函数的奇偶性和周期性

第四节 函数的奇偶性与周期性

[备考方向要明了]

考 什

么

怎 么 考

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．

1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是判断函数奇偶性，二是函数奇偶性概念的应用，一般为求参数或求值，如2010年高考T5.

3.了解函数周期性、最小正周期的含义.

2.高考对周期性的考查主要是针对三角函数，一般函数不做要求.

[归纳 知识整合]

1．函数的奇偶性 奇偶性 定义

图象特点 偶函数

一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数

关于y 轴对称

奇函数 一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数

关于原点对称

[探究] 1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．

2．若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，是否有f (0)＝0？如果是偶函数呢？

提示：如果f (x )是奇函数时，f (0)＝－f (0)，则f (0)＝0；如果f (x )是偶函数时，f (0)不一定为0，如f (x )＝x 2＋1.

3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？

提示：存在，如f (x )＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．

2．周期性

(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，称T 为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

[探究] 4.若T 为y ＝f (x )的一个周期，那么nT (n ∈Z )是函数f (x )的周期吗？

提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当n ∈Z 且n ≠0时，nT 是f (x )的一个周期．

[自测 牛刀小试]

1．(教材习题改编)下列函数是奇函数的有________个 ①f (x )＝2x 4＋3x 2； ②f (x )＝x 3－2x ； ③f (x )＝x 2＋1

x

； ④f (x )＝x 3＋1.

解析：首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，②③为奇函数．

答案：2

2．(2012·南京调研)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ，则f (－4)的值是________．

解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (－4)＝－f (4)＝－4＝－2. 答案：－2

3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ????－5

2＝________. 解析：∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f ????－52＝－f ????52＝－f ????5

2－2 ＝－f ????12＝－2×12×????1－12＝－1

2. 答案：－1

2

4．(2012·重庆高考)若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.

解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 为二次函数，其图象的对称轴为x ＝－a －42，因为偶函数

的图象关于y 轴对称，所以－a －4

2

＝0，解得a ＝4.

答案：4

5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．

解析：∵当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，

∴当x ∈(0,1)时，f (x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 又∵函数f (x )为奇函数，

∴当x ∈(－1,0)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)时， f (x )<0.

∴满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)

判断函数的奇偶性

[例1] 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝

3－x 2＋

x 2－3；

(2)f (x )＝4－x 2

|x ＋3|－3；

(3)f (x )＝(x ＋1)

1－x

1＋x

. [自主解答] (1)由?

????

3－x 2

≥0，

x 2－3≥0，

得x ＝－3或x ＝ 3.

∴函数f (x )的定义域为{－3，3}． 又∵对任意的x ∈{－3，3}， －x ∈{－3，3}， 且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0. ∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．

(2)∵?

????

4－x 2

≥0，|x ＋3|≠3，∴－2≤x ≤2且x ≠0.

∴函数f (x )的定义域关于原点对称． 又∵x ＋3>0，

∴f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2

x .

又f (－x )＝4－(－x )2

－x

，

∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数． (3)由?????

1－x 1＋x ≥0，1＋x ≠0，得－1

∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．

若将本例(1)改为“f (x )＝ 3－2x ＋2x －3”，试判断其奇偶性．

解：∵函数f (x )＝

3－2x ＋2x －3的定义域为????

??

32，不关于坐标原点对称，

∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．

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判断函数奇偶性的方法

(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数．

(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断：f (－x )＝f (x )?f (x )为偶函数， f (－x )＝－f (x )?f (x )为奇函数．

②等价形式判断：f (－x )－f (x )＝0?f (x )为偶函数， f (－x )＋f (x )＝0?f (x )为奇函数．

或等价于f (－x )f (x )＝1，则f (x )为偶函数；f (－x )

f (x )＝－1，则f (x )为奇函数．

(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行．

(4)对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．

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1．判断下列函数的奇偶性

(1)f (x )＝lg 1－x

1＋x ； (2)f (x )＝?

????

x 2

＋x (x >0)，x 2－x (x <0)；

(3)f (x )＝lg (1－x 2)

|x 2－2|－2

.

解：(1)由1－x

1＋x >0?－1

又f (－x )＝lg

1＋x 1－x ＝lg ? ??

??1－x 1＋x －1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，

故原函数是奇函数．

(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时， －x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；

当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．

(3)由?

????

1－x 2

>0，|x 2－2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f (x )＝

lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)

x 2

.

∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)

x 2＝f (x )，

∴f (x )为偶函数．

函数奇偶性的应用

[例2] (1)(2012·上海高考)已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.

(2)(2012·新课标全国卷)设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x

x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋

m ＝________.

[自主解答] (1)g (1)＝f (1)＋2＝1则f (1)＝－1， 又因为f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝3. (2)将函数化简，利用函数的奇偶性求解． f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2

＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin x

x 2＋1

，则g (－x )＝－g (x )，

因此g (x )是奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， 则M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. [答案] (1)3 (2)2

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与函数奇偶性有关的问题及解决方法

(1)已知函数的奇偶性，求函数值

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)已知函数的奇偶性求解析式

将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．

(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.

(4)应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.

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2．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝________.

解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.

答案：－3

3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．

解析：因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)

答案：f(－25)

函数的周期性及其应用

[例3](1)(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝________.

(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝

?????

ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1

，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ????12＝f ????

32，则a ＋3b 的值为________． [自主解答] (1)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.

(2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ????32＝f ????－12，且f (－1)＝f (1)，故f ????12＝f ????－12，从而1

2b ＋212

＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋2

2，

即b ＝－2a .②

由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. [答案] (1)338 (2)－10

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函数周期性的判定与应用

(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．

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4．(1)(2012·济宁模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x －1，则f ???

?log 1

26的值为________． 解析：∵－3

2<0.∵f (x )是周期为2的奇函

数，

∴f (log 1

26)＝f ????log 1232＝－f ????－log 1232＝ －f ????log 232＝－????2log 232－1＝－1

2

.

答案：－1

2

(2)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上的单调增区间为________．

解析：由f (x )在[－1,0]上是减函数，又f (x )是R 上的偶函数，所以f (x )在[0,1]上是增函数． 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )， 故函数f (x )是以2为周期的周期函数．

结合以上性质，模拟画出f (x )部分图象的变化趋势，如下图．

由图象可以观察出，f (x )在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数． 答案：[2,3](开区间也对)

2个特点——奇、偶函数的定义域及关系式的特点

(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的等式． 5个性质——函数奇偶性的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

(2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． (3)若奇函数f (x )定义域中含有0，则必有f (0)＝0. f (0)＝0是f (x )为奇函数的既不充分也不必要条件．

(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”．

(5)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，奇×偶＝奇．

3种方法——函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性一般有三种方法：(1)定义法； (2)图象法；(3)性质法．

3条结论——关于函数周期性常用的结论

(1)若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)；

(2)若满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1

f (x ＋a )

＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)；

(3)若函数满足f (x ＋a )＝－1

f (x )

，同理可得2a 是函数的一个周期(a ≠0).

创新交汇——与奇偶性、周期性有关的交汇问题

1．函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．

2．根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f (－x )与f (x )的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f (x ＋T )与f (x )的关系，它们都与f (x )有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题．

[典例] (2012·辽宁高考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在????－12，3

2上的零点个数为________．

[解析]

由题意知函数f (x )是偶函数，且周期是2.作出g (x )，f (x )的函数图象，如图．由图可知函数y ＝g (x )，y ＝f (x )在????－12，32图象有6个交点，故h (x )＝g (x )－f (x )在????－12，3

2上的零点有6个．

[答案] 6 [名师点评]

1．本题具有以下创新点

(1)命题方式创新：本题是以数学符号语言交代了函数f (x )的奇偶性及周期性，考查了自然语言与符号语言转化的能力．

(2)考查内容创新：本题考查幂函数、三角函数及函数的交汇零点，且将数形结合思想融会其中，较好地考查了探究能力和逻辑推理能力．

(3)解题方法创新：本题通过巧妙转化，将x 3＝x cos πx 转化为我们熟悉的二次函数与周期函数间的关系，即x 2＝|cos πx |而使问题得以简单解决．

2．解决本题的关键有以下几点 (1)正确识别函数f (x )的性质；

(2)注意到x ＝0是函数h (x )的一个零点，此处极易被忽视； (3)正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题． [变式训练]

1．(2013·衡阳六校联考)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)＝________.

解析：∵f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴f (－2 011)＝f (2 011)．

当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的函数．注意到2 011＝4×502＋3,2 012＝4×503，

∴f (2 011)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1，f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0. ∴f (－2 011)＋f (2 012)＝－1. 答案：－1

2．(2012·朝阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是________．

解析：∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.

又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图象如图．

显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0,2]内恰有两个不同的公共点．

另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知y ′＝(x 2)′＝2x ＝1，∴x ＝12

.

∴A ????12，14，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－14，综上可知a ＝0或－14

.

答案：0或－1

4

3．(2012·珠海模拟)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝________.

解析：∵f (x )·f (x ＋2)＝13∴f (x ＋2)＝

13

f (x )

， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝13

f (x ＋2)＝f (x )．

∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (99)＝f (25×4－1)＝f (－1)＝13f (1)＝13

2

. 答案：132

一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．(2012·陕西高考)下列函数中，①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1

x ；④y ＝x |x |.既是奇函数

又是增函数的有________(填序号)．

解析：由函数的奇偶性排除①，由函数的单调性排除②、③，由y ＝x |x |的图象可知当x ≥0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．

答案：④

2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b________.

解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13

.

又函数f (x )＝1

3x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0，故a b ＝

(1

3

)0＝1. 答案：1

3．(2013·扬州期中)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________.

解析：由于函数f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，

则f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1.

答案：－1

4．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )

x >0的解集为

________．

解析：∵f (x )为偶函数，∴f (x )＋f (－x )x ＝2f (x )

x >0，

∴xf (x )>0，

∴?

???? x >0，f (x )>0，或?????

x <0，

f (x )<0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴x ∈(0,2)或x

∈(－∞，－2)．

答案：(－∞，－2)∪(0,2)

5．(2012·临沂模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋2f (2)，且f (－1)＝2，则f (2 013)＝________.

解析：在f (x ＋4)＝f (x )＋2f (2)中，令x ＝－2， 得f (2)＝f (－2)＋2f (2)．即f (2)＝f (2)＋2f (2)，

故f (2)＝0.则f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．又2 013＝4×503＋1，因此f (2 013)＝f (1)＝f (－1)＝2.

答案：2

6．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________． 解析：由于f (x )是偶函数，故当x <0时，f (x )＝2－

x －4，

当x －2<0时，由f (x －2)＝2

－(x －2)

－4>0，解得x <0；

当x －2≥0时，由f (x －2)＝2x －

2－4>0，解得x >4.

综上可知不等式解集为{x |x <0，或x >4}． 答案：{x |x <0，或x >4}

7．(2012·扬州调研)已知命题p 1：函数y ＝ln(x ＋1＋x 2)是奇函数，p 2：函数y ＝x 1

2为偶

函数，则下列四个命题：①p 1∨p 2；②p 1∧p 2；③(綈p 1)∨p 2；④p 1∧(綈p 2)中是真命题的有________(填序号)．

解析：对于y ＝ln(x ＋1＋x 2)，因为f (－x )＋f (x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋ln(－x ＋1＋x 2)＝0，故此函数是奇函数，命题p 1正确；因为y ＝x 12＝x 的定义域为R ＋

，故此函数不是偶函数，

命题p 2错误，根据真值表可知①④为真命题．

答案：①④

8．(2012·徐州模拟)设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1

a ＋1，

则a 的取值范围是________．

解析：∵f (x )是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)<1.

∴f (－1)>－1.又∵f (x )的周期为3，∴f (－1)＝f (2)＝2a －1a ＋1>－1.即3a

a ＋1>0，解得a >0或a <

－1.

答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)

9．(2012·苏州调研)已知函数f (x )＝bx ＋c

ax 2＋1(a ，b ，c ∈R ，a >0)是奇函数，若f (x )的最小值

为－12，且f (1)>2

5

，则b 的取值范围是________．

解析：显然函数f (x )的定义域为R .又函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，故c ＝0，从而f (x )＝

bx ax 2

＋1，由f (1)＝b a ＋1>25

，a >0，得b >0.由f (x )＝b ax ＋

1x

，得当ax ＝1

x ，即x ＝± 1

a

时，原函数有最值，从而－b 2a

＝－12，即a ＝b 2，于是b b 2＋1>25，化简得2b 2－5b ＋2<0，解得1

2

答案：????

12，2

10．(2012·南通二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|.给出下列不等式：

①f ????sin π6

6；②f (sin 1)>f (cos 1)； ③f ????cos 2π3

3；④f (cos 2)>f (sin 2)． 其中正确的是________(用序号表示)．

解析：当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]．从而f (x )＝f (x ＋4)＝2－|x |，因sin π6

6，所以

f ????sin π6>f ????cos π6；因sin 1 >cos 1，所以f (sin 1)

3，所以f ?

???cos 2π3>f ????sin 2π

3；因|cos 2|<|sin 2|，所以f (cos 2)>f (sin 2)， 综上所述，正确的是④. 答案：④

二、解答题(本大题共4小题，共60分) 11．(满分14分)判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 2－1·1－x 2；

(2)f (x )＝x ＋1

x ；(3)f (x )＝?

????

x 2

＋x ＋1，x >0，x 2－x ＋1，x <0.

解：(1)由?

????

x 2－1≥0，

1－x 2

≥0，得x ＝±1，∴f (x )＝0，又它的定义域关于原点对称，f (x )＝f (－x )＝－f (x )＝0，

∴f (x )既是奇函数又是偶函数．

(2)由?

???

?

x ≥0，x ≠0，得x >0，函数f (x )的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数也不是

偶函数．

(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－ x <0，f (x )＝x 2

＋x ＋1，f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1＝x 2＋x ＋1＝f (x )；当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2－x ＋1，f (－x )＝(－x )2＋(－x )＋1＝x 2－x ＋1＝f (x )．∴函数f (x )为偶函数．

12．(满分14分)(2013·盐城期中)已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )．

(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．

解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )． 故f (x )为偶函数；

当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a

x (x ≠0，常数a ∈R )，

取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， 即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．

故函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x 1

f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2 ＝

(x 1－x 2)

x 1x 2

[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]， 要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 必须f (x 1)－f (x 2)<0恒成立， ∵x 1－x 2<0，∴x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0， 即x 1x 2(x 1＋x 2)>a 恒成立．

又∵x 1＋x 2>4，x 1x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16. ∴a 的取值范围是(－∞，16]．

13．(满分16分)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .

(1)求f (π)的值；

(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，

f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，

所以f (π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．

故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．

又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时f (x )＝x ，则f (x )的图象如图所示．

当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×????12×2×1＝4.

(3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z )， 单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z )．

14．(满分16分)(2011·镇江调研)定义域为R 的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x －2k )(k ∈Z )，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x

4x ＋1

.

(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明f (x )在(0,1)上是减函数；

(3)当m 取何值时，方程f (x )＝m 在(0,1)上有解？ 解：(1)设－1

∴f (－x )＝2

－x

4－x ＋1＝2x

1＋4x

＝－f (x )，

即f (x )＝－2x

4x ＋1

，x ∈(－1,0)．

又f (x )为奇函数，∴f (0)＝－f (0)，从而f (0)＝0； 又f (x )＝f (x －2k )，k ∈Z ，∴f (1)＝f (－1)． 而f (－1)＝－f (1)，从而f (1)＝0，且f (－1)＝0.

综上所述，f (x )＝???

2x

4x ＋1

，x ∈(0，1)，0，x ∈{－1，0，1}，

－2x 4x

＋1，x ∈(－1，0).

(2)证明：设0

4x 2＋1

＝

(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)

(4x 1＋1)(4x 2＋1)

，

∵0

∴2x 1<2x 2，2x 1＋x 2>1,4x 1＋1>0,4x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 从而f (x )在(0,1)上是减函数． (3)由(2)可知f (x )在(0,1)上单调递减，

∴要使方程f (x )＝m 在(0,1)上有解，需25

2，

故m ∈????

25，12

.

1．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2＋1，则f (7)的值为________．

解析：f (7)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－(12＋1)＝－2. 答案：－2

2．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )等于________． 解析：∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －

x .

又∵f (x )＋g (x )＝e x ， ∴g (x )＝e x －e －

x 2

.

答案：12

(e x －e －

x )

3．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为________．

解析：∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，

且0≤x <2时，

f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)， ∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根， 即x 1＝0，x 2＝1.

由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根， 即x 3＝2，x 4＝3；

当4≤x ＜6时，f (x )＝0有两个根， 即x 5＝4，x 6＝5， x 7＝6也是f (x )＝0的根．

故函数f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴交点的个数为7. 答案：7

4．定义在(－1,1)上的函数f (x )．

(ⅰ)对任意x ，y ∈(－1,1)都有：f (x )＋f (y )＝f ?

??

??x ＋y 1＋xy ；

(ⅱ)当x ∈(－1,0)时，f (x )>0，回答下列问题． (1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由； (3)若f ????15＝12，试求f ????12－f ????111－f ????119的值． 解：(1)令x ＝y ＝0?f (0)＝0，

令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0?f (－x )＝－f (x )?f (x )在(－1,1)上是奇函数． (2)设0

则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ? ??

?

?x 1－x 21－x 1x 2，

而x 1－x 2<0,0

1－x 1x 2

<0，

又

x 1－x 21－x 1x 2－(－1)＝(1＋x 1)(1－x 1)1－x 1x 2>0，故－1

??x 1－x 21－x 1x 2>0，

即当0f (x 2)， ∴f (x )在(0,1)上单调递减． (3)由于f ????12－f ????

15 ＝f ????12＋f ????－15

＝f ? ??

??12－1

51－12×5＝f ????13. 同理，f ????13－f ????111＝f ????

14， f ????14－f ????119＝f ????15， ∴f ????12－f ????111－f ????119 ＝2f ????15＝2×12＝1.

函数的奇偶性试讲教案

1.3.2 函数的奇偶性 教材分析： 函数的奇偶性选自人教版高中新课程教材必修1第一章第三节《函数的基本性质》的内容，本节安排为二课时，《函数的奇偶性》为本节中的第二课时。 从在教材中的地位与作用来看，函数是高中数学学习中的重点和难点，函数的思想贯穿整个高中数学。而函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它与现实生活中的对称性密切联系，为接下来学习指数函数、对数函数和幂函数的性质奠定了坚实的基础。因此，本节课的内容是十分重要的。 学情分析： 授课对象为xxxx中学高一（x）班的学生，从学生现有的学习能力来看，学生已具有一定的分析问题和解决问题的能力，能根据以前学习过的二次函数和反比例函数这两个特殊函数的图象观察出图象对称的思想，使本节通过观察图象学习函数奇偶性的定义成为可能。教学目标： 1、知识与技能目标： 通过本节课，学生能理解函数奇偶性的概念及其几何意义，掌握判别函数奇偶性的方法。 2、过程与方法目标： 通过实例观察、具体函数分析、图形结合、定性与定量的转换，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。 3、情感态度与价值观目标： 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、概括的能力，使学生养成善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

教学重难点： 重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断。 难点：理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。 教法分析： 为了实现本节课的教学目标，在教法上，我通过大自然中对称的例子和学生已掌握的对称函数的图象来创设问题情境，启发学生自主思考，归纳共同点，从而调动学生主体参与的积极性。 在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念，在给出偶函数的定义之后，让学生类比得出奇函数的定义。 教学过程： 一、知识回顾 平面直角坐标系中的任意一点Ｐ（a,b)关于Ｘ轴、Ｙ轴及原点对称的点的坐标各是什么？ （1）点Ｐ（a, b)关于x轴的对称点的坐标为Ｐ（a,-b) .其坐标特征为：横坐标不变，纵坐标变为相反数； （2）点Ｐ（a, b)关于y轴的对称点的坐标为Ｐ（- a, b) ,其坐标特征为：纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）点Ｐ（a, b) 关于原点对称点的坐标为Ｐ（-a,-b) ,其坐标特征为：横坐标变为相反数，纵坐标也变为相反数． 二、新课教学 （一）偶函数

《函数的奇偶性与周期性》教案

教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？ 对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？ 生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？ 数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数

二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用

三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．

考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 .

函数的奇偶性与周期性练习题

函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．

高中数学常见题型解法第07招 函数的奇偶性的判断和证明

【知识要点】 一、函数的奇偶性的定义 对于函数()f x ，其定义域D 关于原点对称，如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=-，那么函数()f x 为奇函数；如果,x D ?∈恒有()()f x f x -=，那么函数()f x 为偶函数. 二、奇偶函数的性质 1、奇偶函数的定义域关于原点对称； 2、 偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称； 3、偶函数在对称区间的增减性相同，奇函数在对称区间的增减性相反； 4、 奇函数在原点有定义时，必有 (0)0f =. 三、判断函数的奇偶性的方法 判断函数的奇偶性的方法，一般有三种：定义法、和差判别法、作商判别法. 1、定义法 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. 2、和差判别法 对于函数定义域内的任意一个x ，若()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；若()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数. 3、 作商判别法 对于函数定义域内任意一个x ，设()0f x -≠，若()1()f x f x =--，则()f x 是奇函数，() 1() f x f x =-，则()f x 是偶函数. 【方法讲评】

方法一 定义法 使用情景 具体函数和抽象函数都适用. 解题步骤 首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关 系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否 则是非奇非偶函数. 【例1】判断下列函数的奇偶性. （1）x x x x f -+-=11)1()( （2）2lg(1) ()22 x f x x -=-- 【点评】（1）判断函数的奇偶性首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数. (2)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇偶函数的必要非充分条件.（3）函数的定义域求出来之后，还要注意在解题中应用，不是走一个过场和形式.第2小题就是利用求出的定义域对函数进行了化简. 【例2】 定义在实数集上的函数()f x ，对任意x y R ∈、，有()()f x y f x y ++-2()()f x f y =? 且(0)0f ≠ ①求证：(0)1f = ②求证：()y f x =是偶函数

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],

函数的奇偶性(讲义).docx

函数的奇偶性 【知识要点】 1．函数奇偶性的定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的任意一个x，都有 f (x) f (x)， 那么函数f ( x)f (x) f ( x) 叫偶函数（， 那么函数 even function）.如果对于函数定义域内的任意一个 f ( x) 叫奇函数（ odd function）. x，都有 2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性，也可由函数的奇偶性作函数的图象. 3．判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (x)与 f ( x) 的关系； （1）奇函数 f (x) 1( f (x) 0) ； f ( x)f (x)f ( x) f (x) 0 f (x) （2）偶函数 f x f x f xf x f x 0 1 f x 0 . f x 4．函数奇偶性的几个性质： （1）奇偶函数的定义域关于原点对称，在判断函数奇偶性时，应先考察函数的定义域；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； （3）若奇函数 f x在原点有意义，则 f 00 ； （4）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数，又不是偶函数； （5）在公共的定义域内：两个奇（偶）函数的和与差仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数； （6）函数 f x与函数 1 有相同的奇偶性 . f x

5．奇偶性与单调性： （1）奇函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相同的单调性； （2）偶函数在两个关于原点对称的区间 b, a , a, b 上有相反的单调性 . 【典例精讲】 类型一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性： （1） f x x 2 2 x ； （2） f x 1 x 2 x 2 1 ； （3） f x ax b ax b a b 0 ； 1 1 （4） f x x ； 2 x 1 2 x 2 x 1, x x 2 2x 3, x 0， （5） f ( x) 0， x 0， 2 x 1, x （ 6） f ( x)0, x 0； 2x 3, x 0. x 2 变式 判断下列函数的奇偶性： 4 5 1 1 (1) f ( x )= x ； (2) f ( x )= x ； (3)f ( x )= x + x 2 ；(4) f ( x )= x 2 . （ 5） f ( x ) x 3 2 x （ 6） f ( x) 2 x 4 4 x 2 （ ） y ax b ( a 0, b 0) （ 8） y x ( k 0) 7 x k x 2

函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1

2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域，

第7讲 函数的奇偶性学生

第7讲 函数的奇偶性 [玩前必备] 1.函数奇偶性的定义 (1)奇函数：设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，则这个函数叫做奇函数. (2)设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且g (－x )＝g (x )，则这个函数叫做偶函数. 2.奇、偶函数图象的对称性 (1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. (2)偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.判断奇偶性的步骤 . 4.奇偶性的有关结论 (1)若奇函数在0x =处有意义，则有(0)0f =. (2)奇函数在定义域内的对称区间上单调性相同; 偶函数在定义域内的对称区间上单调性相反。 [玩转典例] 题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性．

(1)f (x )＝x 2(x 2＋2)； (2)f (x )＝x x －1 ； (3)f (x )＝x 2－1＋1－x 2. [玩转跟踪] 1.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ； (2)f (x )＝1－x 2 x ； 2.判断函数的奇偶性：24()|3|3 x f x x ； 例2 判断函数22,0(),0x x x f x x x x 的奇偶性. [玩转跟踪] 1.判断函数122+-=x x y 的奇偶性，并指出它的单调区间. 题型二 已知函数奇偶性求参数值 例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________， b ＝________. (2)设函数(1)()() x x a f x x 为奇函数，则a ＝________. [玩转跟踪] 1.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 2.定义在)1,1(-上的奇函数1 )(2+++=nx x m x x f ，则常数=m ____,=n _____

1.10基本初等函数奇偶性和周期性

1．10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点：①能够正确判断函数的奇偶性和周期性；②运用基本初等函数的性质解题。 一．基础练习 1． 写出下列函数中，奇函数是________；偶函数是________；非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2． 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++，系数,,,a b c d 满足__________时，()f x 是奇函数； 满足___________时，它是偶函数． 3． 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(2)f =________． 4． 函数sin 2y x =的周期是________；tan y x π=的周期是________． 5． 已知函数()f x 是定义在（-3，3）上的奇函数，当03x << ()f x 图象如右，则不等式 ()0f x x >的解集是____________． 二、例题讲解 例1：判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()2||3f x x x =-- （2）22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--，实数a 的范围是____________．

函数的奇偶性和周期性

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号11sh11sx00 学员编号: 年级：高二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题函数的奇偶性和周期性 授课日期及时段 教学目标 1、理解函数的周期性与奇偶性的概念 2、能根据函数的周期性求函数值或在相关区间上的函数解析式 3、会判断函数的奇偶性，并会结合周期性与奇偶性解决相关问题 教学内容 一、知识点梳理及运用 知识点一、函数的奇偶性 1、定义：设() y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有，则称函数() y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有，则称函数() y f x =为偶函数 2、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称 3、() f x是偶函数?() f x的图象关于y轴对称 () f x是奇函数?() f x的图象关于原点对称 4、若奇函数() f x的定义域包含0，则(0)0 f= 5、判断函数奇偶性的方法： ①定义法：首先判断其定义域是否关于原点对称 若不对称，则为非奇非偶函数 若对称，则再判断()() f x f x =-或()() f x f x =-是否成立 ②性质法：设() f x，() g x的定义域分别是 12 , D D，那么在它们的公共定义域 12 D D D =?上： 奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 典型例题 例1、（判断奇偶性）判断下列函数的奇偶性 （1）35 ()35 f x x x =+（2）2 ()3||1 f x x x =-+（3） 2 2 (0) () (0) x x x f x x x x ?+< ? =? -+> ?? （4）()|1||1| f x x x =+--

2021年新高考数学总复习第7讲：函数的奇偶性与周期性

第 1 页 共 5 页 2021年新高考数学总复习第7讲：函数的奇偶性与周期性 1．(2020·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝lnx 2 C ．y ＝cosx x D ．y ＝－x 2 答案 D 解析 由函数的奇偶性排除A 、C ，由函数的单调性排除B ，由y ＝－x 2的图象可知当x>0时，此函数为减函数，又该函数为偶函数．故选D. 2．(2020·唐山市高三测试)设函数f(x)＝x(e x ＋e －x )，则f(x)( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 答案 A 解析 方法一：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e －x ＋e x )＝－x(e x ＋e －x )＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f ′(x)＝e x ＋e －x ＋x(e x －e －x )，当x>0时，e x >e －x ，所以x(e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A. 方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B 、D.易知f(1)

函数的奇偶性与周期性试题(答案)

函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1

第七讲函数的奇偶性与周期性

班级第七讲函数的奇偶性与周期性 姓名考号日 期得分 、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内. 1 .定义在R上的函数 f(x)满足:f(x) f(x+ 2) = 13, f(1) = 2，则f(99)=( ) 州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意 a 共R，总有f( a+ 3)— [f( a + f( 3)]=精选考题，则下列说法正确的是( ) A . f(x) — 1是奇函数 B. f(x) + 1是奇函数 C. f(x) —精选考题是奇函数 D . f(x) +精选考题是奇函数①若 A n B= {a}，则 f(a) = a; ②若B不是单元集，则满足f[ f(x)] = f(x)的x值可能不存在； ③若f(x)具有奇偶性，则f(x)可能为偶函数； ④若f(x)不是常数函数，则f(x)不可能为周期函数. 其中，正确命题的序号为__________ . 10.对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为 _____________ . ①若f(x)是奇函数，则f(x— 1)的图象关于点A(1,0)对称； ②若对x€ R，有f(x+ 1) = f(x— 1)，则y= f(x)的图象关于直线x= 1对称; ③若函数f(x— 1)的图象关于直线x = 1对称，则f(x)为偶函数； ④函数y = f(1十x)与函数y = f(1— x)的图象关于直线x= 1对称. 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤. ) —2x 十 b 11.已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数. 2x十1十a (1)求a、b的值； ⑵若对任意的t€ R，不等式f(t2— 2t) + f(2t2— k)<0恒成立，求k的取值范围. 3 .设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x€ (0,1)时，f(x)= log (1 — x)，则函数 f(x)在 (1,2)上( A .是增函数，且f(x)<0 C .是减函数，且f(x)<0 ) B .是增函数，且f(x)>0 D .是减函数，且f(x)>0 4 ?设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x) = f 的所有x之和为( ) x十4 C.— 8 D. 8 5 .已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为 5, A .是增函数且最小值为— 5 B .是增函数且最大值为— C .是减函数且最小值为- 5 D .是减函数且最大值为- 那么函数f(x)在区间[—7，— 3]上( 6.(精选考题新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)= x3— 8(x> 0),则{x|f(x— 2)>0}=( ) A . {x|x<— 2或x>4} B . {x|x<0或x>4} C. {x|x<0或x>6} D. {x|x< — 2或x>2} 二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上. 7.(精选考题江苏)设函数f(x) = x(e x + ae—x)(x€ R)是偶函数，则实数a的值为 8.已知函数f(x+ 1)是奇函数,f(x — 1)是偶函数，且f(0) = 2,则f(4)=

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 考点梳理 一、函数的奇偶性 （探究：奇、偶函数的定义域有何特点？若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，反之，若函数的定义域不关于原点对称，则函数无奇偶性。） 二、奇、偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、在公共定义域内， （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数。（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。 （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0。 （探究：若f(x)是偶函数且在x=0处有定义，是否有f(x)=0?不一定，

如f(x)= 21x +，而f(0)=1。） 三、函数的周期性 一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 （探究：若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x)，那么函数f(x)是周期函数吗？ 是周期函数，()()(),(2)() (2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴ += 是偶函数， 又所以是以为周期的函数） 例题解析 要点1：函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般方法 （1）首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，否则，既不是奇函数也不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断： ()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=?-=?为偶函数， 为奇函数。 ②等价形式判断：

函数的单调性奇偶性和周期性和对称性之间的关系

函 数 的 对 称 性 一个函数的自对称 定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。就是该函数的对称轴是x a =。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。就是该函数的对称点是(,0)a 。 定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x += 对称。就是该函数的对称轴是2 a b x +=。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点( ,0)2a b +对称。就是该函数的对称点是(,0)2 a b +。 还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于( ,)22a b m +这个点对称。 周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数. 它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1() f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=) (11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。 习 题 1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。 2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点） 3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根? 4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值. 5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02 f x f x ++=且5 ()4 f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52 x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数 例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。 （1）f(x)是奇函数，则有f(-x+a)= f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)= （2）函数f(x-1)是偶函数，求y=f(x)的对称轴。

人教版高数必修一第6讲：函数的奇偶性(学生版)

函数的奇偶性 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 理解函数的奇偶性及其图像特征； 2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征； 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数； 函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数?()y f x =的图像关于原点对称。 2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性

函数的奇偶性及周期性

函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [小题体验] 1．下列函数中为偶函数的是() A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x|D．y＝2－x 答案：B 2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________. 答案：－1 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________. 答案：x(1－x) 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－

x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． [小题纠偏] 1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－1 2 解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1 3.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝1 3 . 2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝ ? ???? －4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ????32＝________. 解析：由题意得，f ????32＝f ????－12＝－4×????－122＋2＝1. 答案：1 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－ x ； (4)(易错题)f (x )＝4－x 2 |x ＋3|－3 ； (5)(易错题)f (x )＝????? x 2＋x ，x >0， x 2－x ，x <0. 解：(1)∵由? ???? x 2－1≥0， 1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，