2012年北京市西城区中考模拟试卷2
一、选择题(本题共32分,每小题4分)
下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1.3-的倒数是
A .3
B .13-
C .3-
D .1
3
2.2010年,我国国内生产总值(GDP )为58 786亿美元,超过日本,成为世界第二大经济体.58 786用科学记数法表示为
A .4
5.878610? B .5
5.878610? C .3
58.78610? D .5
0.5878610? 3.⊙O1的半径为3cm ,⊙O2的半径为5cm ,若圆心距O1O2=2 cm ,则这两圆的位置关系是
A .内含
B .外切
C .相交
D .内切 4.若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是 A .四边形 B .五边形 C .六边形 D .八边形
鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大.对他来说,下列统计量中最重要的是 A .平均数 B .众数
C .中位数
D
.方差
6.小明的爷爷每天坚持体育锻炼,一天他步行到离家较远的公园,打了一会儿太极拳后跑
步回家.下面的四个函数图象中,
能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的是
7.下图的长方体是由A ,B ,C ,D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的,而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的,那么长方体中,第四部分所对应的几何体应是
8.在平面直角坐标系xOy 中,点P 在由直线
3
+-=x y ,直线4y =和直线1x =所围成的
区域内或其边界上,点Q 在x 轴上,若点R 的坐标为(2,2)R ,则QP QR +的最小值为
A B .25+ C . D .4 二、填空题(本题共16分,每小题4分) 9.分解因式 m3 – 4m = .
10.函数
21
-=
x y 中,自变量x 的取值范围是 .
11.如图,两同心圆的圆心为O ,大圆的弦AB 与小圆相切,切点为P . 若两圆的半径分别为2和1,则弦长AB= ;若用阴影部分 围成一个圆锥(OA 与OB 重合),则该圆锥的底面半径长为 .
12.对于每个正整数n ,抛物线2211(1)
(1)
n n n n n y x x +++=-
+
与x 轴交于An ,Bn 两点,
若n n A B 表示这两点间的距离,则n n A B = (用含n 的代数式表示);
11222011A B A B A B +++ 的值为 .
三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13.计算:2
2731810
---???
??--- .
14.已知:如图,直线AB 同侧两点C ,D 满足CAD DBC ∠=∠, AC=BD ,BC 与AD 相交于点E . 求证:AE=BE .
15.已知:关于x 的一元二次方程2
420x x k ++=有两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围;
(2)当k 取最大整数值时,用公式法求该方程的解. 16.已知 12
2=+xy x ,
2
15xy y +=,求代数式()2
2()x y y x y +-+的值.
17.如图,一次函数y kx b
=+()0≠k 的图象与反比例函数
m
y x =
()0≠m 的图象交于(3,1)A -,
(2,)B n 两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB 的面积.
18.今年3月12日,某校九年级部分学生参加植树节活动,以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分.请根据统计图所提供的有关信息,完成下列问题:
(1)参加植树的学生共有 人; (2)请将该条形统计图补充完整;
(3)参加植树的学生平均每人植树 棵.(保留整数) 四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆,已知大型客车每辆62万元,中型客车每辆40万元,设购买大型客车x (辆),购车总费用为y (万元). (1)求y 与x 的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围);
(2)若购买中型客车的数量少于大型客车的数量,请你给出一种费用最省的方案,并求 出该方案所需费用.
20.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,5AD BC ==,10AB =,4CD =,连结并延长
BD 到E ,使DE BD =,作EF AB ⊥,交BA 的延长线于点F .
(1)求tan ABD ∠的值;
(2)求AF 的长.
21.已知:如图,BD 为⊙O 的直径,点A 是劣弧BC 的中点, AD 交BC 于点E ,连结AB.
(1)求证:2
AB AE AD =?;
(2)过点D 作⊙O 的切线,与BC 的延长线交于点F ,
若AE=2,ED=4,求EF 的长.
22.如图1,若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ,则△AOB ≌△COD .此时,我们称△AOB 与△COD 为“8字全等型”.借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题.例如:图2中,△ABC 是锐角三角形且AC >AB , E 为AC 的中点,F 为BC 上一点且BF ≠FC (F 不与B ,C 重合),沿EF 将其剪开,得到的两块图形恰能拼成一个梯形.
请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割,画出分割线及拼接后的图形.
(1)在图3中将△ABC 沿分割线剪开,使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形; (2)在图4中将△ABC 沿分割线剪开,使得到的三块图形恰能拼成一个矩形,且其中的两块为直角三角形;
(3)在图5中将△ABC 沿分割线剪开,使得到的三块图形恰能拼成一个矩形,且其中 的一块为钝角三角形.
五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)
23.阅读下列材料:若关于x 的一元二次方程20
ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为
x1,x2,则
12b x x a +=-
,12c
x x a ?=.
解决下列问题:
已知:a ,b ,c 均为非零实数,且a >b >c ,关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=有两个实
数根,其中一根为2.
(1)填空:42a b c ++ 0,a 0,c 0;(填“>”,“<”或“=”)
(2)利用阅读材料中的结论直接写出方程2
0ax bx c ++=的另一个实数根(用含a ,c 的代
数式表示);
(3)若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0,问:当x=5m +时,代数式2ax bx c ++的
值是否为正数?写出你的结论并说明理由.
24.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9cm,BC=12cm.在Rt△DEF中,∠DFE =
90°,EF=6cm,DF=8cm.E,F两点在BC边上,DE,DF两边分别与AB边交于G,H 两点.现固定△ABC不动,△DEF从点F与点B重合的位置出发,沿BC以1cm/s的速度向点C运动,点P从点F出发,在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动.△DEF与点P同时出发,当点E到达点C时,△DEF和点P同时停止运动.设运动的时间是t(单位:s),t>0.
(1)当t=2时,PH= cm ,DG = cm;
(2)t为多少秒时△PDE为等腰三角形?请说明理由;
(3)t为多少秒时点P与点G重合?写出计算过程;
(4)求tan∠PBF的值(可用含t的代数式表示).
25.如图1,在平面直角坐标系xOy 中,以y 轴正半轴上一点(0,)A m (m 为非零常数)为端点,作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ,在l 上取点B ,使AB=4k (k 为正整数),并在l 下方作∠ABC =120°,BC=2OA ,线段AB ,OC 的中点分别为D ,E . (1)当m=4,k=1时,直接写出B ,C 两点的坐标;
(2)若抛物线
212y x m k =-
+++的顶点恰好为D 点,且DE=线的解析式及此时cos ∠ODE 的值;
(3)当k=1时,记线段AB ,OC 的中点分别为D1,E1;当k=3时,记线段AB ,OC 的中点分别为D3,E3,求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积(用含m 的代数式表示).
数学答案
三、解答题(本题共30分,每小题5分)
13.解:原式=1
12- ……………………………………………………………4分
=
3
2. ……………………………………………………………………5分
14.证明: 如图1. 在△ACE 和△BDE 中,
∵??
?
??=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分
∴ △ACE ≌△BDE . ……………………………………………………………4分 ∴ AE=BE .………………………………………………………………………5分
15.解:(1)∵ 关于x 的一元二次方程2
420x x k ++=有两个不相等的实数根,
∴ 16420k ?=-?>. ………………………………………………………1分 解得2k <. ……………………………………………………………………2分 (2)∵2k <,
∴ 符合条件的最大整数1k =,此时方程为2
420
x x ++
=. ……………3分
∴ 142a b c ===,
,.
∴ 22
444128b ac -=-??=.………………………………………………4分
代入求根公式x ,得2x ==-±.…………5分
∴ 1222x x =-=-
16.解:原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -.………………………………………2分
∵ 122=+xy x ①,
152=+y xy ②, ∴ ①-②,得22
3x y -=-. ………………………………………………………4分
∴ 原式=3-. ………………………………………………………………………5分
17.解:(1)∵ 反比例数
m
y x =
()0≠m 的图象经过(3,1)A -,(2,)B n 两点,(如图2)
∴ 313m =-?=-,
3
22m n =
=-.
∴ 反比例函数解析式为
3
y x =-
.………………………1分
点B 的坐标为
3(2)
2B -,.……………………………2分 ∵ 一次函数y kx b
=+()0≠k 的图象经过(3,1)A -,
3
(2)
2B -,两点, ∴ 31,32.2k b k b -+=???+=-?? 解得 1,21.2k b ?
=-???
?=-??
∴ 一次函数的解析式为
11
22y x =--
.……………………………………3分 (2)设一次函数11
22y x =--
的图象与x 轴的交点为C ,则点C 的坐标为(1,0)C -.
∴ =AOB ACO COB S S S ???+113=11+1222????5
=4. …………………………5分
18.解:(1)50;………………………………………………………………………………1分 (2)
………………………………………………………………………………3分 (3)3.………………………………………………………………………………
5分
四、解答题(本题共20分,每小题5分)
19.解:(1)因为购买大型客车x 辆,所以购买中型客车(20)x -辆.
()62402022800
y x x x =+-=+.…………………………………………2分
(2)依题意得x -20< x.
解得x >10.……………………………………………………………………3分 ∵ 22800y x =+,y 随着x 的增大而增大,x 为整数,
∴ 当x=11时,购车费用最省,为22×11+800=1 042(万元). …………4分 此时需购买大型客车11辆,中型客车9辆.……………………………5分 答:购买大型客车11辆,中型客车9辆时,购车费用最省,为1 042万元. 20.解:(1)作DM ⊥AB 于点M ,CN ⊥AB 于点N .(如图3) ∵ AB ∥DC ,DM ⊥AB ,CN ⊥AB , ∴ ∠DMN=∠CNM=∠MDC=90?. ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =, ∴ MN=CD= 4.
∵ 在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,5AD BC ==, ∴ ∠DAB=∠CBA ,DM=CN . ∴ △ADM ≌△BCN . 又∵10AB =,
∴ AM=BN=()11
(104)3
22AB MN -=?-=.
∴ MB=BN+MN=7.……………………………………………………………2分 ∵ 在Rt △AMD 中,∠AMD=90?,AD=5,AM=3,
∴
4DM .
∴
4
tan 7DM ABD BM ∠=
=
.……………………………………………………3分
(2)∵ EF AB ⊥, ∴ ∠F=90?.
∵∠DMN=90?, ∴ ∠F=∠DMN. ∴ DM ∥EF .
∴ △BDM ∽△BEF . ∵ DE BD =,
∴
1
2BM BD BF BE ==. ∴ BF=2BM=14. ……………………………………………………………4分 ∴ AF=BF -AB=14-10=4. …………………………………………………5分 21.(1)证明:如图4. ∵ 点A 是劣弧BC 的中点,
∴ ∠ABC =∠ADB .………………………1分
又∵ ∠BAD =∠EAB , ∴ △ABE ∽△ADB .………………………2分
∴
AB AD
AE AB =. ∴ 2AB AE AD =?.………………………………………………………3分
(2)解:∵ AE=2,ED=4, ∴
()22612
AB AE AD AE AE ED =?=+=?=.
∴AB =(舍负).………………………………………………………4分 ∵ BD 为⊙O 的直径, ∴ ∠A=90?.
又∵ DF 是⊙O 的切线,
∴ DF ⊥BD. ∴ ∠BDF=90?.
在Rt △ABD 中,tan AB ADB AD ∠=
==,
∴ ∠ADB=30?.
∴ ∠ABC=∠ADB=30?. ∴∠DEF=∠AEB=60?,
903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=?-?=?.
∴ ∠F =18060DEF EDF ?-∠-∠=?.
∴ △DEF 是等边三角形.
∴5分
22.解:(1)
1分
(2)
……………………………………………………3分
(3)
……………………………………………………5分
23.解:(1)=,>,<.……………………………………………………………………3分
(2)2c
a .……………………………………………………………………………4分
(3)答:当x=5m +时,代数式
2
y ax bx c =++的值是正数. 理由如下:
设抛物线2
y ax bx c =++(a ≠0),则由题意可知,它经过A (
,0)
2c
a ,B (2,0) 两点.
∵ a >0,c <0,
∴ 抛物线2
y ax bx c =++开口向上,且2c
a <0<2,即点A 在点B 左侧.………………………
5分
设点M 的坐标为
2
(,)M m am bm c ++,点N 的坐标为(5,)N m y +. ∵ 代数式2
am bm c ++的值小于0,
∴ 点M 在抛物线
2
y ax bx c =++上,且点M 的纵坐标为负数. ∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上.(如图5)
∴ A M B x x x <<,即2
2c
m a <<. ∴ 5572c m a +<+<,即572N c x a +<<. 以下判断5
2c
a +与B x 的大小关系:
∵ 42a b c ++=0,a >b ,a >0,
∴ 66(42)(
5)(5)202222B c c a c a a b a b
x a a a a a +-+-+-=+-===>.
∴B x a c
>+52.
∴
52N B c
x x a >
+>.…………………………………………………………6分
∵ B ,N 两点都在抛物线的对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大, ∴B
N y y >,即0y >.
∴ 当x=5m +时,代数式2
ax bx c ++的值是正数. ………………………7分
24.解:(1)52,26
5.………………………………………………………………………2分
(2)只有点P 在DF 边上运动时,△PDE 才能成为等腰三角形,且PD=PE .(如图6)……………3分
∵ BF=t ,PF=2t ,DF =8,
∴ 82PD DF PF t =-=-.
在Rt △PEF 中,2222436PE PF EF t =+=+=2
PD .
即()22
28364t t -=+.
解得
7
8t =
.…………………………………4分
∴ t 为7
8时△PDE 为等腰三角形.
(3)设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时,点P 与点G 重合,此时点P 一定在DE 边上,DP= DG .
由已知可得
93tan 124AC B BC =
==,63
tan 84EF D DF ===.
∴.D B ∠=∠
∴.90?=∠=∠BFH DGH
∴
3
tan 4FH BF B t
=?=, 3
84D H D F F H t
=-=-,
.
5325354
438cos +-=???? ??-=?=t t D DH DG ∵ 2DP DF t +=, ∴ 28DP t =-.
由DP=DG 得
332
2855t t -=-+
. 解得
72
13t =
. …………………………………………………………………5分
检验:
724613<
<,此时点P 在DE 边上.
∴ t 的值为72
13时,点P 与点G 重合.
(4)当0<t ≤4时,点P 在DF 边上运动(如图6),
t
a n 2PF
PBF BF ∠=
=.
…………………………………………………………………………………6分
当4< t ≤6时,点P 在DE 边上运动(如图7),作PS ⊥BC 于S ,则t a n PS
PBF BS ∠=
.
可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-.
此时()5725821854
cos cos +-=-=?=∠?=t t D PE EPS PE PS ,
()5545621853
sin sin +-=-=
?=∠?=t t D PE EPS PE ES .
524
511554566-
=??? ??+--+=-+=t t t ES EF BF BS . ∴
728tan 1124PS t
PBF BS t -∠=
=
-.………………………………………………7分
综上所述, 2 (04),tan 728 (46).1124t PBF t
t t <≤??
∠=-?<≤?-?
(以上时间单位均为s ,线段长度单位均为cm )
25.解:(1)B
点的坐标为,………………………………………………………1分
C
.………………………………………………………3分
(2)当AB=4k ,(0,)A m 时,OA=m ,与(1)同理可得B
点的坐标为,2)B k m +, C
点的坐标为,2)C k .
如图8,过点B 作y 轴的垂线,垂足为F ,过点C 作x 轴的垂线,垂足为G , 两条垂线的交点为H ,作DM ⊥FH 于点M ,EN ⊥OG 于点N .
由三角形中位线的性质可得点D
的坐标为,)D k m +,点E 的坐标为
)
E k
+
.
由勾股定理得
DE==
.
∵
DE=
∴m=4.……………………………4分
∵D
恰为抛物线
2
1
2
y x m
k
=-++
+的顶点,
它的顶点横坐标为
,
∴
=
.解得k=1.
此时抛物线的解析式
2
1
4
3
y x
=-++
.…………………………………5分此时D,E两点的坐标分别为
(3,5)
D,(33,1)
E.
∴
OD=27
OE=
∴OD=OE=DE.
∴此时△ODE为等边三角形,cos∠ODE= cos60°=
1
2.……………………6分(3)E1,E3
点的坐标分别为1
E
,
E3
+
.
设直线13
E E的解析式为y ax b
=+(a≠0).
则
1,
3.
a b
a b
?
++=
??
?
?++=
??
解得
.
2
a
m
b
?
=
??
?
?=-
??
∴ 直线13E E 的解析式为
2m y x =
-. ……………………………………7分
可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角为60°.
∵ 直线13D D ,13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°, ∴ 13D D ∥13E E .
∵ D1,D3两点的坐标分别为11)D m +,33)D m +, 由勾股定理得13D D =4,13E E =4. ∴ 1313D D E E =.
∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形.
设直线13E E 与y 轴的交点为P ,作AQ ⊥13E E 于Q .(如图9)
可得点P 的坐标为.
23,2,0m AP m P =??? ?
?
- ∴
.43
360sin sin m AP OPQ AP AQ =
??=∠?=
∴ 1331134D D E E S D D AQ =?==四边形.…………………………8分