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2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第8讲二次函数含答案

第8讲二次函数

1．熟练掌握二次函数的定义、图象与性质． 2．会求二次函数在闭区间上的最值．

知识梳理

1．二次函数的三种表达式

(1)一般式：f (x )＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0) .

(2)顶点式：若二次函数f (x )的顶点坐标为(k ，h )，则其解析式为f (x )＝ a (x －k )2＋h .

(3)零点式：若二次函数的图象与x 轴的交点坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则其解析式为f (x )＝ a (x －x 1)(x －x 2) .

可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上的单调性进行分析求解．

1．若函数f (x )满足f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于x ＝a 对称；若f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则f (x )的图象关于x ＝a 对称． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则

当????? a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当?

????

a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0. 3．对二次函数f (x )＝a (x －k )2＋h (a ＞0)在区间[m ，n ]上的最值问题，有以下结论： ①若k ∈[m ，n ]，则y min ＝f (k )＝h ，y max ＝max{f (m )，f (n )}． ②若k ? [m ，n ]，

当k ＜m 时，y ＝f (x )在[m ，n ]上单调递增，y min ＝f (m )，y max ＝f (n )；当k ＞n 时，y ＝f (x )在[m ，n ]上单调递减，y min ＝f (n )，y max ＝f (m )．

热身练习

1．若二次函数的图象的顶点为(2，－1)，且过点(3,1)，则此函数的解析式为(B) A ．y ＝2(x ＋2)2－1 B ．y ＝2(x －2)2－1 C ．y ＝－2(x ＋2)2－1 D ．y ＝－2(x －2)2－1

设所求函数的解析式为y ＝a (x －2)2－1，把点(3,1)代入得a ＝2.

故所求函数的解析式为y ＝2(x －2)2－1.

2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是(D)

因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，

则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，与y 轴交于负半轴，由此可知选D. 3．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么(A) A ．f (2)＜f (1)＜f (4) B ．f (1)＜f (2)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1)

因为f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以a ＝1，抛物线的图象开口向上，又f (2＋t )＝f (2－t )，x ＝2是其对称轴，即当x ＝2时，f (x )取得最小值．

而当x ≥2时，f (x )是增函数，有f (2)＜f (3)＜f (4)，又f (2－1)＝f (2＋1)，即f (1)＝f (3)，所以f (2)＜f (1)＜f (4)．

4．若f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－2)上是(A) A ．增函数 B ．减函数

C ．部分为增函数，部分为减函数

D ．无法确定增减性

由f (x )＝f (－x )，可得m ＝0，所以f (x )＝－x 2＋3，由此知f (x )在(－5，－2)上是增函数． 5．函数f (x )＝－2x 2－x ＋1，x ∈[－3,1]．

(1)f (x )的单调递增区间为 [－3，－14] ，单调递减区间为 [－1

4，1] ；

(2)f (x )的最大值为 9

8 ，最小值为－14 .

因为f (x )＝－2x 2－x ＋1＝－2(x ＋14)2＋9

，