变分原理-第1章

变分原理与变分法

第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域

D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x

有限元变分原理

1有限元变分原理 有限元是求解偏微分方程的数值方法，在数学上属于变分法范畴，是古典的 Ritz－Galerkin方法与分片多项式插值的结合。古典的Ritz－Galerkin方法的试函 数是求解域内的连续函数，有限元法的试函数是分片多项式。作为变分法的试函 数产生了很大区别：古典的Ritz－Galerkin方法的试函数要求域内的连续或平方 可积且满足位移边界条件，试函数定义在泛函分析的Hilbert空间，或称为内积 空间。有限元法的试函数要求在单元域内连续或平方可积，且不用考虑位移边界 条件，因为有限元是以节点位移参数为未知数，可以直接代入位移边界条件，但 是单元间出现了连续性条件，即所谓的平面和三维弹性问题的C0连续，和薄板 问题的C1连续等，相对古典的Ritz－Galerkin方法的试函数是一种广义函数。有 限元试函数定义在泛函分析的Sobolev空间，或称为广义导数空间。 2 分片检验 2.1分片检验 长期以来在有限元收敛理论中的分片检验成为关注的焦点，同时也是一个疑难症。分片检验所以倍受关注，是因为它不仅可以用于检验单元的收敛性还可以用于构造收敛单元，而且十分方便。分片检验的研究大致经历了如下三个里程。第一，1965年Irons提出了不协调元的分片检验条件(Patch Test) [1,2]，这是一个通过数值计算检验单元的收敛性的方法，可以通过对一小片有限元问题的数值计算检验单元的收敛性，也是有限元法中最实用的检验单元收敛性的方法，但是，作为一种数值检验的方法，在数学和力学原理上的提法都不够严密，而有限元的单元收敛性又是不能回避的问题。鉴于这个方法的有效性和实用性，人们一直对其开展系列的理论研究工作。1972年Strang首先给出分片检验的数学描述[3]，后来，这个条件被解释成对一个单元的约束条件，称之为单体条件[4]，这个条件使用很方便，可以做为单体的约束条件构造单元函数，但是，对这个分片检验一直缺少严格的数学证明。第二，1980年Stummel 基于严格的数学理论，建立了不协调元收敛的充分必要条件-广义分片检验[5]，并且，通过举反例证明Irons的分片检验即不充分也不必要[6]。这个严格的理论是整体条件，而非单体条件，应用很困难，只限于用于少量单元的检验，而且需要有相当的泛函分析基础，对于大多数单元无法得到应用，更是无法用于指导构造不协调元，因此深入研究实用的不协调元收敛性条件是十分必要的。 此间，还推出了一些实用的充分条件，例如，F-E-M检验[7] 和IPT 检验[8]等，1995年建立了C0类非协调元收敛准则—强分片检验(SPT) [9]，1997年基于加权Sobolev 空间理论，建立了轴对称非协调元收敛准则—强分片检验(ASPT) [10]。但是，数学的严格理论(例如，广义分片检验)难以在力学中应用，实用的力学准则(例如，分

变分原理及变分法

第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵数：线性算子（矩阵）空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1 max ；21 )(11 2 2 ∑∑===n j n i ij a A

② 函数的积分： 函数空间 数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得 有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x

变分法的发展与应用

变分法的发展与应用 应用数学11XX班XXX 104972110XXXX 摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 关键词：起源；发展；应用 1.引言 变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们在材料学中研

究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。 近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 2.变分法的起源 物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。 费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。 受费尔马的影响，约翰伯努利研究了“最速降线”问题：给 定空间中的两个点,a b,其中a比b高，求一条连接两点的曲线使得一个质点从a沿曲线下降到b用时最少。 变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面（Plateau问题）的研究。但在很长时间内仅限于一些特殊情形，没有重要进展。 3.变分法的发展 18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯

变分原理在物理学中的应用

变分原理在物理学中的应用 [摘要]从变分法出发，简述了变分原理的建立和发展;并就变分原理在各个学科的应用予以列举，为变分原理的初学者作以引导。 [关键字] 变分法；变分原理；发展历程；应用。 引言 变分原理愈来愈引起重视。固体力学变分原理的发展最为成熟,流体力学变分原理近年来也获得突破, 电磁学、传热学等领域变分原理在不断应用和发展。这是因为变分原理与有限元结合起来使古典的变分原理焕发青春[1]。本文就变分原理的发展历程和变分原理在物理学中的应用予以概括, 以形成一个了解变分原理的脉络，为更好的应用变分原理打下基础。 1.变分原理发展简史 年份历史事件 1696年约翰·伯努利提出最速曲线问题开始出现 1733年欧拉首先详尽的阐述了这个问题. 他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字。 1786年拉格朗日确定了变分法, 但在对极大和极小的区别不完全令人满意。 1810~1831年Vincenzo Brunacci, Carl Friedrich Gauss, Simeon Poisson，Mikhail Ostrogradsky和Carl Jacobi对于这两者的区别都曾做出过贡献。 1842年柯西Cauchy浓缩和修改了变分法，建立了一套严格的理论。 1849~1885年Strauch, Jellett, Otto Hesse, Alfred Clebsch和Carll写了一些其他有价值的论文和研究报告。 1872年Weierstrass系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他关于这个理论的著名教材是划时代的, 并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的。 1900年希尔伯特(Hilbert)发表的第20和23个数学问题促进了变分思想更深远的发展。 20世纪初David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献。 20世纪30年代Marston Morse 将变分法应用在Morse理论中。

变分原理

§9 变分原理 9.1 弹性变形体的功能原理 学习要点： 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使 得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 态，二者彼此独立而且无任何关系。 ．．．．．．．．．．．．．．．． 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 9.1.1 静力可能的应力： 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。 表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。 +Sσ 显然S=S u 假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程

在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件 这一组应力分量称为静力可能的应力。静力可能的应力未必是真实的应力， ．．．．．．．．．．．．．．．． 因为真实的应力还 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程 ．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然 是静力可能的应力。 ．．．．．．．．． 为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。 9.1.2 几何可能的位移： 假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程 在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件 这一组位移称为几何可能的位移。几何可能的位移未必是真实的位移，因 为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程 ．．．． ．．．．．．；在面力已知 的边界 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．。但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件 几何可能的。 为了区别于真实的位移，用表示几何可能的位移。 几何可能的位移产生的应变分量记作。

变分原理

变分原理 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。 例如：实际上光的传播遵循最小能量原理： 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 一、举一个例子（泛函） 变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。 在理论上和实践上均需要放宽解的条件。因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。 Poisson 方程的Neumann 问题 设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题 (N) ??? ? ??? =??=?-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数 这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足 01 ,=+Γ Ω ? g f d x 其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ?Γ??-ΓH H . 问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数 ΩΩ∈Ω=,1) (/)(1 1i n f ?v v H v R H ,V v ∈? 可以得到唯一解。实际上，由定理5.8推出R H v /)(1?Ω等价于半范Ω→,1?v v . 定义双线性泛函R V V →?: V v u v v u u v u v u B ∈∈∈???=?,?,?,?),,()?,?（ 和线性泛函 V v v v u g fdx v l ∈∈?+→Γ Ω??,?,,?:. 其右端与v v ?∈无关。因此v ?中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上 ,,2/1,2/1,0,0)?(ΓΓ -Ω Ω +≤v g v f v l

变分原理与变分法

第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A

② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x

变分原理与变分法

变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理: 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Exa mp les ① ② Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的 （映射）关系 第一章 光线最短路径传播； 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； AE+ EB A AC +CB ③

特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R } Exa mp les ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2 ii.弹性地基贮存的能量： n f 1 J 2 =一 J kw dx 2 0 iii.外力位能： 口 l l =-0 qwdx iv.系统总的势能： )2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4 ；|A L = max 2 a ij ； I A 2 仁 )12 ②函数的积分：函数空间i 数域 b J = a f n （X ）dX fn U D Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussi on ： ①判定下列那些是泛函： c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0) f i=ma 少（x ）i ； ex ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 q(x) /■'■'I rmTrfT ① 弹性地基梁的系统势能 ■ d 丨 L l d 2 w 2 □卡E J( dxr) 2 Tkw - qW}dx; x = 0 d w = 0 dx x x = 0,固支；x =

变分原理与变分法

第一章变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称 /相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律， 获称最小作用原理。 Examples: ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； , Summary 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 、变分法是自然界变分原理的数学规划方法 （求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映 射）关系 特征描述法：{ J: X D R|J （x ） r R } Examples: ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 = 数域 ② 函数的积分：函数空间数域 n II A II 1 = max a ij j i 1 max a ij i j 1 n n A 2 ( a ij 产 j 1 i 1 AE EB AC CB

b J f n (X )dX f n D a Discussi on ： ① 判定下列那些是泛函: ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 系统势能 泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B, A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从 A 到B 所需时间最短（忽略摩擦 力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。 B 点坐标（a, b ）, 设曲线为 y = y （x ）,并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = b ii. 建立泛函： i.梁的弯曲应变能： 1 ' d 2 w 2 b o 0 EJ( 2 ) dx 2 0 dx ii.弹性地基贮存的能量： f — kw 2 dx 2 0 iii.外力位能： l I o qwdx iv.系统总的势能： 左Ej （d 丫）2 1 2 2 kw qw}dx; x 0 w 0削0 dx x = 0,固支；x = l, 自由 Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域） ;值域是实数域。 max f (x)； a x b f(X,y) ； 3x+5y=2; x (x x °)f(x)dx f(X o ) q(x) con sts E 、J x

变分原理与变分法

第一章 变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ①光线最短路径传播； ②光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③光线折射遵循时间最短的途径（ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A

D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ①判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(；3x+5y=2；?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i.梁的弯曲应变能：?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii.弹性地基贮存的能量：dx kw l f ?=∏0 221 iii.外力位能：?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ②最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得有重 物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii.建立泛函： 设P (x , y )是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得： x

变分原理

变分原理 泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。 对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。因此，应变能就是泛函。 在数学分析中，讨论函数和函数的极值。变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。 下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。 §1 泛函和泛函的极值 首先引入泛函的概念。泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值 作为变分法的简单例题。考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。 （补充图） 设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为

连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。 根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。 求解最短程线问题，即在满足边界条件 在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1 在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2 的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。因此y（x）称为容许函数。 上述问题应用变分法可以概括为求解泛函 在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。 §2 泛函极值的必要条件-欧拉方程 假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。设 其中ε 为小参数，而η (x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数 与y（x）的差 δ y称为泛函自变函数的变分，即 类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差δ y'，称为泛函自变函数斜率的变分，即 应该注意δ y与函数y（x）的微分d y之间的差别，d y是自变量x的改变量d x 引起的y（x）的无穷小增量。而变分δ y是y（x）的任意一个微小的改变量。设泛函增量 按泰勒级数展开，则

能量原理的应用 变分法 变分法数学基础

第七章能量原理及其应用 偏微分方程求解的困难 ——应力函数解法的限制 能量原理的应用 变分法 变分法数学基础

目录 §7.1基本概念 §7.2虚功原理 §7.3最小势能原理§7.4虚应力方程§7.5最小余能原理§7.6有限元概念

格林公式 §7.1基本概念 （密度） 外力功——变形体的能量关系变形能xz xz yz yz xy xy z z y y x x U U U U U U γτγτγτεσεσεσ??= ??=??=??= ??= ??= 000 ij ij U εσd d 0=xz xz yz yz xy xy z z y y x x γτγτγτεσεσεσ+++++d d d d d ＝

注意 线弹性问题的变形能 ) (2 1 0xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=ij ij U εσ2 1 0=V U U V d 0???=

功－能关系 位移边界面力边界 V S u F V u F k ij s ij k i i k i i d d d s b ??? ?????=+εσ弹性体体积V ，表面积为S 。 位移给定表面S u 面力给定表面S σ 静力可能的应力与几何可能的位移 S =S u +S σ b ,=+i j ij F σj ij i n F σ=s )(21,,i j j i ij u u +=εi i u u =S u S σ s ij σ k i u k ij ε

§7.2虚功原理 弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。 虚功原理 V S u F V u F V ij ij V S i i i i d d d s b ????????=+δεσ δδσ

变分法

变分法综述 1.变分法 1.1.变分法起源 变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。[1] 变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。[2] 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。 1.2变分问题类型 固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。[3] （1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。设A 、B 是沿平面上不在同一直线上的两点，在所有连接A 、B 两点的平面直线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速为零的质点从A 到B 沿该曲线运动时所需时间最短。 解：以A 为原点建立平面指标坐标系，设B 点的坐标11(,)x y ，曲线方程设为()y y x =，10x x ≤≤，且满足端点条件(0)0y =，11()y x y =。 设(,)M x y 为曲线()y y x =上任意一点，由能量守恒定律得