四川省凉山木里中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题理

四川省凉山木里中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理

一．选择（每题5分，共60分）

1．已知集合，，则（ ）

A. B. C. D.

2．若的实部与虚部相等，则实数（ ） A. -2 B. C. 2 D. 3

3．点()1,2P -到直线250x y -+=的距离d =（ ）．

4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3

）是

A ．

12

+π

B ．

32

+π

C ．12

3+π

D ．

32

3+π

5．已知函数，则（ ） A. B. C. D.

6.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 （ ） A ．12种 B ．18种 Ｃ．24种 Ｄ．36种

7．某人睡午觉醒来后,发现表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待小于10 min 的概率为( ) A. B. C. D.

8．已知：不等式

的解集为

，：

，则是的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

9．已知圆的方程为2

2

68160x y x y +--+=，设该圆过点()3,5的最长弦和最短弦分别为

AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )

A. B. 10．对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C.

D.

11．8()()x y x y -+的展开式中的27

x y 系数是（ ）

A. -20

B.20

C.15

D.-15

12．若函数()3

2

f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()12-，，则bc 的值为( )

A. 3

B. 6

C. 9

D. 6- 二．填空（每题5分；共20分）

13．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB λ-⊥若,则λ= 14．已知()()'1ln f f x x x x

=+

，则()'1f =__________．

15．2

cos xdx π

=?

__________．

16．不等式的解集为__________.

三、解答题

17．（10分）已知函数

(1)求函数的最小正周期； (2)当时，求

的最大值和最小值.

18．（12分）已知点(,)n n n P a b 满足11.n n n a a b ++=，*12

()14n

n n

b b n N a +=

∈-，且点1P 的坐标为(1,1)-.

（1）求过点12,P P 的直线的方程；

（2）试用数学归纳法证明：对于*n N ∈，点n P 都在（1）中的直线l 上.

19．（12分）已知四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为直角梯形， CD ⊥平面ABC ，侧面ABC 是等腰直角三角形， 90EBC ABC ∠=∠=?， 22BC CD BE ===，点M 是棱AD 的中点．

（1）求异面直线ME 与AB 所成角的大小；

（2）证明：平面AED ⊥平面ACD ． 20．（12分）现有5名男生、2名女生站成一排照相, （1）两女生要在两端，有多少种不同的站法？ （2）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？

（3）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？

21．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴且焦点到准线的距离为2。 （1）求抛物线的标准方程；

（2）若直线:21l y x =+与抛物线相交于A ， B 两点，求A 、B 两点间的距离.

22．（12分）已知函数.

（1）若，证明:；

（2）若

只有一个极值点，求的取值范围，并证明:

.

参考答案

1．C

【解析】分析：利用一元二次不等式化简集合，利用列举法化简集合，利用交集的定义求解即可. 详解：集合

或，

，，故选C.

点睛：本题属于基本题，解答这类问题都是先根据集合的特点，利用不等式与函数知识化简后，然后根据集合的运算法则求解. 2．B

【解析】分析：首先将所给的复数利用四则运算法则进行计算，然后结合实部虚部的表达形式得到关于实数a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 详解：由题意可得：， 该复数的实部与虚部相等，则：， 求解关于实数a 的方程可得：

. 本题选择B 选项.

点睛：复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化. 3．A

【解析】由点到直线的距离公式， 知

d =

=

=． 故选A ．

4．A 5． A

【解析】分析：一般先求导，再求.

详解：因为 所以， 所以=cos0-1=1-1=0, 故选A.

点睛：注意基本初等函数的导数，，有些同学容易记错.

6．Ｄ

考点：本题主要考查分步计数原理的应用。 点评：理解好题意，从一层到五层共分四步。 7．A

【解析】如果他等待小于10

min ，则只需要这个人在整点前十分钟醒来即可，

故概率为：

故答案为：

A. 8．A

【解析】∵:不等式

的解集为

，由一元二次不等式的性质可得

，又

∵为的真子集，所以是的充分不必要条件，故选A.

9．A

【解析】圆的方程可化为()()22

349x y -+-=,故该圆圆心是(3,4),半径是3,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,知最短弦BD 和最长弦(即圆的直径) AC 垂直,且

BD ==,

6AC =,所以四边形A B C 的面积为

11

622

AC BD ?=??=故选A. 10．B 【解析】当时，不等式

恒成立；

当

时，需

；

综上，实数的取值范围是，选B.

点睛：二次函数的图象，主要有以下三个要点（1）开口（2）对称轴（3）特殊点（如与坐标轴的交点，顶点等）从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息． 11．A 12．C

【解析】()2

'32f x x bx c =++，

函数()3

2

f x x bx cx d =+++的单调减区间为()12-，，

()2'320f x x bx c ∴=++≤的解集是[]12-，，

12∴-，是2320x bx c ++=的两个实数根．

2121233

b c ∴-+=-

-?=，． 解得3

692

b c bc =-=-?=，．

故选C ．

点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可.注意等号！ 13．3± 【解析】

()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ()()1,3,1,1,3,1AB CB λλ∴=+=--，又

,0AB CB AB CB ⊥∴?=，即()()()1133110λλ?+?-++-=，解得3λ=±，故答案为3±.

14．

12

. 【解析】 因为()()2

'11ln f f x x x '=+-，令1x =，得()()11'1f f ='-，解得()1'12

f =

． 15．1

【解析】2

cos sin | sin

sin0 1.22

xdx x π

π

π

==-=?

即答案为1. 16．

【解析】令，

当时；当时

；所以

因此当

时

，因此解集为

17．（1）最小正周期是；（2）

.

【解析】试题分析：（1）先化简函数的解析式为，即可求解函数

的最小正

周期； （2）由，得

，进而可求解函数

的最值.

试题解析：

（1），

的最小正周期是

（2） 所以 当

时，

；当

时，

18．（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由，分别求得，，再根据为等差数列，即可求得数

列

的通项公式；（2）由（1）可得

，根据等比数列求和公式即可证明.

试题解析：（1）∵

∴，， ∴，解得

，

∴

. （2）根据（1）可得.

∵

，

∴.

19．（1）°45；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由中位线定理可得1

//,2

MF CD MF CD =

，由线面垂直的性质可得1

//,2

BE CD BE CD =，所以//EM BF ， ABF ∠就是异面直线ME 与AB 所成角，从而

得解；

（2）由CD BF ⊥， BF AC ⊥，得BF ⊥平面ACD ，结合//EM BF 即可证得. 试题解析：

（1）证明：取AC 的中点F ，连接BF ，MF. 因为点M 是棱AD 的中点，所以1

//,2

MF CD MF CD =. 又因为底面BCDE 为直角梯形， 2CD BE =， 且090DCB EBC ∠=∠=，所以1

//,2

BE CD BE CD =

. 所以四边形BFME 是平行四边形，所以//EM BF . 所以ABF ∠就是异面直线ME 与AB 所成角，

而ABC ?是等腰直角三角形， °90ABC ∠=，所以°45ABF ∠=.

（2）因为AB BC =，所以BF AC ⊥.因为CD ⊥平面ABC ,所以CD BF ⊥. 又CD AC C ?=，所以BF ⊥平面ACD . 所以EM ⊥平面ACD .

而EM ?平面AED ，所以平面AED ⊥平面ACD . 20．（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）分两步，两端的两个位置，女生任意排，有种排法，中间的五个位

置男生任意排，有

排法,利用分步计数乘法原理可得结果；（2）先将名男生全排列，利用

插空法，把名女生插入到名形成的个空中的个即可；(3) 采用去杂法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的个，再去掉女生乙在右端的个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的种排除了两次，要找回来一次.

试题解析：（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排,

（种）.

（2）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；（种）.

（3）采用去杂法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的个，再去掉女生乙在右端的个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的种排除了两次，要找回来一次．

（种）.

【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 21．(1) 2

4x y = (2)20

【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义，求出p ，即可求抛物线的标准方程；

（2）直线l ：y=2x+1与抛物线联立，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求AB 的长度． 试题解析：

（1）2p =，抛物线的方程为： 2

4x y = 。

（2）直线l 过抛物线的焦点()0,1F ，设()()1122,,,A x y B x y 联立2

21{

4y x x y

=+= 得212840,8x x x x --=∴+=

()1212122212122420AB y y x x x x ∴=++=++++=++= 。

22．（1）见解析；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）构造函数

利用导数易得

，即证得结论，（2）

研究导函数零点，先求导数，再根据导函数零点，根据a 的正负分类讨论：当时，单调，再根据零点存在定理得有且仅有一个零点；当时，先增后减，再根据零点存在定理得有且仅有两个零点；最后研究极值点函数值范围：继续利用导数研究函数单调性，根据单调性确定取值范围. 试题解析：（1）∵，∴要证

，即证

.

设，

令得，

且，

单调递増；，

单调递减，

∴，

即成立，也即.

（2）设

，

.

①当时，令得;.

，单调递増；，单调递减.

若，恒成立，无极值；

若，即，∴.

∵，∴由根的存在性定理知，在上必有一根.

∵，下证：当，.

令，∴.

当时，单调递増；当时，单调递减，∴当时，，

∴当时，，即，

由根的存在性定理知，在上必有一根.

此时在上有两个极值点，故不符合题意.

②当时，恒成立，单调递增，

当时，；

当时，，下证：当时，.

令，∵在上单调递减，∴，

∴当时，，

∴由根的存在性定理知，在上必有一根.

即有唯一的零点，只有一个极值点，且，满足题意. ∴.

由题知，又，∴，

∴.

设，，

当，单调递减，

∴，∴成立.