四川省南充市2015届高考数学第一次适应性考试试题 理
四川省南充市2015届高考数学第一次适应性考试试题 理（含解析）
新人教A 版
【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】第I 卷
选择题(满分50分)
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
【题文】1.设i 为虚数单位，则复数2
z i i =+的实部和虚部分别是 A.-1，i B.-1,1 C.1，i D.1,1 【知识点】复数代数形式的运算.L4
【答案】【解析】B 解析：因为2
z i i =+=1i -+，所以复数2
z i i =+的实部和虚部分别是
1,1-，故选B.
【思路点拨】把复数化简后根据复数实部和虚部定义可得答案． 【题文】2.已知集合{}{}2|11,|log 1M x x N x x =-<<=<，则M N =
A.{}|12x x -<<
B.{}|10x x -<<
C.{}|01x x <<
D.{}|11x x -<<
【知识点】集合及其运算.A1 【答案】 【解析】C 解析：由题意：
{}{}2|11,|log 1M x x N x x =-<<=<{}|02x x =<<，所以M
N ={}|01x x <<，
故选C.
【思路点拨】先解出集合N ，再求出交集即可。 【题文】3.“=
2
π
?”是cos()y x ?=+为奇函数的 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【知识点】充要条件.A2
【答案】【解析】A 解析：当=2π?时， cos()cos()sin 2
y x x x π
?=+=+=-为奇函数；当cos()y x ?=+为奇函数时，22k π?π=+，所以“=2
π
?”是cos()y x ?=+为奇函数
的充分而不必要条件，故选A.
【思路点拨】对两个条件进行双向判断即可。
【题文】4.递增等差数列{}n a 中，若19=0a a +，则n S 取最小值时n 等于 A.4 B.5 C.6 D.4或5
【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和.D2
【答案】【解析】D 解析：因为该数列是递增等差数列，所以0d >，由19=0a a +可解得：
14a d =-，根据等差数列的前n 项和公式有()()211922
n n n d
S na d n n -=+
=-，当4n =或5时n S 取最小值，故选D.
【思路点拨】先由题意得到0d >，再根据等差数列的性质得14a d =-，最后结合二次函数的性质可得结果。
【题文】5.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A.若l α∥，m α⊥，则l ⊥m
B.若l ⊥m ，//m α则l α⊥
C.若l ⊥m ，m α⊥,则//l α
D.若//l α,//m α则//l m
【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.G4 G5
【答案】【解析】A 解析：对于A ，若l α∥，m α⊥，则l ⊥m ，故A 正确； 对于B ，若l ⊥m ，//m α则l α⊥或//l α或l α?，故B 错误； 对于C ，若l ⊥m ，m α⊥,则//l α或l α?，故C 错误； 对于D ，若//l α,//m α则//l m 或重合或异面；故D 错误； 故选A.
【思路点拨】利用空间中线线、线面间的位置关系进行判断即可。
【题文】6.若变量x ，y 满足约束条件21,1y x x y y ≤??
+≤??≥-?
则2z x y =+的最大值为
A.52
-
B.0
C.
53
D.
52
【知识点】简单的线性规划.E5
【答案】【解析】C 解析：根据x ，y 满足约束条件21,1y x x y y ≤??
+≤??≥-?
画出线性区域如下图：
则线性目标函数2z x y =+过A 12,
33??
???
时有最大值，最大值为53。 【思路点拨】先根据线性约束条件画出线性区域，再求出目标函数过A 时取得最大值即可。 【题文】7.已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin cos sin cos αα
αα
-=+
A.3
B.
13
C.13
-
D.3-
【知识点】同角三角函数的基本关系式.C2
【答案】【解析】D 解析：因为角α的终边经过点(2,1)P -，所以1
tan 2
α=-
，则sin cos sin cos αααα-=+11
tan 1
231tan 1
12
αα---==-+-+，故选D.
【思路点拨】先根据已知条件得到tan α，再化简sin cos sin cos αα
αα
-+代入即可得到结果。
【题文】8.已知双曲线C 22
221x y a b
-=的左、右焦点分别是M 、N .正三角形AMN 的一边AN 与
双曲线右支交于点B ，且4AN BN =,则双曲线C 的离心率为
1
1
【知识点】双曲线的性质；余弦定理.C8 H6
【答案】【解析】B 解析：因为正三角形AMN ，其边长MN=2c ，4AN BN =，设||BN m =，则||4AN m ==2c ，解得2
c m =
，根据双曲线的定义可得||222c
BM a m a =+=+，在三角
形AMN 中，由余弦定理2
22
42142cos 602222
c c c a c c ??+-+ ?
??=
=??，整理得：23240e e --=，即e
=
13，或
1
3
e =（舍去），故选B. 【思路点拨】先利用已知条件得到三角形AMN 的边长，再结合余弦定理即可。 【题文】9.设()
f x 是定义在R 上的可导函数，当0x ≠时，()
()0f x f x x
'+>，则关于x 的函数1
()()g x f x x
=+
的零点个数为 A.1 B.0 C.2 D.0或2
【知识点】根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．B9 B12 【答案】【解析】B 解析：由()()0f x f x x '+
>，得()()
0xf x f x x
￠+>， 当0x >时，()()0xf x f x ￠
+>，即[]()0xf x ￠>，函数()xf x 单调递增； 当0x <时，()()0xf x f x ￠
+<，即[
]
()0xf x ￠<，函数()xf x 单调递减． 又1()1()()xf x g x f x x x +=+=，函数()1
()xf x g x x
+=的零点个数等价为函数()1y xf x =+的零点个数．
当0x >时，()1y xf x =+＞1，当0x <时，()1y xf x =+＞1，所以函数()1y xf x =+无零点，所以函数g （x ）=f （x ）+x ﹣1
的零点个数为0个．故选B ． 【思路点拨】由题意可得()
()0f x f x x
'+
>，进而可得函数()xf x 单调性，而函数()1
()xf x g x x
+=
的零点个数等价为函数()1y xf x =+的零点个数，可得()1y xf x =+＞1，无零点．
【题文】10.
已知函数(](]
1,1()12,1,3x f x x x ?∈-?=?--∈??，其中0m >，且函数()f x 满足
(4)()f x f x +=.若方程3()=0f x x -恰有5个根，则实数m 的取值范围是
A.?
B.83?
???
?，
C.4
3? ??
D.4833??
???
，
【知识点】函数的周期性；根的存在性及根的个数判断．B4 B9
【答案】【解析】A 解析：∵当x ∈（﹣1，1]时，将函数化为方程()2
2
10y x y m
+= ，
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
同时在坐标系中作出当x ∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
由图易知直线3x y =与第二个椭圆()()22
410y x y m
-+
= 相交， 而与第三个半椭圆()()2
2
810y x y m
-+= 无公共点时，方程恰有5个实数解， 将3x y =代入()()22410y x y m
-+= 得，（9m 2+1）x 2﹣72m 2x+135m 2=0，令t=9m 2
（t ＞0），
则（t+1）x 2
﹣8tx+15t=0，由△=（8t ）2
﹣4×15t （t+1）＞0，得t ＞15，由9m 2
＞15，且m
＞0得，
同样由3x y =与第三个椭圆()()22
810y x y m
-+
= 由△＜0可计算得 m
综上可知m ∈?,故选A ． 【思路点拨】根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x ）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线3
x
y =
与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．
【题文】第II 卷（非选择题，满分100分）
【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
【题文】11.4
(2)(13)x x --的展开式中，2
x 的系数等于________.（用数字作答） 【知识点】二项式定理；二项式系数的性质.J3
【答案】【解析】120 解析：先利用二项式定理的展开式()
4141
3r
r r
r T C x -+=-，令2r =，
则展开式中2
x 的系数为249C ，展开式中x 的系数为1
43C -，所以4(2)(13)x x --的展开式中，2x 的系数为2144
293C C ?=120，故答案为120. 【思路点拨】先把()
4
13x
-利用二项式定理的展开式求出2
x 的系数以及x 的系数，然后分
别乘以2和-1再求和即可。
【题文】12.执行下图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的P 的值是_____.
【知识点】程序框图.L1
【答案】【解析】105 解析：k,p 的起始值为k=1,p=1,根据流程图的指向，第二次循环时k=3,p=1;
第三次循环时k=5,p=3;第四次循环时k=7,p=15;此时输出p=105;故答案为105. 【思路点拨】根据流程图的指向依次计算直到满足条件为止。
【题文】13.南充市教科所派出4名调研员到3个县，调研该县的高三复习备考情况，要求每个县至少一名，则不同的分配方案有__________种. 【知识点】排列组合的应用.J2
【答案】【解析】36 解析：根据题意可得：2113
42132
2
36C C C A A ?=,故答案为36. 【思路点拨】 先把4名调研员分成3组，然后再分配即可。
【题文】14.已知直线0x y m -+=与圆224x y +=交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，若圆周上存在一点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为__________. 【知识点】直线与圆的位置关系.H4
【答案】【解析】2±解析：根据题意画出图形，连接OA,OB,作OD 垂直于AB 于D 点，
因为△ABC 为等边三角形，所以0
120AOB ?,
由余弦定理知：
2220
2cos120AB OA OB OA OB =+-?
BD 所以1OD =,所以O （0,0）到直线AB
1=
，解得m =
，故答案为
【思路点拨】先由圆心角与圆周角的关系得到0
120AOB ?，再利用余弦定理得到BD,最后借助于点到直线的距离公式可解得m 即可。
【题文】15.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ,y )为整点，下列命题中正确的是_________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行，又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y =kx +b 不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点； ④直线y =kx +b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线.
【知识点】直线的一般式方程．H1 【答案】【解析】①③⑤ 解析：①令y=x+1
2
，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；
②若
1，0），所以本命题错误； 设y=kx 为过原点的直线，若此直线l 过不同的整点（x 1，y 1）和（x 2，y 2）， 把两点代入直线l 方程得：y 1=kx 1，y 2=kx 2， 两式相减得：y 1﹣y 2=k （x 1﹣x 2），
则（x 1﹣x 2，y 1﹣y 2）也在直线y=kx 上且为整点， 通过这种方法得到直线l 经过无穷多个整点，
又通过上下平移得到y=kx+b 不一定成立．则③正确，④不正确； ⑤令直线
恰经过整点（0，0），所以本命题正确．
综上，命题正确的序号有：①③⑤． 故答案为：①③⑤
【思路点拨】①举一例子即可说明本命题是真命题； ②举一反例即可说明本命题是假命题；
③假设直线l 过两个不同的整点，设直线l 为y=kx ，把两整点的坐标代入直线l 的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l 上，利用同样的方法，得到直线l 经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；
④根据③为真命题，把直线l 的解析式y=kx 上下平移即不能得到y=kx+b ，所以本命题为假命题；
⑤举一例子即可得到本命题为真命题．
【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题文】16.（本小题满分12分）
已知向量(cos sin ,2sin ),(cos sin ,cos )a x x x b x x x =+=--.令()f x a b =， （1）求()f x 的最小正周期；
（2）当3,44x ππ??
∈?
??
?时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值. 【知识点】()sin y A x ω?=+的图像及性质.C4
【答案】【解析】（1）π=T ;（2）当8
3π
=
x 时，函数)(x f 取得最小值2-. 解析：)cos (sin 2)sin )(cos sin (cos )(x x x x x x x f -+-+=………………………2分 x x x x x x 2sin 2cos cos sin 2sin cos 2
2
-=--= )4
2sin(2π
-
-=x …………………………………………………………5分
（1）由最小正周期公式得：π=T ………………………………………………6分
（2）]43,
4[
π
π∈x ，则]45,4[42πππ
∈-
x
令242ππ=-x ，则8
3π
=x ，
从而)(x f 在]83,4[ππ单调递减，在]43,83[π
π单调递增 ………………10分 即当8
3π
=x 时，函数)(x f 取得最小值2- ……………………………12分
【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，（1）由最小正周期公式得结果；（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。 【题文】17.（本小题满分12分）
第十七届亚运会于2014年9月19日至10月4日在韩国仁川举行.为了搞好接待工作，组委会在首尔大学某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者从事礼宾接待和语言翻译工作，将这30名志愿者的身高（单位：cm ）编成茎叶图（如图所示）：
组委会安排决定：身高175cm 以上（包含175cm ）的志愿者从事礼宾接待，身高在175cm 以下的志愿者从事语言翻译.
（I ）如果从分层抽样的方法从从事礼宾接待的志愿者和从事语言翻译的志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，那么至少有一人是从事礼宾接待的志愿者的概率是多少？ （II ）若从所有从事礼宾接待的志愿者中随机选3名志愿者，用ξ表示从事礼宾接待的志愿者中女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望.
【知识点】茎叶图；对立事件的概率；离散型随机变量的分布列及期望.K5 K6 【答案】【解析】（I ）
7
10
（II ）分布列见解析，1. 解析：（I ）根据茎叶图，有从事礼宾接待的志愿者12人，有从事语言翻译的志愿者18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51306
=。 所以抽中的从事礼宾接待的志愿者有11226?
=人，从事语言翻译的志愿者有1
1836
?=人。 用事件A 表示“至少有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名从事礼宾接待的志愿者被选中”，
则23257
()1()110
C P A P A C =-=-=………………………………………………………6分
（II ）由题意：ξ的可能取值为0，1，2，3.
则3831214
(0)55C P C ξ===,12483
1228(1)55C C P C ξ===, 214831212(2)55C C P C ξ===,343
121
(3)55
C P C ξ===, 因此，
故1428121
0123155555555
E ξ=?
+?+?+?=………………………………………12分 【思路点拨】（I ）先用分层抽样的方法，计算出每个人被抽中的概率，再利用对立事件的概率和为1可求得结果；（II ）由题意分别计算出ξ取值为0，1，2，3时各自的概率，然后列出分布列并求出期望。
【题文】18.（本小题满分12分）
已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.
（I ）证明：BN ⊥平面C 1B 1N ;（II ）设直线C 1N 与CNB 1所成的角为θ，求cos θ的值.
【知识点】线面垂直的判定定理；线面角.G5 G11
【答案】【解析】（I ）见解析；（II ）cos 3
θ=
。 解析：（1）证明： 方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
则N ABB C B 111面⊥,且在面N ABB 1内，易证1BNB ∠为直角。 N ABB BN N ABB C B 1111面，且面?⊥ ,BN C B ⊥∴11 11111,BN B N B N B C B ⊥=又
且,11NC B BN 面⊥∴
方法二：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则BA ,BC ,1BC 两两垂直。
以BA ,BC ,1BC 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，
则)0,4,4(N ,)0,8,0(1B ,)4,8,0(1C ，)4,0,0(C ，
1110,0BN NB BN BC ?=?= 111,C B BN NB BN 且⊥∴,1111B N
B C B =又
11NC B BN 面⊥∴……………………………………………………………………6分
(2)方法一：利用等体积法可求1C 到面1CB N
的距离为3
h =
， 则直线N C 1与平面1CNB 所成的角θ
的正弦值为sin 3θ=
，从而cos θ= 方法二：设),,(000z y x n =
为平面1CNB 的一个法向量，
则 10
n CN n NB ??=???=?? 即0000000x y z x y +-=??-=?，令10=x ，则)2,1,1(=n 。
又1(4,4,4)C N =- 则12sin |cos ,|3n C N
θ=<>=
,从而cos θ=……………………………12分 【思路点拨】（I ）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；（II ）先利用等体积法可求1C 到面1CB N 的距离。 【题文】19.（本小题满分12分）
已知递增等差数列{}n a 中的25,a a 是函数32
17()10532
f x x x x =
-++的两个极值点.数列{}n b 满足，点(,)n n b S 在直线1y x =-+上，其中n S 是数列{}n b 的前n 项和.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）令n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【知识点】利用导数求函数的极值；等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和.B12 D2 D3 D4
【答案】【解析】（1）*,N n n a n ∈=，*
,)2
1
(N n b n n ∈=（2）*
12(2)(),2
n n T n n N =-+∈
解析：（1）R x x x x x f ∈++-=
,5102
731)(2
3，则107)(2+-='x x x f . 因为2a ，5a 是函数5102
731)(2
3++-=x x x x f 的两个极值点，则
??
?=?=+10
75252a a a a ，解得：???==5252a a 或???==25
52a a .
又等差数列}{n a 递增，则???==5
2
52a a ，所以*,N n n a n ∈=. …………………………3分
因为点）（n n S b ,在直线1+-=x y 上，则1+-=n n b S 。 当1=n 时，1111+-==b S b ，即2
1
1=
b . 当2≥n 时， )1()1(11+--+-=-=--n n n n n b b S S b ，即12
1
-=n n b b . 所以数列}{n b 为首项为
21，公比为21的等比数列，即*
,)2
1(N n b n n ∈=.……………6分 (2)由（1）知：*,N n n a n ∈=且*
,)2
1(N n b n n ∈=，
则*
,)2
1(N n n b a c n n n n ∈?=?=
所以n
n n T )2
1()21(3)21(221132?++?+?+?= ①
132)2
1
()21()1()21(2)21(121+?+?-++?+?=
n n n n n T ②. ① -②得：1
132)21)(2(1)21()21()21()21(2121+++-=?-++++=n n n n n n T .
所以*
12(2)(),2
n n T n n N =-+∈. ……………………………………………………12分
【思路点拨】（1）先对原函数求导得到极值点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可。 【题文】20.（本小题满分13分）
已知椭圆C 22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2直线:l y kx m =+与椭圆
C 交于A ，B 两点.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若线段AB 的垂直平分线通过点1(0,)2
-，证明：2
212k m +=；
（3）在（2）的前提下，求△AOB （O 为原点）面积的最大值. 【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合应用.H5 H8
【答案】【解析】（1）1222=+y x ；（2）见解析；（3）22 解析：（1）设椭圆C 的标准方程)0(122
22>>=+b a b
y a x
由已知可得????
?
??
??+====2222222c b a b a c e
解得1,222==b a .
故椭圆C 的标准方程12
22
=+y x .………………………………………4分 （2）联立方程?????=++=12
2
2y x m kx y ，消y 得：0224)21(2
22=-+++m kmx x k . 当0)12(822>+-=?m k ，即2
2
12m k >+①时，
221214k km x x +-=+，2
221212
2k
m x x +-=?. 所以
2212122k km x x +-=+，2
21212k m y y +=+. 又
k
x x y y 102
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