转移概率矩阵
第七节马尔可夫预测方法
本节主要内容：
?几个基本概念
状态；
状态转移过程；
马尔科夫过程；
状态转移概率；
状态转移概率矩阵。
?马尔可夫预测法
状态转移概率；
状态转移概率矩阵。
对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。马尔可夫预测法是对地理事件进行预测的基本方法，它是地理预测中常用的重要方法之一。
?状态。指某一事件在某个时刻（或时期）
出现的某种结果。
?状态转移过程。事件的发展，从一种状态
转变为另一种状态，称为状态转移。
?马尔可夫过程。在事件的发展过程中，若
每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
几个基本概念
?状态转移概率。在事件的发展变化过程中，
从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率是
)(j i E E P →ij
i j j i P E E P E E P ==→)/()(（3.7.1）
?状态转移概率矩阵。假定某一个事件的
发展过程有n 个可能的状态，即E 1，E 2，…，E n 。记为从状态E i 转变为状态E j 的状态转移概率，则矩阵
几个基本概念
)
(j i E E P →
称为状态转移概率矩阵。 概率矩阵。
一般地，将满足条件（3.7.3）的任何矩阵都称为随机矩阵，或概率矩阵。
?
?
?
??
?
??????=nn n n n n P P P P P P P P P P 212222111211（3.7.2）
????
?===≤≤∑=)
,,2,1(1),,2,1,(101
n i P n j i P n j ij ij （3.7.3）
几个基本概念
不难证明，如果P 为概率矩阵，则对于任何整数m >0，矩阵都是概率矩阵。
m
P
标准概率矩阵、平衡向量。
如果P 为概率矩阵，而且存在整数m >0，
使得概率矩阵中诸元素皆非零，则称P
为标准概率矩阵。可以证明，如果P 为标准概率矩阵，则存在非零向量，而且满足
，使得：
（3.7.4）
这样的向量α称为平衡向量，或终极向量。这就是说，标准概率矩阵一定存在平衡向量。
m P ],,,[21n x x x =αi x 10≤≤i x ∑==n
i i
x
1
1
几个基本概念
α
α=P
状态转移概率矩阵的计算。
计算状态转移概率矩阵P ，就是求从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率。为了求出每一个，一般采用频率近似概率的思想进行计算。
)n ,1,2,( i,j P ij 几个基本概念
例题1：
考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”、“平收”和“欠收”。记E
1
为“丰收”状态，E
2为“平收”状态，E
3
为“欠收”状态。表3.7.1给出了该地区1960～1999年期间农业收成的状态变化情况。试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。
表3.7.1某地区农业收成变化的状态转移情况
年份1960196119621963196419651966196719681969
序号状态年份序号状态年份序号状态年份序号状态
1
E
1
1970
11
E
3
1980
21
E
3
1990
31
E
1
2
E
1
1971
12
E
1
1981
22
E
3
1991
32
E
3
3
E
2
1972
13
E
2
1982
23
E
2
1992
33
E
2
4
E
3
1973
14
E
3
1983
24
E
1
1993
34
E
1
5
E
2
1974
15
E
1
1984
25
E
1
1994
35
E
1
6
E
1
1975
16
E
2
1985
26
E
3
1995
36
E
2
7
E
3
1976
17
E
1
1986
27
E
2
1996
37
E
2
8
E
2
1977
18
E
3
1987
28
E
2
1997
38
E
3
9
E
1
1978
19
E
3
1988
29
E
1
1998
39
E
1
10
E
2
1979
20
E
1
1989
30
E
2
1999
40
E
2
从表3.7.1中可以知道，在15个从E
1出发
（转移出去）的状态中，
(1)有3个是从E
1转移到E
1
的
（即1→2，24→25，34→35）
(2)有7个是从E
1转移到E
2
的
（即2→3，9→10，12→13，15→16，29→30，35→36，39→40）
(3)有5个是从E
1转移到E
3
的
（即6→7，17→18，20→21，25→26，31→32）①计算：
2000
.015
3
)()(111111===→=E E P E E P P 4667
.015
7
)()(122112===→=E E P E E P P 3333
.015
5
)()(133113===→=E E P E E P P 所以
同理可得：
5385
.0137
)()(211221===→=E E P E E P P 1538
.0132
)()(222222===→=E E P E E P P 3077
.013
4
)()(233223===→=E E P E E P P 3636
.0114
)()(311331===→=E E P E E P P 4545
.0115
)()(322332===→=E E P E E P P 1818
.011
2
)()(333333===→=E E P E E P P
②结论：该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为
????
??????=1818.04545.03636.03077.01538.05385.03333.04667.02000.0P （3.6.5）
状态概率及其计算?状态概率：表示事件在初始（k＝0）
状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在第k 个时刻（时期）处于状态的概率。且：
?根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式，有
)
(k
π
j
1
)
(
1
=
∑
=
n
j
j
k
π（3.7.6）
)
,
,2,1
(
)1
(
)
(
1
n
j
P
k
k
n
i
ij
j
j
=
-
=∑
=
π
π（3.7.7）
j
E
记行向量
，
则由（3.7.7）式可以得到逐次计算状态概率的递推公式：
)]
(,),(),([)(21k k k k n ππππ =??
?
???
?==-====k P P k k P P P )0()1()()0()1()2()0()1(1ππππππππ （3.6.8）
式中，为初始状态概率向量。
)]0(,),0(),0([)0(21n ππππ =
第k 个时刻（时期）的状态概率预测
如果某一事件在第0个时刻（或时期）的初始状态已知，即已知，则利用递推公式(3.7.8)式，就可以求得它经过k 次状态转移后，在第k 个时刻（时期）处于各种可能的状态的概
率，即，从而就得到该事件在第
k 个时刻（时期）的状态概率预测。
)0(π)(k π马尔可夫预测法
例题2：
将例题1中1999年的农业收成状态记为
=[0,1,0]，将状态转移概率矩阵（3.7.5）
)0(
式及代入递推公式（3.7.8）式，可求得2000——2010年可能出现的各种状态的概率（见表3.7.2）。
表3.7.2某地区1990—2000年农业收成
状态概率预测值
年份2000200120022003
状态概率
E1
0.5
385
E2
0.1
528
E3
0.3
077
E1
0.3
024
E2
0.4
14
E3
0.2
837
E1
0.3
867
E2
0.3
334
E3
0.2
799
E1
0.3
587
E2
0.3
589
E3
0.2
779
年
份
2004200520062007
状态概率
E
1
0.3
677
E
2
0.3
509
E
3
0.2
799
E
1
0.3
647
E
2
0.3
532
E
3
0.2
799
E
1
0.3
656
E
2
0.3
524
E
3
0.2
799
E
1
0.3
653
E
2
0.3
526
E
3
0.2
799
年份200820092010
状态概率
E
1
0.3
653
E
2
0.3
525
E
3
0.2
799
E
1
0.3
653
E
2
0.3
525
E
3
0.2
799
E
1
0.3
653
E
2
0.3
525
E
3
0.2
799
终极状态概率预测
①定义：经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率，即：
②终极状态概率应满足的条件：
)
(lim )](lim ,),(lim ),(lim [21k k k k k n k k k πππππ∞
→∞
→∞
→∞
→== P
ππ=)
,,2,1(1
0n i i =≤≤π∑==n
i i
1
1
π
马尔可夫预测法
三维旋转矩阵的计算
三维旋转矩阵的计算 旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。 在三维空间中，旋转变换是最基本的变换类型之一，有多种描述方式，如Euler 角、旋转矩阵、旋转轴/旋转角度、四元数等。本文将介绍各种描述方式以及它们之间的转换。 1. 旋转矩阵 用一个3阶正交矩阵来表示旋转变换，是一种最常用的表示方法。容易证明，3阶正交阵的自由度为3。注意，它的行列式必须等于1，当等于-1的时候相当于还做了一个镜像变换。 2. Euler角 根据Euler定理，在三维空间中，任意一种旋转变换都可以归结为若干个沿着坐标轴旋转的组合，组合的个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同的坐标轴。因此，可以用三个沿着坐标轴旋转的角度来表示一个变换，称为Euler角。旋转变换是不可交换的，根据旋转顺序的不同，有12种表示方式，分别为：XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ，可以自由选择其中的一种。对于同一个变换，旋转顺序不同，Euler角也不同，在指定Euler角时应当首先约定旋转顺序。 2.1 Euler角转化为旋转矩阵 不妨设先绕Z轴旋转γ，再绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转α，即旋转顺序为XYZ，旋转矩阵
3. 旋转轴/旋转角度 用旋转轴的方向向量n和旋转角度θ来表示一个旋转，其中 θ>0表示逆时针旋转。 3.1 旋转轴/旋转角度转化为旋转矩阵 设v是任意一个向量，定义
ArcGIS土地利用转移矩阵
一、数据准备（图1） 准备两幅不同时相的土地利用现状图（shp格式），每幅图的属性表都要有一个表示土地利用类型的字段，并且要使用不同的名称加以区分，如Type1995，Type2000。土地利用类型名称必须统一，并且完整，如都使用“城镇用地”、“有林地”等。 二、数据融合（图2） 在ArcMap里分别打开两个时相的图层，打开ArcToolbox，选择Data Management Tools | Generalization | Dissolve工具。Input Feature选择要融合的图层，Output Feature Class选择输出结果存储的位置及名称，Dissolve Field(s)选择土地利用类型字段（如Type1995），然后勾选Creat multipart features选项，点击OK完成。重复此过程，对另一时相数据进行融合。此步骤使相同利用类型的记录融合为一个记录，以提高后面步骤的计算速度。
三、叠置分析（图3） 在ArcMap中打开两个时相融合后的数据，在ArcToolbox中选择Analysis Tools | Overlay | Intersect工具，Input Features选择两个时相的图层，Output Feature Class 选择叠加结果存储的位置及名称，其余选项可以忽略，单击【OK】完成。 四、计算面积并导出属性表（图4-6） 在ArcMap中打开叠加后的图层数据，在该图层上右键打开属性表，选择Option |
Add field… 新建一个字段，命名为NewArea。 在Editer工具条中选择Editer | Start Editing，然后在属性表中NewArea字段上单击右键选择Calculate Geometry… ，在打开的Calculate Geometry对话框中，Property选择Area，Units选择要使用的面积单位，单击【OK】完成图斑面积计算。依次选择Editer | Save Edits / End Editing保存和退出编辑状态。
利用栅格计算器进行土地利用类型转移矩阵计算
利用栅格计算器进行土地利用类型转移矩阵计算 1.数据准备 准备好两期的土地利用分类数据裁剪_86和裁剪_95，用arcmap 打开这两期影像文件：
2.转移矩阵计算 打开Arctoolbox window 窗口，在Arctoolbox window窗口中选择Spatial Analyst Tools>>Map Algebra>>Raster Calculator. 双击Raster Calculator，出现如下显示窗口。
表达式输入框 在表达式输入框中输入表达式:"裁剪_86" * 10 + "裁剪_95"，在Raster Calculator中双击map algebra expression中的文件即为 选中此文件，Output raster中设置输出文件目录及文件名fangfa_1， 选择OK。 如图得到栅格计算器结果文件fangfa_1，右击layers中文件fangfa_1, 选择open attribute table,查看fangfa_1的属性表。
在fangfa_1属性表中选择table options>>export,选择路径和文件名，输出一个.dbf文件表格。 3.结果分析 按照刚刚的输出路径，找到该表，用excel打开该表格。每个像元大小为30*30，所以需要将表中count字段乘以900即为面积（单位为米）。
需要注意的是，“23”表示由裁剪_86年的第2类型转化为裁剪 _95年的第3类型，“56”表示由裁剪_86年的第5类型转化为裁剪_95 年的第6类型，等等。 调整excel表中的数值为下表所示： 调整后的转移矩阵结果表中右边即为86年到95年土地利用类型转移矩阵结果。
马尔科夫转移矩阵法
马尔科夫转移矩阵法 1.工具名称 马尔科夫转移矩阵法是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。 2.工具使用场合/范围 单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。 市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法 3.工具运用说明： 在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。 马尔科夫分析法的一般步骤为： ①调查目前的市场占有率情况； ②调查消费者购买产品时的变动情况； ③建立数学模型； ④预测未来市场的占有率。 二、马尔科夫分析模型 实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。 马尔科夫分析法的基本模型为： X(k+1)=X(k)×P 式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移概率矩阵，X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。 必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一
转移矩阵计算
写文章的过程中，同样也用到了土地利用/景观转移矩阵。转移矩阵的制作很多软件可以实现，有Arcview、Arcmap、还有人用matlab。但是网上都写的都不详细，在这里，本文才用arcmap的叠加操作＋excel的数据统计功能，可以轻松完成这一过程。相信看完了本文，初学者或者对GIS了解不多的人，也能轻松的制作出转移矩阵。 方法一： 1数据准备 准备好两期的coverage或shape文件。（注意：拓扑关系要建好，不然无法计算），采用Arcmap打开上述两期文件。 2叠加操作 选择Arcmap里面的“ArcToolbox”按钮下面的“Analysis Tools”工具下面的叠加分析模块（Overlay）下面的交叉分析功能（Intersect）。选择已经打开的两期数据进行叠加分析。叠加的结果存在一个可以找到的地方。同时，把叠加后的结果添加在Arcmap里。 3输出叠加文件的属性数据 A、右键打开intersect产生的矢量文件的数据属性表（open attribute table）。 B、点击“options”按钮，选择“add field”，然后给出一个新name“newarea”，数据类型为double C、右键点击刚刚产生的“newarea”，并选择“calculate values” D、然后点击“field calculator”对话框里面的“Advanced”后选择“help”将 Dim Output as double Dim pArea as Iarea Set pArea = [shape] Output = pArea.area 拷入到“field calculator”对话框下面的空白处 E、在对话框“field calculator”最下面的空白处填上“output”
土地利用景观转移矩阵方法汇总
最简单的土地利用/景观转移矩阵的制作（转）(2009-05-19 03:36:24) 写文章的过程中，同样也用到了土地利用/景观转移矩阵。转移矩阵的制作很多软件可以实现，有Arcview、Arcmap、还有人用matlab。但是网上都写的都不详细，在这里，本文才用arcmap的叠加操作＋excel的数据统计功能，可以轻松完成这一过程。相信看完了本文，初学者或者对GIS了解不多的人，也能轻松的制作出转移矩阵。 方法一： 1数据准备 准备好两期的coverage或shape文件。（注意：拓扑关系要建好，不然无法计算），采用Arcmap 打开上述两期文件。 2叠加操作 选择Arcmap里面的“ArcToolbox”按钮下面的“Analysis Tools”工具下面的叠加分析模块（Overlay）下面的交叉分析功能（Intersect）。选择已经打开的两期数据进行叠加分析。叠加的结果存在一个可以找到的地方。同时，把叠加后的结果添加在Arcmap里。 3输出叠加文件的属性数据 A、右键打开intersect产生的矢量文件的数据属性表（open attribute table）。 B、点击“options”按钮，选择“add field”，然后给出一个新name“newarea”，数据类型为double C、右键点击刚刚产生的“newarea”，并选择“calculate values” D、然后点击“field calculator”对话框里面的“Advanced”后选择“hel p”将 Dim Output as double Dim pArea as Iarea Set pArea = [shape] Output = pArea.area 拷入到“field calculator”对话框下面的空白处 E、在对话框“field calculator”最下面的空白处填上“output”
转移矩阵及其基本性质
哈尔滨师范大学 学年论文 题目转移矩阵及其基本性质 学生周林 指导教师张强讲师 年级 2008级 专业物理学 系别物理系 学院物理与电子工程学院
哈尔滨师范大学 2011年 2 月 论文提要 一是随着光通信、光信息处理和光传感等技术的迅速发展，研究光在薄膜波导中调制、耦合、传输、放大、色散和非线性相互作用等现象的波导光学日益受到有关研究人员的重视。而波导光学领域内的研究的研究成果对一系列薄膜光电子器件的发展也起到了重大作用。 而在研究导波光学中转移矩阵是不可或缺的，在导波光学中，利用转移矩阵方法研究多类波导特性已经取得了许多的创造性成果，其内容覆盖了多层薄膜导波、渐变折射率波导、周期性波导、多量子阱波导、泄漏波导、金属覆盖波导以及金属与介质界面上的表面等离子波。由此可见，转移矩阵在导波光学中的作用是巨大的。 二是在数学和物理学的研究中，转移矩阵也是不能缺少的，利用转移矩阵的定义和转移矩阵的八个基本的性质解决了许多数学和物理学的问题。
转移矩阵及其基本性质 周林 摘要：利用矩阵技术描述光在多层薄膜中的传播是一种简单易行的方法。这种方法不仅物理意义清晰、计算方便，而且具有给出解析式的潜力。本文先介绍平板波导的波动方程以此为基础通过简单的三层平板波导来建立转移矩阵，从而导出转移矩阵的八个基本性质，在现在科学界中转移矩阵及其基本性质被广泛应用。 关键词：波动方程 TM 波 TE 波 转移矩阵 矩阵方程 基本性质 模式本征方程 一、平板导波的波动方程 在研究转移矩阵前我们要先知道平板导波的波动方程因为在下面的转移矩阵的推导中 会用到这个方程，还可以通过推导波导方程更好的理解转移矩阵的推导过程，还有它们之间的联系和转移矩阵在导波光学中的重要作用。 假设有一个非对称平板波导的结构如图1所示，它是由三层材料组成的，中间一层是折射率为1n 导波层，它的淀基在折射率为2n 的衬底上，导波层上面是折射率为3n 的覆盖层（也称包层）。 图 1 为了构成真正的光波导，所以1n 必须大于2n 和3n ，为了不失一般性，可以假设 321n n n ≥>。如果21n n =，则称波导是对称的；当32n n ≠时，则称波导是非对称的。由 于对称波导是非对称波导的极限情况，所以在此我们讨论非对称波导。 x y z h 1n 2n 3 n o
转移矩阵计算
如何利用ARCGIS10.0（中文版）软件求景观 转移矩阵 1 数据准备 准备好两期的coverage或shape文件，并加载或者可以 复制图层并粘贴。例如： 单击右键点击箭头处图层，点击复制便可复制在别的新建图层里。 2 叠加操作 首先将上述两期图层加载进来，选择Arcmap里面的“ArcToolbox”按钮下面的“分析工具（Analysis Tools）”工具下面的叠加分析模块（Overlay）下面的相交功能（Intersect）。选择已经打开的两期数据进行叠加分析。叠加的结果存在一个可以找到的地方。同时，把叠加后的结果添加在Arcmap里。如下图所示：
3 输出叠加文件的属性数据 打开刚才所做的“相交”图层属性表，点击（红色箭头）处，添加字段：面积，然后在面积这一项点击计算几何求的面积。
将上面这个表复制到Excle 表格里，这个自己看，如果数据太多一般要分段复制，最简单的办法就是分段利用Shift 键一段一段复制，也有人说直接点击上图一那个箭头，在下面点击导出，属性以.dbf 格式结果存储。 4 Excel 进 行 转 移 矩 阵 制 作 A.如果是自己复制粘贴的Excle ，点击打开数据选中所 图一
有数据，选择数据\数据透视表和数据透视图。如图二所示； B.如果是导出的则：刚才存储的.dbf文件可以使用excel 打开，打开的结果重新保存为.xls（excel）文件。（dbf文件不能保存）。重新打开刚存储的excel文件。选中所有数据，选择数据\数据透视表和数据透视图。将两期数据的需要相交分析的值分别拖入行列字段，然后以‘面积’字段作为数据项拖入计算区域。得到的便是转移矩阵。如果发现矩阵的形式不美观，可以对单位进行修改。如图二所示： 图二