等差、等比数列的判断与证明(培优班)第三讲

等差、等比数列的判断与证明（培优班）

姓名

学习目标：

1、 掌握等差、等比数列的判断方法

2、 会用定义法证明等差、等比数列

知识回顾：

一、判断或证明等差数列的方法

定义法：a n +1-a n =d 等差中项法：2a n +1=a n +a n +2

通项公式法：a n =kn +b (一次函数，其中k 等于公差)

前n 项和公式法：S n =An 2+Bn

(没有常数项的二次函数，其中A 等于公差一半)

二、判断或证明等差、等比数列的方法 定义法：)0(1+a n 等比中项法：0221≠?=++n n n n a a a a 且 q n ) 前n 项和公式法：S n =A q n -A(q ≠1)

{}{}{}.)2(;,)1(.*),1(31,.2.,21)2(;1:)1.(*),2)((,33)(.12110011是等比数列求证：数列

求项和为的前已知数列例求时当是等差数列求证确定的通项由数列已知函数例n n n n n n n n n a a a N n a S S n a x x x N n n x f x x x x x f ∈-==??????∈≥=+=-

.,,:,1,,,)2(;,,:,0,,)1(0

log )(log )(log )(.4成等差数列求证公比不为依次成等比数列

若正数成等比数列求证不为依次成等差数列且公差

若已知、例c b a z y x z y x c b a z b a y a c x c b m m m =-+-+-{}{}{}{}..

)2()1(.,2,1,0:,.311221的通项公式求是等比数列；求证：满足下列条件数列例n n n n n n n n n n b b a a b a a a a a b a -=+===+++

数列求通项

学习目标：

1、 掌握方法

2、 会用定义法证明等差、等比数列

知识回顾：

知识应用：

()()()成等比取对数：类型的形式待定系数：类型类型得两边同除以：类型的形式待定系数：类型为构造新数列：递推关系关系为累乘（逐商）法：递推关系为累加（逐差）法：递推；比数列定义与通项公式公式法：运用等差、等由递推关系求通项二、、得递推关系得；类型：方法求由一、p a k p a p a p a xa a y xa a qa pa a q c q a q p q a q q c pa a x a p x a q pa a n f a a n f a a a f S a n f S n S S n S a a S n n k

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +=++=++=++=→+=?+=+=++=?=+=???→=→=???≥-==+++++++++++++++-ln ln 4)(312)(1:)4()()3()()2()1(..)()2()()1()2()1(:..11112121111111111{}{}{}.)2(;)1(*),(9log ),2(3,12..,)1(1,211311111n n n n n n n n n n n n n n b a N n a S n b n a a a a a n n a a a a 求求项和前的数列中，、例求中，、例∈??

? ??=≥==++==--+

课后检测：

{}n n n n n n n n a a a a a a a a a a a 求满足数列例求已知例,3235,35,1.5,32,3.3122111-===+==+++.),2(122,1,}.{3.,2,1.12111n n n n n n

n n n S n S S a a a a n a a a 求中求已知≥-==-=-=+{}..

,1,3,10,1,0,.6231221n n n n n n a a a a n a a a a 求时中数列例=≥==>---{}n n n n n a a a a a 求为常数满足数列例,23,.4110---={}.,2

131,65.2111n n n n n a a a a a 求）（中，+++==

高三数学公开课教案,等差数列的证明与判定

等差数列及其前n 项和（二） 什邡中学数学组 廖美 重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1） 求证：数列{}n b 是等差数列； （2） 求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.

训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+， 则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .

等差等比数列的证明例举

等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S k q k =-（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+（等差） 2 12n n n a a a ++=?（等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列

考点1 等差数列的判定与证明

考点2 等差数列的判定与证明 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥． 2.等差数列的通项公式 已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求n a ． 由等差数列的定义：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，…… ∴21a a d =+，3212a a d a d =+=+，413a a d =+，…… 所以，该等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-． 3.等差中项 若a ，b ，c 三个数按这个顺序排列成等差数列，那么b 叫a ，c 的等差中项 4.等差数列的前n 项和公式 2)(1n n a a n S += 2)1(1d n n na S n -+= 公式二又可化成式子： n )2d a (n 2d S 12n -+= ，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 5. 性质： 等差数列{an}中，公差为d ， 若d ＞0，则{an}是递增数列； 若d=0，则{an}是常数列； 若d ＜0，则{an}是递减数列． {}（）是等差数列，若1a m n p q n +=+ ?+=+a a a a m n p q ?+=+==+--+a a a a a a n n r n r 1211… （）若，，成等差数列，，，也成等差数列。2p q r a a a p q r {}（）公差为的等差数列中，其子系列，，，…也32d a a a a m N n k k m k m ++∈() 成等差数列，且公差为md 。 {}（）公差为的等差数列中，连续相同个数的项的和也成等差数列，4d a n 即，，，…也成等差数列，其公差为。S S S S S m d m m m m m 2322-- 6. 充要条件的证明：

证明或判断等差(等比)数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来． 一、利用等差（等比）数列的定义 在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如： 例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数 ， 记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…． （Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113 2416 a a a ==+， 所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，， 猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ， 所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法 证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。 一、 定义法 01.证明数列是等差数列的充要条件的方法： {}1()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}2222()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 02.证明数列是等差数列的充分条件的方法： {}1(2)n n n a a a d n --=≥?是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥?是等差数列 03.证明数列是等比数列的充要条件的方法： {}1 (00)n n n a q q a a +=≠≠?1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法： 1 n n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ?为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有 1 n n a q a -== （常数0≠）；②

n *∈N 时，有 1 n n a q a +== （常数0≠） ． 例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。 证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有 1223111 111n n n n a a a a a a a a +++++= 。 证明：先证必要性 设{}n a 为等差数列，公差为d ，则 当d =0时，显然命题成立 当d ≠0时， ∵ 111111n n n n a a d a a ++?? =- ??? 再证充分性： ∵ 122334 111 a a a a a a ++???1111n n n n a a a a ++++= ?? ………① ∴ 122334 111 a a a a a a ++???11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++= ??? ………② ②﹣①得： 121211 11n n n n n n a a a a a a +++++=- ??? 两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+ 即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列 例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是

等差、等比数列证明(补差1)

1. 等差、等比数列证明 例 1：已知数列前n 项和n s n n 22 +=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。 解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]121222 1-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。 例2： 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。 （1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设n n n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列； 证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。 （2）,232,23111 -+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321 22122111111 1=??=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21 21 1==a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为43 的等差数列。

例3：设数列{}n a 的前n 项的和() +∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。 解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ()()()[] 12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列 432,,a a a 是等差数列。 注：由于212-=-a a ，故21=-+n n a a 不对任意N n ∈成立，因此，数列{}n a 不是等差数列。 例4：设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--，求证{}n a 为等比数列。 证明如下：3≥n 时： ()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+--- 两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即：()03231=+--n n a t ta 所以：t t a a n n 3321+=- （这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。） 又因为2=n 时： ()t s t ts 332312=+-

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）

证明数列是等差或等比数列的方法

一、证明或判断数列为等差数列的方法 1.定义法 在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列 例：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，3 21=a ，且满足2 11322++=+n n n a S S （*N n ∈） 证明：数列{}n a 是等差数列 证明：由2 11322++=+n n n a S S 得2 1132)(2++=++n n n n a S a S 整理得12 1234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=- 两式相减得n n n n n a a a a a 2233412 2 1+--=++ n n n n a a a a 2233122 1+=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a 所以()231=-+n n a a ，即3 21=-+n n a a 所以{}n a 是首项为32，公差为3 2 的等差数列 2.等差中项法 212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列 例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A 、B 为常数 （1）求A 与B 的值 （2）证明数列{}n a 是等差数列 解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231718S S S ===，， 把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851 得B A +=?-?-1773 B A +=?-?2712182 解得：20-=A ，8-=B （2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n 整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n

等差、等比数列证明的几种情况

等差、等比数列证明的几种情况 在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d ，则这个数列叫等差数列，常数d 称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q ，则这个数列叫等比数列，常数q 称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。 1、简单的证明 例 ：已知数列前n 项和n s n n 22+=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。 解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]1212221-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。 2、数列的通项经过适当的变形后的证明 例： 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。 （1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设n n n a c 2= ，求证：数列{}n c 是等差数列；

证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。 （2）,232,23111-+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321221221 1 11111=??=-=-= -∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又2 1 211== a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为4 3 的等差数列。 3、证明一个数列的部分是等差（等比）数列 例3：设数列{}n a 的前n 项的和()+∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。 解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ( )()()[] 124121422 21+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n

第52炼 证明等差等比数列

第52炼 等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a k n m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2 n S A n B n =+（等差），n n S k q k =- （等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+ （等差） 2 12n n n a a a ++=? （等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a * += = ∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1n a 这 样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：11 312121 3n n n n n n a a a a a a +++= ? = + 即 1 1213 3n n a a += + ，在考虑构造“1-”： 1 12 1 11111333 n n n a a a +??-= +-= - ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列

(完整版)等差等比数列知识点总结

等差等比数列知识点总结 1. 等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即 a n a n 1 d （d为常数）（n 2）； 2. 等差中项： 1）如果a ， A ，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中 项．即： 或2A a b 3. 等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列 a n 的首项是a1 ，公差是 d ，可以得到等差数列的通 项公式为： a n a1 n 1d 推广：a n a m(n m)d ．a n a m 从而 d ； nm 4．等差数列的前n 项和公式： n（a1 a n）n（n 1） d 2 1 2 S n na1 d n （a1 d）n An Bn 2 2 2 2 （其中A、B是常数，所以当d≠ 0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d（常数n N ）a n 是等差数列．（2）等差中项：数列a n是等差数列 2a n a n-1 a n 1(n 2)2a n 1a n a n 2 ． （3）数列a n 是等差数 列a n kn b （其中k,b 是常数）。 （4）数列a n 是等差数 列S n An2Bn, （其中A、B是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若a n a n 1 d 或 a n1a n d （常数n N ）a n 是等差数列． ab 2 2）等差中项数列a n是等数列2a n a n-1 a n 1(n 2) 2a n 1 a n a n 2

等差数列与等比数列的证明

3.2.3 证明数列是等差、等比数列 证明一个数列是等差数列或者等比数列是高考的常考题型，是近几年出现的 高频考点。证明一个数列是等差数列的方法有（1）定义法： 1()n n a a d n N ++-=∈，其中d 为常数；则数列}{n a 是等差数列（2）等差中项法：112(2)n n n a a a n -+=+≥，则数列}{n a 是等差数列；（3）通项公式法：若一个数列的通项公式为n a qn p =+，其中,p q 则数列}{n a 是等差数列。 证明一个数列是等比数列的方法：（1）定义法：1(0)n n a q q a +=≠其中q 为常数，则数列}{n a 为等比数列（2）定比中项法：211n n n a a a +-=(2)n ≥，则数列}{n a 为等比数列。 例1、数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式. 解：2122n n n a a a ++=-+Q ，2112n n n n a a a a +++∴-=-+，即112,2n n n n b b b b ++=+∴-= 1211b a a =-=，1(1)221n b n n ∴=+-?=- （2）1213221,1,3n n n a a b n a a a a +-==-∴-=-=Q 1...23n n a a n --=- 21(1)n a a n ∴-=-，222n a n n ∴=-+ 例2、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，111,0,1,n n n n a a a a S λ+=≠=-其中λ为常数 （1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得}{n a 为等差并说明理由 解：1121(1)1,(2)1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-Q ，(2)(1)∴-得：121()n n n n a a a a λ+++-=

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法 高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？ 证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。 一、定义法 10.证明数列是等差数列的充要条件的方法： a n 1 a n d （常数）a n 是等差数列 a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列 a sn 3 a 3n d （常数） a 3n 是等差数列 20 .证明数列是等差数列的充分条件的方法： a n a n [ d （n 2） 為是等差数列 a n 1 a n a n a n 1（n 2） 寺是等差数列 30.证明数列是等比数列的充要条件的方法： q （q 0且为常数，a 1 0） a n 为等比数列 a n 40 .证明数列是等比数列的充要条件的方法： a n a n 1 必须加上“ n > 2”否则n 1时a o 无意义，等比中一样有: （常数0 ）；②门N 时，有也 a n 1 n 。 a n a n 1 a 1a n 1 证明：先证必要性 注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n 1 d 和a 1 a n d 有差别，前者 例1.设数列a i ,a 2, |||,an,|||中的每一项都不为 0。 证明：a n 为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N ，都有 a n q （n>2, q 为常数且工0） a n 为等比数列 n > 2时，有旦 a n 1 a i a 2 a 2a 3

设｛a n｝为等差数列，公差为d,则

当d =0时，显然命题成立 1 1 ________ 1_ a i a n 1 d a n a n 1 再证充分性: ②-①得: 1 a n 1 S n 2 Si a n 2 a 1 a n 同理：a 1 na n (n 1)a n 1 例2.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，试证｛a n ｝为等差数列的充要条件是 证：）若｛a n ｝为等差数列，则 1 "fl 1 —■ 1 十 I -------- 21幻丿也aj 1 a 日引 fl + — I L 祗 ^IH-1 fl. a i a 2 a ? a 3 a 3 a 4 1 a n a n 1 n a l a n 1 a 1 a 2 a 2 a 3 1 a 3 a 4 1 a n a n 1 1 S n 1 S n 2 a 1 41 2 两边同以a n a n 131 得: (n 1)a n 1 na ③—④得：2n a n 1 n(a n a n 2) 艮卩.a n 2 a n1 a n1 a n a n 为等差数列 S n n(a1 2 ^, (n N *)。

等差数列的判断方法

等差数列的判断方法 徐福贵 （吉林省东辽县职业高中） 我们虽然知道什么是等差数列，但对于等差数列的判断还没有很好的方法。本人根据多年教学实践总结出了一系列等差数列的判断方法，对于等差数列又有了更深的认识。 定理1 已知数列{ a}的通项n a，若n a－1n a-的差是一个与n 无关 n 的常数，则数列{ a}为等差数列（证明略） n 推论1 若数列{ a}的通项n a为常数，则{n a}为等差数列，且公差 n 为0。（证明略）。 推论2数列{ a}的通项n a是关于项数n的一次函数，则数列{n a} n 是等差数列，且公差为一次项的系数（证明略） 定理2 若{ a}的通项n a既不是常数，也不是关于项数n的一次函 n 数，则数列{ a}不是等差数列（证明略） n 定理3 已知数列{ a}的前n项和n S为0 ，则数列{n a}为等差数 n 列 证明 数列{ a}的前n项和n S为0， n ∴此数列为0,0, 0，---, 0,---， ∴数列{ a}为等差数列。 n 定理4 已知数列{ a}的前n项和n S，若n S是关于项数n的一次函 n 数，且常数项为0，则数列{ a}是等差数列，且公差为0。 n 证明： S是关于项数n的一次函数，且常数项为0，设n S＝An n （A为常数，且A≠0）

∴当n ≥2时，n a ＝n S －1n S -=An －A(n －1)=A, ∴n a －1n a -=0（n ≥2） 又1a ＝1S =A, 2212a S S A A A =-=-=, ∴2110()n n a a a a n N -+-=-=∈ ∴数列{n a }是等差数列，且公差为0。 定理5 已知数列{n a }的前n 项和n S ，若n S 是关于项数n 的二次函数，且常数项为0，则数列{n a }是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。 证明： n S 是关于项数n 的二次函数，且常数项为0，设 2(0n S An Bn A =+≠）。 当n ≥2时，n a ＝n S －1n S - ＝Ａ2n +Bn －Ａ(n －１)2－Ｂ（n －１） ＝２Ａn+B －Ａ( n ≥2) ∴2...n a a a ３ ，，...，，为等差数列，公差为２A 。 又1a ＝1S ＝Ａ+Ｂ，221a S S =- =４Ａ+２Ｂ－Ａ－Ｂ =３Ａ+Ｂ 212a a A -=。∴数列{n a }是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。 定理６ 若数列{n a }的前n 项和n S ≠０，且n S 既不是关于项数n 的一次函数，也不是关于项数n 的二次函数，则数列{n a }不是等差数列（证明略）

一轮复习等差等比数列证明练习题

1．已知数列{}n a 是首项为114 a =，公比1 4q = 的等比数列，2n b +=14 3log n a (*)n N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =?． （1）求证：{}n b 是等差数列； 2．数列{}n a 满足2 112,66()n n n a a a a n N *+==++∈， 设 5log (3) n n c a =+． （Ⅰ）求证： {}n c 是等比数列； 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+*()n N ∈． （2）求证：数列{}2n S +是等比数列； 4．数列}{n a 满足)(2 2,111 1+++∈+==N n a a a a n n n n n （1）证明:数列}2{n n a 是等差数列； 5．数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足2 2 (2)21 n n n S a n S =≥- （1）求证：数列1n S ?? ? ??? 是等差数列 6．数列{n a }满足13a =，12 1 n n a a += +， （1）求证：1 { }2 n n a a -+成等比数列； 7．已知数列}{n a 满足134n n a a +=+，* ()n N ∈且11=a ， （Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；

8． 数列}{n a 满足:* 11),1()1(,1N n n n a n a n a n n ∈+?+?+=?=+ （1）证明：数列}{ n a n 是等差数列； 9．已知数列{a n }的首项a 1= 2 3 ，121n n n a a a +=+，n=1，2，… （1）证明：数列11n a ?? -? ??? 是等比数列； 10．已知数列{a }n 的前n 项和为n S ，211 ,(1),1,2,2 n n a S n a n n n ==--=． （1）证明：数列1n n S n +?? ? ??? 是等差数列，并求n S ； 11．（16分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n a S n n -=2 （1）证明：{}1+n a 为等比数列； 12．数列}{n a 满足：)(23,3,21221*∈-===++N n a a a a a n n n （1）记n n n a a d -=+1，求证：数列}{n d 是等比数列； 13．已知数列{}n a 的相邻两项n a ，1n a +是关于x 方程220n n x x b -+=的两根，且11a =． （1）求证：数列1{2}3 n n a -?是等比数列； 14．（本题满分12分）已知数列{}n a 中，15a =且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）． （Ⅰ）证明：数列12n n a -?? ???? 为等差数列； 15．已知数列{}n a 中,)(3 ,1*11N n a a a a n n n ∈+= =+ （1）求证:? ?? ?? ?+211n a 是等比数列,并求{}n a 的通项公式n a ; 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n * ∈N ．已知11a =，232a = ，35 4 a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；

证明数列是等差或等比数列的方法

、证明或判断数列为等差数列的方法 1.定义法 若a n a n 1 d ( d 为常数)，则数列a n 为等差数列 所以3 a n 1 a n 2 ，即 a n 1 a n 2 2 a n 是首项为一，公差为一的等差数列 3 3 2. 等差中项法 1，a 2 6，a s 11，所以 S , 1, S 2 7，S 3 18 把 n 1, n 2分别代入 5n 8 S n 1 5n 2 S n An B 得 3 7 7 1 A B 2 18 12 7 2A B 解得：A 20, B 8 (2)由(1)知 5n 8 S n 1 5n 2 S n 20n 8 整理得 5n S n 1 S n 8S n 1 2S n 20n 8 例：已知正项数列 a n 的前n 项和为S n ，a 1 -，且满足 2S n 3 2 1 2S n 3a n 1( n N *) 证明：数列 a n 是等差数列 证明：由2S n 1 2S n 3a n 1 得 2(S n a n 1) 2S n 3a n 整理得4S n 3a n 2a n 1 则4S n 2 1 3a n 2a n 两式相减得 4a n 3a n 3a n 2 2a n 1 2a n 3a “ 1 3a 2a n 1 2a n 因为a n 是正项数列，所以 a n a n 1 a n a n 2 2a n 1 {a n }是等差数列 例：设数列 a n 的前n 项和为S n ，已知a 1 1，a 2 a 3 11，且 (5n 8)S n 1 (5n 2)S n An B, n 1,2,3,L ，其中 A 、 B 为常数 (1)求A 与B 的值 (2)证明数列a n 是等差数列 在数列a n 中, 所以 解：(1)因为a 1

高考数学专题05 等差数列和等比数列的证明问题(第二篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第二篇 数列与不等式 专题05 等差数列和等比数列的证明问题 【典例1】【2020届广东省中山市高三上学期期末】 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+. （1）证明{}1n a +为等比数列； （2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由. 【思路引导】 （1）由递推关系求得1a ，通过计算 11 21 n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列. 解：（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =， 由题意得10n a +≠， 1122 211 n n n n a a a a +++==++， ∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）12n n a +=，∴21n n a =-.

∴1 1222212 n n n S n n ++-=-=---， ∴()1 22 22210n n n n n S a n n ++-=+----=， ∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列. 【典例2】【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合】 已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且222 13,2n n n S n a S n -=+≥． （1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【思路引导】 （1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，2 1()3(1)n n S S n ++=+，再求出1=6n 3n n a a +++，再证明数列 {}1n n a a ++为等差数列； （2）对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解. 解：（1）当2n ≥时，222 21113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠， 所以21()3n n S S n -+=，2 1()3(1)n n S S n ++=+， 两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+， 所以 11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（ 又n=2时，2 222(3+)129,6a a a =+∴= 所以39a =， 所以 2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(， 所以数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）当n 为偶数时， 12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++-L L 2(321)3 23() 22 n n n n +-=?=+ 当n 为奇数时，

判定等差数列的几种方法

判定等差数列的几种方法 浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙 经常有一类题目，我们必须先判断是何种数列，然后利用此类数列的性质进行解题，其中等差数列是我们最主要的数列之一，因此，我们应该掌握如何判断一个数列是否是等差数列，判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法： 1．定义法：d a a n n =-+1（常数）（+∈N n ）}{n a ?是等差数列。 2．递推法：212+++=n n n a a a （+∈N n ）}{n a ?是等差数列。 3．性质法：利用性质来判断。 4．通项法：q pn a n +=（ q p ,为常数）}{n a ?是等差数列。 5．求和法：Bn An S n +=2（B A ,为常数，n S 为}{n a 的前n 项的和）}{n a ?是等差数列。 其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。 例1：已知a 1，b 1，c 1成等差数列，则a c b +，b c a +，c b a +是否也成等差数列？并说明你的理由。 解1：∵a 1，b 1，c 1成等差数列，∴b c a 211=+，即)(2c a b ac += ∴b c a c a b c a ac c a b c a ac b a a c b c c b a a c b )(2)()(2)()()(222+=++=+++=+++=+++ ∴a c b +，b c a +，c b a +也是等差数列。 解2：∵ a 1， b 1， c 1成等差数列，∴a c b a ++，b c b a ++，c c b a ++也成等差数列， 即1++a c b ，1++b c a ，1++c b a 也是等差数列，故a c b +，b c a +，c b a +也是等差数列。 评析：上面的解法1是利用递推法，解法2是利用性质来判断。 例2：设数列}{n a 中，11=a ，且1 222-=n n n S S a （2≥n ），证明数列}1{n S 是等差数列，并求n S 。 解：由已知1222 1-=--n n n n S S S S ，去分母得212))(12(n n n n S S S S =---，112--=-n n n n S S S S ，两边同除以1-n n S S ，得2111=--n n S S ，∴}1{n S 是以11111==a S 为首项，以2为公差的等差数列，故 122)1(111 -=?-+=n n S S n （2≥n ）。