经典立体几何练习题(值得你收藏

经典立体几何练习题（值得你收藏）

1．设,,a b c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是（ ） A ．当c α⊥

时，若c β⊥，则//αβ B ．当

b α?时，若b β⊥，则αβ⊥

C ．当,b a αα??且c

是a 在α

内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥

D ．当b α?且c α?时，若//c α，则//b c

2．一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )

3．已知,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，给出下列命题真命题是 A.若m ⊥α,n ⊥β,α⊥β,则m ⊥n B. 若m//α,n//β,α//β,则m//n C. 若m ⊥α,n//β,α⊥β,则m ⊥n D. 若m//α,n ⊥β

,α⊥β,则m//n

4．已知

a,b 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中不．正确．．

的是 A. //,//a b αβ若则 B.,αβ⊥⊥若则a b C.,,a b αβ若相交则，相交 D. ,a

b αβ若，相交，则相交

5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），这个几何体的体积是（ ） A

B C ．32000cm D ．34000cm

6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为( )

正视图

侧视图

俯视图

A B C D

7．已知多面体ABC-DEFG ，AB ，AC ，AD 两两垂直，面ABC//面DEFG ，面BEF//面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8

8．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A

B

C

D

9．如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD

）

A.EF 与GH 互相平行

B.EF 与GH 异面

C.EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上

D.EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上

10．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A

11．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是（ ）

① ② ③ ④

A ．①②

B ．②④

C ．①④

D ．①③ 12．设l,m,n 为三条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是( ) ① 若l ⊥α，m ∥β，α⊥β则l ⊥m ② 若，，，，n l m l n m ⊥⊥??αα则l ⊥α ③ 若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α ④ 若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则l ∥n A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

13．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1B ⊥CB 1，则A 1B 与AC 1所成的角为（ ）

A ．450

B ．600

C ．900

D ．1200

14．如图，ABC —A 1B 1C 1是正方体，E 、F 分别是AD 、DD 1的中点，则面EFC 1B 和面BCC 1B 1所成二面角的正切值等于( )

A

B

C

D

15．将边长为1的正方形ABCD ，沿对角线AC 折起，使

则三棱锥D-ABC 的体积为( ) A

．

M

N

P

Q

M

P

Q

N

M

N P

Q

M

N

P

Q

16．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600

角的面对角线的条数是( ) A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．10条

17．若,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若,,//l l αββα⊥⊥则 B ．若,//,l l αβαβ⊥⊥则

C ．若,l αβ与的所成角相等，则//αβ

D ．若l 上有两个点到α的距离相等，则//l α

18．（ ）

A

B

C

D 19． 已知二面角αβ——AB 是直二面角，P 为棱AB 上一点，PQ 、PR 分别在平面α、β内，且?=∠=∠45RPB QPB ，则QPR ∠为（ ） A ．45?

B ．60?

C ．120?

D ．150?

20．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱11B A 的中点，则BE 与平面11ACC A 所成角的正弦值为

A B C D

21．P 正三角形ABC 所在平面外一点PA,PB,PC 两两垂直，则P 到面ABC 的距离为（ ）

22．不同的直线a, b, c 及不同的平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ） A ．若a ?α，b ?α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥α B ．若b ?α, a//b 则 a//α C ．若a ⊥α, b ⊥α 则a//b D ．若a//α,α∩β=b 则a//b

23．如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（ ）

A B

24．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的 中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ）

A ．30

B ．45

C ．60

D ．90

25．如图，在正方体1111-D C B A ABCD 中，E 为11C A 的中点，则异面直线CE 与BD 所成的角为( )

A 、30°

B 、45°

C 、60°

D 、90 °

26所示，则其侧（左）视图的面积是（ ）

A B C ．28cm D ．24cm

27．在空间，异面直线a ，b 所成的角为α，且

A D 28．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A

B

C

D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ） A ．90o

B ．30o

C ．60o

D ．45o

29．正方体1111ABCD A B C D -，棱长为2，点1A 到截面11AB D 的距离为( )

A ．

30．如右图所示，正三棱锥V ABC -中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上

）

A ．090

B ．060

C ．030

D ．随P 点的变化而变化。 31．下列说法不正确的．．．．

是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.

C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；

D ．存在两条异面直线,

,,,,a b a b a b αββ

α??∥∥，使得βα//；

32．如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD

A ．AD

B ．GA

C ．AG

D ．MG

33．如图所示的直观图，其原来平面图形的面积是

A.4 D.8

34．正方体的内切球的体积为π36, 则此正方体的表面积是 A ． 216 B ．72 C ． 108 D ． 648 35．下列几何体中是旋转体的是

①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.

A ． ①和⑤

B ． ①

C ． ③和④

D ． ①和④

36．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A

B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值

为（ ） A

B

C D

37．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为1， 其直观图和正(主)视图如图1，则它的左(侧)视图的面积是（ ）

A B.1 C.

38．设n m l ,,为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中不正确的是（ ） A.若α⊥l ，则l 与α相交

B.若，，，，n l m l n m ⊥⊥??αα则α⊥l

C.若 l // m ，m // n ，α⊥l ，则α⊥n

D.若l // m ，α⊥m ，α⊥n ，则l // n

39．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1体的俯视图可以是（ ）

40．若直线l 不平行于平面α，且α?l ，则( ) A.α内的所有直线与l 异面 B.α内不存在与l 平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l 平行 D.α内的直线与l 都相交

41．矩形ABCD 中，AB= 4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）

A B C D 42．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为 （ ）

A ．1 C 43．正三棱柱111ABC A

B

C -的各棱长都是2，E ，F 分别是11,AB AC 的中点，则EF 的长是（ ）

44．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）

A.1

B. 1∶9

C. 1

45．给出下列正方体的侧面展开图，其中D C B A 、、、分别是正方体的棱的中点，那么，在原正方体中，AB 与CD 所在直线为异面直线的是

A B C D

46．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若γα⊥，γβ⊥，则//αβ；②若α?m ，α?n ，//m β，//n β，则//αβ；③

若//αβ，α?l ，

则//l β； ④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，//l γ，则//m n ．其中真命题的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

47．下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不． 共面．．

的一个图是

参考答案

1．B 【解析】

试题分析：分别写出其逆命题再判断，A 、由面面平行的性质定理判断．B 、也可能平行C 、由三垂线定理判断．D 、由线面平行的判定定理判断．

A 、其逆命题是：当c ⊥α时，或α∥β，则c ⊥β，由面面平行的性质定理知正确．

B 、其逆命题是：当b ?α，若α⊥β，则b ⊥β，也可能平行，相交．不正确．

C 、其逆命题是当b ?α，且c 是a 在α内的射影时，若a ⊥b ，则b ⊥c ，由三垂线定理知正确．

D 、其逆命题是当b ?α，且c ?α时，若b ∥c ，则c ∥α，由线面平行的判定定理知正确． 故选B

考点：本题主要考查线面平行的判定理，三垂线定理及其逆定理，面面平行的性质定理等，做这样的题目要多观察几何体效果会更好． 点评：解决该试题的关键是熟练运用线面平行的判定定理和性质定理，和线面垂直的判定定理和性质定理的运用。 2．D 【解析】

试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状，及关键数据，代入棱锥体积公式，即可求出答案．由于该几何体有一个半圆锥和一个四棱维组合而成，

其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2

则 答案选D 考点：本题主要考查知识点是由三视图求体积。 点评：解决该试题的关键是其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状。结合棱锥的体积公式求解运算得到结论。 3．A 【解析】

试题分析：B 项,m n 可能是平行，相交，异面；C ，D 项,m n 可能垂直还可能平行 考点：线面平行垂直的判定性质

点评：此题可联系正方体中的线面关系来判定 4．D 【解析】

试题分析：视a ，b 为正方体中的线，α，β为正方体中的面，观察正方体解决． 对于A ，根据面面平行的判定定理可知其正确；

对于B ，根据线面垂直的性质定理可知“a⊥b”，故正确； 对于C ，根据反证法思想可知该命题正确；

对于D ，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面，故D 为假命题． 故选D ．

考点：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系． 点评：本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系，解题时要灵活运用立体几何中各位置关系的判定定理和性质定理，并借助空间想象寻找反例，判断命题的真假，这种类型的问题在高考选择题中非常普遍．选项A 、B 易证是真命题，选项C 可用反证法证之．

5．B

【解析】

试题分析：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形,且边长

为20故选B.

考点：本题主要考查三视图、椎体的体积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．

点评：解决该试题的关键是由三视图可知，几何体是四棱锥，一个侧面垂直底面，底面是正方形，根据数据计算其体积．

6．C

【解析】

试题分析：依题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，

根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．

A的图象为直线的图象，排除A．

B项中B不是抛物线的焦点，排除B．

D项不过A点，D排除．

故选C．

考点：本题主要考查了抛物线的定义和考生观察分析的能力，数形结合的思想的运用，考查计算能力，转化思想．是一道基础题。

点评：解决该试题的关键是根据题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，利用抛物线的定义推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．看图象中，A的形状不符合；B的B点不符合；D的A点符合．从而得出正确选项

7．B

【解析】

试题分析：取DG中点M，连接CM，AM，FM，则这个多面体的体积可以表示为棱柱BEF-ADM 与三棱锥C-FMG以及四棱锥C-ABFM的和由于多面体ABC-DEFG中（如图），

AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1故棱柱BEF-ADM可看作是底面是直角三角形的三棱锥，其高2，底面是两直角边分别是1，2

的三角形其体积是三棱锥C-FMG以CM为高，其长为2，底面是MF=2，MG=1

C到AM的距离就是四

棱锥C-ABFM的高，由于由等面积法可求得C到AM底面四边形是

以AB=2

，,故选B．

考点：本题主要考查了组合几何体的面积、体积问题。

点评：解答本题关键是根据几何体的形状对几何体进行分割，变成几个规则的几何体的体积的和，如本题转化为求棱柱，两个棱锥的体积的和．分割法是求不规则几何体的体积与面积时常用的方法．其特点是把不规则几何体的体积用几个规则的几何体的体积表示出来．8．C

【解析】

试题分析：建立如图所示坐标系，

令正四棱锥的棱长为2，则A（1，-1，0），D（-1，-1，0），S（0，0,E,

因此可知故选C.

考点：本题主要考查了多面体的结构特征和空间角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题．

点评：解决该试题的关键是由于是正方体，又是求角问题，所以易选用向量量，所以建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量夹角公式求解．9．D

【解析】

CBD中，FG//BD，同理由于点E、H分别是

边AB、AD的中点，那么说明FH//BD，但是平行不相等，因此是梯形，故E、F、G、H四点共面，同时设EH,FG延长且交与点P，那么利用AC是平面ABC，与平面ADC的交线，由于点P在EH上，点P在FG上，那么故可知由公理3可知点P 在交线AC上，故选D.

考点：本题主要考查了四点是否共面的问题的运用。

点评：解决该试题的关键是利用相似比得到平行，同时利用平行的传递性得到，线线平行，确定出共面。

【解析】 试题分析：设圆柱底面积半径为r ，则高为2πr ，那么根据圆柱体的侧面积就是矩形的面积，

全面积加上两个底面的面积得到，故有全面积：侧面积=[（2πr ）2+2πr 2]：（2πr ）2

故选A ． 考点：本题主要考查了圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．

点评：解决该试题的关键是设圆柱底面积半径为r ，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比． 11．C 【解析】

试题分析：第一个图中，直线MN 与PQ 是相邻侧面的两条不相交，不平行的直线，故是异面直线。第二个图中，由于折叠后可知，MN 与PQ 是相交直线，故不是异面直线。第三个图中，由于利用平行的传递性，折叠前后平行性不变，第四个图中，根据异面直线的判定定理可知成立。故选C.

考点：本题主要考查了异面直线的概念的运用。

点评：解决该试题的关键是通过折叠图前后的关系，还原为几何体，然后分析两直线是否是不是共面直线的问题。 12．B 【解析】 试题分析：

对于A ，若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m 或l∥m．故不正确；

对于B ，根据线面垂直的判定定理可知少条件“m 与n 相交”，故不正确； 对于C ，根据线面垂直的性质定理可知该命题正确；

对于D ，利用垂直于同一个平面的直线是平行直线，那么可知m//n ，再结合平行的传递性可知结论成立。故正确，因此选B. 考点：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 点评：解决该试题的关键是熟练运用空间的线面平行和垂直的判定定理和性质定理，来判定命题的正确性。 13．C. 【解析】

试题分析：分别取AB,A 1B 1的中点M ，N ，连接B 1M ，AN,CM ，C 1N ，因为此三棱柱为正三棱柱，所以,CM AB ⊥1,CM ABB ⊥1平面A 又因为A 1B ⊥CB 1,根据三垂线定理可知11A B B M ⊥, 因为四边形1AMB N 为平行四边形，所以AN//B 1M,所以再由三垂线定理的逆定理可知

11A B AC ⊥,所以A 1B 与AC 1所成的角为900.

考点：三垂线定理及逆定理.

点评：解本小题关键是在平面A 1ABB 1内作出B 1C,AC 1的射影，然后再利用三垂线定理或逆定理进行证明即可.

【解析】

试题分析：取BC 的中点M ，连接EM ，过M 作MN 1BC ⊥,垂足为N ，连接EN ，因为

11EM B BCC ⊥平面,所以由三垂线定理可知1EN BC ⊥，所以ENM ∠就是二面角

1E BC C --的平面角，设正方体的棱长为1,在ENM ?中，

22

考点：线面垂直的判定，三垂线定理找二面角的平面角.

点评：解本小题的关键是做出二面角的平面角，除定义外，一般要考虑使用三垂线定理或逆定理来做出二面角的平面角，本小题在确定11EM B BCC ⊥平面的基础上，过过M 作MN 1BC ⊥,垂足为N ，连接EN, ENM ∠就是二面角1E BC C --的平面角，然后解三角形求角即可. 15．B. 【解析】

试题分析：取AC 的中点M ，连接DM ，BM ，则,DM AC BM AC ⊥⊥,

所以AC ⊥平面PMB,

考点：线面垂直的判定，三棱锥的体积公式.

点评：本小题属于平面图形的翻折问题，要注意翻折前后哪此量发生了变化，哪些量没发生变化，没变化的量一般要在平面图形中求解. 16．C 【解析】

试题分析：因为在正方体中11AB D ?是正三角形，所以除111B D AB 和,A 1C 1和A 1B 四条外与

111B D AB 和,A 1C 1和A 1B 平行的面对角线也都与AD 1所成的角为600,因而共有8条.

考点：正方体的性质，异面直线所成的角.

点评：知道在正方体中由面对角线围成的三角形是等边三角形，从而确定每个内角都是600

,

据此可知只要与此对角线平行的面对角线那么与另两条边所成的角都是600

,因而可找出四对. 17．B. 【解析】

试题分析：因为//l β,过l 作一个平面与β相交，设交线为m,则l//m,因为l α⊥,

所以m α⊥,又因为m β?,所以αβ⊥.

考点：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系.

点评：掌握线线，线面，面面垂直的判定与性质是解决此类小题的关键，在研究此类小题时要注意直线在平面内的情况，否则会造成判断错误. 18．B. 【解析】

试题分析：此几何体是棱长为

的正四面体，所以其体积为

考点：正方体的性质，正四面体的性质及体积.

点评：所求四面体的各条棱是正方体的面对角线，正四面体的高等于棱

. 19．B 【解析】

试题分析： 考点：二面角. 点评：平面内的一条直线与这个平面的斜线所成的角的余弦值等于这条直线与这条斜线在这个平面内的射影所成的角的余弦值乘以斜线与平面所成的角的余弦. 20．B 【解析】

试题分析： 因为正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱11B A 的中点，则过点E 作B 1D 1的垂线段交点为F ，连接BF,则可知BE 与平面11ACC A 所成角FBE ∠,那么在三角形FBE ?，设

棱长为1BE 与平面11ACC A 所成角的正弦值为

B. 考点：本题主要考查了空间中线面角的求解运算。 点评：解决该试题的关键是利用正方体的性质，得到线面所成的角，一般分为三步骤，作图，求证，再解答，从而得到。 21．C 【解析】

试题分析： 先根据题意，由于P 正三角形ABC 所在平面外一点且PA,PB,PC

两两垂直，故可知点P在底面的射影为底面的垂心，即为底面的重心，那么利用正三角形的

P

到面ABC的距离为1，选C.

考点：本题主要考查了空间中点到面的距离的求解问题。

点评：解决该试题的关键是画出图形，过P作底面ABC 的垂线，垂足为O，连接CO并延长交AB于E，说明PO为所求

22．C

【解析】

试题分析： A、若a?α，b?α，c⊥a，c⊥b，若在平面α内直线a平行直线b，则c不一定垂直α，故A错误；

B、已知b?α，a∥b，则a∥α或a?α，故B错误；

选项C若a⊥α, b⊥α则a//b,那么根据垂直于同一个平面的两直线平行得到成立。

选项D中，若a//α,α∩β=b 则a//b，只有b在平面β内时成立故错误。选C.

考点：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，是一道基础题，比较简单；

点评：解决该试题的关键是熟悉空间中直线与平面垂直的判定定理和线线平行的判定定理，对四个选项进行一一判断。

23．D

【解析】

试题分析：设

1

2

CA CC CB

==2a

=，则(2,0,0),(0,0,)

A a

B a，

11

(0,2,0),(0,2,)

C a B a a

，

所

以直线

1

BC与直线

1

AB夹角的余弦值为

考点：空间向量求异面直线所成的角.

点评：利用空间向量求异面直线所成的角关键是恰当地建立直角坐标系，本小题以C为顶点，

以CA，CC1，CB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，然后求出向量

1

BC

和

1

AB

的坐标，再利用

求出θ,要注意θ若为钝角，则其补角为异面直线所成的角.否则就是

异面直线所成的角.

24．C

【解析】

试题分析：取BC的中点E，由线面垂直的判定定理得AE⊥面11

BCC B，所以AD与平面11

BB C C所成的角是,

ADE

∠设棱长为2,a 则

所以60

ADE

∠= .

考点：棱柱的性质，直线与平面所成的角.

点评：找线面角关键是找出斜线在平面内的射影，并且角的范围为(0,90]

. 25．D 【解析】

试题分析：因为底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥,又因为1BD CC ⊥,

所以1111,,BD A ACC CE A ACC ⊥?平面平面所以CD CE ⊥，所以异面直线CE 与BD 所成的角为90

.

考点：正方体的性质，异面直线所成的角.

点评：本小题实质是证明直线CE 与BD 垂直，所以可以利用线面垂直的性质定理只需证明

11BD A ACC ⊥平面即可.

26．A 【解析】

试题分析：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a ，解得2,a =根

据俯视图可知侧视图为长和宽分别为2和考点：本小题主要考查的空间几何体的三视图和棱柱的体积的计算，考查学生的空间想象能

力. 点评：空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影，同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，这一点不可忽略. 27．A 【解析】

试题分析：因为

α

是异面直线a ，b 所成的角，所以，所以

.

考点：本小题主要考查异面直线所成角的范围和同角三角函数关系的应用.

点评：应用22sin cos 1αα+=时，一定要注意α的取值范围，注意是一个解还是两个解. 28．D 【解析】

试题分析：当平面ABC 垂直于平面ACD 时，以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大，此时找AC 的重点E ，连接,BE DE ，易证BE AC ⊥,所以BE ⊥平面ACD ,所以BE BD

⊥,所以BED ∠为直线BD 和平面ABC 所成的角，所以45.BED ∠=?

考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力.

点评：求直线与平面所成的角，关键是先作出角，再证明作出的角是要求的线面角，最后才是求角的大小. 29．B 【解析】

试题分析：易知11AB D ?为边长

根据等体积法可知点1A 到截面11AB D 的距离为考点：本小题主要考查点到平面的距离的求法,考查学生的运算求解能力. 点评：其点到平面的距离时，“等体积法”是常用的一种方法. 30．A 【解析】

试题分析：连接,,VF BF 因为三棱锥V ABC -为正三棱锥，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，所以,AC BF AC VF ⊥⊥,因为BF VF F =I ,所以AC ⊥平面VBF ，因为

//AC DE ,所以DE ⊥平面VBF ，因为PF ?平面VBF ,所以

DE PF ⊥,所以直线DE 与PF 所成的角的大小是90.?

考点：本小题主要考查线性平行、线面垂直、

线线垂直的判定及应用，考查学生的空间想象能力和推理论证能力. 点评：线线、线面、面面之间的平行和垂直是高考的重点内容，要仔细分析，灵活转化应用. 31．B 【解析】

试题分析：以课本的轴和每页书为例可知，过一条直线可以有无数个平面与已知平面垂直. 考点：本小题主要考查空间中线线、线面的位置关系，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力. 点评：空间中的线面关系常以选择题的形式考查，解决这类问题时要注意用手中的笔当直线，本子就是平面，更要注意特殊情况. 32．C. 【解析】

考点：本题考查向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

应用平行四边形法则转化为BG +AB 是解答本题的关键，

实际上是灵活应用平行四边形法则。

33．A

【解析】

试题分析：由图形知，其平面图形为一个直角三角形，两个直角边的长度分别为2，4，故

考点：本题考查平面图形的直观图。

点评：本题考查平面图形的直观图，求解本题的关键是熟练掌握斜二测画法的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 平行的线段其长度变为原来的一半，故还原时，与y 轴平行的线段的长度需要变为直观图中的二倍． 34．A 【解析】

试题分析：设正方体的棱长为a a=6，所以正方体的表面积是216.

考点：本题考查空间几何体的体积、表面积公式。

点评：本题考查的知识点是正方体的体积，球的体积，其中根据正方体的内切球直径等于正方体的棱长，求出球的半径，是解答本题的关键。 35．D 【解析】

试题分析：②六棱锥、③正方体、⑤四面体是多面体。 考点：本题考查空间几何体的结构特征。 点评：要了解多面体、旋转体的几何特征。 36．B. 【解析】

试题分析：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接C D 1，则∠ED 1C 即为异面直线1A B 与1D E 所成角。设正方体1111ABCD A B C D -的边长为1，则在△ED 1C 中，

cos ∠ED 1 考点：本题考查异面直线所成的角和余弦定理。

角才是异面直所成的角。 37．D

【解析】试题分析：其左视图也为矩形，此矩形的长为1,宽为底在正三形的高，

考点：空间几何体的三视图.

点评：空间几何体的侧视图是从左向右的正投影，因而可得本小题的侧视图是一

个矩形，长为此几何体的高，宽为底面正三角形的高. 38．B 【解析】

试题分析： 因为A.若α⊥l ，则利用线面垂直的定义可知，则l 与α相交 成立。 B.若，，，，n l m l n m ⊥⊥??αα则α⊥l ，只有m,n 相交时成立，选项B 错误。 C.若 l // m ，m // n ，α⊥l ，因为利用平行的传递性可知，l//n,则根据平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于该平面，故α⊥n 成立。

D.若l // m ，α⊥m ，α⊥n ，则根据线面垂直的性质定理可知，m//n ，// m l ,根据平行的传递性得到结论，故l // n 成立。故选B.

考点：本题主要考查了立体几何中线面的位置关系的判定和运用。

点评：解决该试题的关键是熟练的掌握空间中点、线、面的位置关系的运用。尤其是垂直的判定定理和平行判定定理的问题，要注意严密性。 39．C 【解析】

试题分析： 选项A 中，说明原几何体是正方体，则体积为1，与题意不符，选项B 中，应该是圆柱体，体积为π，不符合题意，选项D 中，表示的为四分之一个圆柱体，不符合题意，

而选项C C.

点评：解决该试题的关键是由三视图还原为几何体，底面是正方形几何体，可以分析有可能是棱柱，也可能是棱锥，那么关键是看体积的值，确定是哪一个。 40．B 【解析】

试题分析：因为直线l 不平行于平面α，且α?l ，所以直线l 与平面α相交，所以直线l 与α内的任意一条直线都不平行，如若不然，如果α内有直线与l 平行，且α?l ，所以l 与平面α平行，与题设矛盾.

考点：本小题主要考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力.

点评：点线面的位置关系的判定和应用是立体几何的理论基础，要熟练掌握点、线、面位置关系的判定定理和性质定理并灵活运用. 41．A 【解析】 试题分析：因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了． 由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且其半径为AC 长度的一

半，则V 球 A. 考点：本试题主要考查了学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题

点评：解决该试题的关键是理解对折后的图形中球心的位置，同时要利用直二面角得到各边长，分析一个三角形的外接圆的圆心是突破口，进而得到。 42．D 【解析】

试题分析：因为1AB ABCD ⊥底面,所以1B AB ∠就是1AB 与底面ABCD 所成的角,所以

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）

高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)

高二文科数学《立体几何》大题训练试题 1.(本小题满分14分) 如图的几何体中，AB 平面ACD , DE 平面ACD, △ ACD为等边三角形, AD DE 2AB 2 , F 为CD 的中点. (1)求证：AF〃平面BCE ; (2)求证：平面BCE 平面CDE 。 2 .(本小题满分14分)GkStK B C F 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB // EF，矩形ABCD 所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB 2 , AD EF1. ⑴求证：AF 平面CBF ; ⑵设FC的中点为M,求证：OM //平面DAF ; ⑶求三棱锥F —CBE的体积.D C B M 3.(本小题满分14分) 如图所示, 正方形ABCD与直角梯形ADEF ADE 90o, AF // DE , DE DA 2AF (I )求证: AC//平面BEF ； (n)求四面体BDEF的体积. 4 .如图，长方体ABCD A1B1C1D1中， AB AA 1, AD 2, E是BC 的中点. (I )求证：直线BB, //平面D, DE ; (n )求证：平面A1AE 平面D1DE ;O C (川)求三棱锥A A, DE的体积. 5.(本题满分14分) 如图，己知BCD中，BCD 90°, BC CD 1,AB 平面BCD , AF ADB 600,E,F分别是AC,AD上的动点，且圧 AC AD ,(0< <1)

7 、 （1）求证：不论为何值，总有EF 平面ABC; 1 （2）若二求三棱锥A-BEF的体积. 2 6.（本小题满分13分） 如图，已知三棱锥 A —BPC中，AP丄PC, AC丄BC, M为AB的中点, D 为PB的中点，且△ PMB为正三角形. ⑴求证：DM //平面APC; ⑵求证：BC丄平面APC ; ⑶若BC = 4, AB = 20,求三棱锥 D —BCM的体积. （本小题满分14 分） 如图1,在直角梯形ABCD中，ADC ADC沿AC折起,使平面ADC 平面ABC,得到几何体D ABC,如图2所示. ABCD，俯视图是直角梯形.（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P ABCD的体积; （3）求证：AC 平面PAB;

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

2021高考数学立体几何专题

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

立体几何复习测试题及答案

立体几何复习测试题及答案

高一数学立体几何复习题 必修2立体几何知识点 第一章：空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫 做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线 照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、 空间几何体的表面积与体积 ⑴ 圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面；圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑵ 圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 （3）体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+?+=31 （4）球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂 直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑶定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 第一部分：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

高中立体几何典型题及解析

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 及CN 所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O

[高中数学]立体几何.球专题附练习题不看后悔

E B C D A 立体几何-球-专题学案 练习 1.下列四个命题中错误．． 的个数是 （ ） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2 D.3 2.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是 A.3π100 cm 3 B.3π208 cm 3 C.3π500 cm 3 D.3 π34161 cm 3 3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2. 预备 1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ． 2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ． 3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长 叫 ． 4. 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ． 5. 球面距离计算公式：__________ 典例剖析 （1）球面距离，截面圆问题 例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 A.43 B.23 C.2 D. 3 练习： 球面上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的41，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的61，且球心到截面ABC 的距离是7 21，求球的体积． 例2. 如图，四棱锥A －BCDE 中，BCD E AD 底面⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ． (1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上； (2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE 求B 、D 两点间的球面距离．

立体几何(小题)专题 历年高考真题模拟题汇总(解析版)

立体几何 一、年考试大纲 二、新课标全国卷命题分析 三、典型高考试题讲评 2011—年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——11．立体几何 一、考试大纲 1．空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4．空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 二、新课标全国卷命题分析 立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、

必修 立体几何单元测试题及答案

M D' D C B A 立体几何单元测验题 一、选择题：把每小题的正确答案填在第二页的答题卡中，每小题4分，共60分 1．一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 A ． 152 π B ．10π C ．15π D ．20π 2．C B A ,,表示不同的点，l a ,表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是 A ．ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B ．,,,AB l l AB l αβαβαβ=⊥?⊥?⊥I C ．,l A l A αα?∈?? D ．βαβα与不共线，，且?∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,重合 3．直线c b a ,,相交于一点，经过这3条直线的平面有 A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．0个或1个 4．下列说法正确的是 A ．平面α和平面β只有一个公共点 B ．两两相交的三条直线共面 C ．不共面的四点中，任何三点不共线 D ．有三个公共点的两平面必重合 5． 直线b a 与是一对异面直线，a B A 是直线,上的两点，b D C 是直线,上的两点，N M ，分别是BD AC 和的中点，则a MN 和的位置关系为 A ．异面直线 B ．平行直线 C ．相交直线 D ．平行直线或异面直线 6．已知正方形ABCD ，沿对角线ABC AC ?将折起，设AD 与平面ABC 所成的角为α，当α最大时，二面角D AC B --等于（ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 7．已知异面直线b a ,分别在平面βα,内，且βαI c =，直线c A ．同时与b a ,相交 B ．至少与b a ,中的一条相交 C ．至多与b a ,中的一条相交 D ．只能与b a ,中的一条相交 8．一个平面多边形的斜二侧图形的面积是S ，则这个多边形的面积是 A 2S B ．2S C ．22S D ．4S 9．直线l 在平面α外，则 A ．α//l B ．α与l 相交 C ．α与l 至少有一个公共点 D ．α与l 至多有一个公共点 10．如图，BD AB BD M AC M AB BD AC AB ，，平面，平面，⊥⊥?===1与平面M 成030角，则 D C 、间的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 11．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知P A⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F分别为, AC BC的中点． （1）求证：// EF平面PAB； （2）若平面PAC⊥平面ABC，且PA PC =，90 ABC ∠=?， 求证：平面PEF⊥平面PBC． P A C E F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

立体几何专题训练(附答案)

立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．

不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .

高三立体几何专题复习

高三立体几何专题复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考立体几何专题复习 一．考试要求： （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 （2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 （3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 （4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 （5）会用反证法证明简单的问题。 （6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用． 2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力． 4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立

空间几何体测试题及答案.doc

第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分）班别座号姓名成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6 A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 A B 1 C 正视图侧视图府视图

苏教版立体几何习题含答案详解

苏教版立体几何习题含答 案详解 The pony was revised in January 2021

（江苏最后1卷）给出下列四个命题： （1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交 （2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 （3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂 直 （4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 真命题．．． 的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 【答案】（3）（4） （南师大信息卷）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 . 提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、 、、、上. 或者，若在上，设, 有. 故上有一点（的中点）满足条件. αβαααβαβαβαβαβαβ1111ABCD A B C D -P 12PA PC +=P P 1AC P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P AB AP x =2211(1)(2)2,2 PA PC x x x +=+-+=∴= AB P AB

同理在、、、、上各有一点满足条件. 又若点在上上，则. 故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点. （南通三模）已知正方体1C 的棱长为1C 各个面的中心为顶点的凸多面体为2C ，以2C 各个面的中心为顶点的凸多面体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的凸多面体为4C ，依此类推。记凸多面体n C 的棱长为n a ，则6a = ▲ . AD 1AA 11C B 11C D 1C C P 1 BB 12PA PC +=>1BB P 1DD P

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

2010年高考立体几何专题复习-6

2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? ， 二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面，设∩＝OA ，∩＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥，垂足为B ，AC ⊥，垂足为C ，则∠BAC ＝或∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面内的射影图形的面积为S ，则cos ＝S S ' . 5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线

专题一立体几何经典练习题

2 专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中 任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点 不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ． 若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ． 若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直

空间立体几何练习题(含答案)

第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图