中位线，根据中位线定理可知，DE ＝

2BC ＝2.5．【答案】A

5．不等式1

10320.

x x ?+>???-?，

≥的解集是（）

A ．－

＜x ≤2 B ．－3＜x ≤2 C ．x ≥2 D ．x ＜－3

【分析】解不等式①，得：x ＞－3；解不等式②，得：x ≤2，所以不等式组的解集为－3＜x ＜2．

【答案】B

6．从图2的四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心

对称称图形的卡片的概率是（）

图2

A ．

B ．

C ．

D ．1

【分析】在这四个图片中只有第三幅图片是中心对称图形，因此是中心对称称图形的卡片的概率是

1．【答案】A

7．长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（）

A ．52

B ．32

C ．24

D ．

主视图俯视图

【分析】由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，因此这个长方体的体积为4×2×3＝24平方单位．

【答案】C

8．下列命题中，正确的是（）

A ．若a ·b ＞0，则a ＞0，b ＞0

B ．若a ·b ＜0，则a ＜0，b ＜0

C ．若a ·b ＝0，则a ＝0，且b ＝0

D ．若a ·b ＝0，则a ＝0，或b ＝0

【分析】A 项中a ·b ＞0可得a 、b 同号，可能同为正，也可能同为负；B 项中a ·b ＜0可得a 、b 异号，所以错误；C 项中a ·b ＝0可得a 、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零．

【答案】D

9．若a ＜1

1＝（）

A ．a ﹣2

B ．2﹣a

C ．a

D ．﹣a

1＝11a --，由于a ＜1，所以a －1＜0，因此

11a --＝（1－a ）－1＝－a ．

【答案】D

10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解

密），已知有一种密码，将英文26个小写字母a ，b ，c ，…，z 依次对应0，1，2，…，25这26个自然数（见表格），当明文中的字母对应的序号为β时，将β+10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s 对应密文c

按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是（） A ．wkdrc B ．wkhtc C ．eqdjc D ．eqhjc

【分析】m 对应的数字是12，12＋10＝22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w ；a 对应的数字是0，0＋10＝10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k ；t 对应的数字是19，19＋10＝29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d ；…，所以本题译成密文后是wkdrc ．

【答案】A

第二部分（非选择题共120分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11． “激情盛会，和谐亚洲”第16届亚运会将于2010年11月在广州举行，广州亚运城的建筑

面积约是358000平方米，将358000用科学记数法表示为_______．

【分析】358000可表示为3.58×100000，100000＝105，因此358000＝3.58×105．【答案】3.58×105

12．若分式

-x 有意义，则实数x 的取值范围是_______．【分析】由于分式的分母不能为0，x －5在分母上，因此x －5≠0，解得x ≠5．【答案】5≠x

13．老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，

方差分别是2甲S ＝51、2

乙S ＝12．则成绩比较稳定的是_______ （填“甲”、“乙”中的一个）．【分析】由于两人的平均分一样，因此两人成绩的水平相同；由于2

甲S ＞2

乙S ，所以乙的成绩比甲的成绩稳定．

【答案】乙

14．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留π)

【分析】扇形弧长可用公式：180

n r

l π=求得，由于本题n ＝90°，r ＝2，因此这个扇形的弧长为π．

【答案】π

15．因式分解：3ab 2＋a 2b ＝_______．

【分析】3ab 2＋a 2b ＝ab (3b ＋a )．【答案】ab (3b ＋a )

16．如图4，BD 是△ABC 的角平分线，∠ABD ＝36°，∠C ＝72°，则图中的等腰三角形有_____个．

【分析】由于BD 是△ABC 的角平分线，所以∠ABC ＝2∠ABD ＝72°，所以∠ABC ＝∠C ＝72°，所以△ABC 是等腰三角形．∠A ＝180°－2∠ABC ＝180°－2×72°＝36°，故∠A ＝∠ABD ，所以△ABD 是等腰三角形∠DBC ＝∠ABD ＝36°，∠C ＝72°，可求∠BDC ＝72°，故∠BDC ＝∠C ，所以△BDC 是等腰三角形．

【答案】3

三、解答题（本大题共9小题，17、18题各9分，19、20题各20分，21、22、23题各12分，24、25题各14分，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解方程组.11

23,

12??

?=-=+y x y x

【答案】.112312??

?=-=+②

①

y x y x ①＋②，得4x ＝12，解得：x ＝3．将x ＝3代入①，得9－2y ＝11，解得y ＝－1．所以方程组的解是?

?-==13

y x ．

18．如图5，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ．

求证：∠A ＋∠C ＝180°

【分析】由于AD ∥BC ，所以∠A ＋∠B ＝180°，要想说明∠A ＋∠C ＝180°，只需根据等腰梯形的两底角相等来说明∠B ＝∠C 即可．

【答案】证明：∵梯形ABCD 是等腰梯形，

∴∠B ＝∠C 又∵AD ∥BC ， ∴∠A ＋∠B ＝180° ∴∠A ＋∠C ＝180°

19．已知关于x 的一元二次方程)0(012

≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求

)2(222

-+-b a ab 的值。

【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝240b a -=，可得出a 、b 之间的关系，

然后将4

)2(2

22-+-b a ab 化简后，用含b 的代数式表示a ，即可求出这个分式的值． A

B C

【答案】解：∵)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝240b ac -=，即240b a -=．

∵222

2222222244444)2(a

ab b a a ab b a a ab b a ab =+-=-++-=-+- ∵0a ≠，∴42

22==

a b a ab

20．广州市某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查

活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、

（1）本次问卷调查取样的样本容量为

_______，表中的m 值为_______．

（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图6所对应的扇形的圆心角

的度数，并补全扇形统计图．

（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的

人数约为多少？

【分析】（1）由于非常了解频数40，频率为0.2，因此样本容量为：40÷0.2＝200，表中的m 是比较了解的频率，可用频数120除以样本容量200；（2）非常了解的频率为0.2，扇形圆心角的度数为0.2×360°＝72°；（3）由样本中“比较了解”的频率0.6可以估计总体中“比较了解”的频率也是0.6．

【答案】（1）200；0.6；

（2）72°；补全图如下：

不太了解2%

18%

（3）1800×0.6＝900

21．已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．

（1）该抛物线的对称轴是，顶点坐标；

（2

（3）若该抛物线上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）的横坐标满足x 1＞x 2＞1，试比较y 1与y 2的

大小．

【分析】（1）代入对称轴公式2b x b =-和顶点公式（－2b

b ，244a

c b a

-）即可；（3）结合图像

可知这两点位于对称轴右边，图像随着x 的增大而减少，因此y 1＜y 2．

【答案】解：（1）x ＝1；（1，3）

60%

比较了解

不太了解2%

18%

（3）因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．

22．目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；

（2）求大楼的高度CD（精确到1米）

【分析】（1）由于∠ACB＝45°，∠A＝90°，因此△ABC是等腰直角三角形，所以AC＝AB＝610；（2）根据矩形的对边相等可知：DE＝AC＝610米，在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．

【答案】（1）由题意，AC＝AB＝610（米）；

（2）DE＝AC＝610（米），在Rt△BDE中，tan∠BDE＝BE

，故BE＝DE tan39°．

因为CD＝AE，所以CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116（米）答：大楼的高度CD约为116米．

23．已知反比例函数y＝

(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．

（1）求m的值；

（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝

的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB

＝2BC，求点C的坐标．

45°

39°

【分析】（1）将A 点坐标代入反比例函数解析式即可得到一个关于m 的一元一次方程，求出m 的值；（2

）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，则△CBE ∽△CAD ，运用相似三角形知识求出CE 的长即可求出点C 的横坐标．

【答案】解：（1）∵ 图像过点A (－1，6)，

m -=-． ∴

m=2 （2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，

由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ， ∴△CBE ∽△CAD ，∴CB BE CA AD =

． ∵AB ＝2BC ，∴1

CB CA =

∴136

=，∴BE ＝2．即点B 的纵坐标为2

当y ＝2时，x ＝－3，易知：直线AB 为y ＝2x ＋8， ∴C (－4，0)

24．如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是

APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、

B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点

C ．（1）求弦AB 的长；

（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC 的面积为S ，若

DE ＝ABC 的周长.

【分析】（1）连接OA ，OP 与AB 的交点为F ，则△OAF 为直角三角形，且OA ＝1，OF ＝12

，借助勾股定理可求得AF 的长；

（2）要判断∠ACB 是否为定值，只需判定∠CAB ＋∠ABC 的值是否是定值，由于⊙D 是△ABC 的内切圆，所以AD 和BD 分别为∠CAB 和∠ABC 的角平分线，因此只要∠DAE ＋∠DBA 是定值，那么CAB ＋∠ABC 就是定值，而∠DAE ＋∠DBA 等于弧AB 所对的圆周角，这个值等于∠AOB 值的一半；

（3）由题可知ABD ACD BCD S S S S ???=++＝

DE (AB ＋AC ＋BC )

，又因为2S DE =

()2DE AB AC BC DE ++=，所以AB ＋AC ＋BC

＝，由于DH ＝DG ＝DE ，所以在Rt △

CDH 中，CH

，同理可得CG

，又由于AG ＝AE ，BE ＝BH ，所以AB ＋AC ＋BC ＝CG ＋CH ＋AG ＋AB ＋BH

＝DE

＋

，可得

＝DE

＋，解得：DE ＝1

，代入AB ＋AC ＋BC

＝

．

【答案】解：（1）连接OA ，取OP 与AB 的交点为F ，则有OA ＝1．

F C P

D O

H G

P D

∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴OF ＝

12OP ＝1

，AF ＝BF ．在Rt △OAF 中，∵AF

AB ＝2AF

（2）∠ACB 是定值. 理由：由（1）易知，∠AOB ＝120°，

因为点D 为△ABC 的内心，所以，连结AD 、BD ，则∠CAB ＝2∠DAE ，∠CBA ＝2∠DBA ，

因为∠DAE ＋∠DBA ＝

∠AOB ＝60°，所以∠CAB ＋∠CBA ＝120°，所以∠ACB ＝60°；（3）记△ABC 的周长为l ，取AC ，BC 与⊙D 的切点分别为G ，H ，连接DG ，DC ，DH ，则有DG ＝DH ＝DE ，DG ⊥AC ，DH ⊥BC .

∴ABD ACD BCD S S S S ???=++

＝

12AB ?DE ＋12BC ?DH ＋12AC ?DG ＝12(AB ＋BC ＋AC ) ?DE ＝1

l ?DE ． ∵2

S DE ＝

，∴21

2l DE

DE ＝

l ＝

∵CG ，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD ＝1

∠ACB ＝30°， ∴在Rt △CGD 中，CG ＝

tan 30DG

，∴CH ＝CG

．又由切线长定理可知AG ＝AE ，BH ＝BE ，

∴l ＝AB ＋BC ＋AC ＝

＝

，解得DE ＝1

，

∴△ABC

．

F C P

D O

H G

25．如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC

上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－1

x＋b交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

【分析】（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；

（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．【答案】（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝3 2

若直线经过点B（3，1）时，则b＝5 2

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤3

，如图25-a，

此时E（2b，0）

∴S＝1

OE·CO＝

×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即3

＜b＜

，如图2

此时E （3，32

b -

），D （2b －2，1） ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )

＝ 3－[

12(2b －1)×1＋12×(5－2b )·(52b -)＋12×3(32

b -)]＝2

52b b - ∴23

125352

b b S b b b ?<≤

??=?

?-<

（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形OA 1B 1C 1与矩形

OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。

由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形根据轴对称知，∠MED ＝∠NED 又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形．过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，由题易知，tan ∠DEN ＝

，DH ＝1，∴HE ＝2，设菱形DNEM 的边长为a ，

则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：2

(2)1a a =-+，∴5

a = ∴S 四边形DNEM ＝NE ·DH ＝

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

．