人教A版数学必修一2.1《几类不同增长的函数模型》第2课时示范教案

第2课时几类不同增长的函数模型

导入新课

思路1情景导入

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.

思路2直接导入

我们知道，对数函数y=log ax(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.

推进新课

新知探究

提出问题

①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.

②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.

③结合函数的图象找出其交点坐标.

④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x

⑤由以上问题你能得出怎样结论？

讨论结果：

①在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.

图3-2-1-12

③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).

④不等式log2x<2x

+∞).

图3-2-1-13

容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x

但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3-2-1-14和下表所示.

图3-2-1-14

一般地，对于指数函数y=a x(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.

同样地，对于对数函数y=log ax(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，log ax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，log ax可能会大于x n，但由于log ax的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log ax

综上所述，尽管对数函数y=log ax(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n(n>0)的增长速度，而y=log ax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有log ax0)

增长快于对数函数y=log ax (a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”. 应用示例

思路1

例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：

设摊主每天从报社买进x 份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x -250).付给报社的总价为30·0.20x. 解：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y 为

y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x -250)-30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］. 因函数y 在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y 有最大值825元.

例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？

图3-2-1-15

解：(1)依题意,得y=???

??≤<+-≤≤.101,320

3

2,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则3

2

-

t 1+320=4,t 1=4.因而第二次服药应在

11:00；

设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有

32

-

t 2+3203

2-(t 2-4)+320=4,解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00； 设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32

-(t 2-4)+3203

2-(t 2-9)+320=4,解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.

变式训练

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：

f(x)=??

?

??≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x

(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？

解：(1)当0

+59.9， 由f(x)的图象,知当x=10时，［f(x)］max =f(10)=59；

当10

因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.

(2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2

+59.9=53.5，f(20)=-3×20+107=47<53.5, ∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.

点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.

思路2

例3 2007山东滨州一模，文20一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元. (1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为51元?

(2)设一次订购量为x 个时,零件的实际出厂价为p 元,写出p=f(x).

(3)当销售商一次订购量分别为500、1 000个时,该工厂的利润分别为多少? (一个零件的利润=实际出厂价-成本)

解：(1)设一次订购量为a 个时,零件的实际出厂价恰好为51元,则a=100+

02

.051

60-50个. (2)p=f(x)=????

???≥<<-≤<,

550,51,550100,5062,1000,60x x x x 其中x∈N *.

(3)当销售商一次订购量为

x

个时,该工厂的利润为

y,则

y=(p-40)x=??

??

?

??≥<<-≤<.

550,11,550100,5022,100,202x x x x x x x 其中x∈N *,故当x=500时,y=6000;当x=1000时,y=11000.

点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x 、y 的等式.

例4甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：

图3-2-1-16

甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只.

乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个.

请你根据提供的信息说明：

(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.

(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.

(3)哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由.

活动：观察函数图象，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:

先观察图象得出相关数据，利用数据找出函数模型.

解：由题意可知,甲图象经过(1,1)和(6,2)两点,

从而求得其解析式为y甲=0.2x+0.8,

乙图象经过(1,30)和(6,10)两点,

从而求得其解析式为y乙=-4x+34.

(1)当x=2时，y甲=0.2×2+0.8=1.2,y乙=-4×2+34=26，

y甲·y乙=1.2×26=31.2.

所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只.

(2)第1年出产鳗鱼1×30=30(万只),第6年出产鳗鱼2×10=20(万只),可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.

(3)设当第m年时的规模总产量为n,

那么n=y甲·y乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m2+3.6m+27.2

=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,当m=2时,n max=31.2,

即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只.

知能训练

2007山东高考样题，文18某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.

(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；

写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；

(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

(1) (2)

图3-2-1-17 (注：市场售价和种植成本的单位：元/102

kg ，时间单位：天)

活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正. 解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=?

?

?≤<-≤≤-.300200,3002,

2000.3000t t t t

由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=

200

1(t-150)2

+100,0≤t≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t).

即h(t)=???

????≤<-+-≤≤++-.300200,21025722001,2000,2

175********t t t t t t

当0≤t≤200时，配方整理,得h(t)=200

1-

(t-50)2

+100, 所以当t=50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200

1-

(t-350)2

+100, 所以当t=300时，h(t)取得区间［200，300］上的最大值87.5.

综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大. 点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力. 拓展提升 探究内容

①在函数应用中如何利用图象求解析式. ②分段函数解析式的求法.

③函数应用中的最大值、最小值问题.

举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系

.

图3-2-1-18

(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A 上市时间

t 的关系式；

(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式. 2.在t∈［0,40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段. 3.回忆函数最值的求法.

解：(1)f(t)=?

??≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g(t)=203-t 2

+6t(0≤t≤40).

(2)每件A 产品销售利润h(t)=??

?≤≤≤≤.

4020,60,200,3t t t .

该公司的日销售利润F(t)=???

?

?

?

???≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t , 当0≤t≤20时，F(t)=3t(20

3-t 2

+8t),先判断其单调性. 设

0≤t 1

＜

t 2≤20,

则

F(t 1)-F(t 2)=3t 1(203-

t 12+8t 1)-3t 2(203-t 22+8t 2)=20

9-(t 1+t 2)(t 1-t 2)2

. ∴F(t)在［0,20］上为增函数.∴F(t)max =F(20)=6 000<6 300.

当20

t 2+8t)>6 300，则370

3-×302

+240)=6 300,

故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.

点评：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键点.

2.在t∈［0,40］上，有几个分界点,t=20,t=30两点把区间分为三段.

3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一. 课堂小结

本节学习了:①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数的应用. 作业

课本P 107习题3.2A 组3、4.

设计感想

本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩，可灵活选用.