系统的信号流图与梅森公式

6-5 系统的信号流图与梅森公式

一、信号流图的定义

由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即

图6-29

二、三种运算器的信号流图表示

三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。

三、模拟图与信号流图的相互转换规则

模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：

(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。

(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即

。

(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。

(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。

(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。

(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。

图6-30 (a) 模拟图；(b) 信号流图

图6-31 (a) 模拟图；(b) 信号流图

例6-17试将图6-19，图6-20，图6-21，图6-22所示各形式的模拟图画成信号流图。

解：与图6-19，图6-20，图6-21，图6-22相对应的信号流图分别如图6-32中(a)，(b)，(c)，(d)所示。

信号流图实际上是线性代数方程组的图示形式，即用图把线性代数方程组表示出来。有了系统的信号流图，利用梅森公式，即可很容易地求得系统函数H(s)。这要比从解线性代数方程组求H(s)容易得多。

信号流图的优点是：

(1) 用它来表示系统，要比用模拟图或框图表示系统更加简明、清晰，而且图也易画。

(2) 下面将会知道，信号流图也是求系统函数H(s)的有力工具。亦即根据信号流图，利用梅森(Mason)公式，可以很容易地求得系统的系统函数H(s)。

例6-18 已知系统的信号流图如图6-33(a)所示。试画出与之对应的模拟图。

解：根据模拟图与信号流图的转换规则，即可画出其模拟图，如图6-33(b)所示。于是可求得此系统的传输函数(请读者求之)为

四、信号流图的名词术语

下面以图6-32(a)为例，介绍信号流图中的一些名词术语。

1 节点

表示系统变量(即信号)的点，如图中的点F(s), s2X(s), sX(s), X(s), Y(s)；或者说每一个节点代表一个变量。该图中共有5个变量，故共有5个节点。

2 支路

连接两个节点之间的有向线段(或线条)称为支路。每一条支路代表一个子系统，支路的方向表示信号的传输(或流动)方向，支路旁标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。例如图中的1,均为相应支路的传输函数。

图6-32

(a) 直接形式的信号流图；(b) 并联形式的信号流图

(c) 级联形式的信号流图；(d) 混联形式的信号流图

3 激励节点

代表系统激励信号的节点，如图中的节点F(s)。激励节点的特点是，连接在它上面的支路只有流出去的支路，而没有流入它的支路。激励节点也称源节点或源点。

4 响应节点

代表所求响应变量的节点，如图中的节点Y(s)。有时为了把响应节点更突出地显示出来，也可从响应节点上再增加引出一条传输函数为1的有向支路，如图6-32(a)中最右边的虚线条所示。

图6-33

5 混合节点

若在一个节点上既有输入支路，又有输出支路，则这样的节点即为混合节点。混合节点除了代表变量外，还对输入它的信号有求和的功能，它所代表的变量就是所有输入信号的和，此和信号就是它的输出信号。

6 通路

从任一节点出发，沿支路箭头方向(不能是相反方向)连续地经过各相连支路而到达另一节点的路径称为通路。

7 环路

若通路的起始节点就是通路的终止节点，而且除起始节点外，该通路与其余节点相遇的次数不多于1，则这样的通路称为闭合通路或称环路。如图6-32(a)中共有两个环路：

。环路也称回路。

8 开通路

与任一节点相遇的次数不多于1的通路称为开通路，它的起始节点与终止节点不是同一节点。

9 前向开通路

从激励节点至响应节点的开通路，也简称前向通路。如图6-32(a)中共有三条前向通路：

;

。

10 互不接触的环路

没有公共节点的两个环路称为互不接触的环路。在图6-32(a)中不存在互不接触的环路。

11 自环路

只有一个节点和一条支路的环路称为自环路，简称自环。

12 环路传输函数

环路中各支路传输函数的乘积称为环路传输函数。

13 前向开通路的传输函数

前向开通路中各支路传输函数的乘积，称为前向开通路的传输函数。

五、梅森公式(Mason’s Formula)

从系统的信号流图直接求系统函数的计算公式，称为梅森公式。该公式如下：

(6-34)

此公式的证明甚繁，此处略去。现从应用角度对此公式予以说明。

式中 (6-35)

Δ称为信号流图的特征行列式。式中：

为第i个环路的传输函数， i为所有环路传输函数之和；

为两个互不接触环路传输函数的乘积，为所有两个互不接触环路传输函数乘积之和；

为三个互不接触环路传输函数的乘积， 为所有三个互不接触环路传输函数乘积之和；

为由激励节点至所求响应节点的第k条前向开通路所有支路传输函数的乘积；

为除去第k条前向通路中所包含的支路和节点后所剩子流图的特征行列式。求的公式仍然是式(6-35)。

例6-19 图6-34(a)所示系统。求系统函数。

解：1 求Δ

(1) 求：该图共有5个环路，其传输函数分别为

，

，

故

图6-34

(2) 求 :该图中两两互不接触的环路共有3组：

故 该图中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有 ；…。

故得

2 求

(1) 求：该图共有3个前向通路，其传输函数分别为

(2) 求:除去前向通路中所包含的支路和节点后，所剩子图如图6-34(b)所示。该子图共有两个环路，故

故

除去,前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有

故得

3 求H(s)

例6-20图6-35(a)所示系统。求系统函数。

解(1) 求。该系统共有5个环路：

,

故

该系统共有4组两两互不接触的环路：

故

图6-35

该系统中没有3个和3个以上互不接触的环路，故有 。故得

该系统从F(s)到共有两个前向通路，即F(s)→4→A(s)→B(s)→1→Y(s)；F(s)→5→G(s)→Q(s)→A(s)→B(s)→1→Y(s)。

故有

求的子信号流图如图635(b)所示，故有

因除去与前向通路中所包含的支路和节点后，已无子图存在，故有

故得

故得

(2) 求。Δ的求法与结果完全同上。该系统从F(s)到共有两个前向通路：

求的子信号流图如图6-35(c)所示；同理可求得

故

故得

例6-21试画出图6-28所示用框图表示的系统的信号流图，并用梅森公式求子系统函数

。

图6-36

解：所画出的信号流图如图6-36所示。下面用梅森公式求。

故

故得

可见与例6-16所得结果相同。

信号流图与梅森公式

2.5 信号流图与梅森公式 2.5.1 信号流图 信号流图是表示复杂的又一种图示方法.信号流图相对于结构图更简便明了,而且不必对图形进行简化,只要根据统一的公式,就能方便地求出系统的传递函数. 1. 信号流图的组成及基本性质 信号流图由节点和支路组成.一个节点代表系统中的一个变量,用小圆圈”Ο”表示;连接两个节点之间有箭头的定向线段为支路.支路相当于信号乘法器,乘法因子(或支路增益)表在支路上;信号只能沿箭头单方向传递,经支路传递的信号应乘以乘法因子;只有输出支路,无输入支路的节点称为输入节点,代表系统的输入变量;只有输入支路,无输出支路的节点称为输出节点,代表系统的输出变量;既有输入支路,也有输出支路的节点称为混合节点.信号流图的特征描述还需要以下专用术语: 前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时,对任何节点只通过一次的通路称为前向通路.而前向通路上各支路增益之积,为前向通路总增益. 回路 如果信号传递通路的起点和终点在同一节点上,且通过任何一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路,简称回路.回路中各支炉增益的乘积称为回路增益. 不接触回路 两个或两个以上回路之间没有任何公共节点,此种回路称为不接触回路. 由图2-31的信号流图可以说明以上的基本元素,即 74321X X X X X 是节点； j h d c b a ,,,,, 为支路增益； 4,1X X 为输入节点； 7X 为输入节点； 6532X X X X 为混合节点。 信号流图共有三条前向通道，第一条是7 65321X X X X X X → → → → →；第二条是 76531X X X X X → → → →；第三条是765324X X X X X X → → → → → 。 有两个单独回路，一个是565X X X →→，起点和终点是5X ；另一个起点、终点在3X 的自回路。而且这两个回路无公共节点，是不接触回路。 图2-31 信号流图 注意：对于确定的控制系统，其信号流图不是唯一的。 2.5.2 信号流图的绘制 信号流图可以根据系统方框图的绘制，也可以根据数学表达式绘制。 1． 根据系统方框图绘制 将方框图中比较点和引出点分别作为信号流图的节点，方框图中的方框变为信号流图中标有传递函数的线段，便得到支路。 从系统方框图绘制信号流图是时应尽量精简节点数目。若在方框图的比较点之前没有引出

信号流图与梅逊公式

信号流图与梅逊公式 控制系统的信号流图与结构图一样都是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。对于结构比较复杂的系统，结构图的变换和化简过程往往显得繁琐而费时。与结构图相比，信号流图符号简单，更便于绘制和应用，而且可以利用梅逊公式直接求出任意两个变量之间的传递函数。但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。 一、信号流图的组成 信号流图起源于梅逊利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。图中节点表示系统中的变量或信号，以小圆圈表示；支路是连接两个节点的有向线段，支路上的箭头表示信号传递的方向，支路的增益（相当于动态结构图方框中的传递函数）标在支路上。支路相当于乘法器，信号流经支路后，被乘以支路增益而变为另一信号。支路增益为1时不标出。 节点变量表示所有流向该节点的信号之和。 5 在信号流图中，常使用以下名词术语： 1、源节点（或输入节点）只有输出支路的节点称为源节点，如图中的 x。 1它一般表示系统的输入量。 2、阱节点（或输出节点）只有输入支路的节点称为阱节点，如图中的 x。 5

它一般表示系统的输出量。 3、混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，如图中的 2x 、3x 、4x 。它一般表示系统的中间变量。 4、前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时，每一个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益，一般用k p 表示。在图中从源节点到阱节点共有两条前向通路，一条是 54321x x x x x →→→→，其前向通路总增益为abc p =1；另一条是5431x x x x →→→，其前向通路总增益为ec p =2。 5、回路 起点和终点在同一节点，而且信号通过每一个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路，简称回路。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回路。回路中所有支路增益之乘积叫回路增益，用a L 表示。在图中共有一个回路，起始于节点2x ，经过节点3x 最后回到节点2x 的回路，其回路增益为bcd L -=1； 6不接触回路 如果一信号流图有多个回路，而回路之间没有公共节点，这种回路叫不接触回路。 二、信号流图的绘制 信号流图可以根据系统的微分方程绘制，也可以根据动态结构图绘制。 结构图中的信号用有向线段表示，它对应于信号流图中的节点。

梅森公式

3.梅森公式 对于一个确定的信号流图或方框图，应用梅森公式可以直接求得输入变量到输出变量的系统传递函数。梅森公式可表示为 （3.78） 式中 ——系统总传递函数； ——第 条前向通路的传递函数； ——流图的特征式 式中 ——所有不同回路的传递函数之和； ——每两个互不接触回路传递函数乘积之和； ——每三个互不接触回路传递函数乘积之和； ——第 条前向通路特征式的余因子，即对于流图的 特征式 ，将与第 条前向通路相接触的回路 传递函数代以零值，余下的 即为 。 下面通过求图3.48f 所示二级 电路网络信号流图的传递函数来说明梅森公式的用法。 ∑??=k k k P P 1P k P k ? +- +-=?∑∑∑f e f e d d c c b b a a L L L L L L ,,,1∑a a L c c b b L L ∑,f e f e d d L L L ∑,,k ?k ?k ?k ?RC

这个系统中，输入变量 与输出变量 之间只有一条前向通道，其传递函数为 信号流图里有三个不同回路，它们的传递函数分别为 回路 不接触回路 （回路 接触回路 ，并且回路 接触回路 ），因此，流图特征式为 （3.79） 从 中将与通道 接触的回路传递函数 、 和 都代以零值，即可获得余因子 。因此，得到 所以 i ()U s o ()U s s C R s C R P 221111 111=s C R L 1111 1-=s C R L 2221 1-=s C R L 1231 1- =1L 2L 1L 3L 2L 3L 21321)(1L L L L L +++-?＝s C R s C R s C R s C R s C R 2211122211111111++++＝?1P 1L 2L 3L 1?11=?

系统的信号流图与梅森公式

6-5系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义 由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即 ()()()s F s H s Y= (s F()s Y () a ()s F()s Y ()b 图6-29

二、三种运算器的信号流图表示 三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o ”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。 三、模拟图与信号流图的相互转换规则 模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是： (1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。 (2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即 ()()()s F s F s Y 21+=。 (3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。

(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。 (5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。 (6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。 )s(F)s( () a )s(Y ()b 图6-30 (a) 模拟图；(b) 信号流图

系统信号流图和梅森公式

3.5 系统信号流图和梅森公式 利用对称性几秒钟既可以记住！ 3.梅森公式 对于一个确定的信号流图或方框图，应用梅森公式可以直接求得输入变量到输出变量的 系统传递函数。梅森公式可表示为 ∑??=k k k P P 1 （3.78） 式中 P ——系统总传递函数； k P ——第 k 条前向通路的传递函数； ?——流图的特征式 +- +-=?∑∑∑f e f e d d c c b b a a L L L L L L ,,,1 式中 ∑a a L ——所有不同回路的传递函数之和； c c b b L L ∑,——每两个互不接触回路传递函数乘积之和； f e f e d d L L L ∑,,——每三个互不接触回路传递函数乘积之和； k ?——第 k 条前向通路特征式的余因子，即对于流图的 特征式 ?，将与第 k 条前向通路相接触的回路 传递函数代以零值，余下的 ?即为 k ?。 下面通过求图3.48f 所示二级 RC 电路网络信号流图的传递函数来说明梅森公式的用法。

这个系统中，输入变量 i ()U s 与输出变量 o ()U s 之间只有一条前向通道，其传递函数为 s C R s C R P 221111 111= 信号流图里有三个不同回路，它们的传递函数分别为 s C R L 1111 1-= s C R L 2221 1-= s C R L 1231 1- = 回路 1L 不接触回路 2L （回路 1L 接触回路 3L ，并且回路 2L 接触回路 3L ） ，因此，流图特征式为 21321)(1L L L L L +++-?＝ s C R s C R s C R s C R s C R 2211122211111111++++＝（3.79） 从 ?中将与通道 1P 接触的回路传递函数 1L 、 2L 和 3L 都代以零值，即可获得余因子 1?。因此，得到 11=? 所以 s C R s C R P P k k k 2211111111=?=?∑ （3.80）

系统的信号流图与梅森公式

6-5 系统的信号流图与梅森公式 一、信号流图的定义 由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即 图6-29 二、三种运算器的信号流图表示 三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。 三、模拟图与信号流图的相互转换规则 模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是： (1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。

(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即 。 (3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。 (4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。见例6-17)。 (5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。 (6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。 图6-30 (a) 模拟图；(b) 信号流图 图6-31 (a) 模拟图；(b) 信号流图

自动控制原理——梅森公式应用考题

（13分）控制系统结构如图所示，分别求系统的传递函数 C(s)/ R(s)，M(s)/R(s)。 （13分） 1）求 () () C s R s ： 4个单独回路，1组两两不相接触回路 01230301230123 012303 1 1()(()) 1 a b c L L L G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G ?=-+ =----+?- =-++ ∑∑ 两条前向通路：101231 2032 ,1 ,1 P G G G G P G G =?= =?= 则012303 1122 012303 () ()1 G G G G G G P P C s R s G G G G G G + ?+? == ?-++ 2）求 () () M s R s ：两条前向通路：1011 2032 ,1 ,1 P G G P G G =?= =-?= 则0103 1122 012303 () ()1 G G G G P P M s R s G G G G G G - ?+? == ?-++

一、（20分）求如下图所示系统的输出1()C s 和2()C s 的表达式 解： 1） 单独回路： 113224332 4415112263443 ,,,,L G H L G H L G H L G H L G H G H L G H G H =-=-=-=-== 2）两两不接触回路： 121324343241,L L G H G H L L G H G H == 3） 6 1234 1 132432411122344313243241 11i i L L L L L G H G H G H G H G H G H G H G H G H G H G H G H =?=-++=++++--++∑ 4） 1111124 23442:,1,1 a c a c R C P G G G G H P G G H G G →=?=+=-?=