解析几何(2) 双曲线(含答案)
第6课时 双曲线
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
【梳理自测】
一、双曲线的概念
已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是________．
答案：x 2
9－y
2
7＝1(x≥3)
◆此题主要考查了以下内容：
平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P ＝{M||MF 1|－|MF 2||＝2a}，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0； (1)当2a ＜2c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝2c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞2c 时，P 点不存在． 二、双曲线标准方程及性质
1．(教材改编)双曲线x 2
10－y
2
2
＝1的焦距为( )
A ．3 2
B ．4 2
C ．3 3
D ．4 3
2．双曲线y 2
－x 2
＝2的渐近线方程是( )
A ．y ＝±x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±2x
3．已知双曲线x 2
a 2－y
2
5
＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )
A .
31414 B .32
4 C .32
D .43
4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________．
答案：1.D 2.A 3.C 4.－1 4
◆此题主要考查了以下内容：
考向一双曲线的定义及标准方程
(1)(2014·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为( ) A．19 B．26
C．43 D．50
(2)已知双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)和椭圆
x2
16
＋
y2
9
＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
【审题视点】(1)利用双曲线定义|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周长的计算求解．
(2)已知双曲线的焦点及离心率求双曲线方程．
【典例精讲】(1)如图，由双曲线的定义
可得?
????|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，
将两式相加得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ|＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ| ＝4a ＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.
(2)椭圆x 2
16＋y 2
9＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝7
4.由于双
曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1与椭圆x 2
16＋y 2
9
＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2
＝7.
又双曲线的离心率e ＝a 2
＋b 2
a ＝7a ，所以7a ＝274，
所以a ＝2，b 2
＝c 2
－a 2
＝3，故双曲线的方程为x 2
4－y
2
3
＝1.
【答案】 (1)B (2)x 24－y
2
3
＝1
【类题通法】 (1)涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题时，经常考虑双曲线的定义． (2)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2
m －y
2
n ＝1(mn ＞0)，
这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2
＋By 2
＝1(AB ＜0)，这种形式在解题时更简便；
(3)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2
－a 2y 2
＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；
(4)与双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2
a 2－y
2
b 2＝λ(λ≠0)，据其他
条件确定λ的值．
1．根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线x 2
9－y
2
16＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；
(2)与双曲线x 2
16－y
2
4＝1有公共焦点，且过点(32，2)．
解析：(1)设所求双曲线方程为x 2
9－y
2
16
＝λ(λ≠0)，
将点(－3，23)代入得λ＝1
4，
∴所求双曲线方程为x 2
9－y 2
16＝1
4，
即x 2
94
－y
2
4＝1. (2)设双曲线方程为x 2
16－k －y
2
4＋k ＝1，
将点(32，2)代入得k ＝4(k ＝－14舍去)． ∴所求双曲线方程为x 2
12－y
2
8
＝1.
考向二 双曲线的性质及应用
(1)(2014·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2
a 2－y
2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，
F 2是其焦点，双曲线的离心率是54
，且PF 1→·PF 2→
＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
(2)F 1、F 2分别是双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线
的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A ．2
B .7
C .13
D .15
【审题视点】 (1)利用PF 1→ ·PF 2→
＝0及e ＝54转化为a ，b 的方程组．
(2)利用双曲线定义及余弦定理求a 与c 的关系． 【典例精讲】 (1)由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→
，
设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2
，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54
，解得
?
????a ＝4，
c ＝5， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C . (2)如图，由双曲线定义得，
|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120
°，
在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12
＝28a 2
，所以e ＝7，故选B .
【答案】 (1)C (2)B
【类题通法】 (1)求双曲线的离心率，就是求c 与a 的比值，一般不需要具体求出a ，c 的值，只需列出关于a ，b ，c 的方程或不等式解决即可．
(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．
2．(2014·济南模拟)过双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂
线，若垂足恰在线段OF(O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率
为________．
解析：如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM⊥OF 于M.由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知|PF|2
＝|FM||FO|，又F(c ，0)，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|PF|＝bc
b 2＋a
2
＝b ，∴b 2
＝c 2·c ，即2b 2＝c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2
，∴e ＝c a ＝ 1＋b
2
a
2＝ 2.
答案： 2
考向三 直线与双曲线的综合应用
已知双曲线C ：x 2
a
2－y 2
＝1(a ＞0)与l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，l
与y 轴交于点P ，若PA →＝512
PB →
，则a ＝________．
【审题视点】 联立方程组，利用P 、A 、B 坐标之间的关系，建立a 的方程． 【典例精讲】 因为双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，故知方程组?????x 2
a
2－y 2＝1，
x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理，得(1－a 2
)x 2
＋2a 2
x －2a 2
＝0，实数a 应满足
?????a ＞0，1－a 2
≠0，
4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 解得0＜a ＜2且a≠1. 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)， 由一元二次方程根与系数的关系， 得x 1＋x 2＝2a
2
a 2－1
，①
x 1x 2＝2a
2
a 2－1，②
又P(0，1)，
由PA →＝512PB →
，得(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，
从而x 1＝
5
12
x 2，③ 由①③，解得?
????x 1＝517·2a 2
a 2－1
，
x 2＝1217·2a 2
a 2
－1
代入②， 得517×1217×? ????2a 2
a 2－12＝2a 2
a 2－1
， 即2a 2
a 2－1＝28960，解得a ＝1713，? ??
??a ＝－1713舍去. 【答案】
17
13
【类题通法】 (1)判断直线l 与双曲线E 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入双曲线E 的方程F(x ，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个
关于变量x(或变量y)的一元方程．即?????Ax ＋By ＋C ＝0F （x ，y ）＝0，
消去y 后得ax 2
＋bx ＋c ＝0.由此转
化为两点坐标的关系．
(2)特殊情况考虑与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系，数形结合求解．
3．已知点A(－2，0)，点B(2，0)，且动点P 满足|PA|－|PB|＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点的充要条件为k∈________．
解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2
－a 2
＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2
－y 2
＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x.若P 点的轨迹与直线y ＝k(x －2)有两个交点，则需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪ (1，＋∞)
双曲线与渐近线的关系不清致误
(2014·浙江温州适应性测试)已知F 1，F 2为双曲线Ax 2
－By 2
＝1的焦点，其顶
点是线段F 1F 2的三等分点，则其渐近线的方程为( )
A ．y ＝±22x
B ．y ＝±
2
4
x
C ．y ＝±x
D ．y ＝±22x 或y ＝±
24
x 【正解】 依题意c ＝3a ，∴c 2
＝9a 2
.又c 2
＝a 2
＋b 2
， ∴b 2
a 2＝8，
b a ＝22，a b ＝2
4.故选D . 【答案】 D
【易错点】 (1)默认为双曲线焦点在x 轴其渐近线为y ＝±b
a x ，而错选为A .
(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为C .
(3)把a ，b ，c 的关系与椭圆c 2
＝a 2
－b 2
混淆致错．
【警示】 (1)对于方程x 2
a 2－y 2
b 2＝1来说，求渐近线方程就相当于求b
a 的值，但要分焦点
的位置是在x 轴还是在y 轴上，此题没有给出焦点的位置，其渐近线斜率有四种情况．
(2)渐近线为y ＝±b a x 所对应的双曲线为x 2
a 2－y
2
b 2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，表示焦点在
x 轴上，当λ＜0时，焦点在y 轴上．
1．(2013·高考福建卷)双曲线x 2
4
－y 2
＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A .25
B .45
C .
255 D .45
5
解析：选C .求出双曲线的顶点和渐近线，再利用距离公式求解．
双曲线的渐近线为直线y ＝±1
2x ，即x±2y ＝0，顶点为(±2，0)，∴所求距离为d ＝
|±2±0|
5
＝25
5
. 2．(2013·高考广东卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3，0)，离心率等于3
2，
则C 的方程是( )
A .x 2
4－y 2
5＝1 B .x 2
4－y
2
5＝1 C .x 2
2－y 2
5＝1 D .x 2
2－y
2
5
＝1 解析：选B .求双曲线的标准方程需要确定焦点位置及参数a ，b 的值．
右焦点为F(3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝3
2，故
a ＝2，
b 2
＝c 2
－a 2
＝32
－22
＝5，故C 的方程为x 2
4－y
2
5
＝1，选B .
3．(2013·高考北京卷)双曲线x 2
－y
2
m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )
A ．m ＞12
B ．m ≥1
C ．m ＞1
D ．m ＞2
解析：选C .用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．
∵双曲线x 2
－y
2
m
＝1的离心率e ＝1＋m ，
又∵e ＞2，∴1＋m ＞2，∴m ＞1.
4．(2013·高考湖北卷)已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2
cos 2θ－y 2
sin 2θ＝1与C 2：y
2
sin 2
θ－
x
2
sin 2θtan 2θ
＝1的( )
A ．实轴长相等
B ．虚轴长相等
C ．焦距相等
D ．离心率相等
解析：选D .先根据θ的范围，确定双曲线方程的类型，判断焦点所在的坐标轴，然后分析双曲线C 1和C 2的实轴长、虚轴长、焦距、离心率是否相等．
双曲线C 1的焦点在x 轴上，a ＝cos θ，b ＝sin θ，c ＝1，因此离心率e 1＝1
cos θ
；
双曲线C 2的焦点在y 轴上，由于0<θ<
π
4
，所以a ＝sin θ，b ＝sin θtan θ，c ＝
sin 2
θ＋sin 2
θtan 2
θ，因此离心率e 2＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin θ＝sin θ1＋tan 2θ
sin θ
＝
1
cos θ
. 故两条双曲线的实轴长、虚轴长、焦距都不相等，离心率相等
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高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
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数学必修二第二章解析几何初步 宝鸡铁一中 王芳芳 2010.11 一、选择题： 1.x 轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是（C ） A ．2 B ．22+ C ．10 D ．15+ 2.点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（B ） A ．（-6，8） B ．（-6，-8） C ．（-8，-6） D ．（6，8） 3.直线 032=+-y x l ： 关于x y -=，对称的直线方程是（C ） A ．032=+-y x B ．032=-+x y C ．032=--y x D ．032=--y x 4.过点P （2，1），且倾斜角是直线l ：01=--y x 的倾斜角的两倍的直线方程为（B ） A ．012=--y x B ．2=x C ．)2(21-=-x y D ．012=--y x 5.以点A （-5，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（C ） A ．25)4()5(22=-++y x B ．16)4()5(22=++-y x C ．16)4()5(22=-++y x D ． 25)4()5(22=++-y x 6.一条直线过点P （-3，23 -），且圆 252 2=+y x 的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（C ） A ．3-=x B ． 23 3- =-=y x 或 C ．015433=++-=y x x 或 D ．01543=++y x
7.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（B ） A ．4)1()3(22=++-y x B ．4)1()1(2 2=-+-y x C ．4)1()3(22=-++y x D ． 4)1()1(22=+++y x 8.已知圆C ：4)2()(2 2=-+-y a x （0 a ），有直线l ：03=+-y x ，当 直线l 被圆C 截得弦长为32时，a 等于（A ） A ．12- B ．2-2 C ．2 D ．12+ 9.直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈==--+--，所经过的定点是（B ） A ．（5，2） B ．（2，3） C ．（－21 ，3） D ．(5，9) 10.若直线12++=k kx y 与直线2 21 +-=x y 的交点位于第一象限，则实数k 的 取值范围是（C ） A ．26-- k B ．0 61 k - C ．061 k - D ． 21 k 11.三条直线 155,02,0321=--=-+=-ky x l y x l y x l ：：：构成一个三角形， 则k 的范围是（C ） A ．R k ∈ B ．R k ∈且0,1≠±≠k k C ．R k ∈且10,5-≠±≠k k
专题九 解析几何第二十六讲 双曲线
专题九 解析几何 第二十六讲 双曲线 一、选择题 1．(2018浙江)双曲线2 213 x y -=的焦点坐标是 A ．(， B ．(2,0)-，(2,0) C ．(0,， D ．(0,2)-，(0,2) 2．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22 221(0,0)-=>>x y a b a b A ．=y B ．=y C ．=y x D ．=y x 3．(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 A B ．2 C ．2 D ． 4．(2018天津)已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A ．22139x y -= B ．22193x y -= C ．221412x y -= D ．22 1124 x y -= 5．（2017新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：2 2 13y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)．则APF ?的面积为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 6．（2017新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2 221x y a -=的离心率的取值范围是
A ．)+∞ B ．2) C ． D ．(1,2) 7．（2017天津）已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213x y -= D ．2 213 y x -= 8．（2016天津）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为 A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．15 320322=-y x D ．1203532 2=-y x 9．（2015湖南）若双曲线22 221x y a b -=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为 A B ．54 C ．43 D ．53 10．（2015四川）过双曲线2 213 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝ A ．3 B ． C ．6 D ． 11．（2015重庆）设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为 A ．12 B ．22 C ．1 D ．2
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章(同名3095)
第三章 平面与空间直线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： ?? ? ??++-=-=--=v u z u y v u x 212123 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： ?? ? ??+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： ?? ? ??+-=+=--=v u z u y v u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?
【高考精品复习】第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【高考会这样考】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 基础梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即??? Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0， 消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
高中数学 第二章 解析几何初步 章末复习
解析几何初步章末复习 知识网络构建 高频考点例析 考点一直线的方程 例1直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程． [解]解法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0， 故设直线l的方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a ＝1(a≠0)， 当直线l的方程为x a ＋y a ＝1时， 把P(8,6)代入得8 a ＋6 a ＝1，解得a＝14， ∴直线l的方程为x＋y－14＝0； 当直线l的方程为x a ＋y －a ＝1时，
把P (8,6)代入得8a －6 a ＝1，解得a ＝2， ∴直线l 的方程为x －y －2＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 解法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b k . ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝??????－b k . ∵b ≠0，∴k ＝±1. 当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 即x －y －2＝0； 当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 类题通法 常用待定系数法求直线方程 求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．
高中数学解析几何双曲线性质与定义
双曲线 双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。 双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义 一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。 取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。 设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。 将这个方程移项，两边平方得： 两边再平方，整理得：()() 22222222a c a y a x a c -=-- 由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得： 双曲线的标准方程：122 22=-b y a x 两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。坐标轴上 的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。 实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，
②双曲线的第二定义 与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：122 22=-b y a x ，我们将222b a c +=代入， 可得：()a c c a x c x y =± ±+2 2 所以有：双曲线的第二定义可描述为： 平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (c a x 2 ±=)的距离之比为 常数()0c e c a a =>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双 曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。 1、离心率： （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a c a c e == 22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ； （3）双曲线形状与e 的关系： 1122222-=-=-==e a c a a c a b k ； 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点 )0,(2c F 对应着右准线c a x l 2 2:=； 位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c b p 2 =（也叫焦参数）； 对于12222=-b x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2 1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对 应着上准线 a y l 2 2:=。
怎样学好圆锥曲线
怎样学好圆锥曲线（解析几何的高考热点与例题解析）圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练. 考点一求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。 解决这类问题常用定义法和待定系数法。 ●思路方法：一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，
解析几何第二十七讲 双曲线
专题九解析几何 第二十七讲双曲线 2019 年 1.（2019 全国III 理10）双曲线C： x y =1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐进线 2 2 4 2 上，O 为坐标原点，若PO = PF ，则△PFO 的面积为A． 3 2 4 B．3 2 2 C．2 2 D．3 2 2.（2019 江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 y 2 2 x 2 1(b 0) 经过点（3，4)， b 则该双曲线的渐近线方程是 . x 2 y 2 3.（2019 全国I 理16）已知双曲线C： 2 2 a b 1( 0, 0) a b 的左、右焦点分别为F1，F2，
过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若 F A AB ， F B F B ，则C 的 1 1 2 0 离心率为____________． 4.（2019 年全国II 理11）设F 为双曲线C： x 2 2 y 2 2 a 1( 0, 0) a b 的右焦点，O 为坐标 b 原点，以OF 为直径的圆与圆x2 y2 a2 交于P，Q 两点.若PQ OF ，则C 的离心率为A．2 B．3 C．2 D．5 5．（2019 浙江2）渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是A． 22 B．1 C．2 D．2 2 6. （2019 天津理5 ）已知抛物线y 4x 的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线 x 2 y 2 的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且| AB | 4 | OF |（O 为 2 2 a b 1 ( 0, 0) a b 原点），则双曲线的离心率为A. 2 B. 3 1 C. 2 D. 5 2010-2018 年
高考数学专题10 解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(解析版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇解析几何 专题10 解析几何中两类曲线相结合问题 【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ， 离心率为 2 ，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=. （1）求椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【思路引导】 （1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''，易知四边形P FPF ''为平行四边形，则 2PF PF PF P F a ''+=+=，可求得,,a b c ，即可求得椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，代入椭圆方程可得到00,x y 的关系式，然后分别求得,OFP OTP S S V V 的面积的表达式，即可得到四边形OFPT 面积的表达式，结合00,x y 的关系式，求OFPT 面积的最大值即可. 【详解】
（1）设椭圆左焦点为F '，连接PF '，P F ''， 因为P O PO '=，OF OF '=，所以四边形P FPF ''为平行四边形， 所以24PF PF PF P F a ''+=+==，所以2a =， 又离心率为 2 ，所以c =，1b =. 故所求椭圆C 的标准方程为2 214 x y +=，圆O 的标准方程221x y +=. （2）设()()0000,0,0P x y x y >>，则220014 x y +=，故22 0014x y =-. 所以22 2000222 314TP OP OT x y x =+-= =-，所以0TP x =， 所以0124 OTP S OT TP x = ?=V . 又()0,0O ，) F ，所以0012OFP S OF y y =?=V . 故0022OFP OTP OFPT x y S S S ??==++ ???四边形V V ==. 由220014x y +=，得1≤，即001x y ?≤， 所以22 OFPT S = ≤ 四边形， 当且仅当2 2 00142x y ==，即0x =02 y = 时等号成立. 【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．
解析几何(直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线)
2012届数学二轮复习专题十 考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线） 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07 tan =+y x π 的倾斜角是 （ ） A ．7 π - B ． 7π C ．75π D ．7 6π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 6．若椭圆122=+my x 的离心率??? ? ??∈22, 33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．?? ? ??32,21 B ．()2,1 C ．()2,132,21 ?? ? ?? D ．??? ??2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ． 3 3 2 B ． 3 C ．2或3 3 2 D ． 3 3 2或3 8．M 是抛物线x y 42 =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最 小的角为60°，则=FM （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 9．设抛物线x y 82 =的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为 2 1 的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ） A ．1161222=+y x 或112 1622=+y x B ．1644822=+y x 或1486422=+y x C ．112 162 2=+y x 或 143 1622=+x y D ．13 422=+y x 或143 1622=+x y 10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ， 则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆06442 2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于 2 2 的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2 2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ．
高考圆锥曲线解题技巧总结
第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。
解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质
解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质 学习目标 （1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程； （3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。 知识回顾及应用 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质 4．应用所学知识解决问题： 【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53 (,)22 -， 求椭圆的方程。 答案：22 1106 x y + = 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率14 e b = =,焦点在x 轴上； （2）4,a c ==焦点在y 轴上； （3）10,a b c +== 答案：（1）22116x y +=；（2）22 116y x +=；（3）2213616x y + =或2213616 y x +=。 【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ； （2）经过两点3(2-。 答案：（1）22 19x y +=或221819y x +=；（2）2214 x y +=。
问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】圆锥曲线的方程 例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。 解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(2 2 2222211321 a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为： 对于双曲线，1222a MF MF '=-= 2222221321 a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为： 练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 答案：22 1168 x y + =求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法” 。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，
北师大版必修二第二章解析几何初步综合测试题
北师大版必修二第二章解析几何初步综合测试题 一、单选题 1．已知圆C 的标准方程为222 1x y ，则它的圆心坐标是（ ） A ．()2,0- B ．()0,2- C ．()0,2 D ．()2,0 2．直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．3- D ．3 3．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2 B ．1 C ．﹣2 D ．12 4．已知直线1l ：210x ay +-=，与2l ：()12102a x ay --+ =平行，则a 的值是（ ） A ．0或1 B ．0或14 C ．0 D ．14 5．已知两条直线()1:3450l a x y ++-=与()2:2580l x a y ++-=平行，则a 的值是（ ） A ．7- B ．1或7 C ．133- D ．1-或7- 6．已知点(2,A 0,1)，(4,B 2,3)，P 是AB 的中点，则点P 的坐标为（ ） A ．(3,1,2) B ．(3,1,4) C ．()0,2,1-- D ．(6,4,5) 7．直线210x y --=与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交且直线过圆心 C ．相交但直线不过圆心 D ．相离 8．已知点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆22:(1)1C x y -+=上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是（ ） A ．2，2 B ．2，2 C ，4 D ． ＋1－1 9．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，圆O 2的圆心坐标为(2，1).若两圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则圆O 2的方程为（ ） A ．(x －2)2＋(y －1)2＝6
专题九 解析几何第二十七讲 双曲线
2 2 - - = > > - = > > - = > > = 2 专题九 解析几何 第二十七讲 双曲线 2019 年 2 1.（2019 全国 III 理 10）双曲线 C ： x y =1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐进线 4 2 上，O 为坐标原点，若 PO = PF ，则△PFO 的面积为 A ． 3 2 4 B ． 3 2 2 C ． 2 2 y 2 D ． 3 2.（2019 江苏 7）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x - = 1(b > 0) 经过点（3，4)， b 2 则该双曲线的渐近线方程是 . x 2 3.（2019 全国 I 理 16）已知双曲线 C ： a 2 y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2， b 2 过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ，B 两点．若 F 1 A = AB ， F 1B ? F 2 B = 0 ，则 C 的离心率为 ． 4.（2019 年全国 II 理 11）设 F 为双曲线 C ： x a 2 y 2 1(a 0, b 0) 的右焦点， O 为坐标 b 2 原点，以OF 为直径的圆与圆 x 2 + y 2 = a 2 交于 P ，Q 两点.若 PQ = OF ，则 C 的离心率 为 A ． B ． C ．2 D ． 5．（2019 浙江 2）渐近线方程为 x ±y =0 的双曲线的离心率是 A ． 2 2 B ．1 C ． 2 D ．2 6. （ 2019 天津理 5 ） 已知抛物线 y 2 = 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2 y 2 1 (a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且| AB | 4 | OF | （ O 为 a 2 b 2 原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 2 2 3 5 3 5 2
解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D．(，0 解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1， b2＝，c2＝a2＋b2＝， ∴右焦点为. 答案：C 2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 ( A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.① ∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上， ∴c＝6.② 又c2＝a2＋b2，③ 由①②③知，a2＝9，b2＝27， 此双曲线方程为－＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( A．4 B．8 C．8 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－(x－2， 当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4． 当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6， 4P(6,4， 4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B. 解法二：5PA∞l，4PA%x轴．
又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°， 又由抛物线定义知PA＝PF， 4≥PAF为等边三角形． 又在Rt≥AFF′中，FF′＝4， 4FA＝8，4PA＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而 PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2 化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． 答案：A 二、填空题 解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c
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