浙江省杭州十四中2013-2014学年高二上学期期末数学(理)试卷

杭十四中二〇一三学年第一学期末考试

高二年级数学(理)学科试卷

注意事项:

1.考试时间:2014年1月20日10时10分至11时40分;

2.答题前,务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号;

3.将答案答在答题卡上,在试卷上答题无效.请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效;

4.其中本卷满分120分.共4页; 5.本试卷不得使用计算器。

一、选择题:共10小题,每小题3分,计30分。 1.直线x =-1的倾斜角和斜率分别是( )

A .45°,1

B .135°,-1

C .90°,不存在

D .180°,不存在

2.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有( )

A .1条或2条

B .2条或3条

C .只有2条

D .1条或2条或3条

3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示,则该几何体的俯视图为( )

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4. 已知命题p :?x ∈??????0,π2,cos2x +cosx -m =0为真命题,则实数m 的取值范围是( )

A.??????-98,-1

B.????

??-98,2 C .[-1,2]

D.????

??-98,+∞

5.在△ABC 中,“AB →·AC →=BA →·BC →”是“|AC →|=|BC →

|”的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

6.对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,有如下关系:6OP →=OA →+2OB →+3OC →

,则( )

A .四点O 、A 、

B 、

C 必共面 B .四点P 、A 、B 、C 必共面 C .四点O 、P 、B 、C 必共面

D .五点O 、P 、A 、B 、C 必共面

7.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为A 1B 1、CC 1的中点,P 为AD 上一动点,记α为异面直线PM 与D

1N 所成的角,则α的集合是( )

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A .{π2}

B .{α|π6≤α≤π2}

C .{α|π4≤α≤π2}

D .{α|π3≤α≤π2

}

8.若集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤16},B ={(x ,y )|x 2+(y -2)2≤a -1},且A ∩B =B ,则a 的取值范围是( )

A .a ≤1

B .a ≥5

C .1≤a ≤5

D .a ≤5

9.正六棱锥P —ABCDEF 中,G 为PB 的中点,则三棱锥D —GAC 与三棱锥P —GAC 体积之比为( )

A .1∶1

B .1∶2

C .2∶1

D .3∶2

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10.如图,已知A (4,0)、B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )

A .210

B .6

C .3 3

D .2 5

二、填空题:共7小题,每小题4分,计28分。

11.直线y =-x +b 与5x +3y -31=0的交点在第一象限,则b 的取值范围是________. 12.令p (x ):ax 2+2x +1>0,如果对?x ∈R ,p (x )是真命题,则a 的取值范围是________. 13.已知直线l 的方向向量为v =(1,-1,-2),平面α的法向量u =(-2,-1,1),则l 与α的夹角为________.

14.点P 在圆x 2+y 2-8x -4y +11=0上,点Q 在圆x 2+y 2+4x +2y -1=0上,则|PQ |的最小值是________.

15.已知曲线C :x =4-y 2(-2≤y ≤2)和直线y =k (x -1)+3只有一个交点,则实数k 的取值范围是________.

16.已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1的左、右焦点,点P 是椭圆上任意一点,从F 1引∠F 1PF 2

的外角平分线的垂线,交F 2P 的延长线于M ,则点M 的轨迹方程是________.

17.四面体ABCD 中,有如下命题:

①若AC ⊥BD ,AB ⊥CD ,则AD ⊥BC ;

②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小;

③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心,则O 在平面ABD 上的射影是△ABD 的外心; ④若四个面是全等的三角形,则四面体ABCD 是正四面体. 其中正确命题的序号是 (填上所有正确命题的序号). 三、解答题:共4小题,计42分。 18.(本小题满分8分)给定两个命题P :对任意实数x 都有ax 2+ax +1>0恒成立;Q :关于x 的方程x 2-x +a =0有实数根.如果P ∧Q 为假命题,P ∨Q 为真命题,求实数a 的取值范围.

19.(本小题满分10分)已知坐标平面上点M (x ,y )与两个定点M 1(26,1),M 2(2,1)的距离之比等于5.

(Ⅰ)求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;

(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C ,过点M (-2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8,求直线l 的方程.

20.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为正方形,QA ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =1

2

PD .

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(Ⅰ)证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (Ⅱ)求二面角Q -BP -C 的余弦值.

21.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.

(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

四、附加题:本大题共2小题,共20分.

22.(1)(本小题满分5分)已知圆M :(x +cos θ)2+(y -sin θ)2=1,直线l :y =kx ,下面四个命题,其中真命题是( )

A .对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切

B .对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 没有公共点

C .对任意实数θ,必存在实数k ,使得直线l 与和圆M 相切

D .对任意实数k ,必存在实数θ,使得直线l 与和圆M 相切

(2)(本小题满分5分)如图,在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1

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中,点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、BB 1的中点.则以B 为顶点的三棱锥B-GEF 的高h=________.

23.(本小题满分10分)设,x y R ∈,,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正

方向上的单位向量,若向量(2)a xi y j =++ ,(2)b xi y j =+-

,且||||8a b +=

.

(Ⅰ)求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于,A B 两点,设OP OA OB =+

,是否存在这样的直线

l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由.

杭十四中二〇一三学年第一学期末考试高二年级数学(理)学科试卷答案

一、选择题:共10小题,每小题3分,计30分。

1.直线x =-1的倾斜角和斜率分别是( )

A .45°,1

B .135°,-1

C .90°,不存在

D .180°,不存在

答案:C

2.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有( )

A .1条或2条

B .2条或3条

C .只有2条

D .1条或2条或3条

解析:当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线,当β∥γ时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线.当β∩γ=b ,α∩β=a ,α∩γ=c 时,有3条交线.

答案:D

3.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示,则该几何体的俯视图为( )

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图1

解析:由几何体的正视图、侧视图,结合题意,可知选C 答案:C

4. 已知命题p :?x ∈??????0,π2,cos2x +cosx -m =0为真命题,

则实数m 的取值范围是( )

A.??????-98,-1

B.????

??-98,2 C .[-1,2]

D.????

??-98,+∞

解析:依题意,cos2x +cosx -m =0在x ∈??????0,π2上有解,即cos2x +cosx =m 在x ∈?

?????0,π2上有解.令f(x)=cos2x +cosx =2cos 2

x +cosx -1=2(cosx +14)2-98,由于x ∈??????0,π2,所

以cosx ∈[0,1],于是f(x)∈[-1,2],因此实数m 的取值范围是[-1,2].

答案:C

5.在△ABC 中,“AB →·AC →=BA →·BC →”是“|AC →|=|BC →

|”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

解析:如图,在△ABC 中,过C 作CD ⊥AB ,则|AD →|=|AC →|·cos∠CAB ,|BD →|=|BC →

|·cos ∠CBA , AB →·AC →=BA →·BC →?|AB →|·|AC →|·cos∠CAB =|BA →|·|BC →|·cos∠CBA ?|AC →

|·c os ∠CAB =|BC →|·cos∠CBA ?|AD →|=|BD →|?|AC →|=|BC →

|,故选C.

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答案:C

6.对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ,有如下关系:6OP →=OA →+2OB →+3OC →

,则( )

A .四点O 、A 、

B 、

C 必共面 B .四点P 、A 、B 、C 必共面

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C .四点O 、P 、B 、C 必共面

D .五点O 、P 、A 、B 、C 必共面

解析:由已知得OP →=16OA →+13OB →+12OC →

,而16+13+12=1,∴四点P 、A 、

B 、

C 共面.

答案:B

7.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为A 1B 1、CC 1的中点,P 为AD 上一动点,记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角,则α的集合是( )

A .{π2}

B .{α|π6≤α≤π

2}

C .{α|π4≤α≤π2}

D .{α|π3≤α≤π2

}

解析:取C 1D 1的中点E ,PM 必在平面ADEM 上,易证D 1N ⊥平面ADEM . 本题也可建立空间直角坐标系用向量求解.

答案:A

8.若集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤16},B ={(x ,y )|x 2+(y -2)2≤a -1},且A ∩B =B ,则a 的取值范围是( )

A .a ≤1

B .a ≥5

C .1≤a ≤5

D .a ≤5

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解析:A ∩B =B 等价于B ?A .当a ≥1时,集合A 和B 中的点的集合分别代表圆x 2+y 2=16和圆x 2+(y -2)2=a -1的内部,如图2,容易看出当B 对应的圆的半径小于2时符合题意.由0≤a -1≤4,得1≤a ≤5;当a <1时,集合B 为空集,也满足B ?A ,所以当a ≤5时符合题意.

答案:D

9.正六棱锥P ——ABCDEF 中,G 为PB 的中点,则三棱锥D —GAC 与三棱锥P —GAC 体积之比为( )

A .1∶1

B .1∶2

C .2∶1

D .3∶2

解析:∵G 为PB 中点,∴V P —GAC =V P —ABC —V G —ABC = 2V G —ABC —V G —ABC =V G -ABC

又多边形ABCDEF 是正六边形,∴S △ABC =1

2S △ACD .

V D —GAC =V G —ACD =2V G —ABC ∴V D —GAC ∶V P —GAC =2∶1. 答案:C

10.如图,已知A (4,0)、B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )

浙江省杭州十四中2013-2014学年高二上学期期末数学(理)试卷

A .210

B .6

C .3 3

D .2 5

解析:直线AB 的方程为x +y -4=0,点P 关于直线AB 的对称点P 1坐标为(4,2),点P 关于y 轴的对称点P 2(-2,0),则|P 1P 2|=(4+2)2+22=210,即为光线所经过的路程.

答案:A

二、填空题:共7小题,每小题4分,计28分。

11.直线y =-x +b 与5x +3y -31=0的交点在第一象限,则b 的取值范围是________.

解析:解直线的方程组成的方程组,求出交点坐标,然后根据交点在第一象限列出不等式即可.

由?????

y =-x +b 5x +3y -31=0

????

x =31-3b

2y =5b -31

2

.

∵交点在第一象限,∴???

x >0

y >0,即

?

??

31-3b

2>05b -31

2

>0

?315

. 答案:315

3

12.令p (x ):ax 2+2x +1>0,如果对?x ∈R ,p (x )是真命题,则a 的取值范围是________.

解析:由已知?x ∈R ,ax 2+2x +1>0恒成立.显然a =0不合题意,所以?

???

?

a >0Δ=4-4a <0?

a >1.

答案:a >1

13.已知直线l 的方向向量为v =(1,-1,-2),平面α的法向量u =(-2,-1,1),则l 与α的夹角为________.

解析:∵cos 〈v ,u 〉=|-2+1-2|6×6=1

2,∴〈v ,u 〉=60°.∴l 与α的夹角为30°.

答案:30°

14.点P 在圆x 2+y 2-8x -4y +11=0上,点Q 在圆x 2+y 2+4x +2y -1=0上,则|PQ |的最小值是________.

答案:35-3- 6

15.已知曲线C :x =4-y 2(-2≤y ≤2)和直线y =k (x -1)+3只有一个交点,求实数k 的取值范围.

解:如图,曲线C 表示以(0,0)为圆心,2为半径的右半圆,直线过(1,3)点.

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由图2可得k AM =11=1,k BM =5

1=5,

∴1≤k <5.又|-k +3|1+k

2=2,3k 2

+6k -5=0,

解得k =-1±263(舍正).∴k 取值的集合为{k |1≤k <5或k =-1-26

3

}.

16.已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1的左、右焦点,点P 是椭圆上任意一点,从F 1引∠F 1PF 2

的外角平分线的垂线,交F 2P 的延长线于M ,则点M 的轨迹方程是________.

解析:由题意知|MP |=|F 1P |, ∴|PF 1|+|PF 2|=|MF 2|=2a . ∴点M 到点F 2的距离为定值2a .

∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心,以2a 为半径的圆,其方程为(x -a 2-b 2)2+y 2=4a 2. 答案:(x -a 2-b 2)2+y 2=4a 2

17.四面体ABCD 中,有如下命题:

①若AC ⊥BD ,AB ⊥CD 则AD ⊥BC ;

②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点,则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小;

③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心,则O 在平面ABD 上的射影是△ABD 的外心; ④若四个面是全等的三角形,则四面体ABCD 是正四面体。 其中正确命题的序号是 (填上所有正确命题的序号)。 答案: ①③④

三、解答题:共4小题,计42分。 18.(本小题满分8分)给定两个命题P :对任意实数x 都有ax 2+ax +1>0恒成立;Q :关于x 的方程x 2-x +a =0有实数根.如果P ∧Q 为假命题,P ∨Q 为真命题,求实数a 的取值范围.

解:命题P :对任意实数x 都有ax 2+ax +1>0恒成立,则“a =0”,或“a >0且a 2-4a <0”.解得0≤a <4.

命题Q :关于x 的方程x 2-x +a =0有实数根,则Δ=1-4a ≥0,得a ≤1

4.

因为P ∧Q 为假命题,P ∨Q 为真命题,则P ,Q 有且仅有一个为真命题,

故綈P ∧Q 为真命题,或P ∧綈Q 为真命题,则????? a <0或a ≥4a ≤14或?????

0≤a <4a >14.解得a <0或

1

4

所以实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(1

4

,4). 19.(本小题满分10分)已知坐标平面上点M (x ,y )与两个定点M 1(26,1),M 2(2,1)的距离之

比等于5.

(Ⅰ)求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;

(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C ,过点M (-2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8,求直线l 的方程.

解:(Ⅰ)由题意,得|M 1M |

|M 2M |

=5.

(x -26)2+(y -1)2(x -2)2+(y -1)

2=5,化简,得x 2+y 2

-2x -2y -23=0. 即(x -1)2+(y -1)2=25. ∴点M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -1)2=25, 轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.

(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时,l :x =-2,此时所截得的线段的长为252-32=8, ∴l :x =-2符合题意.

当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为y -3=k (x +2),即kx -y +2k +3=0, 圆心到l 的距离d =

|3k +2|

k 2+1,由题意,得(|3k +2|k 2+1

)2+42=52

,解得k =512.

∴ 直线l 的方程为512x -y +23

6=0,即5x -12y +46=0.

综上,直线l 的方程为x =-2,或5x -12y +46=0.

20.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为正方形,QA ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =1

2

PD .

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(Ⅰ)证明:平面PQC ⊥平面DCQ ; (Ⅱ)求二面角Q -BP -C 的余弦值.

解:如图,以D 为坐标原点,线段DA 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz .

(Ⅰ)证明:依题意有Q (1,1,0),C (0,0,1),P (0,2,0),则DQ →=(1,1,0),DC →=(0,0,1),PQ →

=(1,-1,0).

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所以PQ →·DQ →=0,PQ →·DC →=0.

即PQ ⊥DQ ,PQ ⊥DC . 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ ?平面PQDC , 所以平面PQC ⊥平面DCQ .

(Ⅱ)依题意有B (1,0,1),CB →=(1,0,0),BP →

=(-1,2,-1). 设n =(x ,y ,z )是平面PBC 的法向量,则 ?????

n ·CB →=0,n ·

BP →=0,即?????

x =0,-x +2y -z =0.

因此可取n =(0,-1,-2). 设m 是平面PBQ 的法向量,则 ?

????

m ·

BP →=0,m ·PQ →=0.

可取m =(1,1,1), 所以cos 〈m ,n 〉=-

15

5

. 故二面角Q -BP -C 的余弦值为-

155

. 21.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.

(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

解:(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0),由已知得:a +

c =3,a -c =1,

∴a =2,c =1.∴b 2=a 2-c 2=3. ∴椭圆的标准方程为x 24+y 2

3

=1.

(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立?????

y =kx +m ,x 24+y 2

3

=1,

得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2-3)=0,Δ=64m 2k 2-16(3+4k 2)(m 2-3)>0,

即3+4k 2

-m 2

>0,则????

?

x 1+x 2=-8mk 3+4k 2

x 1

·x 2

=4(m 2

-3)

3+4k

2

.

又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )

=k 2

x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2

=3(m 2-4k 2)

3+4k 2

∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0), ∴k AD ·k BD =-1,即y 1x 1-2·y 2

x 2-2=-1.

∴y 1y 2+x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=0.

∴3(m 2-4k 2)3+4k 2+4(m 2-3)3+4k 2+16mk 3+4k 2+4=0.

∴7m 2+16mk +4k 2=0.

解得m 1=-2k ,m 2=-2k

7

,且均满足3+4k 2-m 2>0.

当m 1=-2k 时,l 的方程为y =k (x -2),直线过定点(2,0),与已知矛盾. 当m 2=-27k 时,l 的方程为y =k (x -2

7),

直线过定点(2

7

,0).

∴直线l 过定点,定点坐标为(2

7,0).

四、附加题:本大题共2小题,共20分.

22.(1)(本小题满分5分)已知圆M :(x +cos θ)2+(y -sin θ)2=1,

直线l :y =kx ,下面四个命题:

A .对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切;

B .对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 没有公共点;

C .对任意实数θ,必存在实数k ,使得直线l 与和圆M 相切;

D .对任意实数k ,必存在实数θ,使得直线l 与和圆M 相切.

其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号). 解析:.圆心坐标为(-cos θ,sin θ),d =

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|sin |1

θ?≤--=(+)

答案:D

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(2)(本小题满分5分)如图,在棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、BB 1的中点.则以B 为顶点的三棱锥B-GEF 的高h=________.

解:因为S △BEF =12BE ·BF =12×2×2=2,BG =2,所以三棱锥G

-BEF 的体积=V =13×2×2=4

3;若以B 为顶点,则底面为正三角形

GEF ,其边长为EF =BE 2+BF 2=22,所以S △GEF =

3

4

×(22)2=2 3.又因为三棱锥B -GEF 和三棱锥G -BEF 的体积相等,所以当以B 为顶点时,三棱锥的高h =43

13

×23=23

3.

23.(本小题满分10分)设,x y R ∈,,i j

为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量,若向量(2)a xi y j =++ ,(2)b xi y j =+- ,且||||8a b +=

.

(Ⅰ)求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于,A B 两点,设OP OA OB =+

,是否存在这样的直线

l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由.

解:(Ⅰ)由||||8a b +=

,

84=>,设12(0,2),(0,2)F F -则

浙江省杭州十四中2013-2014学年高二上学期期末数学(理)试卷

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动点M 满足1212||

||84||M F M F F F +=>=,所以点M 在椭圆上,且椭

圆的4,2,3a c b ==所以轨迹C 的方程为22

11612

y x +

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=. (Ⅱ)设直线的斜率为k ,则直线方程为3y kx =+,联立方程组22311612

y kx y x =+??

?+

=??消去y

得:2

2

(43)18210k x kx ++-=,2

2

(18)84(43)0k k ?=++>恒成立,设1122(,),(,)A x y B x y ,

则121222

1821

,4343k x x x x k k +=-=

++.由AP OB = ,所以四边形OAPB 为平行四边形.若存在直线l ,使四边形O A P 为矩形

,则OA OB ⊥,即

212121212(1)3()90OA OB x x y y k x x k x x ?=+=++++= ,

解得k =,所以直线l 的方程

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为3y x =+,此时四边形OAPB 为矩形.

总分20分(第一题有两个选择题,每题5分,共10分;第二题满分10分。)

24. C D 25.

22212

212,0)

2

4() (2)

32

342

23

0 (42)

3.................................2p

p

x p

x y px

py p y y P y y p

-=+

=--=?>?

+=??

?

=-?2.解:F(设直线方程为:y=则:上试代入y 得到:y 显然 12

1221212

2 (61)

5=42

5

= (8)

2

25

=)44

10.

...........................................................y y y y y y y y p p ?--+-=>因为:所以:即:(即:又因为故p=1.. (10)

注:其它解法相应给分。

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