私の母

私の母――母の日につにて

毎年の今日が、この世の母たちが良い気分を持っているだろう。母の日を迎える母たちはきっとたくさんの祝福とプレゼントがもらえるでしょう。もちろん、私の母は自分のカーネーションとプレゼントを持っている。

母の日は子供たちは自分の愛している母にこの深い愛を伝えるあるきっかけばかりではなく、母たちにとって一年の中で一番幸せな節だとされている。この世の母たちは皆自分の子から唯一無二の祝福をもらうはずだ。実は、それは最も珍しくて意義があるの「愛」の宝物だと思う。

もう三年の母のそばが離れていた日子が経ったのだが、母のそばにいてくれようとしている私は、母の日の時きっと母に心の感謝の気持ちを伝える。母を嬉しくするためには、私はよくいろいろな準備をしている。母から数えできない物をもらったけど、一番素晴らしいのは命だと考える。人間の喜怒哀楽を感じさせられるなり、自分の目標を探すことができるなりにして、それは全部母の愛の中で気が付いたと思う。もう２２年を育てってくれた母は、いろいろな面倒をかけてしまって、本当にすみませんでした。母の愛はずっと心の中に止めている、永遠に止めていると思う。

母、あなたの愛は私のそばにいてくれるでしょう。私も、その気持ちはきっと永遠に母と私の間に存在しているよ。母、愛してる。

母函数

母函数 （生成函数）（发生函数）（发生函数） 英文：generating function 我们已知道了解决组合的计数问题的几种方法，从基本的加法原理和乘法原理开始，导出了排列与组合的各种公式，证明了容斥原理，并且已用它来解决某些计数问题。这里将论证一种方法是属于Eular 的生成函数法。（对工程师来说，数列的母函数通称为z-变换） §1 母函数 利用生成函数可以说是研究计数问题的一个最主要的一般方法：其基本思想很简单：为了获得一个数列{} 210,,0:a a a k a k =≥的知识，我们用一个母函数 +++=∑=≥2 2100 )(x a x a a x a x g k k k 这里x k 是指数函数 来整体地表示这个数列，称g （x ）是数列{}0:kx a k 的普通母函数，这样原数列就转 记为成函数。 假如能求得这个函数，则不仅原则上已确定了原数列，还可以通过对函数的运算和分析得到这个数列的许多性质。 这里如果把x k 提成)(x k μ亦称普通母函数 指数函数通常选来使得没有两个不同的序列令产生同一个母函数，故序列的 母函数仅只是序列的另一种表示。如1，cos x ，cos2x ，…为指数函数，序列{} 2,,1ωω的母函数为 +++++=rx x x x F r cos 2cos cos 1)(2ωωω 另一方面，用，1，1+x ，1-x ，1+x 2，1-x 2，…，1+x r ，1-x r …作为指数函数，序列（3，2，6，0，0）的普通母函数是3+2（1+x ）+6（1-x ）=11-4x ，而序列（1，3，7，6，0）和（1，2，6，1，1）会产生同一母函数即，1+3（1+x ）+7（1-x ）=11-4x ， x x x x x 411)1()1()1(6)1(212 2 -=-+++-+++ 故函数 ,1,1,1,1,122x x x x -+-+不应做为指数函数，)(x r μ的最近常用的是r x ，以下我们仅讨论这种情况的指数函数。

概率论上的母函数

概率论上的母函数（genera t ing fucnc t ion ）定义： 若随机变量ξ取非负整数值，且相应的分布列为： （ 0，1，2） （ p 0，p 1，p 2 ） 则p k *s k （k 从0到无穷）的和为s 的函数，此函数称为的母函数。 特征函数 (概率论) 在概率论中，任何随机变量的特征函数完全定义了它的概率分布。在实直线上，它由以下公式给出，其中X 是任何具有该分布的随机变量： ()()itX X t E e ?= 其中t 是一个实数，i 是虚数单位，E 表示期望值。 用矩母函数M X (t )来表示（如果它存在），特征函数就是iX 的矩母函数，或X 在虚数轴上求得的矩母函数。 ()()()X iX X t M t M it ?== 与矩母函数不同，特征函数总是存在。 如果F X 是累积分布函数，那么特征函数由黎曼-斯蒂尔切斯积分给出： ()()itX itx X E e e dF x ∞ -∞ =? 在概率密度函数f X 存在的情况下，该公式就变为： ()()itX itx X E e e f x dx ∞ -∞ =? 如果X 是一个向量值随机变量，我们便取自变量t 为向量，tX 为数量积。 R 或R n 上的每一个概率分布都有特征函数，因为我们是在有限测度的空间上对一个有界函数进行 积分，且对于每一个特征函数都正好有一个概率分布。 一个对称概率密度函数的特征函数（也就是满足f X (x ) = f X (-x )）是实数，因为从x >0所获得的虚数部分与从x <0所获得的相互抵消。 性質 连续性

勒维连续定理 勒维连续定理说明，假设1()1n n X ∞ ==为一个随机变量序列，其中每一个X n 都有特征函数?n ，那么 它依分布收敛于某个随机变量X ： D n X X ??→当 n →∞ 如果 pointwise n ??????→ 当 n →∞ 且? (t )在t =0处连续，?是X 的特征函数。 莱维连续定理可以用来证明弱大数定律。 反演定理 在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特 征函数。 给定一个特征函数?，可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F ： 1 ()()()lim 2itx ity X X X e e E y E x t dt it τ τ τ?π --+- →+∞--=? 一般地，这是一个广义积分；被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的，也就是说， 它的绝对值的积分可能是无穷大。[1] 博赫纳-辛钦定理/公理化定義 博赫纳定理 任意一个函数?是对应于某个概率律μ的特征函数，当且仅当满足以下三个条件： 1. ? (t )是连续的； 2. ? (0)=1； 3. ? (t )是一个正定函数（注意这是一个复杂的条件，与? (t )>0不等价）。 計算性质 特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如，如果X 1、X 2、……、X n 是一个独立（不一定同分布）的随机变量的序列，且 1 n n i i i S a X ==∑

母爱感动了我

母爱感动了我 有什么词藻可以修饰母爱吗？没有。有什么色彩可以描绘母爱吗？没有。 —题记 母爱无私而又伟大，浓浓的母爱总令人为这震颤。面对博大的母爱，所有人都会被感动。 蒙娜丽莎的微笑使无数人为这倾倒，但在我的心中，却有一幅更美妙的“微笑”之作。或许在他人眼里，它根本无法与达.芬奇之作相提并论，但是它却深深地烙在我的心中，成为我心中永远的美丽。 记得那天，公共汽车在公路上艰难地爬行。蜷缩在车中的我恨不得让自己再变小点。能有个安身立足之地。好不容易挨到了下一站，才勉强

舒展了一下那麻木的双脚。这时，窗外传来一个怀抱婴儿的妇女的呼喊声：“等一下，等一下。”于是关了一半的车门又打开了。 车上的人开始发牢骚了：“少赚点算了，想把我们挤死呀！”几个脾气暴躁的人冲着司机嚷道。“快点，快上车。”女司机向车外喊道。“哎哟！”靠窗的几个人不约而同地叫出声来。原来是那位抱孩子的妇女心急这下，被一块石头绊倒了，婴儿的哭声随之传来，哄乱的催促声消失了，所有的人都关切地望着窗外。那位跌倒的妇女赶紧爬起来，灰尘也顾不上掸，赶快抱起被子裹着的婴儿上了车。一位背着画板的叔叔连忙给她让座，车子更加拥挤，可是除了那位妇女轻声哄孩子的声音以外，再没有一点声音。孩子睡着了，但一丝慌乱却浮现在那位妇女的脸上，原来她抱着孩子的手上全都是血，她不知所措了。妇女把孩子全身都

检查了，连耳根、脖子都没有放过，可是还是没有找到出血的地方。她更加慌乱了，涨红的脸上渗出了汗珠。 蓦地，她笑了，笑得那么开心，仿佛世间所有的快乐都归她所有了。原来她找到了出血的地方，不在孩子身上，而是自己的肩膀。她又一次亲吻孩子可爱的脸，开心地笑了，笑中带了几分如释重负的感觉。 看到如此情景，我心想：如果那位背着画板的叔叔把这个场面画下来，也许世界上就会多一幅像《蒙娜丽莎》那样的杰作！ 母爱，一个多么温馨的词语。母爱如水，清清的，却能品尝到微微的香甜；母爱如茶，淡淡的，却能体味出浓浓的清醇。母爱多么伟大，它像雨露，无私地哺育着我们。

写给母亲的一句话 写给妈妈的话唯美简短

写给母亲的一句话写给妈妈的话唯美简短 1、儿子的心，永远为您牵挂；您的幸福，是我一生的追求。谢谢您！亲爱的妈妈！ 2、妈妈的关爱，让我们温暖；妈妈的无私，让我们感动；妈妈的博大，让我们震撼；而让妈妈快乐，是我们共同的心愿！愿妈妈节日快乐！ 3、妈妈，今年5月是您31周岁的生日，祝您身体健康，幸福快乐。我想对您说，此生有您做妈妈，是我的福气。感激您对我的无限疼爱和包容。我爱您，祝您生日快乐。 4、亲爱的妈妈：您曾用您坚实的臂弯为我撑起一片蓝天，而今，我也要用我日益丰满的羽翼为您遮挡风雨。妈妈，我永远爱您！ 5、有人说，世界上没有永恒的爱，我觉得不对，妈妈对儿女的爱就是永恒的，也是无私的！妈妈，从小到大，我都没对您说过一句感谢的话，今天就让我借此平台，衷心感谢您多年的艰辛哺育，使我长大，使我成才！也愿你身体健康！妈妈，我爱你，你是我永远温暖的港湾！ 6、看着妈妈日渐增多的白发，看着妈妈日益深刻的皱纹，看着妈妈渐渐弯曲的身躯，孩子心中有无尽的感激，但都汇成一句：妈妈！我爱您！ 7、任晓婷，你好。作为港城的火炬手，你想对港城的市民说些什么？（中学生、港城人、小记者）

8、母亲，您辛苦了，这辈子您不容易，剩下的日子里希望您能顺心，身体健康，儿子会孝敬您…… 9、亲爱的妈妈：您曾用您坚实的臂弯为我撑起一片蓝天；而今，我也要用我日益丰满的羽翼为您遮挡风雨。妈妈，我永远爱您！祝您节日快乐！ 10、当你遇到危险时，她不顾一切地救助你，即使失去生命也毫无怨言；当你感到伤痛绝望时，她比你更加痛心悲伤，却必须要坚强地劝慰你，让你安心；当你欢心愉悦时，她会陪你一起分享心中的喜悦，但是却绝对不会多霸占一点，让你的心变得空虚无物…… 11、世上母爱是伟大的，母亲的爱是无以回报的。谁言寸草心，报得三春晖？ 12、名家硬笔（钢笔）书法作品鉴赏。 13、妈妈您是一个苦命的人，从小丧父，中年丧夫，如今你又得了重病，太多的苦难不应该降临到你的身上，如果上天能给我一些机会，我愿意为你去承受分担那些苦难！ 14、妈妈，祝您节日快乐！妈妈，您是母亲、知己和朋友的绝对结合。 15、生活的现实，要我经历了很多很多的事情，每当遇到困难，总是妈妈的一句话“不管别人怎么说，只要你有信心，我支持你。”让我越过一道道的沟沟坎坎。妈妈，我想对你说：“你是世上最好的妈妈，也是女儿的动力和支柱。祝愿我的妈妈能够健健康康，和女儿一起走向成功，一起迎接美好的未来。” 16、为什么？我们总有不愉快，有时让我真的无法忍耐。生

赞美母亲无私的爱的诗歌

赞美母亲无私的爱的诗歌 导读：母亲啊！母亲， 您是那么平凡，却又是那样的伟大。 您是那么无私，却又是那样的沉重。 您是那么绚丽多姿，却又是那样的朴实无华。曾记否，上学途中， 千万里路有您追寻的目光。 可追忆，下班归来， 漆黑夜里有您殷勤的期盼。 风霜雨雪的日子， 油纸伞下有您默默的守候。 崎岖泥泞的羊肠古道， 蹒跚的脚步烙满您深情的思念。 母亲啊！您就是一堵挡风的墙， 儿女躺在您怀里享受着这温柔的'梦乡。 母亲啊！你就是一棵参天的树， 子孙聚集在这里感受着这酷暑的温凉。 您的左肩，担着责任， 心系着祖国的万里长城。 您的右肩，负着哺育， 养育了华夏的儿女子孙。

您弯下身， 博大的胸怀是苍茫的大海。 您昂起头， 挺拔的身躯是高耸的山峰。 您满茧的双手， 托起祖国绿色的明天。 您佝偻的身躯， 刷新时代进步的年轮。 您是轻柔的微风， 抚平儿女心灵的创痕。 您是沉重的大地， 承载海外游子的情深。 您是娟娟的细流， 滋润疲惫归来的心田。 您是指路的航灯， 照亮后辈儿孙的行程。 您是爱心的使者， 点缀花团锦簇的人生。 您是无限的诠释， 演绎中华民族悠久历史的文明。一首诗写不下骨肉亲情，

甘甜的乳汁让儿女至今回味无穷。 一句话道不完衷心祝福， 无私的奉献让子孙终身刻骨铭心。 一首歌唱不尽发自内心的深情， 坚定的执着诉说母爱的无边无垠。 一句话讲不明大爱无疆的灵魂， 崇高的信念诠释母亲的简朴传统。 有您相伴的日子总是其乐融融， 这就是儿女们最大的奢求。 有您相守的岁月总是平平安安， 这就是子孙们祈求的呐喊。 母亲啊！母亲， 您该拥有世上最多的鲜花和掌声。 您该拥有人间最美的赞歌和真情。 您却那样朴实无华付出自己一生。【赞美母亲无私的爱的诗歌】 1.赞美母亲无私的句子 2.赞美母亲的感人诗歌 3.赞美母亲的诗歌 4.赞美母亲诗歌大全 5.赞美母亲的诗歌

浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用

浅析特征函数、母函数的概念教学及其应用 申广君 （安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003） [摘 要] 正确认识和理解基本概念是学好概率论的前提和基础。本文浅析了对特征函数、母函数的概念的认识和理解，并举例说明了它们在解决问题中的应用。 ［关键词 特征函数 母函数 应用 ［中图分类号］O174 ［文献标识码］A 概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，用随机变量来描述随机现象，使得概率论从研究定性的事件及其概率扩大为研究定量的随机变量及其分布，从而扩充了研究概率论的数学工具，特别是便于使用经典分析工具，使得概率论真正成为一门数学学科。分布函数是用来完整地描述随机变量分布规律（取值及取值规律）的最基本的方法，特征函数是概率论中的一个重要分析工具，它和分布函数之间存在一一对应的关系，可以使用特征函数来分析研究随机变量，并且可以大大简化有关随机变量的一些计算和证明，然而在研究仅取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便。可是在教学过程中发现，不少学生对特征函数和母函数的概念没有正确认识，甚至出现一些错误的认识和理解，从而导致计算的盲目性。本文主要探讨了对特征函数与母函数的概念的认识和理解，并通过实例介绍了它们的一些应用，以期对学习概率论能起到一定的指导作用。 一、特征函数 （一）特征函数的定义及性质 设X 是一个实值随机变量，其分布函数为)(x F ，则称itX e 的数学期望itX Ee 为随机变 量X 或其分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ?，即)()(x dF e Ee t itX itX X ?+∞∞ -==?，其 中1-=i ， R t ∈。 分析 按照定义，特征函数是一个实变量的复值函数。由于对任意实数R t ∈，都有 1)(sin )(cos ||22=+=tX tX e itX ，所以任何随机变量的特征函数总是存在的。并且它能把 寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，还能把求分布的各阶原点矩（积分运算）转换成微分运算，特别地它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题。下面介绍特征函数的主要性质 性质1 如果随机变量n X X X ,...,,21相互独立，则有∏==∑ =n i X X t t i n i i 1 )()(1 ?? 。 分析 特征函数的这一性质在证明随机变量列的极限问题时将发挥重要作用，然而这一性质的逆不成立。在教学中我们举如下例子来说明逆不成立，以此来加深学生对此性质的理解。 例1设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ???<<-+=.,01||,1||)],(1[41 ),(22其他； y x y x xy y x p ， 可以证明Y X +的特征函数等于Y X ,的特征函数的乘积，但是X 与Y 并不相互独立。 性质2 如果随机变量X 有n 阶（原点）矩，则它的特征函数可微分n 次，并且有 n k i EX k X k k ,...,2,1),0()() (=-=? 成立。 分析 性质2表明，如果已知随机变量的特征函数，且其矩存在，则可以通过对特征函数微分来求得随机变量的矩，这比由分布函数通过积分求矩要简单的多。 （二）特征函数的应用举例 1求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算 在概率论中，独立随机变量和的问题占有“中心”地位，用卷积公式去处理独立随机变量和的问题是常用的方法但相当复杂，然而可以很方便的运用特征函数相乘求得独立随机变量和的特征函数，由此大大简化了处理独立随机变量和的难度。

赞美母亲无私的句子【三篇】

赞美母亲无私的句子【三篇】 导读：本文赞美母亲无私的句子【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 【篇一】 1：母爱是人类最纯洁、最无私、最珍贵的情感，每一个孩子无不享受着母亲给予的幸福和快乐。长长的人生之路，因为有了母亲的教育、引导、扶持，而变得那么自信和顺利，无论你走到哪里，她都伴你延伸、顺畅。那悠悠的牵挂，那谆谆的叮咛，为你指点迷津，护你一路走好。 2：蓦然回首，当你开始体会母亲的伟大之时，我们的母亲却已是苍苍白发。而我们，注定无法改变母亲那粗糙的双手，无法让母亲重回青春，让我们好好地报答她。 3：母亲，一个多么亲切的字眼!古今中外，多少文人曾赞美着。唐代诗人孟郊的千古名 句：“谁言寸草心，报得三春晖!”不就是一个例子吗?古老的歌曲《世上只有妈妈好》之所以经历数百年的风风雨雨还常听人唱起，是因为一种爱——母爱。 4：母亲的爱就像那广阔的大海，像那浩瀚的宇宙，永无边际;像那奔腾的河流，永不停息。 5：《游子吟》中的“慈母手中线”，织出一幅儿行千里母担忧的速写，这是全天下母亲的动作，养儿育女，献出满腔的爱，我们看得

出她的那份心意，慈母的形象根深蒂固。 6：世上有一种爱，它博大无私;人间有一种情，它庄严神圣。它使我魂牵梦绕，它使我幸福一生。它——最平凡的母爱。 7：大爱无言，母爱如水，这种爱，温柔而深沉!回想过去妈妈为我所做的一切，而我真正为妈妈做的却微乎其微。现在能为妈妈做的事就是活得好好的，多陪陪她，让她少一份担心，少一份牵挂，让她也因为有我，感到幸福。 8：难忘母亲的声音，它是受伤的安慰，是失败的鼓励，是成长的动力，是成功的原因。倾听母爱，幸福永远。 9：我们常常怨恨自己的母亲，甚至羡慕别人的母亲。如果用心去体会，不难感受到她们的关怀。不管是慈爱还是严厉，都要相信那是她们爱的体验。最纯洁而又最真挚的爱莫过于此。 10：母爱是最无私的感情。母爱如春天的甘霖，悄无声息地洒落在我们的心田;母爱像一条长河，它恬静，泛着微微的浪花。在成长的道路上，母爱缓缓送我前行…… 【篇二】 1、吃遍天下饭，走遍天下娘，爱娘一生直到老，娘的节日祝福早，一片孝心过来表，愿娘天天情绪好，幸福健康没烦恼，祝母亲节快乐。 2、甜蜜蜜，你笑的甜蜜蜜，好象花儿开在春风里，开在春风里。为什么你笑的这么甜?正因我给你发了消息息。母亲节快乐，妈妈 3、我的成长是刻在你额头上的横杠;我的放纵是刻在你眉心的竖

歌颂母爱的名言和诗句【歌颂母爱无私的名言】

竭诚为您提供优质文档/双击可除 歌颂母爱的名言和诗句【歌颂母爱无私 的名言】 母爱是无私而伟大的，母爱深明大义、柔中有刚。下面是小编整理的关于歌颂母爱无私、伟大母爱的名言，希望大家喜欢! 歌颂母爱无私的名言 1.成功的时候，谁都是朋友。但只有母亲她是失败时的伴侣。郑振铎

2.母爱深明大义、柔中有刚。当你啼哭于襁褓时，母爱是温馨的怀抱，当你呀呀学语时，母爱是耐心的教导;当你熬夜备考时，母爱是暖暖的热茶;当你远行时，母爱是声声的呜咽;当你取得成绩时，母爱是激动的泪花;当你病卧在床时，母爱是布满血丝的双眼;当你沾染恶习时，母爱是苦口婆心的劝勉;当你如履薄冰而屡教不改时，母爱是撒在你伤口上疼在她心上的那把盐。 3.与肩挑贸易，勿占便宜。见贫苦亲邻，须多温恤。刻薄成家，理无久享。伦常乖舛，立见消亡。兄弟叔侄，须多分润寡。长幼内外，宜法属辞严。听妇言，乖骨肉，岂是丈夫。重资财，薄父母，不成人子。嫁女择佳婿，毋索重聘。娶媳求淑女，毋计厚奁。朱子治 4.母爱是女人心中是简单、自然、丰硕、永不衰竭的东西，就像是生命的一大要素。巴尔扎克 5.母爱是一种巨大的火焰。(罗曼罗兰)

6.父之美德，儿之遗产。字严 7.没有无私的，自我牺牲的母爱的帮助，孩子的心灵将是一片荒漠。(英国) 8.母爱如一杯浓浓的香茶，饥渴时给我们带来芳香;母爱如一加光十色的彩虹，失落时给我们带来希望;母爱如一轮火红的太阳，寒冷时给我们带来温暖;母爱如一盏明亮的路灯，迷失时给我们指明方向。 9.自觉心是进步之母，自贱心是堕落之源，故自觉心不可无，自贱心不可有。邹韬奋 10.母亲是伟大的!鲁迅 11.在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，

习题2 母函数

习 题 二 2-1 求下列数列的母函数（n ＝0,1,2，…）： （1）()??? ? ?????? ??-n n α1 ； （2）{ n ＋5 } （3）{ n (n －1) } ； （4）{ n (n ＋2) } （解）（1）()x G ＝()∑∞ =??? ? ??-01n n n x n α＝()∑∞ =-? ??? ??0n n x n α＝()αx -1 （2）()x G ＝()∑∞=+05n n x n ＝()∑∑∞ =∞=++0 41n n n n x x n ＝() x x n n -+' ∑∞ =+1401＝x x n n -+'???? ??∑∞ =+1401 ＝x x -+' ??? ??--14111＝()x x -+-14112 ＝ () 2 145x x -- （3）()x G ＝ ()∑∞=-01n n x n n ＝()∑∞ =--++2 2 2 100n n x n n x ＝()()∑∞ =++0 212n n x n n x ＝()∑ ∞ =+"0 2 2 n n x x ＝"???? ??∑∞ =+022n n x x ＝"??? ? ??-x x x 122 ＝ ()3212x x - （4）()x G ＝ ()∑∞ =+02n n x n n ＝ ()()()∑∑∑∞ =∞=∞ =-+-++0 121n n n n n n x x n x n n ＝ () () x x x n n n n --' -" ∑∑∞ =+∞ =+11 1 2 ＝x x x n n n n --' ??? ? ??-"???? ??∑∑∞=+∞=+110102 ＝x x x x x --' ??? ??--"???? ??-11112 ＝()()x x x -----11111223＝() 3 2 13x x x --

描写母爱的作文800字5篇

描写母爱的作文800字5篇 ----WORD文档，下载后可编辑修改---- 母爱无私呀! 母爱是天底下最伟大的，也是无私的。她总是奉献自己的一切给自己的孩子。因此，古往今来，总是有很多的诗歌赞美母爱的伟大，总是歌颂着那伟大的母爱。而事实上，确实如此。 这不，我亲眼目睹了这一切。傍晚放学的时候，突然，下起了磅礴大雨。妈妈来接我，随后，我坐在妈妈的电瓶车后座上，妈妈载着我回家。在路上，让我看到了非常感人的一幕。我看到一对中年的夫妻，骑着一辆电动三轮车，他们俩竟然淋着雨，而且雨水都打湿了这对夫妻，浑身都是湿漉漉的，那头发上的水都往下直掉落下来。如果说，这对夫妻没有雨衣的话，那也是正常的。而事实上，这对夫妻还是有一件雨衣的。可这件雨衣又给谁了呢?原来，在电动三轮车的后兜里还坐着一个孩子，他们把唯一仅存的一件雨衣给了自己的孩子，而且妈妈还时不时地转过身来，看望自己的孩子，摸摸他的脑袋。这个孩子倒也是听话的。他一动不动地坐在那里。可是，当我们走近一看。呀!这哪里是孩子呀?这分明是一只二哈呀!瞧，它露出的脑袋，嘴巴张得老大老大的，还吐露着舌头，还一副呆萌的样子。也许大家都觉得奇怪，为什么这对夫妻宁可自己淋雨，也不愿意让自己的狗被雨淋呢?也许他们真的是把这只二哈当成自己的亲生的孩子那样，所以才不忍让它淋雨，宁可自己淋湿了。这或许就是母爱的伟大呀，无私呀!

其实，这样的一幕，我们在现实生活中也是时有发生的。不过，那个主人公可真的是孩子了。往往下雨的时候，如果只有一把雨伞的时候，妈妈往往会把雨伞往孩子那边倾斜，宁可自己被雨淋湿，也不愿意让孩子淋到一点点的雨。每每看到这一幕的时候，心中总是无限地感慨!而令我没有想到的是，这一幕竟然在人和狗之间也上演了。也许我们都想不通，那对夫妻的行为，我们也只能说母爱伟大的这个角度来诠释这种行为了。不过，怎样，只要他们觉得这样做开心就够了! 有一种爱，叫伟大的母爱! 都说母爱是伟大的。的确，在这个世界上，真的可以说没有比母爱更伟大的了。不光是人类社会如此，动物世界亦是如此。这是千古不变的，从远古时代一直到至今。 这不，在一个森林里，啄木鸟妈妈刚生了一窝小宝宝。尽管身体比较虚弱，它还是要出去觅食。因为如果它自己不吃饱的话，就没有办法来喂饱自己的孩子。这一天，啄木鸟妈妈安顿好自己的孩子，又出去觅食了。啄木鸟妈妈的窝是建在一棵大树上面，离地面是有一定的高度，照道理，应该也算是安全的。而且啄木鸟妈妈在出去以前，还用稻草之类的东西进行遮掩，就是以防那些坏蛋分子来吃它的孩子。啄木鸟妈妈以为自己的防范工作已经做的万无一失。谁知道，当啄木鸟妈妈回来的时候，看到了痛心的一幕。它的宝宝竟然被一条蛇给吃了。那条蛇的头正钻进了啄木鸟的家里，它正津津有味地享受着大餐，殊不知，孩子它妈回来了。啄木鸟妈妈看到它的孩子被蛇吞噬了。它

无私母爱的句子

无私母爱的句子 无私母爱的句子 1.母爱是迷航的灯塔，指引着前进的方向;母爱是冬日的阳光，温暖着赤子的心灵;母爱是尽职的卫士，保护着幼小的生命;母爱是春天的细雨，滋润着干涸的土地;母爱是秋天的金黄，展现着丰收的喜悦。 2.世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。 3.记忆中的母亲啊!最心爱的恋人啊，您是我所有的快乐，所有的情谊。 4.母爱是一条长长的路。无论你走到哪里，她都伴你延伸顺畅。那悠悠的牵挂，那谆谆的叮咛，为你指点迷津，护你一路走好。 5.母爱如一杯浓浓的香茶，饥渴时给我们带来芳香;母爱如一加光十色的彩虹，失落时给我们带来希望;母爱如一轮火红的太阳，寒冷时给我们带来温暖;母爱如一盏明亮的路灯，迷失时给我们指明方向。 6.惨惨柴门风雪夜，此时有子不如无。——清·黄仲则《别老母》7.慈母爱，爱幼雏，赵家光义为皇储。——元·杨维桢《慈母爱》8.定知此别必零落，不及相随同死生。——唐·张谓《代北州老翁答》9.父母所欲为者，我继述之；父母所重念者，我亲厚之。——《格言联璧》10.人生内无贤父兄，外无严师友，而能有成者少矣。——宋·吕公着11.成功的时候，谁都是朋友。但只有母亲——她是失败时的伴侣。——郑振铎12.在父母的眼中，孩子常是自我的一部分，子女是他理想自我再来一次的机会。——费孝通13.慈母手中线，游子身上衣。临行密密缝，意恐

迟迟归。谁言寸草心，报得三春晖。——唐·孟郊14.记忆中的母亲啊!最心爱的恋人啊，您是我所有的欢乐，所有的情谊。15.如果说世界上还有哪一种爱是无私的话，那就是母亲对于儿女的爱;如果说世界上还有哪一种爱可以让我们泪流满面，那也只有母亲对儿女的爱;如果说世界上还有哪一种爱可以让我们放弃一切，那也只有母亲对儿女的爱。16.母爱如春夜无人知晓的细雨，如黄昏穿过林间的晚风，如清晨的每缕阳光，陪伴在你不经意的时候。17.母爱是盎然的绿地，芳菲而宜人。她使空气清新百花缤纷彩蝶飞舞。她是唯一没被名利污染的一方净土。18.母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。19.在孩子的嘴上和心中，母亲就是上帝。20.母爱是体贴慰藉宽容理解善良慈祥的源泉。母爱之情，惊动天地，感泣鬼神。21.母爱是慷慨的，她把爱洒给了春露，洒给了秋霜;留给了晨曦，留给了暮霭;分给了弃婴，分给了遗孤;而惟独忘了她自己。22.母爱是一片大海，让你的灵魂即使遇到电闪雷鸣依然仁厚宽容。23.母爱深明大义柔中有刚。当你啼哭于襁褓时，母爱是温馨的怀抱，当你呀呀学语时，母爱是耐心的教导;当你熬夜备考时，母爱是暖暖的热茶;当你远行时，母爱是声声的呜咽;当你取得成绩时，母爱是激动的泪花;当你病卧在床时，母爱是布满血丝的双眼;当你沾染恶习时，母爱是苦口婆心的劝勉;当你如履薄冰而屡教不改时，母爱是撒在你伤口上疼在她心上的那把盐。24.母爱就是一生相伴的盈盈笑语，母爱就是漂泊天涯的缕缕思念，母爱就是儿女病榻前的

母爱经典句子 赞美母爱的句子

母爱经典句子赞美母爱的句子 母爱经典句子1、母爱如水，似水温柔；父爱若山，如山巍峨。母爱似风，细语呵护；父爱象海，宽广隽永。母爱细致，丝丝入扣；父爱博大，深沉坚定。祝福爱我至深的双亲！感恩节快乐！ 2、在这个世界上，给我们爱最多的人，莫过于我们的父母。从我们“呱呱”坠地起，我们的父母就承担起了养育我们的重任。父爱如一座高山，永远也难以企及他的顶峰，母爱如一股涓涓细流，滋润着我们温馨的梦。 3、原来母爱是这么的伟大，却总隐藏在平凡的一举一动中，我们对母亲的不理解实则是使自己孤独的直接原因，母亲永远都在为子女操心，雪白的双鬓是最好的见证。母爱是无私的，更是值得珍惜的。她像涓涓细流，无一点杂质，给人太多的感动与温暖。 4、我爱我家的腊梅花，它的芳香让我陶醉，它的精神让我敬佩，它的品格让我喜爱。比起牡丹它少了几分高贵，比起百合它少了几分高雅，比起玫瑰少了几分美丽，它既不能像玫瑰代表爱情，也不能像康乃馨代表母爱，可它的坚强不畏强敌的精神让我喜欢。 5、母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春 6、女人固然是最脆弱的，母亲却是坚强的。——法国 7、母爱是伟大的，同时也是悲凉的，我们歌颂母爱，但往往

是时过境迁之后。正当青春年少时的你我，并不能完全理解在母亲那细微的言谈举止之中，所蕴藏的深深柔情。直到有一天，我们也为人父母了，才逐渐地从自身经历体会到：妈妈，这一声永恒的叫唤，背后却掩藏着无数个日夜等待你回家的忧愁，无数次将手浸泡在洗衣粉中的受伤，无数次为你做饭吸入油烟的伤害，无数次为了让你吃得更好，为了让你上学而忘我奔波、劳累…… 8、母爱胜于万爱。——莎士比亚 9、母爱更像寒冬中的一个暖炉，那是温暖的爱，是最好的礼物。当炉火映照在你的脸庞，你是否感到了温暖与关爱？那是世间最伟大最有力量的爱，它可以熔化一切，除去所有前进的障碍。母爱无边，生活处处有母爱。 10、在爱与厉的融合中，我有如飞翔的小天使，而母亲就是那助翔的双翼，那浓浓的母爱就是振动磁波，鼓励我一步一步走向成功的彼岸。 11、有一种爱被世人所赞颂，有一种爱可以让人每时每刻都感受到它所带来的温热这种爱就是母爱母爱像火红的太阳，母爱像黑夜里的油灯，母爱像冬天里的毛衣，母爱更像山间的溪水，一点一滴的细流汇成潺潺的溪流，一点一滴的关怀汇成浓浓的母爱。 12、所有杰出的非凡人物，都有出色的母亲。 13、有一种爱，它不像恋人们之间的狂热，不像母爱一样的温暖，不像朋友间的真诚；它是沉默的，沉默的让你几乎感受不到他的存在，我们把这伟大的爱叫做父爱。 14、白头老母遮门啼，挽断衫袖留不止。——唐朝韩愈

母函数和特征函数简介

§1 母函数（生成函数）简介 对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。母函数又称生成函数(Generating function)。 母函数的定义 ● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数 )1(0 ≤∑∞ =s s a n n n 为}0,{≥n a n 的母函数。 ● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则 称 1)(?)(0 ≤==∑∞ =s s p s E s g k k k X 为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。 一些常用分布的母函数 （1） 若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+= （2） 若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3） 若)(~p G X ，则qs ps s g -=1)( 母函数的基本性质 （1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有! ) 0()(k g p k k = （2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑== n k k X Y 1 的母函数为： )()()()(21s g s g s g s g n Y = （3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有： （a ）)1()(g X E '=

（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''== 母函数的应用 （4） 设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑== n k k X Y 1 的分布。 （5） 设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。 （6） 设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。 §2 特征函数 1． 特征函数的定义 ● 定义：如果Y X ,均为概率空间),,(P ∑Ω上的实值随机变量，则称Y i X +=ξ为一复 随机变量，且定义复随机变量的数学期望为EY i EX E +=ξ。 由以上定义，有}{sin }{cos }sin {cos }{X t iE X t E X t i X t E e E X t i +=+=。 ● 定义：若随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则称： )()sin (cos ?)(?)(x dF tx i tx x dF e Ee t X X itx itX ??∞ ∞ -∞∞ -+===? 为随机变量X 的特征函数（c.f.） ● 特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。 ● 特征函数的简单性质 （1）由于1≤itX e ，所以对任意随机变量，特征函数都有意义 （2）特征函数是一实变量的复值函数 （3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数 （4）若X 的特征函数为)(t ?，则bX a +的特征函数为)(}exp{ bt ita ?函数 （5）1)0(=? （6）对离散型的随机变量X ，其分布率为 2,1}{===j p x X P j j ，则其特征函数为∑∞ == 1 }exp{)(j j j itx p t ?，若是连续型随机变量，概率密度为)(x f ，则其特征函数为 ?∞ ∞ -=dx x f itx t )(}exp{)(?。

母函数

第二章 母函数及其应用 问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。 新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。 表2.0.1 条件 组合方案数 排列方案数 对应的集合 相异元素，不重复 ()! !!r n r n C r n -?= ()! ! r n n P r n -= {}n e e e S ,,, 21= 相异元素，可重复 r r n C 1-+ r n S ＝{,,21e e ?∞?∞ n e ?∞, } 不尽相异元素（有限重复） 特例 r ＝n 1 ! !!!m n n n n 21 S ＝{11e n ?，22e n ?， …，m m e n ?}, n 1＋n 2＋…＋n m ＝n n k ?1, (k ＝1,2,…, m ) r ＝1 m m 所有n k ?r r r m C 1-+ r m 至少有一个n k 满足1?n k < r 母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。 2.1 母 函 数 （一）母函数 （1）定义 定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞ =≡0 n n n x a x G 为该数列的（普通型）母函 数，简称普母函数或母函数。 （2）例 例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()n x +1。 例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++=-n x x x x 2 111 （3）说明 ● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数 列也随之而定；

描写母爱的唯美句子摘抄

描写母爱的唯美句子摘抄 描写母爱的唯美句子 1、人的嘴唇所能发出最甜美的字眼儿，就是母亲；最美好的呼唤，就是“妈妈”。 2、海水是温柔的。站在海滩上，海水像母亲的手，抚摸着你，让你感受到深沉的母爱。海水又是像一只温顺的小狗，安安静静，倚在你的身旁。但有时又有“东临碣石，以观沧海”的叱咤风云。 3、母亲的酒杯里永远盛满了啊。 4、这浓浓的母爱使我深深地认识到：即使你是一只矫健的雄鹰，也永远飞不出母爱的长空；即使你是一条扬帆行驶的快船，也永远驶不出母爱的长河！在人生的路上不管我们已走过多远，还要走多远，我们都要经过母亲精心营造的那座桥。人的生命似洪水奔流，不遇着岛屿和暗礁，难以激起美丽的浪花。 5、世界上最令人感恩的是母爱，反而伟大的父爱却常常被人忽略。如果说：母爱如水，那么父爱如山。如果说：母爱是涓涓小溪，那么，父爱就是滚滚细云。是呀，父亲的爱，像大山一样，高大而坚定。父亲的爱，每一点，每一滴都值得我们细细品味，但有一种爱必须说出来。 6、母爱无私无声，无边无价。母爱如泉，含蓄静默而不张扬，点点滴滴都是对儿女的细心呵护；母爱如海，犹如澎湃汹涌的大海，滚滚波涛充溢的都是对儿女的深情厚爱！ 7、母爱之恩，与江河同流，与日月同辉。 8、母亲的背影是挂念的记得有一次，我去“劳动基地”，妈妈望着我直到我上了客车，她仍在一旁不停地嘱咐、唠叨，这其中蕴含着多少伟大的母爱。车走了，母亲也走了，背影又一次出现在我的眼前，母亲还在担心我，还在挂念我。 9、我家乡的春天，每年总是生机勃勃、绿意盎然。春天来了，但是又能从什么地方发现春的信息呢？别着急，跟我来。我又和妹妹相约来到田野，发现春在田野里。松软的泥土散发着清新的湿润的气息，冬憩后醒来的麦苗儿精神焕发，展现出一派蓬勃盎然的生机。溪水欢唱，如母爱的乳汁，与土地和麦苗的血

母函数

母函数 母函数思想的起源可以追溯到18世纪Jacob B的《猜度术》一书。这本书是在作者去世8年后的1713年出版的，它是早期概率论中最重要的著作。《猜度术》一书共分四个部分，其中在第二部分中，作者讨论了组合论问题。主要是运用伯努利数通过完全归纳法证明了n 为正整数时的二项式定理。在第三部分中，作者把排列和组合的理论运用到概率论中，给出了24种有关在各种赌博情形中利益预测的例子。在第四部分中作者给出了著名的伯努利大数定律:若P是事件发生一次的概率，q是该事件不发生的概率，则在n次实验中该事件至 少出现m次的概率等于的展开式中从项到包括为止的各项之和。 母函数是组合数学的一个重要理论。Jacob B考虑掷n粒骰子时所得点数总和等于m，这种场合的数目等于 的展开式中这一项的系数，开了母函数研究的先河。在18世纪，Euler L对组合方法的发 展做出了重大贡献。他关于自然数的分解与合成的研究为母函数方法奠定了基础。 1812年，法国数学家Laplace P.S. 出版了《概率的分析理论》一书。这本书第一部分的小标题为“母函数的计算”，这一部分致力于母函数计算的数学方法及其一般数学理论，这是对Euler L所提出的母函数理论的发展。所以现代学术界认为母函数方法是由Euler L和Laplace P.S. 共同发现的。由此，组合数学中的母函数理论基本建立起来了。 在当代组合学理论中，母函数是解决计数问题的重要方法。一方面，母函数可以看成是代数对象，其形式上的处理使得人们可以通过代数手段计算一个问题的可能性的数目；另一个方面，母函数是无限可微分函数的Taylor级数。如果能够找到函数和它的Talor级数，那么Taylor级数的系数则给出了问题的解。 本章主要介绍母函数的两种形式：普通型母函数和指数型母函数。然后通过一些典型问题的分析，帮助读者加深对这一方法的理解。并且在分析中，有的问题采用多种方法求解。通过对比，读者可以明显地看到用母函数的方法解决问题具有较高的效率，并且程序具有非常规范的形式，易于实现。在本章的最后，我们就组合计数的常用方法加以归纳，并用母函数的方法来描述SAT问题和顶点覆盖问题，以帮助读者更好地理解母函数的方法。 1普通型母函数 大家对图1所示的三角形一定不会感到陌生，这个三角形就是通常所说的杨辉下角形，在西方则称之为帕斯卡三角形。世界上最早研究帕斯卡二角形的是中国的贾宪。贾宪生活在大约11世纪上半叶。他发展了中国古代数学的算法理论，在算法的抽象化、程序化，一般化方面做出了极大贡献。贾宪总结了《九章算术》以来的开方程序，并创造了“开方作法本源”。在《释锁》一书中，贾宪将0~6次的二项式展开式的系数，从上而下排成三角形，并提出了增乘方求廉法作为造表法，这是世界上最早的帕斯卡三角形。继贾宪后，在杨辉(1261)、朱世杰(1303)、吴敬(1450)的著作中，都有关于帕斯卡三角形的研究。在欧洲，15世纪的阿拉伯数学家Al-KashiG于1427年在《算术之钥》一书中给出了一个二项式展开式的系数表，这是欧洲对帕斯卡三角形的最早研究；而法国数学家Pascal B则于1654年在《算术三角形》中给出了如图2所示的三角形，但没有给出证明。

母函数ACM

母函数（Generating function）详解最近更新：2011.4.3 1.鉴于文章图片和排版的问题，对文章进行了重新编辑。 2.看见网上很多朋友在转载时不尊重别人的劳动成果，任意删除文章里关于作者的信息，希望大家在转载时保留文章所有信息，遵守版权规定。 前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》，看到支持的人很多，我不是大牛，只是一个和大家一样学习的人，写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松，二是让自己复习起来更方便。 (以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科) 在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。 母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。 这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看： “把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来” “母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “ 我们首先来看下这个多项式乘法：（以下图片都可以点击放大）

图一 由此可以看出: 1.x的系数是a1,a2,…an 的单个组合的全体。 2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。……… n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。 由此得到： 图二 母函数的定义： 对于序列a0，a1，a2，…构造一函数： 图三 称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数 这里先给出2个例子，等会再结合题目分析： 第一种：

赞美母亲无私的爱的诗歌

赞美母亲无私的爱的诗歌母亲啊！母亲， 您是那么平凡，却又是那样的伟大。 您是那么无私，却又是那样的沉重。 您是那么绚丽多姿，却又是那样的朴实无华。 曾记否，上学途中， 千万里路有您追寻的目光。 可追忆，下班归来， 漆黑夜里有您殷勤的期盼。 风霜雨雪的日子， 油纸伞下有您默默的守候。 崎岖泥泞的羊肠古道， 蹒跚的脚步烙满您深情的思念。 母亲啊！您就是一堵挡风的墙， 儿女躺在您怀里享受着这温柔的梦乡。 母亲啊！你就是一棵参天的树， 子孙聚集在这里感受着这酷暑的温凉。 您的左肩，担着责任， 心系着祖国的万里长城。 您的右肩，负着哺育， 养育了华夏的儿女子孙。 您弯下身， 博大的胸怀是苍茫的’大海。

您昂起头， 挺拔的身躯是高耸的山峰。 您满茧的双手， 托起祖国绿色的明天。 您佝偻的身躯， 刷新时代进步的年轮。 您是轻柔的微风， 抚平儿女心灵的创痕。 您是沉重的大地， 承载海外游子的情深。 您是娟娟的细流， 滋润疲惫归来的心田。 您是指路的航灯， 照亮后辈儿孙的行程。 您是爱心的使者， 点缀花团锦簇的人生。 您是无限的诠释， 演绎中华民族悠久历史的文明。一首诗写不下骨肉亲情， 甘甜的乳汁让儿女至今回味无穷。一句话道不完衷心祝福， 无私的奉献让子孙终身刻骨铭心。一首歌唱不尽发自内心的深情，坚定的执着诉说母爱的无边无垠。一句话讲不明大爱无疆的灵魂，

崇高的信念诠释母亲的简朴传统。有您相伴的日子总是其乐融融，这就是儿女们最大的奢求。 有您相守的岁月总是平平安安，这就是子孙们祈求的呐喊。 母亲啊！母亲， 您该拥有世上最多的鲜花和掌声。您该拥有人间最美的赞歌和真情。您却那样朴实无华付出自己一生。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。