第一讲 数与式

第一讲 数与式

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >??

==??-

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1 解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．

所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为

|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．

x ＜0，或x ＞4．

1

C x

|x －1|

|x －3|

图1．1－1

练 习

1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________. （2）若a<0,则－｜－a ｜＝ ；a>0，则－｜－a ｜= .

（3）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. (4) 绝对值大于１且小于４的所有整数的和是 。 2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（5

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222

()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233

()()a b a a b b a b

+-+=+； （2）立方差公式 2233

()()a b a a b b a b

-++=-； （3）三数和平方公式 2222

()2()a b c a b c a b b c a

c ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223

()33a b a a b a b b

+=+++； （5）两数差立方公式 332

2()33a b a a b a b b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222

(1)(1)x x x ??-+-??

=242(1)(1)x x x -++ =61x -．

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习

1．填空： （1）

221111

()9423

a b b a -=+（ ）；

（2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：

（1）若2

1

2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m

（2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能

够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b

212

x +

+，22x y + 1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它

们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

一般

地，b 与b 互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，

0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2

a ==,0,

,0.a a a a ≥??

-

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1） （20)a ≥； （30)x <．

解： （1=

（20)a ==≥；

（3220)x x x ==-<．

例2 (3．

解法一： (33)

＝

3

93-

＝1)

6

＝1

2．

解法二： (3)

＝

例3 试比较下列各组数的大小：

（1） （2

.

解： （1

1===

，

1

10

>

（2）∵

=

== 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

例4 化简：20042005+?．

解：20042005?-

＝20042004??

＝2004

??

?-???

＝20041?-

例 5 化简：（1； （21)x <<．

解：（1）原式=

=

=

2=

2=．

（2）原式=1

x x

=-，

∵01x <<， ∴1

1x x

>>， 所以，原式＝1

x x -．

例 6 已知x y ==

22353x xy y -+的值 ．

解： ∵2210x y +=

=+=，

1xy =

=， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=?-=．

练 习

1．填空：

（1＝__ ___；

（2(x -x 的取值范围是_ _ ___；

（3

）=__ ___； （4

）若x =

=______ __． 2．选择题：

=

成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<

3

．若b =，求a b +的值．

4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．

5. 若代数式3

||32--x x 有意义，则x 取值范围 。

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A

B

为分式．当M ≠0时，分式

A

B

具有下列性质： A A M B B M ?=?； A A M B B M

÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

像a

b c d

+，2m n p

m n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

例1 若54(2)2x A B

x x x x +=+++，求常数,A B 的值．

解： ∵(2)()254

2(2)(2)(2)

A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，

∴5,

24,

A B A +=??=?

解得 2,3A B ==．

例2 （1）试证：111

(1)1n n n n =-

++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910

+++??? ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2

n n +++

1(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，

∴111

(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．

（2）解：由（1）可知

1111223910+++??? 11111

(1)()

()223910=-+-++- 1

110=-

＝9

10

．

（3）证明：∵1112334(1)n n +++??+ ＝111111

()()()23341n n -+-++-

+ ＝11

21

n -+，

又n ≥2，且n 是正整数，

∴1

n ＋1

一定为正数，

∴111

2334(1)n n +++??+ ＜12 ． 例3 设c

e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．

解：在2c 2

－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，

∴e ＝1

2 ＜1，舍去；或e ＝2．

∴e ＝2． 练 习

1．填空题：

对任意的正整数n ，1

(2)

n n =+ (112n n -

+)； 2．选择题：

若223x y x y -=+，则x

y

＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）6

5

3．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y

x y

-+的值．

4．计算1111 (12233499100)

++++????．

习题1．1 A 组

1．解不等式：

(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．

２．已知1x y +=，求33

3x y xy ++的值． 3．填空：

（1）1819(2(2＝________；

（22，则a 的取值范围是________；

（3

=________．

B 组

1．填空：

（1）12a =，13b =，则22

2

3352a ab

a a

b b -=+-____ ____； （2）若22

20x xy y +-=，则2222

3x xy y x y

++=+__ __；

2．已知：11

,23x y =

=的值．

C 组

1．选择题：

（1）

则 （ ）

（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<

（2

）计算 （ ） （A

（B

（C

） （D

）2．解方程2

2112()3()10x x x x +-+-=．

3．计算：1111132435911

++++???? ． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++????++ ＜1

4

．

1．2 分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的

－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4

两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得

22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1

＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法

例2 分解因式：

（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++． 或

32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝

33(1)2x ++

＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+?+

＝2(3)(3)x x ++．

（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．

或

222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----

=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．

3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式

2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-． 解： （1）令221x x +-=0

，则解得11x =-

21x =-，

惺惺惜惺惺从小

此次 ∴221x x +-

=(1(1x x ????-----????

=(11x x ++．

－1 1

x y

图1．2－5

（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，

∴

2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．

练 习 1．选择题： 多项式22

215x xy y

--的一个因式为

（ ）

（A ）25x y - （B ）3x y -

（C ）

3x y + （D ）5x y -

2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；

（3）x 2

－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．

作业 习题1．2

1．分解因式： （1） 3

1a +； （2）42

4139x x -+；

（3）

2

2

222b c ab ac bc ++++；

（4）2

2

35294x xy y x y +-++-．

2．在实数范围内因式分解：

（1）

2

53x x -+ ；（2）2

3x --；

（3）2234x xy y +-；

（4）2

22

(2)7(2)12x x x x ---+．

3ABC ?三边

a

，b ，c 满足

2

2

2

a b c a b b c c

+

+

=

++，

试判定ABC ?的形状．

4．分解因式：x 2＋x －(a 2

－a )．

(完整版)初高数学衔接第一讲数与式的运算

第一讲 数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2 2 2 2 +++++=++ 证明：2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++Θ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++= ∴等式成立 【例1】计算：2 2 )3 12(+-x x 解：原式=2 2 ]3 1)2([+-+x x 9 1 3223822) 2(3 1 2312)2(2)31()2()(234222222+ -+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 ))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((2 2 b ab a b a ++- 解：原式=3 3 3 3 2 2 )(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到： 【公式3】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：

第一章 数与式典型例题讲解

第一单元《数与式》 一、实数的有关概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a 的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两个相反数和为0. 2、倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a 的倒数为a 1.注意:0没有倒数. 3、绝对值:a 的绝对值为|a|,|a|=???≤-≥) 0()0(a a a a 4、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 5、实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小 6、无理数：无限不循环小数 7、实数分类：实数?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 8、科学记数法：把一个数写成a ×n 10的形式（其中1≤ a<10，n 是整数） 9、近似数和有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。 经典例题解析： 1、下列判断中，你认为正确的是（ ） A 、0的绝对值是0 B 、是无理数 C 、4的平方根是2 D 、1的倒数是﹣1 2、如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则等于（ ）

A、﹣ B、 C、﹣2 D、2 3、在：1，﹣2，，0，π五个数中最小的数是_________． 4、如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，﹣a，1的大小关系表示正确的是（） A、a＜1＜﹣a B、a＜﹣a＜1 C、1＜﹣a＜a D、﹣a＜a＜1 5、如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（） A、a+b＞0 B、ab＞0 C、a﹣b＞0 D、|a|﹣|b|＞0 6、如图所示，数轴上表示2，5的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是() A．－ 5 B．2－ 5 C．4－ 5 D．5－2 7. 如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简||() -++2的结果等于__________ a b a b b a A. 2a B. 2b C. －2a D. －2b 8、下列各数：，0，，0.2，cos60°，，0.3000333…，1﹣中无理数个数为（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 9、2010年上海世博会开园第一个月共售出门票664万张，664万用科学记数法表示为（） A、664×104 B、66.4×105 C、6.64×106 D、0.664×107 10、在显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10﹣5cm，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是（）

(完整版)第1讲数与式中考第一轮复习教案(含答案)(可编辑修改word版)

数学辅导教案 知识点梳理 【实数】 1.实数的有关概念及分类： ①实数的分类 ②数轴:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴,实数与数轴上的点一一对应； ③相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数； ④倒数:如果两个数的乘积为 1，那么这两个数互为倒数； ?a(a ≥ 0) ⑤绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值；去绝对值：a =?-a(a < 0) ? 绝对值的几何意义：在数轴上，a -b 表示 a 对应的点到 b 对应的点的距离。 ⑥非负数：a2，a,a 2.科学计数法和近似数：①科学计数法：a ?10n,1 ≤a < 10 ;②近似数：与实际接近的数称为近似数。 精确度：一个近似数的精确度可用四舍五入法表述，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 3.实数的大小比较：数轴法，绝对值法。 实数的运算：实数的运算顺序，运算律。 【整式】 1、代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式称为代数式。单独一个数或者一个字母也称代数式。 ①列代数式；②求代数式的值。 2、整式：单项式和多项式统称为整式 ①单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 ②多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。 ③同类项:多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。所有的常数项也看做同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

最新第一章数与式知识点归纳资料

第一章 数与式 一、数的分类 实数????? ??????????????????????????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 或 实数???????????负无理数负有理数负零正无理数正有理数正实数实数 其中：有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小数。 二、 数轴 （１）三要素：原点、正方向、单位长度。 （２）实数???→←一一对应 数轴上的点。 （３）利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。 三、 绝对值 （１）几何定义：数轴上，表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a 。 （２）代数定义：a ＝?? ???<-=>) 0()0(0 )0(a a a a a 四、 相反数、倒数 （１）a 、b 互为相反数?a ＋b ＝０（或a ＝－b ）； （２）a 、b 互为倒数?a ·b ＝１（或a ＝ b 1）。 五、几个非负数 （１）a ≥０； （２）a 2≥０；

（３）a ≥０（a ≥０）。 （４）若几个非负数之和为０，则这几个非负数也分别为０． 六、 （１）a n 叫做a 的n 次幂，其中，a 叫底数，n 叫指数。 （２）若x 2＝a （a ≥０），则x 叫做a 的平方根，记做±a ；算术平方根记做a 。 （３）若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，记做3a 。因此33)(a ＝a （４）算术平方根性质： ①（a ）2＝a （a ≥０）； ②2a ＝a ； ③b a ab =（a ≥０，b ≥０）； ④b a b a =（a ≥０，b ＞０）。 七、运算顺序： １． 同 级：左→右 ２． 不同级：高→低（先乘方和开方，再乘除，最后加减） ３． 有括号：里→外（先去小括号、再去中括号、最后去大括号） 八、运算律：

最新北师大版九年级中考数学总复习第一章数与代数知识点+练习试题

九年级中考数学数与式知识点+练习题 数与代数 ???? ?? ?? ????????????? ???? ?????????????????? ??无限不循环小数 负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 数轴：规定了 、 、 的直线叫数轴， 与数轴上的点一一对应的。 相反数：两个数只有 不同，那么它俩互为相反数。相反数等于本身的是 。A 的相反数是 ，如果a 和b 互为相反数?a+b=0 绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?? ???-==0 ,0, 00, ＜＞a a a a a a （2）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 倒数：（1）a 和b 互为倒数?1=ab ；（2）注意0没有倒数，（3）倒数等于本身有 。 平方根：正数的平方根有2个，它们互为 ，0的平方根是 ，负数没有 。平方根等于本身有 。 算术平方根：正数的算术平方根是 ，0的算术平方根是 ，算术平方根等于本身有 。 立方根：正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立

方根是 。 立方根等于本身有 。 比较大小：正数 0，负数 0提示：两个负数相比较，绝对值大的反而小。 a a 2= ） （）、（﹣0a a 1 a 0a 1a p p 0≠=≠= 1、3 1﹣的倒数 ，绝对值是 ，相反数是 。 2、若ｍ、n 互为相反数，则5m+5n-5= ． 3、 2-的相反数是（ ）A ．2 B ．-2 C ．4 D ． 4、 23-的值是 。 5、计算：20247)π-+-+= 6、据河北电视台报道，截止到2008年5月21日，河北慈善总会已接受支援汶川地震灾区的捐款15 510 000元．将15 510 000用科学记数法表示为（ ） 7、若22+-b a 与互为相反数，则a+3b= 。 8、有理数a ，b 在数轴上的表示如图所示，则下列结论中：①ab＜0②0b a ＜③a+ b ＜0④a －b ＜0⑤b a ＜⑥﹣a ＞﹣b 其中正确有 个。 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 9、在下列各数： 51525354.0、 10049、2.0 、π 1、7、 11 131 、327、中，无理数的个数是 ( )A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 10、如图，点A ，B ，C 都是数轴上的点，点B ，C 关于点A 对称，若

小升初数学课程：第一讲 数与式的认识

第一讲数与式 一、知识梳理 第一部分数的意义、分类与性质 一、数的意义和分类 1、数的意义 （1）自然数：0、1、2、3、4……都是自然数。可以表示物体的个数或次数。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 （2）0：一个物体也没有，用0表示。0是最小的自然数。0还有其他多种用法，在写数记数中，可以用0来占位；在测量活动中，用0表示起点；在相反意义量的记录中，用0作分界点。 负数：比0小的数是负数，比0大的数是正数。0既不是正数，也不是负数。 （4）小数：分母是10、100、1000……的分数可以写成小数。 （5）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。两个数相除的商可以用分数表示。 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。 （6）百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数又叫做百分比或百分率。百分数是一种特殊的分数。 二、数的联系

1、整数与小数：整数和小数在计数方法上是一致的，都是用十进制计数法记录的。整数可以根据小数的基本性质改写成小数。 2、小数与分数：小数就是分母是10、100、1000……的十进分数，小数是特殊的分数。 3、分数与百分数：百分数虽然在形式上与分数是类似的，但在意义上有明显的不同。百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，所以也叫做百分比（百分率），而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几，也可以用来表示一个具体的数量。 4、正数与负数：以0为分界点，比0大的数就是正数，比0小的数就是负数。正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数。0既不是正数，也不是负数。 三、数的性质 1、整除 （1）整除与除尽 整除：整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.。 除尽：数a除以数b(b≠0),除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽. 整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除. （2）因数和倍数 如果数a能被数b整除(b≠0),a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数. 倍数：一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数. 因数：一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身. 因数和倍数是相互依存的 （3）能被2.3.5整除的数的特征 能被2整除的数的特征：个位上是0,2,4,6,8,: 能被3整除的数的特征：个位上是0或5 能被5整除的数的特征：各个位上的数字的和能被3整除 能同时被2、5整除的数的特征：个位是0 能同时被2、3、5整除的数的特征：个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除. （4）偶数和奇数 一个自然数,不是奇数就是偶数 偶数：能被2整除的数。最小的偶数是0 奇数：不能被2整除的数.最小的奇数是1.

数与式知识点归纳

一、数的分类 实数????? ??????????????????????????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 或 实数???????????负无理数负有理数负零正无理数正有理数正实数实数 其中：有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小数。 二、 数轴 （１）三要素：原点、正方向、单位长度。 （２）实数???→←一一对应 数轴上的点。 （３）利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。 三、 绝对值 （１）几何定义：数轴上，表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a 。 （２）代数定义：a ＝?? ???<-=>) 0()0(0 )0(a a a a a 四、 相反数、倒数 （１）a 、b 互为相反数?a ＋b ＝０（或a ＝－b ）； （２）a 、b 互为倒数?a ·b ＝１（或a ＝ b 1）。 五、几个非负数 （１）a ≥０； （２）a 2≥０； （３）a ≥０（a ≥０）。

（４）若几个非负数之和为０，则这几个非负数也分别为０． 六、 （１）a n 叫做a 的n 次幂，其中，a 叫底数，n 叫指数。 （２）若x 2＝a （a ≥０），则x 叫做a 的平方根，记做±a ；算术平方根记做a 。 （３）若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，记做3a 。因此33)(a ＝a （４）算术平方根性质： ①（a ）2＝a （a ≥０）； ②2a ＝a ； ③b a ab =（a ≥０，b ≥０）； ④b a b a =（a ≥０，b ＞０）。 七、运算顺序： １． 同 级：左→右 ２． 不同级：高→低（先乘方和开方，再乘除，最后加减） ３． 有括号：里→外（先去小括号、再去中括号、最后去大括号） 八、运算律： 九、运算法则 ①加法法则：

第一章 数与式 知识点

第一章 数与式 知识点 一、实数的有关概念 1、 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数，即a 的相反数为-a.注意:0的相反数为0;两 个相反数和为0. 2、 倒数:两个数的积为1,这两个数互为倒数.即a 的倒数为a 1.注意:0没有倒数. 3、 绝对值:a 的绝对值为|a|,|a|=? ??≤-≥)0()0(a a a a 4、 数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 5、 实数大小比较：正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小 6、 无理数：无限不循环小数 7、 实数分类：实数????????数） 无理数（无限不循环小小数）（有限小数或无限循环分数 整数有理数 8、 科学记数法：把一个数写成a ×n 10的形式（其中1≤ a<10，n 是整数） 9、 近似数和有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。 10、 非负数：指 a ≥0，非负数有|a|，2a ，a .注意：几个非负数的和为0，则每一个非 负数为0. 二、实数的有关计算 1、 六种基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方 2、 运算顺序：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减。如果有括号，就先算括号； 同级运算应从左到右；如果符合运算律，可以变更运算顺序，简便计算。 3、 运算律： （1） 加法交换律：a+b=b+a （2） 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) （3） 乘法交换律：ab=ba （4） 乘法结合律：(ab)c=a(bc) （5） 乘法对于加法的分配律：(a+b)c=ac+bc 三、代数式有关概念 1、 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意：单独一个数 或字母也是代数式 2、 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫代数式的值。

第一章数与式 1实数随堂检测

实数的有关概念检测 1、-5的绝对值是_____ 2、-2的相反数是_____，2的倒数是____ 3、√16的平方根是_____ 4、有理数-8的立方根是____ 5、点O,A,B,C,在数轴上的位置如图所示，点O为远点，AC=1,OA=OB，若点C表示的数为a，则点B所表示的数为（） A、-(a+1) B、-（a-1） C、a+1 D、a-1 6、下列不等式错误的是（） A．-2<-1 B. π<17 C.5 2>√10 D . 1 3 >0.3 7、已知x是整数，当｜x?√30｜取最小值时，x的值是（） A、5 B、6 C、7 D、8 8、小明学习了在数轴上画出表示无理数的点的方法之后进行联系：在数轴上找到表示2的点A，然后过点A做AB⊥OA，使AB等于3，以点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴正半轴于点P，点P表示的数介于（） A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间 9、下列各数中3.1415926,√9,1.212212221…,1 7,2?π，?2020，√4 3中，无理数 有___个 10、纳秒（ns）是非常小的单位，1ns=10?9s。北斗全球导航系统的授时精度由于20ns，用科学计数法表示20ns是_______ 11、数轴上有两个实数，a>0,b>0,a+b<0,则a、b、-a、-b四个数的大小关系为___________ 12、写出一个比√2大且比√15小的整数_____ 13、已知｜x?3｜=3-x，则x的取值范围是_________ 14、用科学计数法表示数：161亿元=________元，0.0000046=___________

1.数与式教案

第一讲 数与式 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式 【公式1】平方差公式：2 2 ()()a b a b a b -=+- 【公式2】完全平方公式：2 2 2 ()2a b a ab b ±=±+ 【公式3】完全立方公式：3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b ±=±+± 【公式4】ca bc ab c b a c b a 222)(22 2 2 +++++=++（完全平方公式） 证明：2 2 2 2 )(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=. ∴等式成立 【例1】计算：2 2 )3 12(+-x x 解：原式=22 ]31)2([+-+x x 222222432111 ()()()2(22() 33381 . 339 x x x x x x x =++++?+??=-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式5】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3 332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+. 【公式6】3 322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 证明：2 2 2 2 3 3 3 3 ()()[()][()()]()a b a ab b a b a a b b a b a b -++=+---+-=+-=-. 【例2】计算： （1）)416)(4(2 m m m +-+ （2）)4 1 101251)(2151(22n mn m n m ++- （3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）2 2222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=3 33644m m +=+. （2）原式=3 333811251)21()51(n m n m -= -. （3）原式=644)()44)(4(6 3322242-=-=++-a a a a a . （4）原式=2 2 2 222 2 )])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+ 6 33 62332)(y y x x y x ++=+=. 说明：在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． 【例3】已知2 310x x -+=，求33 1 x x + 的值．

中考数学第一轮复习第一章数与式

第一章 数与式 _________年________月_________日 姓名_____________ 课时1．实数的有关概念（1） 【课前热身】 1.3的倒数是 ． 2.若向南走2m 记作2m -，则向北走3m 记作 m ． 3.2的相反数是 ． 4.3-的绝对值是（ ） A ．3- B ．3 C ．13 - D ． 13 5．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大 约只占0.000 000 7（毫米2 ），这个数用科学记数法表示为（ ） A.7×10－6 B. 0.7×10－6 C. 7×10－7 D. 70×10 －8 【考点链接】 一、实数的分类 1、按实数的定义来分： 2、无理数常见的类型：①根号型（开方开不尽） ②三角函数型 ③构造型 ④π型 例1.在实数0，10.1235，0.. 123. 7 ，1.010010001…，3064.0-， 3π， 7 22 ，0，2)5(-，0)3(，?60sin 中，无理数有

二、数轴 1、定义：三要素?? ? ??正方向单位长度原点 2、数轴上的点和实数是一一对应关系 3、数轴上两点间的距离AB=21x x - 4、数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 例2：和数轴上的点一一对应的数是（ ） Ａ．整数 Ｂ．有理数 Ｃ．无理数 D 、实数 例3：数轴上一动点A 向左移2个单位长度到达B ，再向右移动5个单位长度到达C ，若点C 表示数1，则点A 表示数为 例4：在数轴上，表示32与-的两点之间的距离是 三、相反数 1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即a 与a -互为相反数，0的相反数还是0 2、几何意义：?? ? ??到原点的距离相等在原点的两旁符号相反 3、性质：①a 的相反数是a -（求相反数的方法） ②互为相反数?两个数和为0 ③互为相反数的两个数绝对值相等，偶次幂也相等,奇次幂互为相反数； ④相反数等于本身的数为0 例5：下列各组数中，互为相反数的是 ( )

数与式知识点总结

数与式知识点总结 1. 为了表示具有__________ 的量我们引进负数。 2. _____ 和分数统称为有理数,____________ 数与式知识点总结___________ 。 3. 整数可分为_______ _________ 和负整数。分数可分为 _______ _________ 数与式知识点总结_______ 和_______ 。0 既不是，也不是。 4. 规定了______ 、 ______ 和__________ 的直线叫做数轴。 5. 只有____ 不同的两个数称为相反数。绝对值最小的数是互为相反数的两数的和为_,_在数轴上表示互 为相反数的两个点位于原点的,且到_________ 的距离 ________ 。 6. 在数轴上,表示数a的点与________ 的距离叫做数a的绝对值。 7. ___________ 等于a,那么这个数叫做a的平方根,记作_—其中a是_______________ 。正数a的正的平方根叫做a 的____________ ;一个正数的平方根有_________ 个，它们是,0 的平方根和算术平方根都是负数____________ 。求 _____________ 的运算叫做开平方。.a _J (a>0)。 8. 如果一个数的_____ 等于a,那么这个数叫做a的立方根,求__________________ 的运算叫做开立方。 9、二次根式的概念：形如(a> 0)的式子，叫做二次根式。 10、二次根式的性质： (1) (、. a )2 = __ (a __0 )(2) = a = ___________ (3)时0b= ?(a > 0,b > 0); ⑷」旦= (a > 0,b > 0). b 一 11、最简二次根式要满足以下两个条件：(1)被开方数的因数是_________ 数,因式是_____ 式；(2)被开方数中不含能开 得尽方的_____ 数或 ____ 式。 12、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数—」这几个二次根式叫做同类二次根式。二、实数、二次根式的运算 1、有理数的加减乘除、乘方、开方的法则分别是什么？ ①有理数的加法：同号两数相加，取与 ______ 相同的符号，并把_______ 相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对 值的加法的符号，并用 ___________ 的绝对值减去______ 的绝对值，互为相反数的两个数相加得 ; 一个数同0相 加,仍得________ 。 ②有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的____________ 。 ③有理数的乘法：两数相乘，同号得亠异号得——并把 _______________ 相乘；任何数与0相乘都得—。 ④有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的_________ ;注意：______ 不能做除法。 ⑤有理数的乘方：求n个______ 的因数的积的运算叫做乘方，即a a a a=a n.其中负数的 ________ 次方是负数，负 n个 数的______ 次方是正数；a0= ____ (a工0) : a n= (a 半0,n是正整数)。 ⑥有理数的开方：如果一个数的________________________________ n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数叫做a的;即若x n = a ,则x叫

中考总复习数与式专项练习(含解析)

第1讲数与式微课有理数（绝对值、科学记数法） 题一：实数a、b、 c 在数轴上的对应点如图所示，化简|a－b|－|c－a|+|b－c|－|a|． 题二：已知a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|2a|－|a+c|－|1－b|+|－a－b|． 题三：国家游泳中心——“水立方”是北京2008 年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260000 平方米，将260000 用科学记数法表示应为______________ ． 题四：一天有8.64 ×104秒，一年按365 天计算，一年有多少秒？（用科学记数法表示） 教育选轻轻·家长更放心页1

第2讲数与式微课有理数(数轴) 题一：有理数m，n 在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是( ) A．m+n>m B ． m+n<0 C．m+n0 题二：有理数 a ， b 在数轴上的对应点的位置如图所示， a+b 的值 ( A ．大于0 B ． 小于0 C．小于b D ．大于a 第3讲数与式微课有理数(相反数、倒数) 题一：已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，且x 是绝对值最小的有理数，求2x2 3(a×b+c+d) +|a×b+3|的值． a，b 互为倒数，x 绝对值等于2，求2x (1+ m+n ab)x ab 的值．题二：已知m，n 互为相反数， 教育选轻轻·家长更放心页2

教育选轻轻·家长更放心 页 3 第 4讲 数与式微课 有理数(绝对值的非负性 ) 题一：若 |a-2|+( b+1) 2=0，求 (a+b)2013的值． 题二：已知 |a+3|+|b-2|=0，求： (a+b)1001 的值 第 5讲 数与式微课 有理数(计算) 题一：计算： 1 2 1 1 2)[(1 13)2 ( 132)(÷ 118)](× 112)3 1 题二：计 2×(- 5) +22- 3÷ 2 1)( 3)2 53[3( 32)2 14][ 8 (21)(2 12 )3 1];

第一章数与式测试卷

第一章 数与式测试卷 一、选择题(每小题2分，共38分) 1. (2019·河南)－1 2 的绝对值是(B ) A ．－12 B ．1 2 C ．2 D ．－2 2. 81 的平方根是(C ) A. 3 B. －3 C. ±3 D. ±9 3. 下列各数中，是无理数的是(D ) A. 3 8 B. 3.14 C. 4 D. 2 4. (2018·滨州)若数轴上点A 、B 分别表示数2、－2，则A 、B 两点之间的距离可表示为(B ) A. 2＋(－2) B. 2－(－2) C. (－2)＋2 D. (－2)－2 5. (2019·成都)2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为(C ) A ．5500×104 B ．55×106 C ．5.5×107 D ．5.5×108 6. (2018·福建)在实数|－3|，－2，0，π中，最小的数是(B ) A. |－3| B. －2 C. 0 D. π 7. (2017·温州)下列选项中的整数，与17 最接近的是(B ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. (2019·滨州)若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，则(m ＋n )3的平方根为(D ) A ．4 B ．8 C ．±4 D ．±8 9．(2019·长沙)下列各数中，比－3小的数是(A ) A ．－5 B ．－1 C ．0 D ．1 10. (2019·益阳)下列运算正确的是(D ) A ．（－2）2 ＝－2 B ．(2 3 )2＝6 C ． 2 ＋ 3 ＝ 5 D ．2 ×3 ＝6 11. (2019·福建)下列运算正确的是(D ) A ．a ?a 3＝a 3 B ．(2a )3＝6a 3 C ．a 6÷a 3＝a 2 D ．(a 2)3－(－a 3)2＝0 12. (2019·攀枝花)用四舍五入法将130542精确到千位，正确的是(C )

数与式知识点总结学习资料

一、实数、二次根式的有关概念 1. 为了表示具有 的量我们引进负数。 2. 和分数统称为有理数， 叫无理数，有理数和无理数统称为 。 3. 整数可分为 和负整数。分数可分为 。有理数也可分为：正有理数、 和 。0既不是 ，也不是 。 4. 规定了 、 和 的直线叫做数轴。 5. 只有 不同的两个数称为相反数。绝对值最小的数是 ，互为相反数的两数的和为 ，在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的 ，且到 的距离 。 6. 在数轴上，表示数a 的点与 的距离叫做数a 的绝对值。 ︱a ︱＝ _____________________________ 7. 等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，记作 ，其中a 是 。正数a 的正的平方根叫做a 的 ；一个正数的平方根有 个，它们是 ，0的平方根和算术平方根都是 ，负数 。求 的运算叫做开平方。（a>0）。 8. 如果一个数的 等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，求 的运算叫做开立方。 9、二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 10、二次根式的性质： （1）2)(a = （a 0） （2）2a =a = _____________________________ （3）ab = · （a ≥0,b ≥0）; (4)b a = （a ≥0,b ≥0）. 11、最简二次根式要满足以下两个条件：（1）被开方数的因数是 数，因式是 式；（2）被开方数中不含能开得尽方的 数或 式。 12、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数 ，这几个二次根式叫做同类二次根式。 二、实数、二次根式的运算 1、有理数的加减乘除、乘方、开方的法则分别是什么？ ①有理数的加法：同号两数相加，取与 相同的符号，并把 相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值 的加法的符号，并用 的绝对值减去 的绝对值，互为相反数的两个数相加得 ；一个数同0相加，仍得 。 ②有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的 。 ③有理数的乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘；任何数与0相乘都得 。 ④有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的 ；注意： 不能做除法。 ⑤有理数的乘方：求n 个 的因数的积的运算叫做乘方，即4434421Λ个 n a a a a =a n . 其中负数的 次方是负数，负数的 次方是正数；0a = （a ≠0）;n a = (a ≠0,n 是正整数)。 ⑥有理数的开方：如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，这个数叫做a 的 ；即若a x n =，则x 叫做a 的 。求一个数的方根的运算叫做开方。

第一讲：数与式的运算

初高中数学衔接教材第一讲 数与式的运算教师版 导语：高中数学五本必修教材（必修一~必修五），选修教材因文理不同，高一上期一般学必修一、四；下期学必修五、 三、二的直线和圆部分；高二上期学必修二，下期学习选修系列。高一以代数为主，高二以几何为主，但高中数学有四大思想方法，做题始终贯穿：①数形结合；②分类讨论；③转化与化归；④函数与方程。必修一共两章：集合和函数。集合很抽象，而函数又需要用到初中许多基础知识，所以需要先复习2课时的初中知识，13课时预计上到函数中高一的特殊函数：指数函数 一、绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-，则a b > ③若a b <，则a b <④若a b =，则a b =± /*命题：可以判断对错的陈述句。对的命题称为：真命题；错的命题称为：假命题。*/ 例2 解不等式：13x x -+-＞4． 练习2化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）． 二、二次根式 10)a ≥的代数式叫做二次根式．其中，根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无 理式. 例如32a b . 212 x ++，22x y +等是有理式． 2、分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式， 等等． 一般地， b 与b 互为有理化因式． 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公 式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.比如， =-512 ； =-+11n n ；=++12x x . 3 a ==,0,,0.a a a a ≥??-

第一章数与式知识点归纳

第一章数与式知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第一章 数与式 一、数的分类 实数????? ??????????????????????????负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 或 实数???????????负无理数负有理数负零正无理数正有理数正实数实数 其中：有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小 数。 二、 数轴 （１）三要素：原点、正方向、单位长度。 （２）实数???→←一一对应 数轴上的点。 （３）利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。 三、 绝对值 （１）几何定义：数轴上，表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a 。 （２）代数定义：a ＝?????<-=>) 0()0(0 )0(a a a a a 四、 相反数、倒数 （１）a 、b 互为相反数?a ＋b ＝０（或a ＝－b ）； （２）a 、b 互为倒数?a ·b ＝１（或a ＝ b 1）。 五、几个非负数 （１）a ≥０； （２）a 2≥０； （３）a ≥０（a ≥０）。 （４）若几个非负数之和为０，则这几个非负数也分别为０． 六、 （１）a n 叫做a 的n 次幂，其中，a 叫底数，n 叫指数。

（２）若x 2＝a （a ≥０），则x 叫做a 的平方根，记做±a ；算术平方根记做a 。 （３）若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根，记做3a 。因此33)(a ＝a （４）算术平方根性质： ①（a ）2＝a （a ≥０）； ②2a ＝a ； ③b a ab =（a ≥０，b ≥０）； ④b a b a =（a ≥０，b ＞０）。 七、运算顺序： １． 同 级：左→右 ２． 不同级：高→低（先乘方和开方，再乘除，最后加减） ３． 有括号：里→外（先去小括号、再去中括号、最后去大括号） ④除法法则：a ÷b ＝ a × 或

数与式--知识点汇总

科目：数学 年级：初中 中考专题复习一 数与式 一、知识网络： 1、实数????????????????????数轴相反数有关概念绝对值倒数近似值及有效数字—科学记数法分类 2、实数的大小比较方法????????????????? 利用数轴直接法近似估计放缩法间接法分子有理化作商或作差比较 3、?→→?? 单项式：系数、次数代数式有理式整式多项式：次数、项数 4、????? 互 逆提取因式法整式乘法因式分解运用公式法分组解法 5、???????????????→?????→??????????????????????????整式概念有意义及值为０的条件有理式代数式分式基本性质约分运算通分分式混合运算无理式 6、n →→??→→??? 开平方平方根算术平方根乘方开方开立方立方根开次方

7 、 ?≥ ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? →=|| ? ?→ ? ? ? ? ? ? ? ?? a０） 最简二次根式 有关概念同类二次根式 互为有理化因式 分母有理化平方根二次根式a 运算化简求值 二、学习目标： 1．理解相反数、绝对值、有理数、无理数、数轴的意义，知道实数与数轴上的点一一对应. 2.掌握实数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）；理解实数的运算律，能运用实数的运算解决简单的问题. 3.了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值,会用科学记数法表示数. 4.在现实情境中理解用字母表示数的意义,能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.会求代数式的值，会进行简单的整式混合运算. 会推导乘法公式,了解公式的几何背景，并能进行简单计算. 5. 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）. 6. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算. 三、命题热点： 1. 实数的有关概念历来是中考考查的基本容，涉及相反数、绝对值、有理数、无理数、数轴等概念，多以填空、选择题的形式出现. 2. 灵活运用实数运算法则和运算律进行化简与混合运算是中考的常考容. 3. 科学记数法和近似数、有效数字往往以解决实际问题为背景，有较强的应用性，是近几年考查的热点. 4. 因式分解主要考查会用提公因式法、公式法进行分解，直接考查的题型以填空、选择为主. 5. 分式作为单独的知识进行考查，其难度在逐年下降，重点考查对分式概念的理解和基本运算. 四、考点扫描： 考点Ⅰ.实数 1、实数的分类：

第1讲 数与式的运算

专题一 数与式的运算 【巩固练习】 1. 1,4- 2.2 116 k m = 3.-3 4.x 5.2b - 6. 7. 提示：先做除法，后做减法，能约分的先要约分．答案：-1 8. 提示：先分式化简．答案：2 -． 9. 提示：先分式化简．答案： 1 1 a a +-． 10. 10．提示： 1=== ， 1= == ， > ． 答案：＜． 11.解：实数a 要满足条件22 101010a a a ?-≥?-≥??+≠? ，得1,0a b ==，所以1a b +=． 12.解： ∵2210x y += =+=， 1xy = =， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=?-=． 13.（1）证明：∵11(1)1 1(1)(1) n n n n n n n n +--==+++， ∴111 (1)1 n n n n =-++（其中n 是正整数）成立． （2）解：由（1）可知111 1223910 +++ ??? 11111(1)()()223910 =-+-++-1 110=-＝910． （3）证明：∵1112334(1)n n +++??+＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝11 21 n -+， 又n ≥2，且n 是正整数，∴1 n ＋1 一定为正数，

∴ 111 2334 (1) n n +++ ??+＜12 ． 14.解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1， 即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4． 解法二：如图，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知 点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4． 专题二 因式分解 【巩固练习】 1. 1000； 2.()32 a b -； 3.(2)(29)x x --； 4. (x －1) (y+1)； 5. -6；6.(4)(23)x y x y ++； 7.1 6(23)n n n x y x y - --； 8. (11x x +-++； 9. 2； 10.1,a ； 11.（1）2 21112(23)(4)x x x x -+=--； （2）2 8107(21)(47)x x x x +-= -+； （ 3）2 23(2x x x --=+-；（4）2 576(21)(35)x x x x +-=-+- 12. (1)22 4146(21)(26) 273(21)(3)22 x x x x x x x x ++++++= ==++; (2)2 835(1)(85)y y y y +-=+-; (3)2 2 52310(5)(52)x y xy xy xy +-=+-; (4) 3 2 3 2 2 2 2312()(1)(1)(21)x x x x x x x x -+=---=---=)12()1(2 +-x x 1 A 0 C |x －1| |x －3|