最好的高数下册(同济六版)复习提纲

第八章 向量与解析几何

向量代数

定义 定义与运算的几何表达

在直角坐标系下的表示

向量 有大小、有方向. 记作a 或AB

a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=

,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===

模

向量a 的模记作a

a 222x y z a a a =++

和差

c a b =+ c a b =－

=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b

单位向量

0a ≠，则a a

e a

=

a e 2

2

2

(,,)=

++x y z x y z

a a a a a a

方向余弦

设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos

cos y x z a a a

a a a

αβγ=== ，cos ，cos

cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos

点乘（数量积）

θcos b a b a =?， θ为向量a 与b 的夹

角

z z y y x x b a b a b a ++=?b a

叉乘（向量积）

b a

c ?=

θsin b a c =

θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直

z

y

x

z y x

b b b a a a k j i

b a =?

定理与公式

垂直 0a b a b ⊥??= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥?++=

平行

//0a b a b ??=

//y z

x x y z

a a a a

b b b b ?==

交角余弦

两向量夹角余弦b

a b

a ?=θcos

2

2

2

2

2

2

cos x x y y z z

x y z x y z

a b a b a b a a a b b b θ++=

++?++

投影

向量a 在非零向量b 上的投影

cos()b a b

prj a a a b b

∧

?== 2

2

2

x x y y z z

b x y z

a b a b a b prj a b b b ++=

++

平面

直线

法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M

方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M

方程名称 方程形式及特征

方程名称 方程形式及特征

一般式

0=+++D Cz By Ax

一般式

??

?=+++=+++0

022221111D z C y B x A D z C y B x A

点法式

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

点向式

p

z z n y y m x x 0

00-=

-=- 三点式

1

11

21212131

31

31

0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 参数式

???

??+=+=+=pt

z z nt y y m t x x 000 截距式 1x y z

a b c

++= 两点式 000

101010

---==

---x x y y z z x x y y z z 面面垂直 0212121=++C C B B A A

线线垂直 0212121=++p p n n m m

面面平行 21

2121C C B B A A =

= 线线平行 2

12121p p n n m m == 线面垂直

p

C n B m A == 线面平行

0=++Cp Bn Am

点面距离

),,(0000z y x M 0=+++D Cz By Ax 面面距离

10Ax By Cz D +++= 20+++=Ax By Cz D

2

2

2

000C

B A D

Cz By Ax d +++++=

122

2

2

D D d A B C

-=

++

面面夹角

线线夹角

线面夹角

},,{1111C B A n =

},,{2222C B A n = },,{1111p n m =s },,{2222p n m =s

},,{p n m =s },,{C B A =n

2

2

2

22

22

12

12

1212121||cos C B A C B A C C B B A A ++?++++=

θ 2

2

22222121212

12121cos p n m p n m p p n n m m ++?++++=

? 2

22222sin p n m C B A Cp Bn Am ++?++++=

?

空

间曲线Γ：

()() ()x t y t z t ?ψω=??

=??=?

，

，

，)(βα≤≤t 切向量

))(,)(,)((000t t t T ωψ?'''=

切“线”方程：

)

()()(00

0000t z z t y y t x x ωψ?'-=

'-='- 法平“面”方程：

0))(()()()()(000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψ?

()()

y x z x ?ψ=??

=? 切向量

))(,)(,1(x x T ψ?''= 切“线”方程：

)

()(100

000x z z x y y x x ψ?'-=

'-=- 法平“面”方程：

0))(()()()(00000=-'+-'+-z z x y y x x x ψ?

空

间曲面 ∑：

0),,(=z y x F 法向量

000000000((,,),

(,,),(,,))

x y z n F x y z F x y z F x y z =

切平“面”方程：

000000000000(,,)()(,,)()

(,,)()0

x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=

法“线“方程：

)

,,(),,(),,(0000

00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=

-=- ),(y x f z =

0000((,),

(,),1)

x y n f x y f x y =--

切平“面”方程：

0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x

或

0000((,),

(,),1)

x y n f x y f x y =-

法“线“方程：

1

),(),(0

000000--=

-=-z z y x f y y y x f x x y x

第十章 重积分

重积分 积分类型

计算方法

典型例题

二重积分

()σ

d ,??=D

y x f I

平面薄片的质量

质量=面密度

?面积

（1） 利用直角坐标系

X —型 ????=D

b

a

x x dy y x f dx dxdy y x f )

()

(21),(),(φφ

Y —型

?

?

??=d

c

y y D

dx y x f dy dxdy y x f )

()

(21),(),(??

P141—例1、例3

（2）利用极坐标系 使用原则

(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含2

2()x y α

+,

α为实数 )

21()()

(cos ,sin )(cos ,sin )D

f d d d f d β

?θα

?θρθρθρρθ

θρθρθρρ

=????

02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤ P147—例5

（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）

110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy

f x y x f x y f x y D D ?

??-=-??

=???-=???

??对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分

P141—例2

应用该性质更方便

计算步骤及注意事项

1． 画出积分区域

2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数

关于坐标变量易分离

3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙

4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性

三重积分

???Ω

=

dv

z y x f I ),,(

空间立体物的质量

质量=密度?面积

(1) 利用直角坐标?

??截面法投影法

投影

?????

?

=Ω

b

a

y x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f )

,()

,()

()

(2121d ),,(d d d ),,(

P159—例1

P160—例2

（2） 利用柱面坐标 cos sin x r y r z z θθ=??

=??=?

相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:

○

1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○

2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222

()()f x y f x z ++ 21()

()

(,,)d d d (cos ,sin ,)d b r a

r f x y z V z f z β

θα

θθρθρθρρΩ

=???

???

P161—例3

（3）利用球面坐标 cos sin cos sin sin sin cos x r y r z r ρθ?θ

ρθ?θ?==??

==??=?

dv r drd d =2sin ??θ

适用范围:

○

1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○

2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，222

()f x y z ++ 2221

1

1(,)

2(,)

d d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d I f αβρθ?αβρθ??θρ?θρ?θρ?ρ?ρ=???

P165—10-(1)

（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

第十一章曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分

积分类型

计算方法

典型例题

第一类曲线积分

?

=L

ds y x f I ),(

曲形构件的质量 质量=线密度?

弧长

参数法（转化为定积分） （1）:()L y x ?= dt t t t t f I ?+=

β

αψ???)(')('))

(),((22

（2）()

:()()x t L t y t ?αβφ=?≤≤?

=? dx x y x y x f I b

a ?

+=)('1))(,(2

（3）()()r r θαθβ=≤≤()cos :()sin x r L y r θθθθ

=??=?

θθθθθθθβ

α

d r r r r f I ?+=)(')()sin )(,cos )((22

P189-例1

P190－3

平面第二类曲线积分

?+=L Qdy Pdx I

变力沿曲线所做的功

（1） 参数法（转化为定积分） ():()()x t L t y t ?αβφ=??=?

单调地从到

t t t t Q t t t P y Q x P L

d )}()](),([)()](),([{d d ψψ??ψ?β

α

'+'=+?

?

P196-例1、例2、

例3、例4

（2）利用格林公式（转化为二重积分）

条件：①L 封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D ） ②P ，Q 具有一阶连续偏导数 结论：

dy dx y

P

x Q Qdy Pdx D

L

???

??-??=+)(

应用：????

?助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用

P205－例4

P214-5(1)(4)

（3）利用路径无关定理（特殊路径法）

等价条件：①y

P x Q ??=?? ②

0=+?L

Qdy Pdx

③

?

+L

Qdy Pdx 与路径无关，与起点、终点有关

④Qdy Pdx +具有原函数),(y x u

（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）

P211-例5、例6、例7

（4）两类曲线积分的联系

??+=+=L

L

ds Q P Qdy Pdx I )cos cos (βα

空间第二类曲线积分

L I Pdx Qdy Rdz =++?

变力沿曲线所做的功

（1）参数法（转化为定积分）

dt

t t t t R t t t t Q t t t t P Rdz Qdy Pdx )}()](),(),([ )()](),(),([ )()](),(),([{ωωψ?ψωψ??ωψ?β

α

'+'+'=++??

Γ

（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）

条件：①L 封闭，分段光滑，有向 ②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数 P240-例1

结论：

dxdy

y p x Q dzdx x R

z P dydz z Q y R Rdz

Qdy Pdx L

)()()(??-??+??-??+??-??=++???∑

应用：???助线

不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用

第一类曲面积分 dv

z y x f I ??

∑

=),,(曲面薄片的质量 质量=面密度?

面积 投影法

∑：),(y x z z = 投影到xoy 面 dxdy z z y x z y x f dv z y x f I xy

D y x ????++==∑2

21)),(,,(),,(

类似的还有投影到yoz 面和zox 面的公式

P217-例1、例2

第二类曲面积分

I Pdydz Qdzdx R

∑

=++??

流体流向曲面一侧的流量

（1）投影法 ○1dydz z y z y x p Pdydz yz D ??

??±=∑),),,(( ∑：),(y x z z =，γ为∑的法向量与x 轴的夹角 前侧取“+”，cos 0γ>；后侧取“-”，cos 0γ<

○2dzdx z z x y x p Qdzdx yz D ??

??±=∑)),,(,( ∑：),(z x y y =，β为∑的法向量与y 轴的夹角 右侧取“+”，cos 0β>；左侧取“-”，cos 0β<

○

3dxdy y x z y x Q Qdxdy yz

D ????±=∑

)),(,,( ∑：),(z y x x =，α为∑的法向量与x 轴的夹角 上侧取“+”， cos 0α>；下侧取“-”，cos 0α< P226-例2

（2）高斯公式 右手法则取定∑的侧

条件：①∑封闭，分片光滑，是所围空间闭区域Ω的外侧

②P ，Q ，R 具有一阶连续偏导数 结论：

?????Ω

∑

??+??+??=++)(

z

R y Q x P Rdxdy Qdzdz Pdydz 应用：??

?助面

不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用

P231-例1、例2

（3）两类曲面积分之间的联系

(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxd y P Q R dS αβγ∑

∑

++=++????

转换投影法：()()z

z

dydz dxdy dzdx dxdy x

y

??=-

=-

?? P228-例3

所有类型的积分：

○

1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限； ○

2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

无穷级数常

数

项

级

数

傅

立

叶

级

数

幂

级

数

一

般

项

级

数

正

项

级

数

用收敛定义，

n

n

s

∞

→

lim存在

常数项级数的基本性质

常数项级数的基本性质

○1若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛.

○2两个收敛级数的和差仍收敛.

注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.

○3去掉、加上或改变级数有限项,不改变其收敛性.

○4若级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成

的级数仍收敛，且其和不变。

推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数

也发散.注：收敛级数去括号后未必收敛.

○5（必要条件）如果级数收敛,则0

lim

=

→

n

n

u

莱布尼茨判别法若

1+

≥

n

n

u

u且0

lim=

∞

→

n

n

u，则∑∞

=

-

-

1

1

)1

(

n

n

n u收敛

n

u

∑和

n

v

∑都是正项级数，且

n

n

v

u≤.若

n

v

∑收敛，则

n

u

∑也收敛；若

n

u

∑发散，则

n

v

∑也发散.

比较判别法

比较判别法

的极限形式

n

u

∑和

n

v

∑都是正项级数，且l

v

u

n

n

n

=

∞

→

lim，则○1若

+∞

<

0,

n

u

∑与

n

v

∑同敛或同散;○2若0

=

l,

n

v

∑收

敛,

n

u

∑也收敛；○3如果+∞

=

l，

n

v

∑发散，

n

u

∑也发散。

比值判别法

根值判别法

n

u

∑是正项级数，ρ

=

+

∞

→

n

n

n u

u

1

lim,ρ

=

∞

→

n

n

n

u

lim,则1

<

ρ时收

敛；1

>

ρ(ρ=+∞)时发散；1

=

ρ时可能收敛也可能发散.

收

敛

性

和

函

数

展

成

幂

级

数

n

n

n

x

a

∑∞

=0

,

ρ

=

+

∞

→

n

n

n a

a

1

lim

,1,0;,0;0,.

R R R

ρρρ

ρ

=≠=+∞===+∞缺项级数用比值审敛法求收敛半径

)

(x

s的性质○1在收敛域I上连续;○2在收敛域)

,

(R

R

-内可导，且可逐项求导;○3和函数)

(x

s在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).

直接展开:泰勒级数间接展开:六个常用展开式

1

1

(11)

1

n

n

x x

x

∞

=

=-<<

-

∑

1

1

()

!

x n

n

e x x

n

∞

=

=-∞<<+∞

∑

2

2

T

T l

π

=

=

∑∞

=

+

+

=

1

0)

sin

cos

(

2

)

(

n

n

n

nx

b

nx

a

a

x

f?-

=π

π

π

dx

x

f

a)

(

1

?-

=π

π

π

nxdx

x

f

a

n

cos

)

(

1

?-

=π

π

π

nxdx

x

f

b

n

sin

)

(

1收敛定理

x是连续点,收敛于)

(x

f;x是间断点,收敛于)]

(

)

(

[

2

1

+

-+x

f

x

f

周期

延拓

)

(x

f为奇函数，正弦级数，奇延拓；)

(x

f为偶函数，余弦级数、偶延拓.

交错

级数

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

《高等数学》期末试卷1(同济六版上)及参考答案[2]

《高等数学》试卷（同济六版上） 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1、若函数x x x f =)(，则=→)(lim 0 x f x （ ）. A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）. A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）. A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（ ）. A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是（ ）. A 、?+∞0 sin xdx B 、dx e x ?+∞-0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 6、当k= 时，2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点（0，1）处的切线方程是 . 9、若?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则()____________f x = 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________.

三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=，求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程? ??=+=t y t x arctan )1ln(2所确定，求dy dx 和22dx y d .

《高等数学》(同济六版上)期末模拟试题答案

《高等数学》试卷（同济六版上）答案 《一》 一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分，本题共15分） 6、1 7、 1x x + 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分） 11、解：x x x 2sin 2 4lim -+ →x →= 3分 01128 x →= = 6分 12、解： 2 cos 1 2 lim x dt e x t x ?-→2 cos 0sin lim 2x x xe x -→-= 3分 1 2e =- 6分 13、解：) 111(112 2 x x x y ++++= ' 4分 211 x += 6分 14、解：t t t t dx dy 211211 22= ++= 3分 2 22 2 321 12()241d y t d dy dx t dt t dt dx dx t t - +===-+ 6分 15、解：212122 sin(3)sin(3)(3)23 dx d x x x +=-++? ? 3分

12 cos(3)2C x =++ 6分 16、解：?? ??--+==-01 1 11 2 0d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 01 10 d 1x x e dx x -=++?? 3 分 1 010 |ln(1)x e x -=++ 11ln 2e -=-+ 6分 四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：10 1 (1)(1)m n m n x x dx t t dt -=--?? 4分 1 1 (1)(1)m n m n t t dt x x dx =-=-?? 8分 18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b << 显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有 ()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分 由于1 ()f x x '= , 因此上式即为 ln ln b a b a ξ--=. 又由.a b ξ<< b a b a b a b a ξ---∴ << 当0a b <<时， ln b a b b a b a a --<< 8分 五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π= ∴表面积222 2222222V V S r rh r r r r r ππππππ=+=+=+ 4分 令22'40V S r r π=- = 得 r = 2h =

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长

第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案9-1

同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案9-1

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy 面上的闭区域D , 薄板上分布有密度为μ =μ(x , y )的电荷, 且μ(x , y )在D 上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q . 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x , y )在该板所占闭区域D 上的二重积分 ??=D d y x Q σμ),(. 2. 设??+=1 3221)(D d y x I σ, 其中D 1={(x , y )|-1≤x ≤1, -2≤y ≤2}; 又??+=2 3222)(D d y x I σ, 其中D 2={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤2}. 试利用二重积分的几何意义说明I 1与I 2的关系. 解 I 1表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =±1, y =±2以及z =0围成的立体V 的体积. I 2表示由曲面z =(x 2+y 2)3与平面x =0, x =1, y =0, y =2以及z =0围成的立体V 1的体积. 显然立体V 关于yOz 面、xOz 面对称, 因此V 1是V 位于第一卦限中的部分, 故 V =4V 1, 即I 1=4I 2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1)??=D d σσ (其中σ为D 的面积);

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 证明 由二重积分的定义可知, ??∑=→?=D n i i i i f d y x f 10),(lim ),(σηξσλ 其中?σi 表示第i 个小闭区域的面积. 此处f (x , y )=1, 因而f (ξ, η)=1, 所以, σσσσλλ==?=→=→??∑0 10lim lim D n i i d . (2)????=D D d y x f k d y x kf σσ),(),( (其中k 为常数); 证明 ∑??∑=→=→?=?=n i i i i D n i i i i f k kf d y x kf 1010),(lim ),(lim ),(σηξσηξσλλ ??∑=?==→D n i i i i d y x f k f k σσηξλ),(),(lim 10. (3)??????+=2 1),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ, 其中D =D 1?D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域1i σ?和2i σ?, n 1+n 2=n , 作和 ∑∑∑===?+?=?2 222211111111),(),(),(n i i i i n i i i i n i i i i f f f σηξσηξσηξ. 令各1i σ?和2i σ?的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2), 则有 ∑=→?n i i i i f 10),(lim σηξλ∑∑=→=→?+?=2222221111111 010),(lim ),(lim n i i i i n i i i i f f σηξσηξλλ,

同济六版高等数学课后答案

同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);

高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)

※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3.设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5.曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =，则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 0 )1(22+e 8.若3)(0-='x f ，则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛，则p 的范围是 1-

=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14.过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12+=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时，函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时，函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 （一）类间断点。 16.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin

高等数学同济大学第六版本

习题92 1 计算下列二重积分 (1)??+D d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1} 解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是 ??+D d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1 11 122)(x d y y x ?--+=1 11132]31[ x d x ?-+=1 12)312(113]3232[-+=x x 3 8= (2)??+D d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区 域 解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=20 22]3[ dx x x ?-+=2 02)224(0232]324[x x x -+=3 20= (3)??++D d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0 x 1 0y 1} 解 ??++D d y y x x σ)3(3 2 3 ??++=1 03 2 3 1 0)3(dx y y x x dy ?++=1 001334]4 [dy x y y x x ?++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14 12141=++= (4)??+D d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和 ( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D 0x y x 于是 ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 0 )cos(π ?+=π )][sin(dx y x x x ?-=π0)sin 2(sin dx x x x ?--=π 0)cos 2cos 2 1(x x xd +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π2 3-=

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习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)??+D d y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : -1≤x ≤1, -1≤y ≤1. 于是 (2)??+D d y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2-x . 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?- +=2 22]3[ (3)??++D d y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1}; (4)??+D d y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区 域.

解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤π, 0≤y ≤x . 于是, ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 00)cos(π?+=π 00 )][sin(dx y x x x 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (2)??D d xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域; (3)??+D y x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1}; 解 积分区域图如, 并且 D ={(x , y )| -1≤x ≤0, -x -1≤y ≤x +1}?{(x , y )| 0≤x ≤1, x -1≤y ≤-x +1}.

10-2高等数学同济大学第六版本

习题 10-2 1. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: ?=L dx y x P 0),(. 证明??=L b a dx x P dx y x P )0 ,(),(. 证明L : x =x , y =0, t 从a 变到 b , 所以 ???='=b a L b a dx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(. 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1)?-L dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧; 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中 L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , ??+'++=a dx dt t a a t a t a 2000)cos (sin )cos 1(π (3)?+L xdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到

解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以 (5)ydz zdy dx x -+?Γ 2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对 应θ从0到π的一段弧; 解 ??--+=-+Γπ θθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x (6)dz y x ydy xdx )1(-+++?Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 一段直线; 解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1. ?Γ-+++dz y x ydy xdx )1(?-+++++++=10 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t ?=+=1 013)146(dt t . 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中 AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,

同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)?g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ? x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(- , -5) (5, + ), B =[-10, 3), 写出A B , A B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A B =(- , 3) (5, + ), A B =[-10, -5), A \ B =(- , -10) (5, + ), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A B )C =A C B C . 证明 因为 x (A B )C x A B x A 或x B x A C 或x B C x A C B C , 所以 (A B )C =A C B C . 3. 设映射f : X Y , A X , B X . 证明 (1)f (A B )=f (A ) f (B ); (2)f (A B ) f (A ) f (B ). 证明 因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B )=f (A ) f (B ). (2)因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B ) f (A ) f (B ). 4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中 I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x X , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.