数学奥林匹克题解E组合数学 E2计数和离散最值051-060)

E2-051 对每个实数x，以[x]记不超过x的最大整数．有多少个正整数n，使得n＜1000且[log2n]是正偶数？

【题说】第十四届（1996年）美国数学邀请赛题2．

【解】 22k≤n＜22k+1时，[log2n]=2k．所求n的个数为

23-22+25-24+27-26+29-28=340

E2-052 两个正数的调和平均是它们的倒数的算术平均的倒数．有多少个正整数的有序对（x，y），使得x＜y且x与y的调和平均等于620？

【题说】第十四届（1996年）美国数学邀请赛题8．

E2-053 一个150×324×375的长方体由1×1×1的单位立方体胶合在一起而做成的．这长方体的一条内对角线穿过多少个单位立方体的内部？

【题说】第十四届（1996年）美国数学邀请赛题14．

【解】从左到右151个互相平行两两距离为1的平面与对角线有151个交点，将对角线分为150段．同样从上到下，从前到后的两两距离为1的平面又增加一些分点，除去对角线的一端外，共有

150+324+375-（150，324）-（150，375）-（324，375）+（150，324，375）

=768

个分点．将对角线分为768段，每段属于一个单位立方体，即对角线穿过768个单位立方体．

E2-054 在1至1000000的自然数中，包括可表为完全平方数与完全立方数之和形式的自然数，以及不能表为这种形式的自然数．试问哪种形式的数较多？

【题说】第二十二届（1996年）全俄数学奥林匹克九年级题1．

【解】不能表为这种形式的自然数较多．

设n=k2+m3，其中k、m∈N，n≤1000000．显然，这时k≤1000，m≤100．所以能表成这种形式的数不超过100×1000=100000个，少于1000000的一半．

E2-055 有多少对正整数x、y满足x≤y，并且最大公约数（x，y）=5！，最小公倍数[x，y]=50！？

【题说】第二十九届（1997年）加拿大数学奥林匹克题1．

【解】设x=5！a，y=5！b，a、b为互质的自然数，则[x，y]=5！[a，b]=5！ab．所以

其中a1，…，a15都是正整数．

由于a、b互质，所以每一因数p a（p∈{2，3，5，…，47}）或者是a的因数，或者是b的因数，两种情况恰好出现一种，而 a ≤b，

E2-056 平面上给定五个点，这些点两两之间的连线互不平行，又不垂直，也不重合，从任何一点开始，向其余四个点两两之间的联线作垂线，如果不计已知的五个点，所有这些垂线间的交点数最多是多少？

【题说】第六届（1964年）国际数学奥林匹克题5．本题由罗马尼亚提供．

再因每三点构成一个三角形，这个三角形的三条高共点，应从中减

所以，交点最多有

E2-057 某委员会开了40次会议，每次有10人出席，而且委员会任意两个成员都未在一起出席过一次以上的会议，证明：该委员会成员一定多于60．

【题说】 1965年全俄数学奥林匹克十年级题2．

会议，可以组成不同的两人组共有45×40=1800个，但由60人最多只

定多于60．

次会议，与他同出席会议的人都不相同，从而人数≥7×9=63＞0，矛盾．

E2-058 在平面上给出n（≥3）个点，其中任两点的距离最大为d．距离为d的两点间的线段称为这组点的直径．证明：直径的数目至多n条．

【题说】第七届（1965年）国际数学奥林匹克题6．本题由波兰提供．

【证】假定直径多于n条．如果从某个点出发的直径少于两条，我们就把这点除去，剩下的n-1个点至少有n条直径，显然n-1≥3，故不妨假设从每一点都至少引出两条直径．

因为直径数目比点多，而每条直径都连结两个点，所以至少有一点A引出三条直径AB、AC、AD，每两条直径的夹角不超过60°，否则另一端的距离大于d．不妨设AD在AB与AC之间，因此，⊙（A，d）（以A为圆心，d为半径的圆）、⊙（B，d）、⊙（C，d）的公共部分覆盖了整个点集，而与D距离为d的点只有A点一个（图中，

以DG＜CG=d．同理可证D到除A外的其它点距离＜d）．即D 点只引出一条直径，矛盾！故命题成立．

E2-059 某国已经建立起航空网，任何一个城市与不多于三个城市相连结，而且任何一个城市到另一个城市最多只换乘一次，问这个国家最多有多少个城市？

【题说】第三届（1969年）全苏数学奥林匹克八年级题5．

【解】任一城市O与三个城市A、B、C连结．这三个城市中的每一个至多分别与两个城市相连结．这样，城市的个数≤1+3+3×2=10．

如图所示，恰有10个城市的图在图论中称为彼得森图．

E2-060 有20个队参加全国足球冠军决赛．为了使任何三个队中都有两个队相互比赛过，问至少要进行多少场比赛？

【题说】第三届（1969年）全苏数学奥林匹克九年级题6．

【解】把20个队分成两个组，各有k个队和20-k个队，使每个组中的所有队之间都比赛一次，这样比赛的次数为

由于任何三个队中至少有两个队在同一组，而同一组的两个队都相互比赛过，所以至少需90场比赛，当两组各有10个队时，恰好比赛90场．

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

国外的奥数教育

国外的奥数教育 “奥数”是“奥林匹克数学竞赛”的简称。作为一项国际性赛事，国际数学奥林匹克竞赛由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育范围，难度大大超过各国大学入学考试。我国是奥数大国，近年来赢得了诸多奖项，但是，国人过度追捧奥数给基础教育带来了许多负面影响。那么，如何正确看待奥数？让我们参考一下国外的做法。 ——编者 韩国：奥数不是大众化教育 2012年的国际数学奥林匹克竞赛，韩国首次获得团体冠军。韩国国内数学界认为，这表明韩国数学已达到发达国家的水平。 早在1988年，韩国就开始组队参加这项赛事，但成绩并不理想。此后，随着国内奥数教育不断发展，成绩也稳步提高，从2006年起，韩国从未跌出过团体赛世界前五。 据首尔中学教师卢泳和介绍，奥数教育在韩国不是大众化教育，只有英才高中和科学高中的学生才专门学习奥数。小学生和初中生学奥数完全凭兴趣，可以到培训班报名学习奥数，不过奥数成绩和学生升学没有关系。英才高中和科学高中在招生时会考虑奥数成绩，其他高中则不会将奥数成绩作为升学标准。他表示，小学生和初中生过早

学习奥数可能会给他们造成负担，可能产生对数学的反感。学习奥数更多应凭个人兴趣，并非每个人都适合。 截至2012年，韩国共有24所科学高中。其中，首尔科学高中、京畿科学高中等4所科学高中因为教学条件和教学质量好，在2009年后改名为科学英才高中。韩国科学高中偏重教授数学、物理、化学、生物等，绝大多数毕业生最后会选择韩国科学技术院、浦项工业大学等理工科大学，或者选择首尔大学等综合大学的理工科专业。2012年参加阿根廷国际奥数竞赛的6名韩国学生，全部来自科学高中。（李越） 保加利亚：奥数强，数学弱 近20年来的国际奥数竞赛中，保加利亚是除俄罗斯以外唯一夺冠的欧洲队伍。保加利亚中学生学习奥数、参加奥数竞赛有很长的历史。首届保加利亚全国数学奥林匹克竞赛可以追溯到1949年。目前，在保加利亚国内，该竞赛每年举办一次，共分为三轮，分别是校级比赛、市级比赛和全国性决赛。在进入全国决赛的70名中学生（9～12年级，14～19岁）中，只有6人能进入数学奥林匹克国家队。 在国内和国际奥数比赛中获奖的中学生，可以免去大学入学考试，进入相应专业学习。也就是说，要学与数学相关的专业，如果该学生想申请诸如文学之类的其他专业，仍需参加统一的入学考试。 虽然在国际奥数竞赛中的成绩一直不错，但是保加利亚中学生总体的数学成绩并不突出。根据欧盟委员会2011年发布的关于欧洲国家数学教育的报告，保加利亚和罗马尼亚中学生的平均数学成绩要比

最新第36届国际数学奥林匹克试题合集

第36届国际数学奥林匹克试题 1．（保加利亚） 设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。 证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90° 进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。 所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二* 如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α， m 、y 0是定值。有2 0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0 2 αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0 2 ααtg y m x ctg y ?+=

令0 2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证： .2 3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是， ) (4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++= 112 111121111211)()()(------------+++++++++++=b a b a c c b c b c b γαβα 21112 1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a .6132)111(23=?≥++≥abc c b a ∴原不等式成立。 背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？—— 由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。 题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证： .3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+ （第6届IMO 试题） 证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则 + ++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

国际数学奥林匹克IMO试题(官方版)2000_eng

41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1

CGMO2015-2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案

2015中国女子数学奥林匹克 第一天 2015年8月12日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点． 以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ．过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ．求证：EM = MF ．（郑焕供题） 2．设(0,1)a ∈，且 323 2 ()(14)(51)(35),()(1)(2)(31). f x ax a x a x a g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+ 求证：对于任意实数x ， ()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +．（李胜宏供题） 3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值．（梁应德供题） 4．对每个正整数n ，记()g n 为n 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数： 1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈L ； 2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同．（王彬供题） 中国女子数学奥林匹克 第二天 2015年8月13日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 O M F E D C B A

5．有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的）（林常供题） 6．如图，两圆12,ΓΓ外离，它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ，一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D ．设E 是直线,AC BD 的交点，F 是1Γ上一点，过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2Γ于点G ．求证： MF MG =． （付云皓供题） 7．设12,,,(0,1)n x x x ∈L ，2n ≥．求证： 1212n n x x x < L L ．（王新茂供题） 8．给定整数2n ≥．黑板上写着n 个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ，擦掉它们，然后写上A B I 和A B U ．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题） 试题解答 1．如图，在锐角△ABC 中，AB > AC ，O 为外心，D 为边BC 的中点．以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F ． 过D 作DM ∥AO 交EF 于点M ． 求证：EM = MF ． Γ2 Γ1 M G F E D C B A 图1

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

第41届国际数学奥林匹克解答

第41届国际数学奥林匹克解答 问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切 于点 B.设经过点M且与L平 行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直 线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0

数学竞赛的背景意义和辅导

数学竞赛的背景、意义和辅导 上海市育才初级中学但水平 1 数学竞赛的历史背景 最先举办数学竞赛的国家是匈牙利。早在1894年（我国清朝光绪年间），匈牙利数学物理学会就已通过了一项决议：每年为中学生举办数学竞赛，从此之后，除了因世界大战和“匈牙利事件”中断了7年之外，这项竞赛每年10月都要举行。 1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并最先冠以“数学奥林匹克”的名称。从此这一名称正式出现了。 1959年，罗马尼亚首都数学物理学会向7个国家发出邀请，在罗马尼亚首都布加勒斯特举办第一届“国际数学奥林匹克，从而产生了每年举办一次的国际数学奥林匹克（简称IMO），至2004年已举办45届。（1980年东道主蒙古因经费困难停办过一届）我国第一次参加了1985年在芬兰举行的第26届国际数学奥林匹克，由于仓促上阵，准备不足和缺乏经验，这次成绩不理想，仅吴思皓同学获得铜牌。1986年，中国数学奥林匹克代表队一行6人参加了在波兰华沙举办的第27届国际数学奥林匹克竞赛，有3人获得金牌，1人获得银牌，1人获得铜牌，团体总分名列第4。我国中学生第二次参加比赛就表现出这样高的水平，取得了这样好的成绩，确实举世瞩目。第一次向世界显示：中国中学生数学奥林匹克队已跌入世界强队之列。此后，我国中学生参加国际数学奥林匹克的成绩不断提高，1992年第33届国际数学奥林匹克获得6枚金牌和团体总分第一，更是来之不易。 1956年，在北京、上海、天津、武汉四大城市举办了我国第一届数学竞赛，并一直延续到现在。 2 数学竞赛的意义 许多国家对中学生数学竞赛如此热衷，花了很大的精力和代价操办这一事情，究竟有没有意义？这里我们引述美国航天之父冯·卡门在《航空航天时代的科学奇才》一书中的一段话：“跟据我所知，目前在国外的匈牙利著名科学家当中，有一半以上都是数学惊赛的优胜者，在美国的匈牙利科学家，如爱德华、泰勒、列夫·西拉得、乔治·波利亚、冯·牛曼等几乎都是数学竞赛的优生者。我衷心希望美国和其他国家都能大力倡导这种数学竞赛。” 数学竞赛确实是一项传统的智力竞赛问题，它对于激发青少年学习数学的兴趣，扩展知识视野，培养数学思维能力，选拔数学人才都有重要的意义。它的积极影响主要表现在以下几个方面。 2.1 早期发现人才，长期培养 在数学竞赛中我们可以发现一批思维敏捷、智力超群的学生，这可引起我们教师的注意并加以重点培养。第31届IMO中黄康中学的黄崧同学获得了金牌，当然是他的智力好，思维敏捷，但老师对他的早期培养是主要的。黄干中学的老师说得好：“要使天才不致荒废，必须早期发现，长期培养。” 2.2 举办数学竞赛符合因材施教的原则 我们应该承认学生智力上的差异。教科书上的数学是“大众数学”，是今后作为社会公民必须要掌握的。义务教育数学课程指出，“不同的人在数学上得到不同的发展”，“学生的数学学习活动应是一个生动活泼的、富有个性的过程”。对一些擅长理性思维、智力较好的学生来说，他们的学习空间还很大，教科书上的内容远远吃不饱。如果他们在知识、能力上得不到应有的拓展，那是对智力极大的浪费甚至会在他们认为简单、平易的数学学习中丧失对数学的兴趣和热情。举办数学竞赛，为他们提供了一个展示数学才能的平台，会更进一步

全国小学数学奥林匹克竞赛简介

全国小学数学奥林匹克竞赛简介 奥数就是奥林匹克数学的简称，即国际数学竞赛，取名仿自于奥林匹克运动会。 1934年和1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加在布加勒斯特举办的第一届国际数学奥林匹克竞赛。从此每年一次，至今已举办了50届。 奥数的出题范围超出了所有国家的义务教育水平，有些题目的难度大大超过了大学入学考试，有些题目甚至数学家也感到棘手。通过这样高水平的比赛，可以及早发现数学人才，然后进行培养，使其脱颖而出。 近年，国内外很多名牌大学和重点中学比较注重奥数人才，通常通过奥数选拔优秀生源。北京大学、清华大学、复旦大学等高校对奥数优秀的学生偏爱有佳，每年有很多全国高中数学竞赛成绩优异的学生直接免试进入北大数学系。 由于，高校和重点中学对奥数人才的重视，近年来，又出现了小学奥数一词。小学奥数全称叫"小学奥林匹克数学"，或叫"小学数学奥林匹克"，称呼起源于"数学是思维的体操"它体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更高、更强。其实它更准确应称为"小学竞赛数学"。 从1986年起，中国中学生在国际数学奥林匹克连续几年取得优异成绩；1990年7月，在我国北京成功地举办了第31届国际数学奥林匹克，我国代表队再次取得总分第一。中国学生在学习数学上的潜力被发现了，大大激发了全国中、小学生学习数学的兴趣，数学课外活动蓬勃地开展，中、小学数学竞赛活动受到广大师生和家长的欢迎，也得到了社会各界人士的更多关心和支持。1990年11月，在湖南宁乡召开的中国数学会普及工作委员会第六次全国工作会议上，与会同仁一致认识到，为了顺应群众积极高涨的形势，更要坚持"在普及的基础上不断提高"的方针，要引导数学竞赛这一群众性的课外活动健康地发展，为了统筹安排高中、初中、小学的数学课外活动，处理好相互的衔接关系。会议决定，从1991年起，每年春季举行一次"小学数学奥林匹克"，会议还特别强调，中国数学会举办的高中联赛、初中联赛、小学数学奥林匹克都是普及型、大众化的数学竞赛。为了使"小学数学奥林匹克"的试题能适合多数学生的实际水平，在举办1991年"小学数学奥林匹克"时，主试委员会向全国发出一份试题样卷，广泛征求意见，另外，把初赛试卷，分成A，B，C三种不同水平的试卷，供合地选择采用，同时还宣布了两条命题原则："一、试题涉及的知识范围不超出现行的小学数学教学大纲；二、每一道题一定有一种简单的算术解法。"并且声明，抽屉原则、容斥原理、运筹学等离课堂教学内容较远的内容，一定不在试题中出现。我们就是希望，不要过多的课外辅导，尽可能减轻学生的学习负担。经过若干年的实践，全国反映较好，普遍认为试题有利于启迪思维和智力开发，也有利于课堂教学水平的提高。参加者十分踊跃，人数逐年增加。事实上，试题难度逐年在降低，一年比一年容易些，获得高分的人数大幅度增加。以1993年来说，参加决赛的16万学生中，全国有500多人获满分(十二道试题都做对)，有10%的人做对九道题以上，有40%以上学生能做对六道以上，可以说试题的难易程度是比较适当的。这项赛事分为初赛和决赛，分别在每年的三月份和四份，从1993年开始我们又举办了这项赛事的后继活动---"小学数学奥林匹克总决赛"，后来称为"我爱数学少年夏令营"。 "全国小学数学奥林匹克"(创办于1991年)每年3、4月中国数学会普及工作委员会为有关省份提供了一份"小学数学奥林匹克"初赛和决赛试卷，目的在于引导学有余力的小学生的数学课外活动的方向。目前包括"三段式"--小学数学奥林匹克初赛、决赛、我爱数学夏令营。初赛(每年3月份)、决赛(每年4月份)和夏令营(每年暑期)。组织这项活动的原则：一是要把它办成一个"大众化、普及型"的活动；二是要使所出的题目"不超前、不超纲"；三是要尽可能给每个题目一个小学生看得懂的算术解法；四是要充分认识到地区发展不平衡的特点。 “我爱数学少年夏令营”简介 权威性：★★★★★ 举办方：中国数学会普及工作委员会

第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案

2009年第50届IMO 解答 2009年7月15日 1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +?)?)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a ?不能被n 整除。 证明1：由于12(1n a a ?)，令1(,)n a p =，n q p = 也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a ?。因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=?，故31q a ?；同理可得41q a ?，。。。， 因此对于任意都有2i ≥1i q a ?，特别的有1k q a ?，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=?(*)。 若结论不成立，则1(1k n pq a a =)?，与(*)相减可得1(k n a a ?)，矛盾。 综上所述，结论成立。 此题平均得分：4.804分

2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ?,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。证明：OP PQ OQ =。 证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此 APQ MKL ??～。所以 AP MK BQ AQ ML CP == ，故AP CP AQ BQ ?=?(*)。 设圆O 的半径为R ，则由(*)有2 2 2 2 R OP R OQ ?=?，因此OP OQ =。 不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。 OQ =PQ 此题平均得分：3.710分

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

2018年世界各地数学竞赛试题汇集(PDF版)

目 录 2018年亚太地区数学奥林匹克 (1) 2018年波罗的海地区数学奥林匹克 (2) 2018年第10届Benelux数学奥林匹克 (5) 2018年巴尔干地区数学奥林匹克 (6) 2018年巴尔干地区初中数学奥林匹克 (7) 2018年高加索地区数学奥林匹克 (8) 2018年中美洲及加勒比地区数学奥林匹克 (10) 2018年Cono Sur数学奥林匹克 (11) 2018年捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛 (12) 2018年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克 (13) 2018年多瑙河地区数学奥林匹克 (14) 2018年欧洲女子数学奥林匹克 (16) 2018年欧洲数学杯奥林匹克 (18) 2018年拉丁美洲数学奥林匹克 (20) 2018年国际大都市数学竞赛(IOM) (21) 2018年第2届IMO复仇赛 (22) 2018年第5届伊朗几何奥林匹克 (23) 2018年第17届基辅数学节竞赛 (27) 2018年地中海地区数学竞赛 (29) 2018年中欧数学奥林匹克 (30) 2018年北欧数学奥林匹克 (32) 2018年泛非数学奥林匹克 (33) 2018年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克 (35) 2018年第14届Sharygin几何奥林匹克 (36) 2018年丝绸之路数学奥林匹克 (42)

2018年Tuymaada国际数学奥林匹克 (43) 2018年乌克兰几何奥林匹克 (45) 2018年第14届Zhautykov国际数学奥林匹克 (47) 2018年ARML数学竞赛 (48) 2018年美国数学邀请赛(AIME) I (57) 2018年美国数学邀请赛(AIME) II (60) 2018年美国数学奥林匹克 (63) 2018年美国初中数学奥林匹克 (64) 2018年美国IMO代表队选拔考试 (65) 2018年美国TSTST (67) 2018年美国第20届ELMO (69) 2018年第20届美国旧金山湾区数学奥林匹克 (71) 2017-2018年度USAMTS (74) 2018年美国女子数学奖学金竞赛(决赛) (79) 2017-2018年度威斯康星数学、科学与工程学人才选拔 (80) 2018年奥地利数学奥林匹克 (84) 2018年澳大利亚、英国IMO国家队联合训练考试 (87) 2018年波黑数学奥林匹克(地区级) (88) 2018年波黑EGMO代表队选拔考试 (90) 2018年波黑JBMO代表队选拔考试 (91) 2018年巴西数学奥林匹克 (92) 2018年巴西数学奥林匹克复仇赛 (94) 2017/2018英国数学竞赛 (95) 2018年保加利亚数学奥林匹克 (97) 2018年保加利亚JBMO代表队选拔考试 (98) 2018年加拿大数学奥林匹克 (99) 2018年塞浦路斯IMO代表队选拔考试 (100) 2018年塞浦路斯JBMO代表队选拔考试 (102)

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不 包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数． 证明： 在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1）， （f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。 故f （x ）＝1，x ＞0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1： 如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，

历届女子数学奥林匹克试题

目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24)

2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次. （1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数. 3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC. 5.设P1，P2，?，P n(n≥2)是1，2，?，n的任意一个排列.求证： 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1，A2，?，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，?，A8在该直线上的摄影分别是

2014年第55届国际数学奥林匹克(IMO)试题

岳志鹏（河北）整理 2014年第55届国际数学奥林匹克届国际数学奥林匹克(IMO)(IMO)(IMO)试题 试题第一天 2014年7月8日，星期二 第1题设01a a <<×××为一个无穷正整数列，证明：存在唯一的整数使得：n ≥1使得： n a ≤01n a a a n ++×××+≤1n a +．第2题设n ≥2为一个正整数，考虑由2n 个单位正方格构成的n n ′的正方形棋盘，一种放置n 个棋子“车”的方案被称为和平的，如果每一行每一列上正好有一个“车”．求最大的正整数k 使得对于任何一种和平放置n 个棋子“车”的方案，都存在一个k k ′的棋盘使得它的2k 个单位正方格中都没有“车”． 第3题在凸四边形ABCD 中90ABC CDA D=D=°，点H 是A 向BD 引的垂线的垂足，点S 和点T 分别在边AB 和AD 上，使得H 在△SCT 内部，且90CHS CSB D-D=°，90THC DTC D-D=°．证明：直线BD 和△TSH 外接圆相切．

岳志鹏（河北）整理 2014年第55届国际数学奥林匹克届国际数学奥林匹克(IMO)(IMO)(IMO)试题 试题第二天 2014年7月9日，星期三 第4题锐角△ABC 中，点P 和点Q 是在边BC 上满足 PAB BCA D=D和CAQ ABC D=D的两点。点M 和点N 分 别在直线,AP AQ 上满足：P 是AM 中点，Q 是AN 中点． 证明：,BM CN 的交点在△ABC 的外接圆上． 第5题对于任意正整数n ，开普敦银行提供面值为1n 的硬币，对于给定有限枚硬币他们面值的和不超过1992 +．证明：可以把这些硬币分成100组使得每组面值和至多为1．（空集也可以视为一组硬币） 第6题一个平面上的直线集被称为一般的，如果不存在两两平行或者三线共点．一组一般的直线集把平面切割成若干区域．若一个区域的面积是有限的则称为有限区间．证明：对所有 充分大的正整数n ，任意的有n 条直线构成的一般的直线集可以把至少条直线染为蓝色使得没有一个有限区间被蓝线包围． 说明：如果把题中的可以获得更多分值．