奥数第30、31、32、33讲 平面图形面积的计算

奥数第30、31讲———平面图形面积的计算

一、知识要点

1. 基本平面图形特征及面积公式

特征

面积公式 正方形 ①四条边都相等。②四个角都是直角。③有四条对称轴。 S=aa 长方形 ①对边相等。②四个角都是直角。③有二条对称轴。

S=ab 平行四边形 ①

两组对边平行且相等。②

对角相等，

相邻的两个角之和为180° ③平行四边形容易变形。

S=ah 三角形 ①两边之和大于第三条边。②两边之差小于第三条边。

③三个角的内角和是180°。④有三条边和三个角，具有稳定性。 S=ah ÷2 梯形

①只有一组对边平行。②中位线等于上下底和的一半。

S=(a+b)h ÷

2

2. 基本解题方法：

由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先根据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添辅助线等几种方法将图形变成基本图形分别计算。

【典型例题】

【例1】 已知平行四边表的面积是28平方厘米，

求阴影部分的面积。

【练一练】如果用铁丝围成如下图一样的 平行四边形，需要用多少厘米铁丝？ （单位：厘米）

【例2】求图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）

【练一练】下图中甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

【例3】如图所示，甲三角形的面积比

乙三角形的面积大6平方厘米，求CE 的长度。

【练一练】平行四边形ABCD 的边长BC=10厘米，直角三角形BCE 的直角边EC 长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米。求CF 的长。

【例4】．

2.右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

2.

【例6】.

【练习与拓展】

1、求图中阴影部分的面积。单位：厘米

3、如图，一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加2平方米。问原来的三角形的面积是多少平方米

4、如下图，在一块长

80米、宽30米的长方形地上，修了两条宽分别为2米和3米的小路，其余的地方做草地，你知道草地的面积有多大吗？

5、如下图，是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米，中间有两条宽2米的道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分（阴影部分）的面积有多大？

下面的梯形中，阴影部分面积是

150平方厘米，求梯形的面积。

【例5】、正方形ABCD 的边长是12厘米，已知

DE 是EC 长度的2倍，求： （1） 三角形DEF 的面积。 （2） CF 的长。 6正方形ABCD 的面积是100平方厘米，AE=8厘米，CF=6厘米，求阴影部分的面积。 1米

奥数第32、33讲 平面图形面积—圆与组合图形的面积 专题简析：

在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。并且同学们应该牢记几个常见的圆与正方形的关系量：在正方形里的最大圆的面积占所在正方形的面积的3.144 ,而在圆内的最大正方形占所在圆的面积的2

3.14 ,这些知识点都应该常记于心，并牢牢掌握！ .

例题1。求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【分析】如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成1/4圆的面积。

62×3.14×1/4＝28.26（平方厘米）

练习1求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

答例题2。求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【分析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新

的图形（如图所示）。

从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积

减去大三角形面积的一半。

3.14×42×1/4－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）

练习2、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米，正方形边长4）。答

1

例题3。

如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO 1O 的面积。

【分析】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白

部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图所示）。所以

3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米） .

练习3如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC 两点把圆 分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分 （2）的面积相等，求平行四边形ABCD 的面积。答

例题4。如图所示，图中圆的直径AB 是4厘米，平行四边形ABCD 的面积是7平方厘米，∠ABC ＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。

【分析】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇

形AOC 的面积，再减去三角形BOC 的面积。 半径：4÷2＝2（厘米）

扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度） 扇形的面积：2×2×3.14×60/360≈2.09（平方厘米） 三角形BOC 的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米） 7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）

练习4如图，三角形ABC 的面积是31.2平方厘米，圆

的直径AC ＝6厘米，BD ：DC ＝3：1。求阴影部分的面积。

答

答

例题5。

如图所示，求图中阴影部分的面积。

【分析】：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米

【3.14×102×1/4－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）

例题6如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【分析】先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图所示。

3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）

练习6如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。答

例题7。在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。

【分析】先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。

空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）

阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）.

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练习7：求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

例题8、在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。

【分析】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。

既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）

阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）

答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。

.

练习8、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。答