直线与曲线相切等价于只有一个公共点吗？

直线与曲线相切等价于只有一个公共点？

在讲解直线与椭圆的位置关系时，时常会有如下结论：

若直线:l y kx b =+与椭圆22

221x y a b +=，(0)a b >>相切，将直线方程与椭圆联立方程组，则：

0?=?方程组有一解?直线与椭圆有且只有一个公共点?直线与椭圆相切，此种情况在讲解直线

与圆相切的代数判定时也会用到，这样导致学生错误地理解为直线与曲线相切和直线与曲线有且只有一个公共点等价，事实真的是这样吗？

疑问1：直线与曲线相切时是不是就只有一个公共点？

切线的定义：P 和Q 是曲线C 上邻近的两点，P 的定点，当Q 点沿着曲线C 无限地接近P 点时，割线PQ 的极限位置PT 叫做曲线C 在点P 的切线，P 点叫做切点。这个定义中并没有提到切线与曲线的交点个数，更不能错误地理解为切线与曲线有且只有一个公共点。

例１ 已知曲线13++=x x y ，求曲线过点()1,3P 的切线方程。 解：(1)当点P 是切点时，因为2'31y x =+，所以1

'

4x k y ===，此时所求切线方程为：

410x y --=。

(2)当点P 不是切点时，设曲线13++=x x y 与过点()1,3P 的切线相切于点()3000,1A x x x ++。

因为2

'31y x =+, 所以切线的斜率0

20'

31x x k y x ===+。

所以32000013

311

x x x x ++-=+-，即

332000002331x x x x x +-=-+-，

()20021(1)0x x +-=,解得012x =-或01x =（舍去）,此时7

4k =，

所求的切线方程为7450x y -+=。

由(1)、(2)所求的切线方程为410x y --=或7450x y -+=。

学生通常错误地理解为切线与曲线的公共点必为切点，故只能求出410x y --=，其实直线

7450x y -+=与曲线13++=x x y 也相切，但此时两者有两个公共点(如图1所示)。

图1

该题的原题为：曲线13++=x x y 在点()1,3P 处的切线方程是 。

例１虽然只是把原题目中的“在”改成“过”，并且去掉了“处”，但结果却大相径庭，差之毫厘，谬以千里。

疑问2：对一个任意的三次曲线，过上面的任意一点作切线，是不是都有两条呢？

例２ 求证：对于三次曲线)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，过上面一点),(00y x P 作切线，如果a

b

x 30-

=，那么过点P 有且只有一条切线，否则有两条切线。 证明：因为以点P 为切点作曲线的切线一定存在，下面我们证明P 点不是切点的情况。 假设切点))(,(1011x x y x Q ≠，因为点Q 在曲线上，所以d cx bx ax y +++=12

13

11。 又因为点Q 在切线上，

所以切线PQ 的斜率3232101110001010()

y y ax bx cx d ax bx cx d k x x x x -+++-+++==

-- 33222210101001011010

()()()

()()ax ax bx bx cx cx a x x x x b x x c x x -+-+-==+++++-，

而点Q 是切点，根据导数的几何意义可以知道c bx ax x f k ++==12

1123)('，

所以c bx ax c x x b x x x x a ++=+++++121012

1012023)()(， 即0)()(20201021=+--+bx ax x ax b ax ，由于10x x ≠，∴102b

x x a

+=-

。 所以，如果a

b

x 30-=，那么过点P 有且只有一条切线，否则有两条切线，切点分别是点P 和Q 。 另外a

b 3-

正好也是023)('2

=++=c bx ax x f 的两根和的一半，这样判断起来就要更加的容易。而且由于''()03b f a -=，所以a

b x 31-=恰好也是)0()(2

3≠+++=a d cx bx ax x f 对应曲线的拐点的

横坐标。

疑问3：直线与曲线只有一个公共点时是不是就相切？

例３ （苏教版选修1-1第二章复习题16改编）设双曲线C 的方程为2

214x y -=，直线 :1(2)l y k x -=-。当k 为何值时，直线l 与双曲线C 有一个公共点。

解：联立方程组22

1(2)14

y k x x y -=-??

?-=??，

消去y 并化简，得222(14)8(21)161680k x k k x k k -+--+-=。

(1)当2140k -=，即12k =±。12k =时，上式无解；1

2

k =-时，有一解。

(2)当2140k -≠且2140k ?=-=时，无解。

由(1)、(2)得当1

2

k =-

时，直线l 与双曲线C 有一个公共点。 课本中为不引起争议，刻意回避了相切与一个公共点的关系。本题中1

2

k =-

时，直线l 与双曲线C 有一个公共点，但此时直线与双曲线显然不相切。其实，直线与双曲线的位置关系中，当直线与双曲线的渐近线平行时都与双曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线是相交而不是相切，直线与双曲线的渐近线平行或与双曲线相切都是只有一个公共点。类似的，在抛物线中当直线与其对称轴平行时也只有一个公共点，此时直线与抛物线也是相交而不是相切。双曲线、抛物线都不是封闭曲线，直线与不封闭曲线只有一个公共点时不一定就是相切。

事实上，从高等几何的观点来看，双曲线和抛物线都可以看成在无穷远处相交的封闭曲线，因此无论是直线与双曲线的渐近线平行还是与抛物线的对称轴平行，都可以看成直线与曲线相交，只是其中一个交点在无穷远处，于是有了下面的疑问：

疑问4：当曲线为封闭曲线时，直线与曲线相切?直线与曲线只有一个公共点？ 这个疑问供各位感兴趣的同仁课余探讨。

数学是一门严谨的学科，作为教师，我们在教学过程中一定要注意考虑全面，不能给学生错误的引导，更不能给学生不正确的结论，要培养学生敢于质疑的精神，提高学生的逻辑思维能力，提升学生的数学素养。