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2020高考数学一题多解一题多变测试

2020高考数学一题多解一题多变测试
2020高考数学一题多解一题多变测试

已知00>>>m b a ,,求证:a

b m a m b >++ 变 题

1、已知数列}{n a 满足2

+=

n n a n ,*N n ∈,试比较n a 与1+n a 的大小 2、已知00<>>m b a ,,且00>+>+m b m a ,,求证:a

b m a m b <++ 3、已知00>>>m b a ,,求证:a b m a m b <++ 解: 原题:证明:作差-)

()-()(bm -ab -a b -m a a b a m m a a am ab m a m b +=++=++‘ 0>>b a ,0>m 0>∴b a - 0>+∴

)()-(m a a b a m 0>++a b -∴m a m b 1、 0>n a ∴

1233123312221<+++=+++=+++=+n n n n n n n n n n n n a a n n ))(()( 1+<∴n n a a 2、)

()-()(bm -ab -a b -m a a b a m m a a am ab m a m b +=++=++- 0>>b a ,∴0>b a -,又0>+m a ∴

0<+)()-(m a a b a m , ∴a b m a m b <++- 3、作差)

()-()()(-)(-m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +=+++=++ 0>>b a ,0>m 0<∴a b - 0<+∴)()-(m b b a b m b a <++∴m b m a

一 题 多 解

已知数列}{n a 满足2+=

n n a n ,*N n ∈,试比较n a 与1+n a 的大小 方法一:作差1+n a -n a =

032231>++=+++)

)((2n n -n n n n ,n n a a >∴+1 方法二:作商 0>n a ∴12

33123312221<+++=+++=+++=+n n n n n n n n n n n n a a n n

))(()( 1+<∴n n a a -

方法三:(单调性)=+=2n n a n 2

n 2-2n 2- +=++12n ,n a 关于n 单调递增 1+<∴n n a a

方法四:浓度法 把2

+=n n a n 看成是一杯溶液(糖)的浓度,随着n 的增大(相当于向溶液中加糖),浓度 当然增大,易得n a <1+n a

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要:高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化,融会贯通,而且可以开阔思路,培养学生的发散思维和创新思维能力,从而达到提高学生的学习兴趣,学好数学的效果。 关键词:一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用,又只能硬着头皮学.如何才能学好数学?俗话说“熟能生巧”,很 多人认为要学好数学就是要多做.固然,多做题目可以 使学生提高成绩,但长期如此,恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学,首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本, 高于课本”的命题原则,教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题,进行对比、联想,采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明: 例题: 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析:因为题中有sinα、cosα、tanα,考虑他们之间的关系,最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题: 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin , 且sina2α + cos2α =1。 两式联立,得出:cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ;而sinα=53或者sinα=-53 。 分析:上面解方程组较难且繁琐,充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换,不解方程组,直接求解就简洁些: 法二 tanα=4 3 :α在第一、三象限 在第一象限时: cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时: cosa=- 5 4 sina=- 53 分析:利用比例的性质和同角三角函数关系式,解此题更妙: 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53,cosα= 54 或sinα=-53,cosα=-54 分析: 上面从代数法角度解此题,如果单独考虑sinα、cosα、tanα,可用定义来解此题。初中时,三角函数定义是从直角三角形引入的,因此我们可以尝试几何法来解之: 法四 当α为锐角时,由于tana=4 3,在直角△ABC 中,设α=A,a=3x,b=4x ,则勾股定理,得,c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4

高三数学《一题多解 一题多变》试题及详解答案

高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变(一) 原题:482++=x mx x f )( 的定义域为R ,求m 的取值范围 解:由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤,得4≥m 变1:4823++=x mx x f log )(的定义域为R ,求m 的取值范围 解:由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<,得4>m 变2:)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ,求m 的取值范围 解:令=t 482++x mx ,则要求t 能取到所有大于0的实数, ∴ 当0=m 时,t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时,0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3:182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,,求m,n 的值 解:由题意,令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ,得0-8--2=+n y x x m y )( m y ≠时,Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时,08 ==m n x - R x ∈ ,也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一:根据绝对值的定义,进行分类讨论求解

(1)当03-≥x 2时,不等式可化为53-<x x x x ?-3-或且 综上:解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三:利用等价命题法 原不等式等价于 -33-2x 5-53-<<<<或x 23,即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四:利用绝对值的集合意义 原不等式可化为 2 5 23<<23-x ,不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于 23,且小于2 5 ,由图得, 解集为} {0x 1-<<<<或43x x 一题多解 一题多变(二) 已知n s 是等比数列的前n 想项和,963s s s ,,成等差数列,求证: 852a a a ,,成等差数列 法一:用公式q q a s n n 一一111)(=,

2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III)

2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III) 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]- B .[1,1]- C .[0,4] D .[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性;单调性;抽象函数;解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性,单调性以及简单的解不等式,属于简单题。 【解析】 解析二:(特殊函数法)由题意,不妨设()f x x =-,因为21()1x f --≤≤,所以121x -≤-≤,化简得13x ≤≤,故选D 。 解析三:(特殊值法)假设可取=0x ,则有21()1f --≤≤,又因为1(12)()f f ->=-,所以与21()1f --≤≤矛盾,故=0x 不是不等式的解,于是排除A 、B 、C ,故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数,且235x y z ==,则 A .235x y z << B .523z x y << C .352y z x << D .325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小;对数的运算;对数函数的单调性; 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小,其中运用到了对数的运算公式,对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一:令()2350x y z t t ===>,则2log x t =,3log y t =,5log z t =, 2lg 22log 1lg 22t x t ==,3lg 33log 1lg33t y t ==,5lg 5log 1lg55 t z t ==, 要比较2x 与3y ,只需比较1lg 22,1lg 33,即比较3lg 2与2lg3,即比较lg 8,lg 9,易知lg8lg9<,故23x y >.

2017年高考数学一题多解——江苏卷

江苏卷 2017年江苏卷第5题:若tan 1-=46πα?? ???,则tan α= 【答案】75 【知识点】两角和与差的正切公式 【试题分析】本题主要考查了两角和与差的正切公式,属于基础题。 解法一:直接法 由61)4tan(=-π α,得6 1tan 4tan 14tan tan =+-αππ α,故可知57tan =α 解析二:整体代换 11tan()tan 7644tan tan[()]1445 1tan()tan 1446 ππαππααππα+-+=-+===---. 解法三:换元法 令t =-4π α,则61tan =t ,t +=4πα.所以57tan 11tan )4tan(tan =-+=+=t t t πα 2017年江苏卷第9题(5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项为S n ,已知S 3=,S 6= ,则a 8= . 法二:65436144 7463a a a s s ++==-=- 84 71433 21654===++++q a a a a a a

S 3=,∴ ,得a 1=,则a 8==32. 法三:9133 2165432136=+=+++++++=q a a a a a a a a a s s ∴q=2 ∴,得a 1=,则a 8==32. 2017年江苏卷第15题.(14分)如图,在三棱锥A ﹣BCD 中,AB ⊥AD ,BC ⊥BD ,平面ABD ⊥平面BCD ,点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证:(1)EF ∥平面ABC ; (2)AD ⊥AC . 法二: 在线段CD 上取点G ,连结FG 、EG 使得FG ∥BC ,则EG ∥AC , 因为BC ⊥BD ,所以FG ⊥BD , 又因为平面ABD ⊥平面BCD ,

2018年高考数学一题多解——全国I卷

全国I 卷 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]- B .[1,1]- C .[0,4] D .[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性;单调性;抽象函数;解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性,单调性以及简单的解不等式,属于简单题。 【解析】 解析二:(特殊函数法)由题意,不妨设()f x x =-,因为21()1x f --≤≤,所以121x -≤-≤,化简得 13x ≤≤,故选D 。 解析三:(特殊值法)假设可取=0x ,则有21()1f --≤≤,又因为1(12)()f f ->=-,所以与21()1f --≤≤矛盾,故=0x 不是不等式的解,于是排除A 、B 、C ,故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数,且235x y z ==,则 A .235x y z << B .523z x y << C .352y z x << D .325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小;对数的运算;对数函数的单调性; 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小,其中运用到了对数的运算公式,对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一:令()2350x y z t t ===>,则2log x t =,3log y t =,5log z t =, 2lg 22log 1lg 22t x t == ,3lg 33log 1lg33t y t ==,5lg 5log 1lg55 t z t ==, 要比较2x 与3y ,只需比较1lg 22,1 lg 33,即比较3lg 2与2lg3,即比较lg 8,lg 9,易知lg8lg9<, 故23x y >.

高考数学典型题一题多解系列三

第11题 一道根式函数题的6种解法 设t t =求的取值范围(江苏高考解答题中的一个小题) 解法一:(平方化为二次函数)对t =两边平方得22t =+ 011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ , 故t 的取值范围是?? 解法二:(三角换元法)注意到 ))()211x + =-≤≤, 可用三角换元法,如下: 2sin ,0,2πααα??==∈???? 得 2sin 4t πααα? ?==+ ??? 由 32sin 24 4 424π π ππαα? ?≤+ ≤ ≤+≤ ?? ? t ∴的取值范围是?? 解法三:(三角换元法)[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令, 则有 cos sin cos sin 2222t θθ θθ??==+=+???? 以下解法同解法二,这两种换元法本质上是一样的,只不过是从不同角度看问 题的, 解法二,注意到了平方和为一个常数,解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手. 解法四:(双换元法),u v x ==消去得: 2 2 2u v +=,问题转化为方程组2 2 02 u v t u v u v +=?≤≤≤≤?+=?在条件下有解时, 求t 的取值范围,即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时, 求t 的取值范围,以下用数形结合法解(略)。

解法五:(构造等差数列)由t =22 t =?, 2t 成等差数列。 22 t t d d =-=+, 消去x 得2 22222,442t d t d =+=-,由20d ≥知 22444t d =-≤,得2t ≤。 0。 222 d d ≤≤- ≤≤ 221 444422 t d ∴=-≥-?=2t ≤≤ 解法六:(构造向量法)设向量(1,1),(1p q x ==+,两向量的夹角为α, 则112cos 2t p q t αα=?=+=∴≤ 由图像知:当点位于坐标轴上时,cos α取最小值。 01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思:上述六种解法一个共同特点,都是从函数式的结构特点出发,或变更形式,或巧妙换元,或数形结合,或构造向量,都是数学转化思想的有效应用,但对六种方法作一对比,不难看出,方法一最为简单,究其原因,仍是平方后的结构简洁的特点所致,因此,函数结构特征决定求解方法。 通过解一道高考题,探索其多种解法,体现了换元法、向量法、解析几何 法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值(值域)中的应用。 数学知识有机联系纵横交错,解题思路灵活多变,解题方法途径众多,但最终却能殊途同归,即使一次性解题合理正确,也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法,不能解完题就此罢手,应该进一步反思,探求一题多解,开拓思路,勾通知识,掌握规律,权衡解法优劣,培养学生发散思维能力;探求一题多变,做到举一反三,在更高层次更富有创造性地去学习,摸索总结,使自己的解题能力能更上一层楼。 第12题 特值压缩法求解参数取值范围 已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+。

高中数学真题与经典题一题多解解法与解析

函数篇 【试题1】(2016全国新课标II 卷理16)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线ln (1)y x =+的切线,b = . 【标准答案】1ln 2- 解法一:设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是 11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +. 则切线分别为:111ln 1y x x x =?++,()2 2221ln 111x y x x x x = ++-++ ∴()12 2 12 21 11ln 1ln 11x x x x x x ?=?+?? ?+=+-?+? 解得112x = 21 2x =- ∴解得1ln 11ln 2b x =+=- 解法二:设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和 22(,)x y . ∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --= ∴两曲线公切线的斜率2k =,即112x =,所以1 ln 11ln 22 b =+=- 【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数0x ,使得0()0f x <,则a 的取值范围是( ) A.32[,1)e - B 33,24e - ()C.33[,)24e D.3 [,1) 2e

解法一:由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)x e x ax a -<-,设 ()(21),()x g x e x h x ax a =-=-由'()(21)x g x e x =+,可知()g x 在1(,)2 -∞-上单调递减, 在1 (,)2-+∞上单调递增,故 (0)(0) (1)(1)h g h g >-≤-?? ?得312a e ≤< 解法二:由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时,不成立; ②当1x >时,(21)1x e x a x ->-,令(21) ()1 x e x g x x -=-,则22 (23)'()(1)x e x x g x x -=-, 当3(1,)2x ∈时,()g x 单调递减,当3(,)2 x ∈+∞时,()g x 单调递增 所以32 min 3()()42 g x g e ==,即3 24a e >,与题目中的1a <矛盾,舍去。 ③当1x <时,(21)1x e x a x -<-,令(21) ()1 x e x g x x -=- 同理可得:当(,0)x ∈-∞时,()g x 单调递增,当(0,1)x ∈时,()g x 单调递减 所以max ()(0)1g x g ==,即1a <,满足题意。 又因为存在唯一的整数0x ,则3(1)2a g e ≥-= 此时3 [ ,1)2a e ∈ 综上所述,a 的取值范围是3[ ,1)2e 解法三:根据选项,可以采取特殊值代入验证,从而甄别出正确答案。 当0a =时,()(21)x f x e x =-,'()(21)x f x e x =+,可知()f x 在1(,)2 -∞-递减,在1(,)2 -+∞递增,又(0)10f =-<,1(1)30f e --=-<,不符合题意,故0a =不成立,排除答案A 、B. 当34 a =时,33()(21)4 4 x f x e x x =--+,3'()(21)4 x f x e x =+-,因为3'()(21)4 x f x e x =+-为增函数,且31'(0)104 4 f =-=>,13'(1)04 f e --=--<,所以存在(1,0)t ∈-,使得'()0f t =,则()f x 在(,)t -∞递减,在(,)t +∞递增,又3 (0)104 f =-+<,13(1)302 f e --=-+>,

(全国II卷)高考数学一题多解(含17年高考试题)

(全国II 卷)2018年高考数学一题多解(含17年高考试题) 【理数10题】已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =o ,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为( ) A . 32 B .155 C .10 5 D .33 【答案】C 【考点】 线面角 解法二:向量法:取空间向量的一组基底为{} 1,,BA BC BB u u u r u u u r u u u r ,则11AB BB BA =-u u u r u u u r u u u r , 111BC BC CC BC BB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ,易知15AB =u u u r ,12BC =u u u u r , 21111111()()==2AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ?=-?+?+-?-?u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为111111 10 cos ,525AB BC AB BC AB BC ?<>== =??u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,故本题答案为C. 解法三:建系法:如图所示,以垂直于BC 的方向为x 轴,BC 为y 轴,1BB 为z 轴,建立空间直角坐标系, 则111(0,0,1),(3,1,0),(0,1,1),(3,1,1)B A BC AB -==-u u u u r u u u r ,所以异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值 1111 10 cos 25AB BC AB BC θ?== =??u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,故本题答案为C.

(北京卷)高考数学一题多解(含17年高考试题)

(北京卷)2018年高考数学一题多解(含17年高考试题) 1、【2017年高考数学北京理1】若集合{}–2<1A x x =<,{}–13B x x x =<>或,则A B =I ( ). A.}12|{-<<-x x B.{}–2<3x x < C.{}–1<1x x < D. {}1<3x x < 【答案】A 【知识点】集合的交运算 【试题分析】本题考查考生的运算能力.属于基础题. 解析三(特殊值法)从选择支入手,令0=x ,得B A B A ???∈0,0,0则排除B 和C. 再令23-=x ,得:B A B A ?∈-∈-∈-2 3,23,23则,排除D ,故选A. 2、【2017年高考数学北京文11】已知0x …,0y …,且1x y +=,则22x y +的取值范围是__________. 【答案】]1,2 1[ 【知识点】直线与圆的综合,不等式的范围问题 【试题分析】本题考查数形结合思想,转化与化归思想的应用,考查考生的运算求解能力.属于中档题. 【解析】 解析一:由已知得:122)1(,,12222222+-=-+=++-=x x x x y x y x x y 得代入 ,时,取得最小值,当时,取得最大值或,当2 121110]1,0[,21)21(22===∈+-=x x x x x ].1,2 1[22的取值范围是所以y x + 解析二:

为与两坐标轴的交点分别设直线1=+y x ),0,1(),1,0(B A 上一点, 为线段点AB y x P ),(,到原点的距离为则22111002222=+-+≥ +=y x PO P ,1=≤AO PO 又,所以12222≤+≤y x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析三:,220,022y x y x xy y x +≤+≤>>时,由基本不等式得:当 ,1,2 0,0222=++≤+>>y x y x y x y x 根据条件)(时,可得:当;得:2122≥+y x . 0,时,结果显然成立有一个为当y x .1)(20,022222=+=++≤+≥≥y x xy y x y x y x 时,另一方面,当 ].1,21[2 2的取值范围是所以y x + 解法四:θθ22cos ,sin ==y x 则由已知条件得:设, ].1,21[2sin 21-1cos sin 2)cos (sin cos sin 22 22224422∈=-+=+=+θθθθθθθy x ].1,21[22的取值范围是所以y x + ].1,21[],1,22[],1,22[)4sin(2∈∈∈+r r 所以:即:π θ ].1,21[2 2的取值范围是所以y x + 3、【2017年高考数学北京理11】在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为()1,0,则 AP 的最小值为___________. 【答案】1

例谈“一题多解”在高考数学复习中的作用共3页word资料

例谈“一题多解”在高考数学复习中的作用能力。 在高三数学复习过程中,教师感到内容多,负担重,有讲不完的题目,学生也经常对教师讲过的内容印象不够深刻,记不住。要真正减轻学生的负担,必须从精讲精练开始。每做一道题都要发挥这道题的最大作用,“一题多解”可以使解题收效更为明显。解题后要认真总结,摸索规律,举一反三,通过这一教学模式,能对数学本质的了解、学习难点的突破、知识技能的巩固、思想方法的掌握、思维的拓展和迁移等教学目标的实现起到事半功倍的 效果。 在我校高三年级的一次联考试卷中,一道数列题涉及对以下不等式的证明。 当k>7且k∈N*时,证明:对任意n∈N*都有 下面提供证明这道不等式的四种解法和简要分析。 证法一:∵k>7 = + +……+ + > ×(n+1)+ ×n+……+ ×n= + + + + + > + + + + + = > 证法分析:利用放缩法证明不等式,需要做到“放缩有度”。本题若直接将每一项放小至,得到的结果则是不等式的左边大于 > ,放缩过度,不能达到证明的目的,所以采用了“分组放缩法”,同时证明过程中也需考虑尽量使得计算简便。 证法二:记S= + +…… +

则S= + +…… + ∴2S=( + )+( + )+……+( + ) ∴2S> ×(nk-n)= > > >3∴S> 即证。 证法分析:证法二的过程中利用了以下基本不等式:若x>0,y>0则有+ ≥ (当且仅当x=y时等号成立)。同时,关注到左边不等式中第k 项的分母与倒数第k项的分母之和均为nk+n-1,所以类比等差数列求和中采用的“倒序求和法”进行证明,方法巧妙,过程简洁。 证法三:先证明不等式+ + +…… > + ……(*) 下面采用数学归纳法证明此不等式。 (1)当n=1时,左边=1+ + + + + + >1+ > +1,不等式成立。 (2)假设当n=k时,+ + +……+ > + 成立,则当n=k+1时, 左边= + +……+ + + +……+ > + - + + +……+ > + > + 即当n=k+1时,此不等式成立。 由(1)、(2)可得,不等式(*)得证。则所需证明的不等式显然成立。 证法分析:原不等式不能直接采用数学归纳法证明的原因在于不等式的右边是一个常数,故可将右侧的式子“加强”为一个与n有关的式子。当然,如何恰当地将右边的式子进行加强,以达到可以利用数学归纳法进行证明,需要不断地尝试。 证法四:记S= + +…… + , S> dx=lnx│ =lnk>ln7> 证法分析:利用定积分的性质进行证明。将看作是矩形ABCD的面积,

(全国III卷)2018年高考数学一题多解(含17年高考)

(全国III 卷)2018年高考数学一题多解(含17年高考试题) 1、【2017年高考数学全国三卷理11】11.已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点,则a = A .12 - B . 1 3 C . 1 2 D .1 【答案】C 函数()f x 的零点满足() 211 2e e x x x x a --+-=-+, 设()1 1 e e x x g x --+=+,则()() 211 1 1 1 1 1e 1 e e e e e x x x x x x g x ---+----'=-=- = , 当()0g x '=时,1x =;当1x <时,()0g x '<,函数()g x 单调递减; 当1x >时,()0g x '>,函数()g x 单调递增, 当1x =时,函数()g x 取得最小值,为()12g =. 设()2 2h x x x =-,当1x =时,函数()h x 取得最小值,为1-, 若0a ->,函数()h x 与函数()ag x -没有交点; 若0a -<,当()()11ag h -=时,函数()h x 和()ag x -有一个交点, 即21a -?=-,解得1 2 a =.故选C. 解法三:对称性 )(2)(112+--++-=x x e e a x x x f 可得 ( ) 1 1 2 1)2(1222) ()2(2)2()2(+--+----++-=++---=-x x x x e e a x x e e a x x x f

)()2(x f x f =-,即1=x 为方程的对称轴. )(x f 有唯一零点,)(x f 的零点为1=x , 即01=)(f ,解得1 2 a = .故选C. 【考点】函数的零点;导函数研究函数的单调性,分类讨论的数学思想 【思路分析】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围,若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用. 2、【2017年高考数学全国三卷理12】12.在矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+ ,则λμ+的最大值为 A .3 B . C D .2 【答案】A 【解析】 方法一:特殊值法 5 521,2+ ==y x 225 5212>+=+= +y x μλ,故选A 方法二:解析法 如图所示,建立平面直角坐标系. 设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,

(浙江卷)2018年高考数学一题多解(含17年高考)!

(浙江卷)2018年高考数学一题多解(含17年高考试题) 15.已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________,最大值是_______. 【答案】4 , 【解析】 令y []21016,20y =+, 据此可得:( )( )max min 4a b a b a b a b ++-==++-= , 即a b a b ++- 的最小值是4 ,最大值是. 方法二:(向量法) 如图a OA =,b OB =,OC b a =+,BA b a =- .22n m =-=+ 在ABC ?中,)(22222n m +=+ 2 522=+n m 由2 52222=+≤+n m n m 所以5≤+n m D

又在中, OBD ? 2=≥+n m 4 ≥-++ 方法三:不等式法 5==≤ 5 2≤-+ b a +++=++22222 ) ((282b a b a +-++≥) 22210b a -+= =16 524∴ 【考点】平面向量模长运算 【解题思路】本题通过设向量,a b 的夹角为θ,结合模长公式,可得 a b a b ++-= 的转化能力和最值处理能力有一定的要求. 17.已知a ∈R ,函数4()||f x x a a x =+ -+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是___________. 【答案】9(,]2-∞ 【解析】 ②当4a ≤时,()445f x x a a x x x =+-+=+≤,此时命题成立;

③当45a <<时,(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+????,则: 4545a a a a a a ?-+≥-+??-+=??或4555 a a a a a a ?-+<-+??-+=??,解得:92a =或92a < 综上可得,实数a 的取值范围是9,2?? -∞ ???. 当[]4,1∈x 时, 右边54 ≤+x x 恰好成立。 左边4)4 (52min =+≤-x x a 29 ≤∴a 方法三(换元法) 令[]4,1,4 ∈+=x x x t ,[]5,4∈t 令a a t t g +-=)(,由题意可得5)(max =t g 易知5)}5(),(max{=g t g ???≤=∴5)5(5)4(g g 得?????-≤--=-∴a a a a 5554得2 9 =a 或???=≤∴5)5(5)4(g g 得?????-=--≤-∴a a a a 5554得29 ≤ a 【考点】基本不等式、函数最值

高考数学一题多解(含17年高考试题)1

(江苏卷)2018年高考数学一题多解(含17年高考试题) 2017年江苏卷第5题:若tan 1 -= 46 π α ?? ? ?? ,则tanα= 【答案】7 5 【知识点】两角和与差的正切公式 【试题分析】本题主要考查了两角和与差的正切公式,属于基础题。 解法一:直接法 由 6 1 ) 4 tan(= - π α,得 6 1 tan 4 tan 1 4 tan tan = + - α π π α ,故可知 5 7 tan= α 解析二:整体代换 1 1 tan()tan7 6 44 tan tan[()] 1 445 1tan()tan1 446 ππ α ππ αα ππ α + -+ =-+=== --- . 解法三:换元法 令t = - 4 π α,则 6 1 tan= t,t+ = 4 π α.所以 5 7 tan 1 1 tan ) 4 tan( tan= - + = + = t t t π α 2017年江苏卷第9题(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8= . 法二: 6 5 4 3 6 14 4 7 4 63 a a a s s+ + = = - = -

847143321654===++++q a a a a a a S 3= , ∴,得a 1=,则a 8==32. 法三: 9133 2165432136=+=+++++++=q a a a a a a a a a s s ∴q=2 ∴,得a 1=,则a 8= =32. 2017年江苏卷第15题.(14分)如图,在三棱锥A ﹣BCD 中,AB ⊥AD ,BC ⊥BD ,平面ABD ⊥平面BCD ,点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证:(1)EF ∥平面ABC ; (2)AD ⊥AC . 法二: 在线段CD 上取点G ,连结FG 、EG 使得FG ∥BC ,则EG ∥AC ,

全国I卷2018年高考数学一题多解含17年高考试题2017103015

(全国 I 卷)2018年高考数学一题多解(含 17年高考试题) 1、【2017年高考数学全国 I 理第 5题】函数 f (x ) 在 ( ,) 单调递减,且为奇函数.若 f (1) 1,则满足 1 f (x 2) 1的 x 的取值范围是 A .[ 2, 2] B .[ 1, 1] C .[0, 4] D .[1, 3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性;单调性;抽象函数;解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性,单调性以及简单的解不等式,属于简单题。 【解析】 解析二:(特殊函数法)由题意,不妨设 f (x ) x ,因为 1 f (x 2) 1,所以 1 2 x 1, 化简得1 x 3 ,故选 D 。 解析三:(特殊值法)假设可取 x =0,则有 1 f ( 2) 1,又因为 f ( 2) f ( 1) 1,所 以与 1 f (2) 1矛盾,故 x =0不是不等式的解,于是排除 A 、B 、C ,故选 D 。 2、【2017年高考数学全国 I 理第 11题】设 xyz 为正数,且 2x 3y 5z ,则 A . 2x 3y 5z B .5z 2x 3y C .3y 5z 2x D .3y 2x 5z 【答案】D 【知识点】比较大小;对数的运算;对数函数的单调性; 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小,其中运用到了对数的运算公式,对数的单调性 等。属于中档题。 【解析】 解析一:令 2x 3y 5z t t 0 ,则 x log t , 2 y log t , 3 z log t , 5 lg t lg t lg t 2x 2 log t ,3y 3log t , z 5 log t , 2 1 1 1 3 5 lg 2 lg3 lg5 2 3 5 1 1 要比较 2x 与3y ,只需比较 lg 2 lg 3,即比较3lg 2与 2lg3,即比较 lg8 , lg9,易知 , 2 3 lg8 lg9,故 2x 3y .

高考数学典型题一题多解系列十

第12题 “一般到特殊”与“特殊到一般” 在探究“是否存在型问题”中的应用 1 一道高考试题的两种解法 设椭圆22 221(,0)x y E a b a b +=>: 过M N ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒在两个交点,A B 且OA OB ⊥?若存在,写出该圆的方程,并求AB 的取值范围;若不存在,说明理由. 此题是2009年山东省高考试题,请同学们比较第(Ⅱ)问的两种解法: 解:(1)因为椭圆22221(,0)x y E a b a b +=>: 过M N 两点, 2222421611a b a b +=+????=???∴22118114 a b ?=????=??∴228 4 a b ?=?=?∴∴椭圆E 的方程为22184x y + =. (2)解法1 一般到特殊的方法 假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点 ,A B ,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+. 由2218 4x y y kx m +==+?? ???得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=, 则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ?=-+-=-+>,即22840k m -+>, 由根与系数关系得122 2 12 24,1228.12km x x k m x x k ? +=-??+?-?=?+? ∴ 22 12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++2222222 222 (28)48121212k m k m m k m k k k --=-+= +++, 要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即222 22 28801212m m k k k --+=++, ∴223880m k --=,

一道高考数学题的一题多解

一道高考数学题的一题多解 题目:(2010年全国高考Ⅱ卷理科第11题)与正方体ABCD―A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点() A. 有且只有1个 B. 有且只有2个 C. 有且只有3个 D. 有无数个 分析:本题考查了空间想象能力和逻辑思维能力. 解法一:∵到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上,∴三个圆柱面有无数个交点,故选D. 点评:此法用旋转的观点考查空间想像能力. 解法二:在直线B1D任取一点P,分别作PO1,PO2,PO3垂直于B1D,B1C,B1A于O1,O2,O3,则PO1⊥平面A1C1,PO2⊥平面B1C,PO3⊥平面A1B,过O1,O2,O3分别作O1N⊥A1D1,O2M⊥CC1,O3Q⊥AB,垂足分别为M,N,Q,连PM,PN,PQ,由三垂线定理得PN⊥A1D1,PM⊥CC1,PQ⊥AB. 由于正方体中各个表面全等,各个对角面也全等,所以PO1=PO2=PO3,O1N=O2M=O3Q. 故有PM=PN=PQ,即P点到三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等,因此这样的点P有无数个,故选D. 点评:此法用线面的位置关系和正方体的相关知识,通过三垂线定理找到直线B1D上的动点P到三条棱AB、CC1、A1D1

所在直线的距离相等,从而得出答案. 此法要求考生的逻辑 思维要严谨,充分注意立体几何中的相关知识的合理运用. 解法三:图像法. 作正方体ABCD-A1B1C1D1如下: 由图可知直线B1D上的任何一点到三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等,故选D. 点评:此法用图形的直观性考查空间想像能力,简明扼要,但要求答题者具备相当的空间思维能力和逻辑思维能力.此 法考生容易由特殊性认为只有B1、P、D三点或B1、D两点符合条件,从而错选B或C答案. 解法四:分别以正方体的棱AB、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,与正方体的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点的坐标为(x,y,z),则: ==, ∴z2+y2=(1-y)2+(1-x)2=x2+(1-z)2 , ∴z2+y2=1-2y+y2+1-2x+x2=x2+1-2z+z2 , ∴y2=x2+1-2z ,∴z2+x2+1-2z=1-2y+y2 +1-2x+x2, ∴z2-2z=1-2y+y2-2x,又z=, ∴•=(y-1)2-2x, ∴(x2-y2)2-2(x2-y2)-3=4[(y-1)2-2x], ∴x4+y4-2x2y2-2x2-2y2+8x+8y-7=0, ∴(x+y)4-4xy-8x2y2-4xy3-2(x+y)2+4xy+8(x+y)-7=0,

(上海卷)高考数学一题多解(含17高考试题)

(上海卷)2018年高考数学一题多解(含17年高考试题) 9.给出四个函数:①y x =-,②1y x =-,③3 y x =,④1 2y x =;从四个函数中任选2个,事件A : “所选2个函数的图像有且只有一个公共点”的概率为。 【答案】 13 【知识点】函数公共点问题。 【试题分析】本题考查了简单概率基本计算,本题属于中档试题。 联立①、④()323 10y x x x x x y x =-??-=?+=?=?,有唯一解; 联立②、③343 111y x x x x y x ?=-? ?-=?=-??=? ,无解,不符合; 联立②、④1212 11y x x x y x ? =-??-=??=?,无解,不符合; 联立③、④()3 1352 1210y x x x x x y x ?=??=?-=??=?,有两个解,不符合; 由上所述:基本事件总数为6种,符合事件A 的有2种,故,()21 63 P A ==。 解析二:图像法--直接法。 解析:如图所示,

由上所述:基本事件总数为2 46n C ==种,符合事件A 的有①③、①④ 2种,故,()21 63 P A = =。 点睛:通过上述解法可以看出数形结合的解题思路清晰明朗,准确快捷。 10.已知数列{}n a 满足:2 n a n =,*n N ∈,若对于一切*n N ∈,{}n b 中的第n a 项恒等于{}n a 中的第n b 项,则 149161234lg() lg() b b b b b b b b =。 【答案】2 【知识点】数列于对数函数运算性质。 【试题分析】本题考查了数列与对数函数基本计算,本题属于中档试题。 解析一:直接法,对数函数运算性质1。 解析:∵2 n a n =,*n N ∈,若对于一切*n N ∈,{}n b 中的第n a 项恒等于{}n a 中的第n b 项; ∴n n a b b a =2()n b =?2111()1b a b ===,242()b b =,293()b b =,2 164()b b = ∴2 149161234()b b b b b b b b =?21491612341234123412341234lg()lg()lg() 22lg()lg()lg() b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ==?= 解析二:直接法,对数函数运算性质2。 解析:∵2n a n =,*n N ∈,若对于一切* n N ∈,{}n b 中的第n a 项恒等于{}n a 中的第n b 项;

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