综合高中第四章指数函数与对数函数
一、本章学习目标
1.理解有理指数幂的意义,将幂的概念及运算推广到实数指数幂.
2.了解幂函数的图象和性质,能熟知常见幂函数的图象、性质.
3.理解指数函数的图象和性质.
4.理解对数的概念,能正确识记对数的运算性质,并运用性质进行对数运算.
5.了解对数函数的概念、图象和性质,并运用相关知识解决问题.
6.掌握用计算器求对数值的方法.
7. 能够运用指数函数、对数函数模型表达一些现实情境中的现象,解决一些简单的指数型函数、对数型函数的实际应用问题. 二、知识点参考要求
指数函数与
对数函数
内容
A B
C 指数函数的图象和性质
√ 对数的概念(含常用对数、自然对数)
√ 对数函数的图象和性质
√
幂函数举例 √ 函数与方程 √
函数应用举例
√
三、近几年高考回顾 1.(0713) 函数2
43y x x =--的定义域为 (用区间表示).
2.(0705) 设
2()log (1),f x x =+ 则1(2)f -= ( )
A .2log 3 B. 3 C. 2 D. 3log 2
3(0804).下列函数在),0(∞+内是单调递减的是 ( )
A .2
x y = B . x y 1-
= C . x
y )2
1(= D . x y 2l o g = 4.(0814)已知函数)(x f 的定义域为]4,2
1[,则函数)2(x
f 的定义域为 .
5.(0904)函数12
log 2y x =-的定义域为 ( )
A 、(2,3]
B 、1
(,]4
-∞
C 、(0,1]
D 、1(0,]4
6.(0914)设函数()log ()(01)a f x x b a a =+>≠且的图象过点(0,0)且其反函数1
()
f
x -
的图象过点(2,3),则a +b = 。
7.(1013)若曲线21x
y =+与直线y b =没有公共点,则b 的取值范围是 。 8(1005).已知函数2log (1),[1,)y x x =+∈+∞,则它的反函数的定义域为
( )
A. (,0]-∞
B. (,1]-∞
C. [0,)+∞
D. [1,)+∞
9.(1102) 448log 3log 12log 4-+等于 ( )
A.1
3
-
B.1
C.
12
D.53
-
10.(1116)若曲线log a y x =与直线1(0ax ay a +=>且0)a ≠只有一个交点,则a 的取值范围是 。
11.(1207)若实数x 满足2
680x x -+≤,则2log x 的取值范围是 ( )
A . [1,2]
B . (1,2)
C . (,1]-∞
D . [2,)+∞
通过近几年的高考试题可以看出,试题考察主要集中在指数、对数函数的图象、性质,对于幂函数主要会求具体幂函数定义域,常见幂函数的图象、性质等。对于对数运算我们也要加以注意,这一块是学生的弱点,而从11年高考试卷可以看出高考对这一块是有要求的。 四、教学建议
1、由于“实数指数幂”中的运算性质均源自学生在初中所学过的“整数指数幂”的运算性质,教学中要处理好复习与提高的关系,突出学生主体地位,注重运算技能训练,教学中要通过精讲多练,形成扎实的运算能力.
2、幂函数部分内容作为了解部分,应当明确其“形”与指数函数、对数函数的区别与联系,在此基础上,通过对具体给出的幂函数的图象让学生看图识定义域,最好能根据解析式求定义域.
3、指数函数、对数函数部分的内容中,指数函数与幂函数概念的区别,以及对数与对数函数概念的区别,特别是体现在符号上的区别,要讲述清楚.两类函数的性质要结合图象来理解和记忆.教学中应尽量采用多媒体辅助教学,使学生通过多媒体课件的演示掌握指数函数、对数函数的图象特征,通过对动态图形的比较(分别有0a >,0a <的情形),直观地观察与归纳指数函数、对数函数的性质.解题训练中会求对数型函数的定义域的题目.
4、对数的概念及积、商、幂的运算有一定量的公式和性质,这部分内容以演算为主,学生对于对数符号感到陌生,对于运算性质的文字语言感到抽象,因此可以用文字语言对照符号语言,以使学生正确识记符号语言呈现的运算性质.同时让学生通过演算来记忆公式,并得到思维训练.对数运算性质的推导主要通过把对数式化为指数式以及幂运算性质而得到,考虑中职学生的学情,推导不作重点要求.
5、利用计算器求对数值,综高学生不做要求,但是换底公式要求能掌握。
6、指数函数、对数函数的实际应用中,指数型函数模型的建立是重点,通过例题讲解使学生理解指数型函数,并能模仿同类题型进行建模,解决指数型函数的实际问题.其求解过程中,通过将指数函数视为方程恒等变形为对数函数求值,是在前节课的基础上,再进行变式训练,由于不同题目所求的值不一定相同,因此变式过程仍然是难点.
课时安排建议:
§4.1 实数指数幂 2课时 §4.2 幂函数 2课时 §4.3 指数函数 3课时 §4.4 对数的概念 2课时
§4.5 对数的运算 2课时 §4.6 对数函数
2课时
§4.8 指数函数、对数函数的实际应用 2课时
单元复习 2课时 单元测试 2课时 测试讲评 2课时
§4.1实数指数幂(2学时)
教学目的:1.理解乘方、开方的概念、识记n 次方根的概念; 2.会进行根式和分数指数幂的互化;
3.能正确而熟练地计算实数指数幂
教学重点:实数指数幂及其运算法则
教学难点:乘方与开方;有理指数幂及其运算法则; 教学过程: 一、复习引入:
在初中阶段我们已经学习过几个相同的因数相乘的运算叫做乘方,即
n
n a a a a ???=
个
,(n 为正整数). 其中,a 称为底数,n 称为指数,乘方运算的结果叫做幂.因此,n a 可以读作“a 的n 次方”或“a 的n 次幂”.
显然,正数的任何次幂均为正数,负数的偶次幂为正数,负数的奇次幂为负数,00=n
(n 为正整数)。
由正整数指数幂的概念不难证明,乘方运算具有下列基本性质:
m n m n a a a +?=
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
m n m n a a a -÷=(a ≠0,m >n ) 同底数幂相除,底数不变,指数相减.
()n n n a b a b ?=? 积之幂,即为幂之积. ()n
n n a a b b
=(b ≠0) 商之幂,即为幂之商.
()m n mn a a =
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
整数指数幂 规定 1
n n
a a -=
(n 为正整数) 01a =
(a ≠0)
二、新课讲授:
1.开方运算
若)0(2
≥=a a x ,则称x 为a 的平方根,记作:x a =±,其中a 称为a 的算术平
方根,a ≥0.求平方根的运算称为把a 开平方.显然,负数不能开平方.
若3x a =,则称x 为a 的三次方根(或立方根),记作:3x a =.求立方根的运算称为开立方.因为a 与x 是同号的,因此a 可取一切实数.
推广:如果n x a =(n 是大于1的正整数),那么x 叫做a 的n 次方根,求a 的n 次方根的运算,叫做把a 开n 次方,简称开方.其中a 叫做被开方数,n 叫做根指数.
比如:1021024=,因此2是1024的10次方根;同时10(2)1024-=,所以-2也是1024的10次方根.即1024的10次方根有两个,为±2.
正数a 的正偶次方根有两个,这两个方根互为相反数,记为n a ±(n 为正偶数),其中n a 称为a 的算术n 次方根.00n =.在实数范围内,当n 为正偶数时,n x 总是非负的,即a 总是非负的,所以负数不能开偶次方.任何实数都能开奇次方,且正奇次方根只有一个,即若n x a =(n 为正奇数),则n x a =(a 为一切实数);x 与a 一定是同号的. 填空:
81的4次方根为_______,算术4次方根为_______;正数a 的6次方根记为_______,6次算术方根记为_______;0的n 次方根(n 为正整数)为________;6a 有意义,则a 的取
值范围是_____________;7a 有意义,则a 的取值范围是______________;-32的5次方根为_______,负数a 的9次方根记为________;416=______,532=_______,481±=_____.
① 有理指数幂
规定 1
n
n
a a =,(n 是正整数)
m n
m
n
a a =,
1
m n
n
m
a
a
-
=(n ,m 是正整数).
有理指数(整数或分数)幂: (1)a a a αβαβ+?=;
(2)a a a αβαβ-÷=(a ≠0);
(3)()a b a b α
α
α
?=?; (4)()a a b b
α
αα=(b ≠0);
(5)()a a αβαβ=
(以上α,β 均为有理数)
例如,
21211
3333
555
55+?===,22233233
3
8(2)2
24?
====,
1
111112
2
2
2
2
2
22()()()()a b a b a b a b +?-=-=-
三、典型例题:
例1:将下列各分数指数幂写成根式形式
(1)5
3a (2)35
(0)b b -
≠ 例2:将下列各根式分数指数幂写成分数指数幂形式
(1)5
2
a (2)
3
5
1
(0)a a
≠
例3:求下列各式的值 (1)
1
2
100 (2)238-
(3)1233
88
例4:化简下列各式
(1)
3
22? (2)6
3
a a a a ?? (3)3
3
2
)(b a 四、课堂练习
1.把下列根式表示为有理指数幂的形式。
(1) 43
6=____________;(2) 3
16-=____________;(3) _________97=b ;
(4) n b 2=____________;(5) 6m b =_____________;(6) m n
x =___________. 2.填空:
(1) 3
23
1)7()7(-?- =__________;(2)3
23
17)7(?-=____________;
(3) 313288÷=____________;(4) 812)16(=_____________;(5) 2
1)9(a =___________; (6) )()(3
23
13
13
23
13
1b b a a b a +-?+=______________. 3.将下列各根式写成分数指数幂的形式: (1) 723
-; (2) 2
54; (3) 3
4)
27(-
-; (4) 4
32
五、课堂小结
规定:1n
n
a a =,(n 是正整数)
m n
m
n
a a =,
1
m n
n
m
a
a
-
=(n ,m 是正整数).
有理指数(整数或分数)幂: (1)a a a αβαβ+?=;
(2)a a a αβαβ-÷=(a ≠0);
(3)()a b a b α
α
α
?=?; (4)()a a b b
α
αα=(b ≠0);
(5)()a a αβαβ=
(以上α,β 均为有理数)
六、课后作业:
书95页 习题
§4.2幂函数(2学时)
教学目标:1、了解幂函数的概念
2、会求幂函数的定义域和值域
3、理解几个特殊指数的幂函数的图像及性质.
4、通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用.
教学重点:1、幂函数的概念、定义域和值域
2、几个特殊幂函数的图像和性质;
教学难点:1、幂函数的定义域和值域 2、幂函数的图像和性质 教学过程: 一、复习引入
设今年中国人口为13亿,如果人口的年净增长率是%53.0,那么25年以后中国的人口是多少? 二、新课讲授
1、幂函数定义:一般地,形如α
x y =的函数叫做幂函数,其中α叫做幂指数(0≠α),
x 为自变量. 三、典型例题
例1、判断下列函数是否是幂函数,指出前面4个函数的定义域: (1)3
-=x y ,(2)3
1
-
=x y ,(3)45
x y =,(4)5
4x y =
(5)2x
1y =
,(6)2x 2y =,(7)x x y 2
+=,(8)y=1。 2、指出下列幂函数的定义域和值域:
(1)x y =; (2)2
1x y =; (3)2x y =;(4)1-=x y ; (5)3
x y =.
1)、在同一坐标系内作出上面函数图像:
2)、观察其图象并分析性质: 3)、填写下表:
y x =
2
y x =
3
y x =
1
2
y x =
1y x -=
定义域 R R R {}|0x x ≥
{}|0x x ≠
奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限单调性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减 定点
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
4)、幂函数性质归纳:
①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
②0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸;
③0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
例2、指出下列幂函数的定义域并分析性质: (1)3
1
x y =;(2)2
-=x y ;(3)2
1-
=x
y
例3、已知幂函数()x f 的图像过点()
43,3,求()4f 的值? 例4、利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小: (1)43
3.2,43
4.2;(2)5631.0,5
635.0; 四、课堂练习:
1、讨论函数23
y x =的定义域、奇偶性,作出它的草图,并根据图象说明函数的单调性. 2、试说下列函数的性质: (1)3
-=x y ,(2)3
1-
=x
y ,(3)45
x y =,(4)5
4x y =
3、指出函数2-=x y 和函数2
)3(--=x y 的定义域和单调区间.
4、练习:利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小:
(1)2
3)2(-,2
3)
3(-
;(2)
21
1.1-,2
19.0-;(3)31
5.1 ,
3
17.1 ;(4)3
2
22-
???
? ??-, 3
2710??
?
??-
5、下列函数中在()0,∞-上是增函数的是 ( ) A 3
x y = B 2
x y = C x x y 1
= D 2
1x y =
6、幂函数n
x y =的图像一定不经过 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 五、课堂小结: 1、什么是幂函数? 2、说说幂函数有哪些性质? 六、课后作业: 书98页 1,2
§4.3
指数函数(2学时)
教学目标:
1.理解指数函数的概念,能正确的表述指数函数的定义域,能区分指数函数与幂函数;
2.会用计算器求指数函数的函数值;
3.会用描点法作指数函数的图象;