已知一点的应力状态MPa
第一章
1-10． 已知一点的应力状态10100015520????
?
? ??--=
ij σMPa ，试求该应力空间中
122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？
解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：
2
2
2
C
B A A ++=
l ，2
2
2
C
B A B ++=
m ，2
2
2
C
B A
C n ++=
因此：312)(-2112
22=
++=
l ，322)(-212-222-=++=m ；3
22)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τ
xy m ＋τ
xz n=3100
325031200=?-?
S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350
321503150=?+?
S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=3
200
32100-=?-
1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：
???
?
?
??--=1030205040100 ij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。
解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140
=2J 2
22xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10）
-402
-(-20)2
-302
=600
=3J 321σσσ=2
222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000
σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7 σ8=σm =46.7
1-12设物体内的应力场为3
126x c xy x +-=σ，222
3
xy c y -
=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。
解：由应力平衡方程的：
即：()()0x c -3c
y 3c 6231
22
=++-
（1）
03c 2c 23=-- （2）
有（1）可知：因为x 与y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零， 因此，-6-3c 2=0 （3） 3c 1-c 3=0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c 1=1，c 2=－2，c 3=3
1-13． 已知受力物体内一点应力张量为：,MPa 0375087500
58050
05???
?
? ??---=ij σ求外法线方向余弦为l=m=
21，n=2
1
的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。 解：S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=
240502
1
8021502150+=?+?+?
S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n =
25.37252
1752150-=?-?
S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=
2155.22
130********-=?-?-?
S=111.7
J1=20 J2=16025 J3=-806250
σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！ σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.6
1-14． 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为
a)????? ??-=01001-001010-001ij σMPa ；b)????? ??=010*********ij σ MPa ；c)????
?
??--=6001-025-10-5-01-ij σ
MPa
1）画出该点的应力单元体；
2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。 解：a ）点的应力单元体如下图 2）
a)???
?
? ??-=01001-001010-00
1ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=200 MPa ，J 3=0 MPa ，
主应力和主方向： σ1=20 MPa ，l=;22±
m=0；n=;2
2
σ2=-10 MPa ，l=m= n=0 σ3=0 MPa ，l=;22±
m=0；n=;2
2± 主剪应力τ12=±15 MPa ；τ23=±5 MPa ；τ12=±10 MPa
最大剪应力τmax =15 MPa
八面体应力σ8=3.3 MPa ；τ8=12.47 MPa 。 等效应力45.26=σMPa 应力偏张量及球张量。
??
??????
??-
=30200
1-030
4010-03
2ij σ MPa ；?????
??
?
?
?=3010
0030
1000301ij σ MPa ； b) 点的应力单元体如下图
???
?
? ??=010*********ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=2500 MPa ，J 3=500 MPa ，
主应力和主方向：
σ1=10 MPa ，l=m= n=0 σ2=50 MPa ，l= m=;2
2
±
n=0； σ3=-50 MPa ，l= m=;2
2
±
n=0。 主剪应力τ12=±20 MPa ；τ23=±50 MPa ；τ12=±30 MPa 最大剪应力τmax =30 MPa
八面体应力σ8=3.3 MPa ；τ8=41.1 MPa 。 等效应力2.87=σMPa 应力偏张量及球张量。
??
?????? ?
?--=3020
0030150
050301ij σ MPa ；?????
??
?
?
?=3010
0030
1000301ij σ MPa ； c) 点的应力单元体如下图
???
?
? ??--=6001-025-10-5-01-ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=-18 MPa ，J 2=33 MPa ，J 3=230 MPa ，
主应力和主方向：
σ1=10 MPa ，l=m= n=0 σ2=50 MPa ，l= m=;2
2
±
n=0； σ3=-50 MPa ，l= m=;2
2
±
n=0。 主剪应力τ12=±20 MPa ；τ23=±50 MPa ；τ12
=±30 MPa
最大剪应力τmax=30 MPa
八面体应力σ8=-6MPa ；τ8=9.7 MPa 。 等效应力σ=20.6MPa 应力偏张量及球张量。
????? ??--=12001-085-10-5-16-ij σ； ????
? ??---=60006000
6ij σ
1-19．平板在x 方向均匀拉伸（图1-23），在板上每一点x σ=常数，试问y σ为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。
图1-23（题19）
解：等效应力： 令2
x
2
y
2
y
x
)
()()(y
σσσσ++-=，要使等效应力最小，必须使y 值最小，两边微分得：
等效应力最小值：
1-20．在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x 轴交成θ角的一个平面上，其正应力为σ（σ＜0），切应力为τ，且为最大切应力K ，如图1-24所示。试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y 方向上的正应力σy 及切应力τxy ，且将σy ﹑τyz 及σx 、τxy 所在平面标注在应力莫尔圆上。
图1-24（题20）
解：由题意得知塑性区一点在与x 轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力K ，因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。
图1-25
第二章
2-9．设x y a ;bx );y 2x (a xy 2y 22x
==-=γεε，其中a 、b 为常数，试问上述应变场
在什么情况下成立？ 解：对)y 2x (a 22x
-=ε求y 的2次偏导，即：
4a y
2
x
2=??ε （1） 对2y
x b =ε求x 的2次偏导，即：
2b x
2
y 2=??ε （2）
对x y a xy
=γ求x 和y 的偏导，即：
a y
x xy 2=???γ （3）
带（1）、（2）和（3）入变形协调方程（4），得：
y x x
y xy y
x ???=??+??γεε22
2
22)(21 （4） 即：-b a =时上述应变场成立。 2-10试判断下列应变场是否存在？
（1）2x xy =ε，y x 2
y =ε，xy z =ε，0xy =γ，()y z 212yz +=
γ，()
22xz y x 2
1
+=γ （2）22x y x +=ε，2
y y =ε，0z =ε，2xy xy =γ，0xz yz ==γγ
（1）解：对2x xy =ε、y x 2
y =ε和xy z =ε分别求x 、y 或z 的2次偏导，对0xy =γ、
()y z 212yz +=
γ和()
22xz y x 2
1
+=γ分别求x 、y 和z 的2次偏导，则： 2x
y 2
x
2=??ε, 0z 2x 2
=??ε； （a ） 2y x
2
y 2=??ε,
0z
2
y 2=??ε； （b ）
0x 2z 2=??ε，0y 2
z 2
=??ε； （c ）
0y
x xy
2=???γ，0z y z
y 2=???γ；
0z x z
x 2=???γ （d ） 将（a ）、（b ）、（c ）和（d ）代入变形协调方程（e ）：
z y y
z yz z
y ???=
??+??γεε22222
)(21 （e ） 则（e ）第一式不等，即：0)2y 2x (2
1≠+
这说明应变场不存在。
（2）对22x y x +=ε、2y y =ε和0z =ε分别求x 、y 或z 的2次偏导，对2xy xy =γ和
0xz yz ==γγ分别求x 、y 和z 的2次偏导，
2
y 2
x
2=??ε, 0z 2x 2
=??ε； （a ） 0x
2
y 2=??ε,
0z
2
y 2=??ε； （b ）
0x 2z 2=??ε，0y 2
z 2
=??ε； （c ） 2y x xy
2=???γ，0z
y z
y 2=???γ；
0z x z
x 2
=???γ （d ） 则：2y
x 1)x y (21xy 22y
2
2
x 2=???≠=??+??γεε，说明应变场不存在。 2-11．设物体中任一点的位移分量为
求点A （0.5，－1，0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。 解：y 101.0x
u
3x
-?=??=
ε
将点A 的x=0.5，y=－1，z=0代入上式，得点A 的应变分量 对于点A ：
即：0105.2108.125-101.513-102-43=?+??--εεε 2-12． 物体中一点应变状态为：
001.0x =ε，005.0y =ε，0001.-0z =ε，0.0008xy =γ，0006.0yz =γ，0004.0xz -=γ，试求主应变。
解：由题可知： 即：0101.98103.24105.9-10-62-33
=?+?-?-εεε
解方程得主应变：33-32-31
10.73103.8104.6-?=?-=?=εεε，，
2-13．已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为y x U x 40
1200341++=
，y x U y 200
1
25151-+=
，试求该点的应变分量xy y x γεε,,，并求出主应变21,εε的大小与方向。 解：0.015x
u x
x
=??=
ε
即：0101.13125-101.0-32-23=??-εεε 解方程得主应变：0,0.029-0.039,321
===εεε
由：3-3-1000002900039n m l 1000
00532.5032.515????
?
? ??=???????????????? ?
?得：
解这个方程得：m 1=0.5575, m 2=5.16。由于m 2=5.16＞1，与方向余弦规定不符，因此，
m 1=0.5575才是正确解。由此得：l=0.689。
即ε1=-0.039时，方向余弦为：l=0.689，m=0.5575，n=0。
同理可求：ε2=0.029时，方向余弦为：l=0.8025，m=0.5966，n=0。
第三章
3-6．某理想塑性材料在平面应力状态下的各应力分量为σx =75，σy =15，σz =0，τxy =15（应力单位为MPa ），若该应力状态足以产生屈服，试问该材料的屈服应力是多少？ 解：由由密席斯屈服准则： 得该材料的屈服应力为：
3-7．试证明密席斯屈服准则可用主应力偏量表达为： 证明：由密席斯屈服准则：()()()s σσσσσσσ22
31223221=-+-+-
即：()()()s σσσσσσσσσσ=---++323121232221 （1）
而：
()
[]
[]
2
3312123222
1233121232
2212
32132
32122
321
12322
2
1-6-666666
1333232
3σσσσσσσσσ
σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ--++=
--++=??????????? ??++-+??? ??++-+??? ?
?
++-='+'+' （2）
所以：（1）式与(2）式相等。
3-8．试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在，应力处于弹性还是塑性状态？（材料为理想塑性材料）
a)????? ??=s s ij σσσ00000
00
， b)????? ??---=s s
s
ij σσσσ400050
05， c)?????
??=00001.00
002.1s
s
ij σσσ， d)???
?? ??-=s s ij σσσ6.000000
5.0， e)?????
?
?---=s s
s ij σσσσ5.10
005.00
0， f)????
?
??=00
000
54.0054.00
s
s
ij σσσ 解：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：σs -0=σs ，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则()()()s 2312232212
1
σσσσσσσσ=-+-+-=。存在。应力处
于塑性状态。
b )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-4σs +5σs =σs ，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则
存在。应力处于塑性状态。
c )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：1.2σs -0 =1.2σs ＞σs ，不存在。 由密席斯屈服准则 不存在。
d )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：0.5σs +0.6σs =1.1σs ＞σs ，不存在。 由密席斯屈服准则
存在。应力处于弹性状态。
e )由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs 得：-0.5σs +1.5σs =σs =σs ，存在，应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则
存在。应力处于弹性状态。
f )由屈雷斯加屈服准则：τmax =（σ1-σ3）/2=σs /2得：τmax =0.45σs ＜σs ，存在，应力处于弹性状态。
由密席斯屈服准则
存在。应力处于弹性状态。
3-9已知开始塑性变形时点的应力状态为????
?
??=00001515-015-75ij
σ，
试求：
（1）主应力大小；
（2）作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力；
（3）作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。 解：由于点的应力状态为平面应力状态，由2
2
2,122
xy y x y
x τσσσσσ+???
? ?
?-±+=得主应力σ1和σ2：
主应力为：σ1=78.54，σ2=11.46，σ3=0 最大切应力：τmax =33.54
单轴向屈服应力为：67.08222xy 2
y x s =+???
? ??-=τσσσ 作为空间应力状态处理时按屈雷斯加准则计算： 单轴向屈服应力：σs =σ1－σ3=78.54；
作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力：
σs =73.48
第四章
4-5．有一金属块，在x 方向作用有150MPa 的压应力。在Y 方向作用有150MPa 的压应力，z 方向作用有200MPa 的压应力。试求金属块的单位体积变化率（设E=207×103MPa ，ν=0.3）。 解：各方向应力为：σx =σy =-150MPa ，σz =-200MPa ，则球应力为：σm =-166.7 MPa 单位体积变化率为： 即：εm =-3.22×10-4
4-6．已知一点的应力状态如图4-16所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。
图4-16 (题15)
解：设σ1＞σ2＞σ3，则：
平均应力：()()53
2493
13
21m =++=++=σσσσ
应力偏量为：????
?
??='3-0001-0004σ
由列维—米赛斯增量理论λσεd 'd ij ij =得：
主应变简图如图示：
4-7． 两端封闭的细长薄壁管平均直径为r ，平均壁厚为l ，承受内压力p 而产生塑性变形， 设
管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。 解：
4-8． 求出下列两种情况下塑性应变增量的比：
① 单向应力状态：1
s σσ=
②
纯剪力应力状态：/s s τσ=①解：设σ1＞σ2＞σ3，则：
()3
31
s 321m σσσσσ=++=
，因此，应力偏量为：
由列维—米赛斯增量理论λσεd 'd ij ij =得： 塑性应变增量的比为：
②解：已知纯剪力应力状态：s s τσ=应力张量为：
由列维—米赛斯增量理论λσεd 'd ij ij =得： 塑性应变增量的比为：
第六章
1. 20#钢圆柱毛坯，原始尺寸为Ф50×50mm ，室温下压缩至高度h=25mm ，设接触表面摩擦切应力τ=0.2Y ，已知Y=746ε0.20MPa ，试求所需变形力P 和单位流动压力p 。
解：圆柱压缩时体积不变，则当h=25mm 时，
22525
450R 3
=?= mm 。
τ=0.2 Y =0.2×746ε0.20=129.9MPa
当τ=τmax ，
τmax=K=129.9MPa
由于圆柱压缩是轴对称问题，宜采用柱座标。由题意得圆柱界面上的摩擦为τ=0.2Y ，Y=746ε0.20MPa ，设三个坐标方向的正应力σr 、σφ和σz 视为主应力，且与对称轴z 无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为：
令sin(d φ/2)≈d φ/2，并忽略二次微分项，则得 由于轴对称条件，σr =σφ。此时平衡方程简化为
dr h
2d σz
r τσ-= 1-1
根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为 或
代入式（1-1），得 因此 或
r h
8
.2591z e
C -
=σ 1-2
边界条件：当R r =时，0=r σ。由近似屈服条件知，此时的K 2Z =σ，代入方程
式（1-2），可得 或
代入式（1-2），得
h
)r R (8
.259z Ke
2--=σ 1-3
因为：h=25，R=225，K=129.9MPa
所需变形力P 为：
压板上的平均单位压力用p 表示，则
12.191R
P
p 2
==
πMPa 2. 模内压缩铝块，某瞬间锤头压力为500kN ，坯料尺寸为50×50×100mm3，如果工具润滑良好，并将槽壁视为刚体，试计算每侧槽壁所受的压力（如图6-11）。 图6-11（题2）
解：从变形区内取一单元体作受力分析。单元体的高度为平板间的高度h ，宽度为dx ，长度为一个单位。假定是主应力且均匀分布，当沿x 轴坐标有dx 的变量是，σx 相应的变化量就可用微分d σx 来表示。y 方向上的压应力用σy 表示。摩擦力f 的方向同金属质点流动方向相反，设每侧槽壁所受的压力p ，如图所示。 列出单元体的微分平衡方程：
02=??+?dx f d h y x σσ 2-1
屈服条件为： k x y 2=-σσ 因此，y x d d σσ=
将此式代入式（2-1）整理得
积分后得： C x h
f
y +-=2ln σ x h
f y e
C 21-
=σ 2-2
根据应力边界条件确定积分常数。
应力边界条件为：当2/b x =时，σx =p 。 由屈服条件式，得p k 22
/b x y
+==σ
代入式（2-2）求系数C 1得： 因此： ())x 2
b (h f 2y
e
p k 2-+=σ
已知锤头压力P 为500kN ，代入上式即可求得每侧槽壁所受的压力p 。 3. 圆柱体周围作用有均布压应力，如图6-12。用主应力求镦出力P 和单位流动压力。，设τ=mk 。
图6-12（题3）
解：圆柱压缩为轴对称问题，采用柱座标。设三个坐标方向的正应力σr 、σφ和σz 视为主应力，且与对称轴z 无关。某瞬间圆柱单元体上的应力如图所示，单元体沿径向的静力平衡方程为：
令sin(d φ/2)≈d φ/2，并忽略二次微分项，则得 由于轴对称条件，σr =σφ。此时平衡方程简化为
dr h
2d σz
r τσ-= 3-1
根据米赛斯屈服条件，可得近似表达式为 或
代入式（3-1），得 因此 或
r h
mk
21z e
C -
=σ 3-2
边界条件：当R r =时，σr =σ0。由近似屈服条件知，此时的K 2Z =σ+σ0，代入方
程式（3-2），可得 或
代入式（3-2），得
()h
)r R (mk
20z e
K 2-+=σσ 3-3
所需变形力P 为：
压板上的平均单位压力用p 表示，则
5 试用主应力法求解板料拉深某瞬间凸缘变形区的应力分布。（不考虑材料加工硬化）
图6-14（题5）
解：板料拉深某瞬间凸缘变形区受力如图6-14，为平面应力状态，设正应力σr 、σθ为主应力，单元体沿径向的静力平衡方程为： 令sin(d θ/2)≈d θ/2，并忽略二次微分项，则得
0r
dr d r r =-+θ
σσσ 5-1 将屈服条件σr —σθ=2K 代入上式得
积分常数C 根据凸缘的外缘处（r=R ）的r σ=0边界条件，得积分常数 凸缘变形区的应力分布为：
r /R ln K 2r =σ 5-2
第七章
7-10 解：已知α族是直线族，β族为一族同心圆，c 点的平均应力为：σmc=－
90MPa ，最大切应力为K=60MPa 。C 点应力为：
图7-1z
由于B 点在α族上，α族是直线族，因此，所以B 点应力状态和C 点相同。 D 点在β族上，β族为一族同心圆，因此由沿线性质得：
即：
D 点应力为：
D 点的应力莫尔圆
图7-2z
7-11试用滑移线法求光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时的极限载荷P(图7-36)。设冲头宽度为2b ，长为l ，且l>>2b 。 解：（1）确定滑移线场。
设冲头的表面压力为p 且均匀分布，由于平冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AO 区域可看成是光滑（无摩擦）接触表面，滑移线场和确定α、β方向如图教材中图7-10。AB 区域表面不受力，可看成是自由表面，但受AOD 区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第2种情况，滑移线场和确定α、β方向如图如图7-9b 所示，在均匀滑移线场ADO 和ABC 之间必然存在简单滑移线场，由此确定出光滑平冲头压入两边为斜面的半无限高坯料时滑移线场，如图7-3z 。
图7-3z
(2)求平均单位压力。
取一条α线BCDO 进行分析，由于B 点在自由表面上，故其单元体只有一个压应力，由此可判断出σ1c =0，根据屈服准则，σ1－σ3=2k ，因此，σ3c =—2k 。而平均应力σmc =(σ1c +σ3c )/2，可得k B
m -=σ。
已知O 点在光滑接触表面上，因此4/πω-=o ，其单元体上承受冲头压力和金属向两边流动的挤压力，即存在σx ，σy 作用，均为压应力，且σ3=σy =-p ，其绝对值应大于σx ，根据屈服准则可得σ1=σx =-p+2k ，平均应力σmo =-p+k
(3)求角度。
对α线BCDO 进行分析。接触面AO 上的O 点的夹角ωo 为－π/4，在自由表面AB 上的B 点的夹角ωB 为π/4+γ。
则Δω=ω0-ωB =ωD -ωC =－π/4－（π/4+γ）=－π/2－γ (4)求极限载荷
由汉盖应力方程式
得：()γπγπ
+-=--
=--+-k )2
(k 2)k (k p
即：()γπ+=k
p
极限载荷P 为：()γπ+==k bl 2blp 2P
7-13 图7-37为一中心扇形场，圆弧是α线，径向直线是β线，若AB 线上σm =-k ，试求AC 线上σm 。
图7—37 （题13）
解：已知直线AB 是β线，其上σm =-k ，故B 点的σmB =-k ，AC 线是β线，但也是直线，直线上的σm 相同，求出C 点的σm ，即得到AC 线上σm 。C 点的σm 可通过圆弧BC 求，已知圆弧BC 是α线，由汉盖应力方程式
即：??
?
??-?=--6k 2)k (mC
πσ
即AC 线上σm 为：??
? ??+?-=13k mC
πσ
7-14具有尖角2γ的楔体，图7-38在外力P 作用下插入协调角度的V 型缺口，试按1）楔体与V 型缺口完全光滑和2）楔体与V 型缺口完全粗糙做出滑移场，求出极限载荷。
图7-4 z
第一种情况：楔体与V 型缺口完全光滑 解：（1）确定滑移线场。
设冲头的表面压力为p 且均匀分布，由于冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AB 区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定α、β方向如图教材中图7-10。AE 区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC 区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定α、β方向如图如图7-9b 所示，在均匀滑移线场ABC 和ADE 之间必然存在简单滑移线场，由此确定出具有尖角2γ的楔体在外力P 作用下插入完全光滑的V 型缺口时的滑移线场，如图7-4z 。
(2)求平均单位压力和角度。
AB 面是光滑接触表面上，因此γπω-=4/B 。由于垂直于AB 面的压应力大于平行于AB 面的压应力，因此，可以确定平行于AB 面的压应力为σ1，垂直于AB 面的压应力为σ3=-p ，根据屈服准则，σ1－σ3=2k ，因此，σ1=2k+σ3=2k-p ，而平均应力σmB =(σ1+σ3)/2，可得p -k B
m =σ。
AE 面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出σ1E =0，根据屈服准则，σ1－σ3=2k ，因此，σ3E =—2k 。而平均应力σmE =(σ1E +σ3E )/2，可得k E
m -=σ。
4/E πω=。
(3)求极限载荷
已知BCDE 线为α线，由汉盖应力方程式
得：γπ
γπ
k 2)4
4(
k 2)k (k p -=--=--+- 即：()
γ+=1k 2p
极限载荷P 为：()γγγsin /1k bl 4sin /blp 2P +==
第二种情况：楔体与V 型缺口完全粗糙做出滑移场
图7-5z
解：（1）确定滑移线场。
设冲头的表面压力为p 且均匀分布，由于楔体与V 型缺口完全粗糙，故可认为冲头下坯料为变形刚性区。AE 区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC 区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定α、β方向如图如图7-9b 所示，三角形ABC 和ADE 存在简单滑移线场，由此确定出具
有尖角2γ的楔体在外力P 作用下插入完全粗糙的V 型缺口时的滑移线场，如图7-5z 。
(2)求平均单位压力和角度。
AE 面是自由表面上，故其只有一个压应力，由此可判断出σ1E =0，根据屈服准则，σ1－σ3=2k ，因此，σ3E =—2k 。而平均应力σmE =(σ1E +σ3E )/2，可得k E
m -=σ。
4/E πω=，
三角形ABC 是难变形区，该区内的金属受到强烈的等值三相压应力，AC 面是摩擦接触表面上，垂直于AB 面的压应力大于平行于AB 面的压应力作用，不发生塑性变形，好像是冲头下面的刚性金属楔，成为冲头的一个补充部分。CD 为α线，γπω-=4/C 。由于垂直于CD 面的压应力大于平行于CD 面的压应力，因此，可以确定平行于CD 面的压应力为σ1，垂直于CD 面的压应力为σ3=-p ，根据屈服准则，σ1－σ3=2k ，因此，σ1=2k+σ3=2k-p ，而平均应力σmc =(σ1c +σ3c )/2，可得σmc = k-p 。
(3)求极限载荷
已知CDE 线为α线，由汉盖应力方程式
得：γπ
γπ
k 2)4
4(
k 2)k (p k -=--=--- 即：()
γ+=1k 2p
极限载荷P 为：()γγγsin /1k bl 4sin /blp 2P +==
7-15何谓滑移线？用滑移线法求解宽度为2b 的窄长平面冲头压入半无限体的
单位流动压力p 。材料为理想刚塑性体，屈服剪应力为K ；参见图7-39。 解：（1）确定滑移线场。
设冲头的表面压力为p 且均匀分布，设冲头光滑，故可认为冲头与坯料之间无摩擦，因此AB 区域可看成是无摩擦接触表面，滑移线场和确定α、β方向如图教材中图7-10。BE 区域表面不受力，可看成是自由表面，但受ABC 区域金属流动影响，因此为不受力自由表面的第二种情况，滑移线场和确定α、β方向如图如图7-9b 所示，在均匀滑移线场ABC 和BDE 之间必然存在简单滑移线场，由此确定出宽度为2b 的窄长平面冲头压入半无限体的滑移线场，如图7-6z 。
图7-6z
(2)求平均单位压力和角度。
AB 面是光滑接触表面上，因此4/A πω-=。由于垂直于AB 面的压应力大于平行于AB 面的压应力，因此，可以确定平行于AB 面的压应力为σ1，垂直于AB 面的压应力为σ3=-p ，根据屈服准则，σ1－σ3=2k ，因此，σ1=2k+σ3=2k-p ，而平均应力σmA =(σ1+σ3)/2，可得p -k A
m =σ。
BE 面是自由表面上，即只有一个压应力，由此可判断出σ1E =0，根据屈服准则，σ1－σ3=2k ，因此，σ3E =—2k 。而平均应力σmE =(σ1E +σ3E )/2，可得σmE =-k 。
4/E πω=。
(3)求极限载荷
已知ACDE 线为α线，由汉盖应力方程式
得：)4
4(k 2)k (p k π
π
--
=--- 即：?
?
? ?
?+=21k 2p π 极限载荷P 为：??
? ??+==21k bl 4blp 2P π
第八章
8-7模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示。试分别计算其上限载荷P ？并与滑移线作比较，说明何种模式的上限解为最优?
图8—19（题8）
解：（1）模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示的第一个图。
图8-1z
四个刚性区A 、B 、C 和D 相对滑动，刚性区O 为死区，其速度图如图8-1z 。若冲头的宽度为2b ，平均极限压力为P ，根据功率平衡原理，可得： (2)模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示的第2个图。
四个刚性区A 、B 、C 和D 相对滑动，刚性区O 为死区，其速度图如图8-2z 。若冲头的宽度为2b ，平均极限压力为P ，根据功率平衡原理，可得：
图8-2z
p ≈1.98k
（3）)模壁光滑平面正挤压的刚性块变形模式如图8-19所示的第3个图。
四个刚性区A 、B 、C 和D 相对滑动，刚性区O 为死区，其速度图如图8-3z 。若冲头的宽度为2b ，平均极限压力为P ，根据功率平衡原理，可得：
图8-3z
显然第（2）种方法的答案最接近实际结果，因此第（2）种方法最优。
8-8试绘出图8-20所示板条平面应变拉拔时的速端图，并标明沿各速度不连续线的速度不连续量的位置，及计算出刚性三角形块△BCD 的速度表达式。
图8—20（题9）
解：五个刚性区ABC 、CBD 、CDE 和DE 线右边和AB 线左边相对滑动，其速度图如图8-4z 。
图8-4z
根据功率平衡原理，可得：
8-10在如图8-22所示的正挤压过程中，假设模子面是光滑的，刚性块为图中的A 、B 、C ，其界面为速度间断面，试用上限法求单位变形力p 。
图8-22 （题11）
解：三个刚性区A、B、C相对滑动，其速度图如图8-5z。
图8-5z。
根据功率平衡原理，可得
两边同除以HV o，得单位变形力p：：
8-11挤压给定的分区如图8-23所示，试给出相应的速度图，并用上限法求解作用在冲头上的平均压力的近似值，设材料真实应力为σ，不考虑加工硬化。
图8-23（题12）
解：三个刚性区A、B、D相对滑动，刚性区O为死区，其速度图如图8-6z。
图8-6z。
根据功率平衡原理，可得
二向应力状态分析
二向应力状态分析
程序代码 function varargout = erxyl(varargin) % ERXYL M-file for erxyl.fig % ERXYL, by itself, creates a new ERXYL or raises the existing % singleton*. % % H = ERXYL returns the handle to a new ERXYL or the handle to % the existing singleton*. % % ERXYL('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local % function named CALLBACK in ERXYL.M with the given input arguments. % % ERXYL('Property','Value',...) creates a new ERXYL or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs are % applied to the GUI before erxyl_OpeningFcn gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property application % stop. All inputs are passed to erxyl_OpeningFcn via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES % Edit the above text to modify the response to help erxyl % Last Modified by GUIDE v2.5 05-Jan-2011 17:46:09 % Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @erxyl_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @erxyl_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end
材料力学习题
材料力学习题 第2章 2-1 试求出图示各杆件中Ⅰ—Ⅰ截面上的内力。 2-2图示矩形截面杆，横截面上正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为MPa 100max =σ，底边各点处的正应力均为零。杆件横截面上 存在何种内力分 量，并确定其大小（C 点为截面形心）。 2-3 试指出图示各单元体表示哪种应力状态。 2-4 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图 中指定截面的应
力。 2-5 试作应力圆来确定习题2-4图中指定截面的应力。 2-6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用解析法求：（1）主应力及主方向；（2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。 2-7 已知应力状态如习题2-6图所示，试作应力圆来确定：（1）主应力及主方向； （2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。 2-8已知构件内某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后所得 应力状态的主应力、主切应力。 2-9图示双向拉应力状态，σσσ==y x 。试证明任一斜截面上的正应力均 等
于σ，而切应力为零。 2-10 已知K 点处为二向应力状态，过K 点两个截面上的应力如图所示（应力单位为MPa ）。试分别用解析法与图解法确定该点的主应力。 2-11 一点处的应力状态在两种坐标系中的表示方法分别如图 a)和b)所示。试确定未知的应力分量y y x xy '''σττ、、的大小与方向。 2-12 图示受力板件，试证明尖角A 处各截面的正应力与切应力均为零。 2-13 已知应力状态如图所示（单位为MPa ），试求其主应力及第一、第二、第三不变量321I I I 、、。 2-14 已知应力状态如图所示（单位为MPa ），试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。 第3章 3-1 已知某点的位移分量u = A ， v = Bx +Cy +Dz ， w = Ex 2+Fy 2+Gz 2+Ixy +Jyz +Kzx 。A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、I 、J 、K 均为常数，求该点处的应变分量。 3-2 已知某点处于平面应变状态，试证明2222,,Bxy y Ax y Bx Axy xy y x +===γεε（其中，B A 、 为任意 常数）可作为该点的三个应变分量。 3-3 平面应力状态的点O 处x ε=6×10-4 mm/m ，y ε=4× 10-4 mm/m ，
一点应力状态概念及其表示方法
一点应力状态概念及其表示方法 凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力； 图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。
２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上 的应力情况（集合） ３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。 特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。
§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器
为平均直径，为壁厚 由平衡条件 得轴向应力：（8-1a） 图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面） 由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b） 2．球形贮气罐（图8-6） 由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为 对半球写平衡条件：
得（8-2） 3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴 4．受横向载荷作用的深梁 §8-3平面一般应力状态分析——解析法 空间一般应力状态
如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。 1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有： ， ， 。2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。 3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。 2．平面一般应力状态斜截面上应力 如图8-10所示，斜截面平行于轴且与面成倾角，由力的平衡条件： 和 可求得斜截面上应力，：
一一点的应力状态与应力张量
一 一点的应力状态与应力张量 二 主应力与应力不变量 对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为 ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ?????????? 如图1-1所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。 已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2) 它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。 x y z dF ldF dF mdF dF ndF ?=?=??=? （1.2） 在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力 N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+ N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得 N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ?=++?=++??=++? 求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ 222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-=
)] ( [ 1 x z y y E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 y x z z E σ σ μ σ ε+ - = G zx zx τ γ= G yz yz τ γ= ，G xy xy τ γ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z * = τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。 8.2图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解题范例
第7章应力状态和强度理论(答案)
7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x ασσσσ σατα+-= + -=sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）max 261.82 x y MPa σσσ+= = min 38.22x y MPa σσσ+== MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 7.2扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成ο 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 2 στ τ
7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成ο45方向上的正应 变4 100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传 递的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+Q V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成ο 60 方向上的正应变4 60101.4-?=ο ε，E=200GPa ，0.3υ=， 试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P=36.2KN ο
第7章应力状态和强度理论(答案)
已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x MPa ασσσσσατα+-= + -= sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）2 2max 261.82 2x y x y x MPa σσσσστ+-??= += ??? 2 2 min 38.222x y x y x MPa σσσσστ+-??=+= ??? MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 100100 200 60T α A 2 σ1 στ τ
用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成 45方向上的正应变 4100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递 的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成 60方向上的正应变460101.4-?= ε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P= 45A 80120 60 A P
工程力学习题答案第十三章王永跃
第十三章习 题 解 答 13?1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求： （l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。 解： 由图a 可知 MPa 0MPa, 6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ （1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 1.0)]15(2sin[2 6.12MPa 9 7.1)]15(2cos[26 .1226.1215 15=-?+-=-=-?+-+--= -- τσ （2）垂直于木纹方向的正应力 MPa 1.0)752sin(2 6.12MPa 52 7.1]752cos[26 .1226.127575-=?+-=-=?+-+--= τσ 由图b 可知 MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ （1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 08.1)]15(2cos[25.12cos MPa 625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-??-==-=-?=-=-- αττατσx x （2）垂直于木纹方向的正应力 MPa 08.1)752cos(25.12cos MPa 625.0)752sin(25.12sin 7575=??-===??=-= αττατσx x 13?2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力 解：（a ）已知 MPa 20MPa,10, 0MPa 3-===x y x τσσ 则由公式可直接得到该斜截面上的应力 MPa 习题13?1图 (a) (b)
应力状态分析和强度理论
第八章 应力状态和强度理论 授课学时：8学时 主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。 $8.1应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力 1．应力状态 过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态 2．单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力 A N =σ 斜截面上的应力 ασα cos cos ===A P A P p a a 斜截面上的正应力和切应力为 ασασ2cos cos ==a a p ασ ατ2sin 2 sin = =a a p 可以得出 0=α时 σσ=max 4 π α= 时 2 m a x σ τ= 过A 点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，即为321σσσ≥≥。 P P a a α
$8.2二向应力状态下斜截面上的应力 1． 任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。 在外法线n 和切线t 上列平衡方程 αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+ 0sin )sin (cos )sin (=-+αασαατdA dA y yx αασααττ sin )cos (cos )cos (dA dA dA x xy a -- 0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y 根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22 α ααα-=+= ， ααα2sin cos sin 2= 简化两个平衡方程，得 ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += ατασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= 2．极值应力 将正应力公式对α取导数，得 ?? ????+--=ατασσασα 2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数 0=α σα d d ，则 02cos 2sin 2 00=+-ατασσxy y x y x xy tg σστα-- =220 上式有两个解：即0α和 900±α。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取 xy τyx τn α t
已知一点的应力状态MPa
第一章 1-10． 已知一点的应力状态10100015520???? ? ? ??--=ΛΛΛ ij σMPa ，试求该应力空间中 122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？ 解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为： 2 2 2 C B A A ++= l ，2 2 2 C B A B ++= m ，2 2 2 C B A C n ++= 因此：312)(-2112 22= ++= l ，322)(-212-222-=++=m ；3 22)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=3100 325031200= ?-? S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350 321503150=?+? S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=3 200 32100-=?- 1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为： ??? ? ? ??--=1030205040100ΛΛΛ ij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。 解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140 =2J 2 22xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10） -402 -(-20)2 -302 =600 =3J 321σσσ=2 222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000 σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7 σ8=σm =46.7 1-12设物体内的应力场为3 126x c xy x +-=σ，222 3 xy c y - =σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。 解：由应力平衡方程的：
工程力学-应力状态与应力状态分析报告
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-=
)] ( [ 1 x z y y E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 y x z z E σ σ μ σ ε+ - = G zx zx τ γ= G yz yz τ γ= ，G xy xy τ γ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z * = τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。 8.2图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解题范例
材料力学习题第六章应力状态分析答案详解
第6章 应力状态分析 一、选择题 1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。 20 （MPa ） 20 d （A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。 2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 （A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）AC AC /2,0 ττσ==； （B ）AC AC /2,/2ττ σ==； （C ）AC AC /2,/2 ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-=。 4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。
(b) (a) （A）点1、2的应力状态是正确的；（B）点2、3的应力状态是正确的； （C）点3、4的应力状态是正确的；（D）点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态（a）、（b）、（c）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。 τ (a) (b) (c) （A）三种应力状态均相同；（B）三种应力状态均不同； （C）（b）和（c）相同；（D）（a ）和（c）相同； 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 (A) (B) (D) (C) 解答： max τ发生在 1 σ成45的斜截面上 7、广义胡克定律适用围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A）脆性材料；（B）塑性材料； （C）材料为各向同性，且处于线弹性围；（D）任何材料； 8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)] G E v =+适用于（ C ）。 （A）任何材料在任何变形阶级；（B）各向同性材料在任何变形阶级； （C）各向同性材料应力在比例极限围；（D）任何材料在弹性变形围。
应力与应力状态分析
应力与应力状态分析 拉伸模量 拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下： 拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡) 其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。 §4-1 几组基本术语与概念 一、变形固体的基本假设 1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。 根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。 2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。 3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。 根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。 二、应力的概念 1、正应力的概念 分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。 由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。 沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。 应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号K a P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。 几种单位的换算关系为：
1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P 2、切应力与全应力的概念 与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。 K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。 三、位移、变形及应变的概念 变形：构件的形状和尺寸的改变。 位移：构件轴线上点的位置变化和截面方位的改变。 变形和位移的关系：构件的变形必然会使结构产生位移，但结构的位移不一定是由构件的变形引起的，温度变化、支座移动等也会使结构产生位移。 单元体：围绕构件内某一点截取出来的边长为无限小的正六面体。 应变：描述单元体变形程度的几何量，包括线应变和角应变两类。 线应变（正应变）ε：单元体线性尺寸的相对改变量。ε=Δu / u 角应变（切应变）γ：单元体上直角的改变量。γ= 90°- θ 应力与应变的对应关系：正应力σ与正应变ε相互对应；切应力τ与切应变γ相互对应。 四、受力构件内一点处的应力状态的概念 构件内某点处的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力情况的总体。 研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都是必需的。 为了研究一点处的应力状态，通常是围绕该点取一边长为无限小的正六面体，即单元体。 主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面。 主应力：主平面上的正应力称为主应力。 可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的主平面（即一定存在主单元体），因而每一点都对应着三个主应力。 一点处的三个主应力分别用σ1 , σ2 和σ3来表示，并按应力代数值的大小顺序排列，即σ1≥σ2≥σ3。 原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体，称为该点的原始单元体。对于杆件，通常用一对横截面和两对互相垂直的纵截面截取原始单元体。 主单元体：各面上没有切应力的单元体称为主单元体。 应力状态的分类： 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态：两个主应力为零
应力状态分析
应力状态分析 一、概念题 1．判断题：（以下结论对者画√，错者画×） (1)单元体内的主平面不一定就是三个。也可能有无数个。 （ ） (2)第1主应力是单元体内绝对值最大的正应力。 ( ) (3)受扭圆轴横截面上的点只有切应力，因而均处于单向应力状态。 （ ） (4)如微元体处于纯剪切应力状态，因而微元体内任何方向的斜截面上均没有正应力。 （ ） (5)凡是产生组合变形的杆件上的点，均处于复杂应力状态。 （ ） (6)扭转与弯曲组合变形的杆件，从其表层取出的微元体处于二向应力状态。（ ） (7)扭转与弯曲组合变形的杆件，在其横截面上仍能取得处于纯切应力状态的点。 （ ） (8) 杆件弯、拉组合变形时，杆内各点均处于简单应力状态。 （ ） 2、选择题： (1) 矩形截面悬臂梁受力如图所示，从1—1截面A 点处截取一微元体，该微元体上的应力情况为（ ）。 (2)在研究一点的应力状态时，所谓的主平面是指（ ）。 A 、正应力为零的平面； B 、切应力最大的平面； C 、切应力为零的平面； D 、正应力不为零的平面。 (3)下面关于主平面定义的叙述中，正确的是（ ）。 A 、主平面上的正应力最大； B 、主平面上的切应力最大； C 、主平面上的正应力为零； D 、主平面上的切应力为零。 (4) 矩形截面悬臂梁受力如图所示，固定端截面的下角点A 与B 的应力状态为（ ）。 A 、单向拉伸； B 、单向压缩； C 、双向拉伸； D 、纯剪切。 (5)矩形截面悬臂梁受力如图所示，其固定端截面形心处的应力状态是（ ）。 A 、单向应力状态； B 、二向应力状态； C 、三向应力状态； D 、无法判定。
第二章 应力状态分析
第二章应力状态分析 内容介绍 知识点 体力 应力矢量 应力分量 平衡微分方程 面力边界条件 主平面与主应力 主应力性质 截面正应力与切应力三向应力圆 八面体单元 偏应力张量不变量面力 正应力与切应力 应力矢量与应力分量 切应力互等定理 应力分量转轴公式 平面问题的转轴公式 应力状态特征方程 应力不变量 最大切应力 球应力张量和偏应力张量 作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。
为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V, 如图所示 设△V的体力合力为△F，则P点的体力定义为 令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为 一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。 物体内任一点的体力用F b表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。 体力沿三个坐标轴的分量用F b i( i = 1,2,3)或者F b x,F b y,F b z表示，称为体力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。 类似于体力，可以给出面力的定义。
对于物体表面上的任一点P，在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素△S， 如图所示。设△S上作用的面力合力为△F，则P 点的面力定义为 面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。 面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。 面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。 弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。 物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。 内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。
材料力学习题(1)2-6章
材料力学习题(1)2-6章
材料力学习题 第2章 2-1 试求出图示各杆Ⅰ—Ⅰ截面上的内力。 2-2图示矩形截面杆，横截面上正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点 处的正应力均为 MPa 100 max = σ ，底边各点处的正应力均为零。杆件横截面 上存在何种内力分量，并确定其大小（C点为截面形心）。 2-3 试指出图示各单元体表示哪种应力状态。 2-4 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面的应力。
2-5 试作应力圆来确定习题2-4图中指定截面的应力。 2-6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用解析法求：（1）主应力及主方向；（2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。 2-7 已知应力状态如习题2-6图所示，试作应力圆来确定：（1）主应力及主方向； （2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。 2-8已知构件内某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后所得 应力状态的主应力、主切应力。 2-9图示双向拉应力状态， σ σσ==y x 。试证明任一斜截面上的正应力均等 于σ，而切应力为零。 2-10 已知K 点处为二向应力状态，过K 点两个截面上的应力如图所示（应力单位为MPa ）。试分别用解析法与图解法确定该点的主应力。 2-11 一点处的应力状态在两种坐标系中的表示方法分别如图 a)和b)所示。 试确定未知的应力分量 y y x xy ' ''σττ、、的大小与方向。
2-12 图示受力板件，试证明尖角A 处各截面的正应力与切应力均为零。 2-13 已知应力状态如图所示（单位为MPa ），试求其主应力及第一、第二、第三不变量 321I I I 、、。 2-14 已知应力状态如图所示（单位为MPa ），试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应 力。 第3章 3-1 已知某点的位移分量u = A ， v = Bx +Cy +Dz ， w = Ex 2+Fy 2+Gz 2+Ixy +Jyz +Kzx 。A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、I 、J 、K 均为常数，求该点处的应变分量。 3-2 已知某点处于平面应变状态，试证明 2222,,Bxy y Ax y Bx Axy xy y x +===γεε（其中， B A 、为任意常数）可作为该点的三个应变分量。 3-3 平面应力状态的点O 处x ε=6×10-4 mm/m ，y ε=4×10 -4 mm/m ， xy γ=0；求:1)平面内以y x ' '、方向的线应变；2)以x '与 y '为两垂直线元的切应变；3）该平面内的最大切应变及其与x 轴 的夹角。 3-4 平面应力状态一点 处的 x ε= 0，y ε= 0， xy γ=-1× 10-8 rad 。试求:1）平面内以 y x ''、方 向的线应变；2)以x '与 y '为两垂直线 元的切应变；3）该平面内的最大切应 变及其与x 轴的夹角。 3-5 用图解法解习题3-3。 3-6 用图解法解习题3-4。 m/m ， y ε=2×10-8 m/m ， xy γ=1× 3-7 某点处的 x ε=8×10-8 10-8 rad ；分别用图解法和解析法求该点xy 面内的：1）与x 轴夹角为45°方向的线应变和以45°方向为 始边的直角的切应变；2）最大线应变的方向和线应变的值。 3-8 设在平面内一点周围任何方向上的线应变都相同，证明以此点为顶点 的任意直角的切应变均为零。
应力状态分析
第二章应力状态分析 一. 内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。 应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二. 重点 1.应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； 2.平衡微分方程与切应力互等定理； 3.面力边界条件； 4.应力分量的转轴公式； 5.应力状态特征方程和应力不变量； §2.5 面力边界条件 学习思路: 在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，以维持弹性体表面的平衡。
面力边界条件的推导时，参考了应力矢量与应力分量关系表达式。只要注意到物体边界任意一点的微分四面体单元表面作用应力分量和面力之间的关系就可以得到。 面力边界条件描述弹性体表面的平衡，而平衡微分方程描述物体内部的平衡。当然，对于弹性体，这仅是静力学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。 面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。 学习要点： 1. 面力边界条件。 物体在外力作用下处于平衡状态，不仅整体，而且任意部分都是平衡的。在弹性体内部，应力分量必须与体力满足平衡微分方程；在弹性体的表面，应力分量须与表面力满足面力边界条件，以满足弹性体表面的平衡。 考虑物体表面任一微分四面体的平衡，如图所示。 由于物体表面受到表面力，如压力和接触力等的作用，设单位面积上的面力分量为F s x、F s y和F s z，物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n。参考应力矢量与应力分量的关系，可得 用张量符号可以表示为 上述公式是弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表示物体表面的外力，右边是弹性体内部趋近于边界的应力分量。公式给出了应力分量与面力之间的关系，称为静力边界条件或面力边界条件。 平衡微分方程和面力边界条件都是平衡条件的表达形式，前者表示物体内部的平衡，后者表示物体边界部分的平衡。
材料力学考试习题
材料力学习题 第2章 2-1 试求出图示各杆Ⅰ—Ⅰ截面上的内力。 2-2图示矩形截面杆，横截面上正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点 处的正应力均为 MPa 100 max = σ ，底边各点处的正应力均为零。杆件横截面 上存在何种内力分量，并确定其大小（C点为截面形心）。 2-3 试指出图示各单元体表示哪种应力状态。 2-4 已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面的应力。
2-5 试作应力圆来确定习题2-4图中指定截面的应力。 2-6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试用解析法求：（1）主应力及主方向；（2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。 2-7 已知应力状态如习题2-6图所示，试作应力圆来确定：（1）主应力及主方向； （2）主切应力及主切平面；（3）最大切应力。 2-8已知构件内某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果，试求叠加后所得 应力状态的主应力、主切应力。 2-9图示双向拉应力状态， σ σσ==y x 。试证明任一斜截面上的正应力均等 于σ，而切应力为零。 2-10 已知K 点处为二向应力状态，过K 点两个截面上的应力如图所示（应力单位为MPa ）。试分别用解析法与图解法确定该点的主应力。 2-11 一点处的应力状态在两种坐标系中的表示方法分别如图 a)和b)所示。 试确定未知的应力分量 y y x xy ' ''σττ、、的大小与方向。
2-12 图示受力板件，试证明尖角A 处各截面的正应力与切应力均为零。 2-13 已知应力状态如图所示（单位为MPa ），试求其主应力及第一、第二、第三不变量321I I I 、、。 2-14 已知应力状态如图所示（单位为MPa ），试画三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大切应力。 第3章 3-1 已知某点的位移分量u = A ， v = Bx +Cy +Dz ， w = Ex 2+Fy 2+Gz 2 +Ixy +Jyz +Kzx 。A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、I 、J 、K 均为常数，求该点处的应变分量。 3-2 已知某点处于平面应变状态，试证明2 222,,Bxy y Ax y Bx Axy xy y x +===γεε（其中， B A 、为任意常数）可作为该点的三个应变分量。 3-3 平面应力状态的点O 处x ε=6×10-4 mm/m ，y ε=4×10 -4 mm/m ， xy γ=0；求:1)平面内以y x ''、方向的线应变；2)以x '与 y ' 为两垂直线元的切应变；3）该平面内的最大切应变及其与x 轴的 夹角。 3-4 平面应力状态一点处的 x ε= 0，y ε= 0，xy γ=-1×10 -8 rad 。 试求:1）平面内以y x ' ' 、方向的线应 变；2)以x '与 y '为两垂直线元的切应 变；3）该平面内的最大切应变及其与 x 轴的夹角。 3-5 用图解法解习题3-3。 3-6 用图解法解习题3-4。 y ε=2×10-8 m/m ， xy γ=1×10-8 rad ； 3-7 某点处的 x ε=8×10 -8 m/m ， 分别用图解法和解析法求该点xy 面内的：1）与x 轴夹角为45°方向的线应变和以45°方向为始边的直角的切应变；2）最大线应变的方向和线应变的值。 3-8 设在平面内一点周围任何方向上的线应变都相同，证明以此点为顶点的任意直角的切应变均为零。 3-9 试导出在xy 平面上的正方形微元面，在纯剪状态下切应变xy γ与对角线方向 的线应变之间的关系。