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2006年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.

（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）90 答：C ．

解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施是在55千米处. 故选C ．

2．已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于（）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）9 答：C ．

解：由已知可得 122=-m m ，122=-n n ．又

8)763)(147(22=--+-n n a m m ，

所以 ()()8737=-+a ，解得 9-=a ．

故选C ．

3．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（）

（A ）1h 答：B ．

解：设点A 的坐标为),(2a a ，点C 的坐标为),(2c c （c a <），则点B 的坐标为),(2a a -，由勾股定理，得

22222)()(a c a c AC -+-=， 22222)()(a c a c BC -++=，

222AB BC AC =+，

所以 22222)(c a c a -=-．

由于22a c >，所以221a c -=，故斜边AB 上高=h 221a c -=．

故选B ．

4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）

（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007 答：B ．

解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得（k ＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（k ＋1）×360°．

因为这（k ＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为

34×（62－2）×180°=34×60×180°，

其余多边形有（k ＋1）－34＝k －33（个），而这些多边形的内角和不少于（k －33）×180°．所以

（k ＋1）×360°≥34×60×180°＋（k －33）×180°，

解得k ≥2005．

当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了

58＋33＋33×58＝2005（刀）．

故选B ．

5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，

DP 交AC 于点Q ．若QO QP =，则

的值为（）（A ）132- （B ）32

（C ）23+ （D ）23+

答：D ．

解：如图，设⊙O 的半径为r ，m QO =，则m QP =，m r QC +=，

（第5题图）

m r QA -=．

在⊙O 中，根据相交弦定理，得QD QP QC QA ?=?．即 QD m m r m r ?=+-))((，

所以 m