4．定义在R 上的函数)(x f y =满足：)()(x f x f -=-，)1()1(x f x f -=+，且当]
1,1[-∈x 时，3
)(x x f =，则=)2010
(f （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
5．设)(x f y =是R 上的偶函数，0)0(=f ，)(x g y =是R 上的奇函数，且对于R x ∈恒
有)1()(+=x f x g ，则=)2008
(f ________ 6．对于定义在R 上的函数)(x f ，有下列三个命题：①若)(x f 是奇函数，则)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称；②若对于任意R x ∈有)1()1(-=+x f x f ，则)(x f y =的图像关于点)0,1(对称；③)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，则)(x f y =为偶函数。其中正确命题的序号为___________
7．若存在常数0>p ，使得函数)(x f 满足)2
()(p
px f px f -=（R x ∈），则)(x f 的一个周期为___________
8.定义在]2,2[-上的偶函数)(x f ，在区间]2,0[上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数
m 的取值范围是___________
三、补充练习
1.设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，
则此六个实根之和为（ ）
A ．18
B ．12
C ．9
D ．0 2.若
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 3.定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）
(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 4.设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x －1)和g-1(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 1999； （B ）2000； （C ）2001； （D ）2002。
5. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5
(B) －0.5
(C) 1.5
(D) －1.5
6.函数 y = sin (2x + 2
5π
)的图像的一条对称轴的方程是（ ） (A) x = －2
π
(B) x = －
4π (C) x = 8
π (D) x =
4
5π
7.已知
是定义在实数集R 上的偶函数，是R 上的奇函数，又知（1）（
是常数）；（2），则
的值为
8.函数
的图象关于直线对称，且时，则当
时，
的解析式为 。
9.已知定义在实数集R 上的函数满足：（1）；（2）
；
（3）当
时解析式为
，当
时，求函数的解析式。
参考答案：
1D ，2C ，3D ，4C ；5.0；6.①③；7.
2
p ；8. ]21
,1[-
提示：3.∵)()3(x f x f =-∴1)1()31()2()2(-<-=--=--=f f f f 4. ∵)1()]1([)1()1(--=--=-=+x f x f x f x f ， ∴)(]1)1[()]1(1[)2(x f x f x f x f -=-+-=++=+，
∴)()]([)2()]2(2[)4(x f x f f x f x f x f =--=+-=++=+，∴4=T
5. )1()1()()(+-=+-?-=-x f x f x g x g ，)1()1()()(-=+-?=-x f x f x f x f ，∴)1()1(+-=-x f x f 即)2()(+-=x f x f ，∴)()4(x f x f =+即4=T
7. 令2p px t -=，则)()2(t f p t f =+，2
p T = 8. |)(||)1(|m f m f <-?]2
1
,1[-
补充练习答案： 1解：依条件知
图象关于直线
对称，方程六个根必分布在对称轴
两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故
，所以
，选A 。
2解：由
得
)24
sin(
)24
cos(
-x a x -+-=π
π
)8
(2sin )8
(2cos π
π
-
--
-=x a x
即
∴
3解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)
4解：∵y = f(x －1)和y = g-1(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，
∴y = g-1(x －2) 反函数是y = f(x －1)，而y = g-1(x －2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x －1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001，故f(4) = 2001,应选（C ） 5解：：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为4的周期函数。 ∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B) 6解：函数 y = sin (2x +
25π)的图像的所有对称轴的方程是2x + 25π = k π+2
π
∴x =
2πk －π,显然取k = 1时的对称轴方程是x = －2
π 故选(A) 7解：由条件（2）知
，令，则
，故
，即
为以4为周期的周期函数，又由
，所以
8解：依条件
，设
，则
，
故 9解当
时，，
当
时，
，
1．函数对称性与周期性
知识归纳：
一．函数自身的对称性结论
结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b
证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P …（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x) 即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。
（充分性）设点P(x 0,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0) ∵ f (x) + f (2a －x) =2b ∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。
故点P …（2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上，而点P 与点P …关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b －x)那么函数本身的图像关于直线x = 2a b +对
称，反之亦然。
证明 ：已知对于任意的00,x y 都有f(a+0x ) =f(b －0x )=0y 令a+0x ='
x , b －0x ="
x
则Ａ（'
x ，0y ），Ｂ（"
x ，0y ）是函数y=f(x)上的点
显然，两点是关于x= 2a b
+对称的。
反之，若已知函数关于直线x = 2a b
+对称，
在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（00,x y ）那么P （00,x y ）
关于x = 2a b
+对称点'
P （a+ b －0x ,0y ）也在函数上
故f(0x )=f(a+ b －0x )?f(a+(0x -a))=f(b-(0x -a)) 所以有f (a +x) = f (b －x)成立。
推论1：函数 y = f (x)的图像关于直线x = a 对称的充要条件是f (a +x) = f (a －x) 即f (x) = f (2a －x)
推论2：函数 y = f (x)的图像关于y 轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
结论3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b 成轴对称 （a≠b ），则y = f (x)
是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b 成轴对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且4| a －b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a －x) =2c ，用2b －x 代x 得： f (2b －x) + f [2a －(2b －x) ] =2c………………（*） 又∵函数y = f (x)图像直线x =b 成轴对称， ∴ f (2b －x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c －f [2(a －b) + x]…………（**），用2（a －b ）－x 代x 得 f [2 (a －b)+ x] = 2c －f [4(a －b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a －b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a －b|是其一个周期。 二．不同函数的对称性结论
结论4. 函数y = f (x)与y = 2b －f (2a －x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 结论5. ①函数y = f (x)与y = f (2a －x)的图像关于直线x = a 成轴对称。
②函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a 的轴对称点为P…（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 =
f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P…（x1，y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。
同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
三．三角函数图像的对称性
注：上表中k∈Z
举例
例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（）
(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数
(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
故选(A)
例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（）。
（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
∴y = g -1(x －2) 反函数是y = f(x －1)，而y = g -1(x －2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x －1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001 故f(4) = 2001,应选（C ） 例3.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = －2
1
x ，则f (8.6 ) = _________
解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3 例4.函数 y = sin (2x +
2
5π
)的图像的一条对称轴的方程是（ ） (A) x = －2π (B) x = －4π (C) x = 8
π (D) x =45π
解：函数 y = sin (2x + 25π)的图像的所有对称轴的方程是2x + 25π = k π+2
π
∴x = 2πk －π,显然取k = 1时的对称轴方程是x = －2
π 故选(A)
例5．求证:若()f x ()x R ∈为奇函数，则方程()f x =0若有根一定为奇数个。 证:
()f x 为奇函数∴ ()0f =-()0f -=()0f
∴2()0f =0
即x =0是方程()f x =0的根
若1x 是()f x =0的根，即()1f x =0
由奇数定义得()1f x -=-()1f x =0
∴1x -也是方程的根 即方程的根除x =0外成对出现。∴方程根为奇数个。
练习：
1．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5
(B) －0.5
(C) 1.5
(D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
2．知函数y=f(x)对一切实数x 满足f(2-x)=f(4+x)，且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为（ C ）
A 、5
B 、10
C 、15
D 、18
3．()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =63(),(),5
2
a f
b f ==5(),2
c f =则
（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =
设644()()()55
5a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22
c f f ==<0，
∴c a b <<，选D.
4．定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等于
(B )
A.-1
B.0
C.1
D.4
5．用min{a,b}表示a ，b 两数中的最小值。若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=12
-对称，则t 的值为( )
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
6．定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ??
?>---≤-0
),2()1(0
),1(log 2x x f x f x x ，
则f （2010）的值为 ( B )
A.-1
B. 0
C.1
D. 2
解析 由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,
(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,
(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2010）= f （6）=0,故选C. 7．．定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 解析：由)(x f 的周期性知，()()()()04115)2(=-=-=-==f f f f f
即至少有根1，2，4，5。故选择B 。
8．设函数y=f(x)的定义域为R ，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于___y___对称。y=f(x)图象关于__x=1_对称。
9．设y=f(x)的定义域为R ，且对任意x ∈R ，有f(1-2x)=f(2x)，则y=f(2x)图象关于__________对称，y=f(x)关于__________对称。
10．设函数y=f(x)的定义域为R ，则下列命题中，①若y=f(x)是偶函数，则y=f(x+2)图象关于y 轴对称；②若y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称；③若f(x-2)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称；④y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为___②④____。
11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线2
1=x 对称，则f (1)+ f (2)+
f (3)+ f (4)+ f (5)= _______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性
解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n = 因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于1
2
x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数n 都有：()0f n =
从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。本题答案填写：0 12．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=
，若()15,f =-则()()5f f =__________。
【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。 解析：由()()12f x f x +=
得()()
1
4()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()11
5(5)(1)(12)5
f f f f f =-=-==--+。
【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解()()
1
2f x f x += “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。
13．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数
()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.
答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的
一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点. 14．设f(x)=
x
x
-+11，又记f 1(x)=f(x),))(()(1x f f x f k k =+,k=1,2,……则)(2010x f = 解：()()1121111
,11f x f x f x x f x ++=
==---，()()323423
111,111f f x f x f x x f x f ++-====-+-，据此，()()414211,1n n x f x f x x x +++=
=--，()()4341
,1
n n x f x f x x x +-==+，因2010为4n+2型，故选B .
15．已知偶函数y=f(x)定义域为R ，且恒满足f(x+2)=f(2-x)，若方程f(x)=0在[0,4]上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8,10]中的根．
方程的根为-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10共9个根．
16．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==． （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． 【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性
解析：由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和, 从而知函数)(x f y =不是奇函数,
由)14()4()
14()()
4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=???
?+=-+=-
)10()(+=?x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T
又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;
(II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-????-=-=????+=-+=-
)10()(+=?x f x f
(II) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解.
17．()f x 定义域为R ，对于任意x 都有()()11f x f x +=--且
()()44f x f x +=--问()f x 是否是周期函数？如是则周期是多少？
解：如图可知M （1，0），N （4，0）是对称中心，设0
x
为()f x 的任意一点，它的关
于M 的对称点是
1
x 则：0
1
11,x x -=-
设2x 与1x 关于N 点对称则4–1x =2x –4，206x x ∴=+ 由题意()()01,f x f x =-
()()12f x f x =-
()()20f x f x ∴=
即对于任意x R ∈都有()()6f x f x +=
()f x ∴是周期函数，周期为6.
结论：若函数()f x ()x R ∈的图象为对称中心在X 轴上的中心对称图形，则()f x 为周期函数，周期为两对称中心距离的2倍。
函数对称性与周期性关系
函数 对称性与周期性关系 【知识梳理】 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即 点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性 一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函 数，||4a b -为一个周期。
函数的周期性和对称性(解析版)——王彦文
专题二：函数的周期性和对称性 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】 一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5 1- 【答案】D 考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016f （ ） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性． 【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法 【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B
函数的周期性与对称性
第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
(完整版)常见函数对称性和周期性
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)
函数的对称性与周期性 【知识梳理】 1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期； 2. 周期函数的其它形式 ()()f x a f x b +=+? ；()()f x a f x +=-? ；()()1f x a f x +=? ； ()()1f x a f x +=-? ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+? )()()2(x f a x f a x f -+=+? 1 )(1)(+-=+x f a x f ? ， 3. 函数图像的对称性 1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性 1）函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的图像关于点 对称； 2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】 题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331 x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称； 4. 函数()3sin 23f x x π??=- ?? ?的图像关于直线 对称；关于点 对称； 题型二 平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( ) 2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称； 3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式
函数的对称性和周期性练习题本部
函数的对称性与周期性练习题 1.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且满足3)()1(=++x f x f ，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =+，则)5.2007(-f 的值为（ ） A ．0.5 B ．1.5 C ． 1.5- D ．1 2．定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()() ()()112,214 f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 35 3.已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当()0,1x ∈时，()2f x x x =-+，则函数()f x 的最小值为（ ） A. 14 B. 14- C. 12- D. 12 4.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增，如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ） A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0 5．函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C. ()()2f x f x =+ D. ()3f x +是奇函数 6．函数31()1f x x x =++关于点__________对称 7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________ 8．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()242,10,01 x x f x x x ?-+-≤<=?≤
(完整版)函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=?
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b| 3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称 推论1、 b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 例题分析： 1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则 )5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___
函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.
函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0) ()(x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y 关于a x 对称)()(x a f x a f )()(x a f x a f 也可以写成)2() (x a f x f 或)2()(x a f x f 若写成： )()(x b f x a f ，则函数)(x f y 关于直线22)() (b a x b x a x 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y 上，通过)2()(x a f x f 可知，)2()(111x a f x f y ，即点)(),2(11x f y y x a 也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a 关于x=a 对称。得证。说明：关于a x 对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。∵1111(,)(,)a x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )()(x a f x a f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f （2）函数的点对称： 函数)(x f y 关于点),(b a 对称b x a f x a f 2)()(
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
函数对称性与周期性几个重要结论赏析 对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、 几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 4、如果函数 )(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。 5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。 4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。 5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。 6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。 7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。 2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。 3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。 4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________ 对称。 5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。)(x f y =图象关于__________对称。 6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图象关于__________对称，)(x f y =关于__________对称。 7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ） A 、5 B 、10 C 、15 D 、18 8、设函数 )(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性与周期性 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图象 关于直线x= 2a b +对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。 推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。 定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则 函数y=f (x) 的图象关于点( ,)22a b c + 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数 y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线x=2b a -对称。 定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b －x)两函数的图象关于点 (,)22b a c -对称。 性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（ 2b a +,0）对称。 性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。 性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。 性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（ 2a b -,0）对称。 二、抽象函数的周期性 定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为 周期的周期函数。 定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。 定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a) 为周期的周期函数。 定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a) 为周期的周期函数。 定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a ≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b －a)为周期的周期函数。 性质1：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)=f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0),则函数f(x)有周期2(a －b)； 性质2：若函数f(x)满足f(a －x)= － f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周 期2(a －b). 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)= － f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0)，则函数有周期 4(a －b). 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a 。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全 函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。 1.奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-() ()()0,1() f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。() ()-()0,1() f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]?? ?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f
关于函数的对称性和周期性
关于函数的对称性和周期性 邮编：224400 江苏省阜宁中学 张敬祝 函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2020年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。 一、函数的对称性 1、函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于直线2 a b x +=的对称点（1a b x +-，y 1），当1x a b x =+-时，11111 ()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==，故点（1a b x +-，y 1）也在函数()y f x =图象上。由于点（x 1，y 1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x += 对称。 （注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。） 2、函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2 a b +，2c ）对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于点 （2 a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-，即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。由于点（x 1，y 1）为函数()y f x =图象上的任意一点可知，函数()y f x =的图象关于点（2 a b +，2c ）对称。
函数对称性与周期性
函数对称性与周期性 知识归纳： 一．函数自身的对称性结论 结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b －y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论1：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 推论2：的图象关于点对称． 推论3：的图象关于点对称． 推论4：的图象关于点对称． 结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b－x)那么函数本身的图像关于直线x = 对称，反之亦然。 证明：已知对于任意的都有f(a+) =f(b－)= 令a+=, b－= 则Ａ（，），Ｂ（，）是函数y=f(x)上的点 显然，两点是关于x= 对称的。 反之，若已知函数关于直线x = 对称， 在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（）那么（） 关于x = 对称点（a+ b－,）也在函数上 故f()=f(a+ b－)f(a+(-a))=f(b-(-a)) 所以有f (a +x) = f (b－x)成立。
函数对称性与周期性几个重要结论
函数对称性与周期性几个重要结论 一、几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。 2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。 3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x += -++= 对称。 4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期的周期函数。 5、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。 4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。 5、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=++c y x 对称曲线为 0),(=----c x c y f 。 6、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=+-c y x 对称曲线为 0),(=+-c x c y f 。 7、曲线 0),(=y x f 关于点 ),(b a P 对称曲线为 0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足 )1()1(x f x f -=+，且 )0,1(-∈x 时, 51 2)(+ =x x f ,则 =)20(log 2f ________。 2、已知函数 )(x f y =满足 0)2()(=-+x f x f ，则 )(x f y =图象关于__________对
函数的对称性与周期性
高中数学基本方法专题训练 函数的对称性与周期性一、相关结论 x yy?x对称轴、原点、1．关于轴、2．周期性（内同） f(x?T)?f(x)f(x)0?TT为一个周期。)(若，则为周期函数，① f(x?a)?f(x?b)f(x)|b?a|ba?为一个周期。为周期函数，()②若，则 f(x?a)??f(x)f(x)2?a0a为一个周期。③，(则为周期函数，若) 1?)?af(xf(x)2a?0a为一个周期。(若④)，则为周期函数，f(x) 3 ．自对称性（内反）a?b?x)(x))?f(b?xff(a?x对称；特别地，若，则的图像关于直线①若 2x?a))f(x)?f(a?x(fa?x a?0为偶函数。，则的图像关于直线对称； a?b,0)()(xx)fxf(a?)??f(b?对称；特别地，若的图像关于点②若，则 2f(a?x)??f(a?x)f(x)(a,0)a?0为奇函数。，则的图像关于点对称； a?bc,)()x(b?x)?cf(?f(a?x)f对称。的图像关于点③若，则22 4．互对称性 b?a?x)?y?f(bx)y?f(a?x对称；与函数的图像关于直线①函数2 b?a,(0))x?a?x)y?f(b?(y?f对称；与函数②函数的图像关于点2 y?f(a?x)y?f(a?x)x?0对称。③函数的图像关于直线与函数 5．对称性与周期性的关系 x?af()f(xx)babx??为周期函数，①若的图像有两条对称轴和()，则1 高中数学基本方法专题训练 2|b?a|为一个周期。 f(x)(a,0)(b,0)f(x)ba?为周期函数，) (的图像有两个对称中心②若，则和2|b?a|为一个周期。x?a(b,0)f(x)f(x)b?a为周期函的图像有一条对称轴(，则若和一个对称中心)4|b?a|为一个周期。数， 6．三角函数图像的对称性(k∈Z) 函数对称中心坐标对称轴方程 y = sin x x = kπ, 0 ) +π/2 ( kπy = cos x x = k( kπ+π/2 ,0 ) π y = tan x 无(k π/2 ,0 )
高中函数对称性和周期性全解析
高中函数对称性和周期性全解析 一、单个函数的对称性 性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2 a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--== 故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。 由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x += 对称。 （注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。） 性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2 c ）对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点 （2 a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=- 即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。 由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知 函数()y f x =的图象关于点（ 2a b +，2c ）对称。（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。） 性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称。 证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线
