六年级奥数-第二讲[1].比和比例.教师版

第二讲比和比例一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；

性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)

正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；

反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．

二、主要比例转化实例

①x a

y b

=?

y b

x a

=；

x y

a b

=；

a b

x y

=；

②x a

y b

=?

mx a

my b

=；

x ma

y mb

=(其中0

m≠)；

③x a

y b

=?

x a

x y a b

=

++

；

x y a b

x a

--

=；

x y a b

x y a b

++

=

--

；

④x a

y b

=，

y c

z d

=?

x ac

z bd

=；::::

x y z ac bc bd

=；

⑤x的c

a

等于y的

d

b

，则x是y的

ad

bc

，y是x的

bc

ad

．

三、按比例分配与和差关系

⑴按比例分配

例如：将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x

的比分别为()

:a a b

+和()

:b a b

+，所以甲分配到

ax

a b

+

个，乙分配到

bx

a b

+

个.

⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b(这里a b

>)，数量差为x，那么A的元素数量为

ax

a b

-

，B的

元素数量为

bx

a b

-

，所以解题的关键是求出()

a b

-与a或b的比值．

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成

反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5.赋值解比例问题

例题精讲：

模块一、比例转化

【例1】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的1

3

，乙等于甲、丙两数和的

1

2

，丙等于甲、乙两

数和的5

7

，求::

甲乙丙.

【解析】由甲等于乙、丙两数和的1

3

，得到甲等于三个数和的

11

3+14

=，同样的乙等于甲、丙两数和的

11

2+13

=，

同样的丙等于甲、乙两个数和的

55

7512

=

+

，所以

115

::::3:4:5

4312

==

甲乙丙．

【例2】已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的2

3

，那么甲的

2

3

、乙的2倍、丙的一半

【解析】 甲的一半、乙的2倍、丙的

23

这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为()121:12:123????÷÷÷ ? ?????即132::22，化简为4:1:3，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为()214:12:332??????? ? ????

?即83:2:32，化简为16:12:9. 【例 3】 如下图所示，圆B 与圆C 的面积之和等于圆A 面积的45

，且圆A 中的阴影部分面积占圆A 面积的16，圆B 的阴影部分面积占圆B 面积的15，圆C 的阴影部分面积占圆C 面积的13

．求圆A 、圆B 、圆C 的面积之比．

【解析】 设A 与B 的共同部分的面积为x ，A 与C 的共同部分的面积为y ，则根据题意有

()()564A B C x y =+=+，5B x =，3C y =，于是得到()56453B C B C ??+=+ ???

，这条式子可化简为15B C =，所以()5204

A B C C =+=.最后得到::20:15:1A B C =. 【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，

甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人

数之比．

【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为103310873110?=+++，女会员为31110310

?=，乙组男会员为8511087535?=+++，女会员为1335525

?=；丙组男会员为33113+210510??-+= ???，女会员为21393+2102550??-+= ???；所以，丙组中男、女会员人数之比为19:5:91050

=． 【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的

一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比

3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【解析】 (法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了60%，所

以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%3180%?=，所以甲工程队的承包的任务

是乙工程队承包任务的180%

40%450%÷=，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:19:2=．

(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于3:1，而他们分别完成了各自

任务的40%和60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为()()340%:160%9:2÷÷=．

【例 5】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之

和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？

【解析】 会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人

数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为50人，可设丙组人数

为x 人，则乙组人数为()50x -人，又已知甲组男、女会员比为12:13，则甲组男、女会员人数分别

为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：5224(50)5683

x x +-+=，解得18x =．即丙组会员人数为18人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为218123

?=人． 【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)A 、B 、C 三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三

个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量

是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作

效率的比是多少？

【解析】 根据题意，如果把A 工程的工作量看作1，则B 工程的工作量就是2，C 工程的工作量就是3． 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x 、y 、z .经过k 天，则：

()()()

22133213kx ky ky kz

kz kx =-??=-??=-? 将⑶代入⑵，得()243

kx ky +=

， 将⑷代入⑴，得2223kx kx +=-，47x k

=， 将47x k =代入⑴，得67y k =．代入⑶，得37z k

=． 甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是463::4:6:3777k k k

=． 【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖

的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数

总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖

的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于

多少？

【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖．由

③知两校获二等奖的共有(6050)20%22+?=人；由⑤知甲校获二等奖的有22(4.51) 4.518÷+?=人；由④知甲校获一等奖的有606050%1812-?-=人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分

数为1250100%24%÷?=．

【例 7】 ①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数

多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中

男、女生人数比是多少？

【解析】 如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的男生

等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是5:4．

模块二、按比例分配与和差关系

（一）量倍对应

【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，

求一共有多少个苹果？

【解析】 一共有()()1613111311192÷-?+=个苹果. 【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的

藏书数量.

【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的3346++、4346++、6346

++，所以小新拥有的藏书数量为35212346?=++本，小志拥有的藏书数量为45216346

?=++本，小刚拥有的藏书数量为65224346

?=++本. 【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资

的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．

【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的

和为：18(107)1060÷-?=(元)，乙、丙所捐资的和为601842-=元．所以，甲捐了804238-=(元)，

乙捐了603822-=(元)，丙捐了381820-=(元)．

【巩固】 有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？

【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比11:3:223=，所以一班分到皮球31207232

?=+个，二班分到皮球1207248-=个．

【例 9】 一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为

4:5．求原来两班的人数．

【解析】 原来一班的人数为两班总人数的888715=+，调班后一班的人数是两班人数的44459

=+，调班前后一班人数的比值为84:6:5159

=，所以一班原来的人数为()865648÷-?=人，二班原来的人数为488742÷?=人.

【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数

与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？

【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全部是

大班，则大班男生数：女生数5:330:18==，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又中班男生数：女生数2:16:3==，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，

所以需要换2组；所以，大班女生有183212-?=(名)．

【巩固】 参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，

三个年级参加植树的各有多少人?

【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有72080800+=人，四、五、六三个年级的

人数比为3:2:3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的人数．六年级：3800300323?=++人；五年级：2800200323

?=++人；四年级：30080220-=人． 【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每

支多少元?

【解析】 设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143，

则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元．所以圆珠笔的单价是O .5×4=2(元)．

【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从A 点出发，沿长方形的边爬去，结果在

距B 点2厘米的C 点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求这个长方形的周长．

【解析】 两只蚂蚁在距B 点2厘米的C 点相遇，说明乙比甲一共多走了

224?=(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，

所以甲爬的路程是()465520÷-?=(厘米)，乙爬的路程是20424+=(厘

米)，长方形的周长为202444+=(厘米)．

【例 12】 甲乙两车分别从 A ， B 两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速

度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米．问：A ，B 两

地相距多少千米？

【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8

＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的

95和9

4。设全程x 千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的4/9，所以乙行驶了全长的15

86594=?÷，所以乙一共行了全长454415894=+，还剩1-4544＝451，没有走所以A 、B 全长为450千米. 【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，

师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？

【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是11:5:3=

，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与C B

徒弟分别完成总量的

5

53

+

和

3

53

+

，师傅和徒弟一共加工了

53

100()400

5353

÷-=

++

个零件

【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？

【解析】师傅与徒弟的工作效率之比是11

:5:3

915

=，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师

傅与徒弟分别完成总量的

5

53

+

和

3

53

+

，师傅比徒弟多加工零件

53

400100

5353

??

?-=

?

++

??

个．

【例14】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的

全部和B桶水的1

5

，或将B桶水的全部和A桶水的

1

3

倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三

个水桶容积各是多少公升？

【解析】根据题意可知，A桶水的全部加上B桶水的1

5

等于B桶水的全部加上A桶水的

1

3

，所以A桶水的

2

3

等

于B桶水的4

5

，那么A桶水的全部等于B桶水的

426

535

÷=，C桶水为B桶水的

617

555

+=．所以A、

B、C三个水桶的容积之比是67

:1:6:5:7

55

=．又A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，所以

A桶的容积是

6

1440480

657

?=

++

公升，B桶的容积是

5

480400

6

?=公升，C桶的容积是

7

480560

6

?=公升．

【巩固】学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的1

2

，等于五年级学生的

2

5

，等于四

年级学生的3

7

。这三个年级各有多少名学生学生？

【解析】将六年级学生的1

2

，等于五年级学生的

2

5

，等于四年级学生的

3

7

，看作一个单位，那么六年级学生

人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于7

3

学生，所以六年级、五年级、

四年级学生人数的比为

57

2121514

23

=

：：：：，所以六年级学生人数为

12

615

121514

?

++

=180人，五年级

学生人数为

15

615225

121514

?=

++

人，四年级学生人数为

14

615210

121514

?=

++

人

【例15】一块长方形铁板，宽是长的4

5

．从宽边截去21厘米，长边截去35%以后，得到一块正方形铁板．问

原来长方形铁板的长是多少厘米?

【解析】如果只将长边截去35%，宽、长之比为()

4:5135%16:13

?-=

??

??，所以宽边的长度为

21(1613)161

÷-?=厘米，所以原来铁板的长为

4

112140

5

÷=厘米．

【巩固】一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方形面积相等．原正方形的边长是多少米?

【解析】要保证面积不变，一边减少20%，即是原来的4

5

，另一边要变成原来的

5

4

，即增加

51

1

44

-=，所以

原正方形的边长为

1

28

4

÷=(米).

【例16】一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13．小明原来有多少钱？

【解析】由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的

55

257

=

+

，小明的钱相当于小明、小强买

刀后钱数和的

88

8+1321

=，所以小明、小强的钱数的比值为

85

:8:15

217

=，而小明买刀后小明、小强

的钱数之比为2:56:15=，所以小明买刀前后的钱数之比为8:64:3=，所以小刀的售价等于小明原来钱数的43144

-=，所以小明的钱数为13124÷=元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为28:3:4721

=，小明的钱数为()434312?÷-=????（元） 【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为6:5，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之

比为18:11，求原来两人的钱数之和为多少？

【解析】 两人原有钱数之比为6:5，如果甲得到180元，乙得到150元，那么两人的钱数之比仍为6:5，现

在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少得到了120元，现在两人钱数之比为18:11，可以理解

为：两人的钱数分别增加180元和150元之后，钱数之比为18:15，然后乙的钱数减少120元，两人

的钱数之比变为18:11，所以120元相当于4份，1份为30元，后来两人的钱数之和为

30(1815)990?+=元，所以原来两人的总钱数之和为990180150660--=元．

【例 17】 一项机械加工作业，用4台A 型机床，5天可以完成；用4台A 型机床和2台B 型机床3天可以完

成；用3台B 型机床和9台C 型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下A 、C

型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业．

【解析】 由于用4台A 型机床5天可以完成；用4台A 型机床和2台B 型机床3天可以完成，所以2台B 型

机床3天完成的量等于4台A 型机床2天完成的量，则A 、B 两种机床每天完成的量的比为

()()23:423:4??=，即A 型机床每天完成的量为3，B 型机床每天完成的量为4，该项作业总量为

34560??=，那么C 型机床每天完成的量为()6024392÷-?÷=，3种机床各取一台工作5天后，

剩下的工作量为()60342515-++?=，A 、C 型机床还需继续工作()15323÷+=天．

【例 18】 动物园门票大人20元，小孩10元．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了

60%，儿童增加了90%，共增加了2100人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少

人入园？

【解析】 前一天大人与小孩的人数比为1:(60%2)5:6?=，六一那天增加的大人与增加的小孩人数比为

()()560%:690%5:9??=， 大人增加的人数为5210075014

?=人，小孩增加的人数为21007501350-=人，大人的总数为75060%750÷+=人，小孩的总人数为

135090%1350÷+=人，总人数为

200028504850+=人． 【例 19】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2，第一天售出苹果的20%，售出桃子的吨数与

所剩桃子的吨数的比是1:3；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的415

，问原有苹果和桃子各有多少吨？ 【解析】 法一：设原来苹果有x 吨，则原来桃子有2x 吨，得：(120%)184********

x x ?--=?-+，解得37x =．所以原有苹果37吨，原有桃子37274?=(吨)．

法二：原来苹果和桃子的吨数的比是1:2，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是41(120%)5?-=，剩下的桃子是332132

?=+，所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是43:8:1552

=．现在再售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是4:15．这就相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是8:15，先售出桃子12吨，苹果83212155

?=吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比还是8:15，再售出32581855

-=吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为4:15，所以这585相当于844-=份，最后剩下的桃子有581587542

?=吨，那么第一天后剩下的桃子有871111222+=吨，原有桃子111374213

÷=+吨，原有苹果74237÷=吨． （二）利用不变量统一份数

【例 20】 有一个长方体，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．表面积为272cm ，求这个长方体的体积.

【解析】 由条件长方体的长、宽、高的比6:3:2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为

()()()63:62:3218:12:63:2:1???==，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，长方体的上面的面积为2137218cm 2321??=++，前面的面积为2127212cm 2321

??=++，左面的面积为2117206cm 2321

??=++，而218126129636??==，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个长方体的体积为336cm ．

【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．已知这个长方体的全部棱长之和是220

厘米，求这个长方体的体积．

【解析】 由条件宽与高的比为23:21:3=，所以这个长方体的长、宽、高的比为22:1:3

即6:3:2，由于长方体的所有棱中，长、宽、高各有4条，所以长方体的长为16220304632

??=++厘米，宽为132********??=++厘米，高为12220104632

??=++厘米，所以这个长方形的体积为301510450??=立方厘米.

【例 21】 （2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30

元，中型车15元，小型车10元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5:6，中型车与

小型车之比是4:11，小型车的通行费总数比大型车多270元．（1）这天通过收费站的大型车、中型

车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？

【解析】 ⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将5:6中的6与4:11中的4统一成

[]4,612=，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由5:610:12=和4:1112:33=，得到

10:12:33=大型车:中型车:小型车．以10辆大型车、12辆中型车、33辆小型车为一组．因为每组

中收取小型车的通行费比大型车多1033301030?-?=(元)，所以这天通过的车辆共有

270309÷=(组)．所以这天通过大型车有10990?=(辆)，中型车有129108?=(辆)，小型车有

339297?=(辆)．

（2）这天收取的总费用为：309015108297107290?+?+?=元．

【例 22】

6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚

硬币，问：这些硬币的币值为多少元？

【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5，壹分硬币和伍分硬币的数量比为4:36:4.5=，所

以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6:5:4.5，即12:10:9，因此壹分硬币的数量为

121244812109?=++枚，贰分硬币的数量为101244012109

?=++枚，伍分硬币的数量为91243612109

?=++枚，这些硬币一共有481402365308?+?+?=分，即币值为3.08元． 【例 23】 某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为

6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种

车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天

完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为151414∶

∶，速度之比为689∶∶，所以它们运送1次所需的时间之比为1514145714689249=∶∶∶∶，相同时间内它们运送的次数比为：2495714

∶∶．在前10天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为557∶∶．由于三种卡车载重量之比为1076∶∶，

所以三种卡车的总载重量之比为503542∶∶．那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：

2495035422020275714?????????= ? ? ??

?????∶∶∶∶．在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的工作量之比为402027∶∶．所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：

2010401532202027104020271579

?+?=++?+++?()()． 【例 24】 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3．实

际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果．那

么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块．

【解析】 方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的

512，412，312；实际甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的718，618，518

，只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总数为53155401812??÷-= ???

(块)，丙实际所得的糖果数为554015018?=(块)． 方法二：化通比为： 甲 乙 丙 总数为

原计分配为 5 ： 4 : 3 12份

实际分配为 7 ： 6 ： 5 18份

化通比为 15 ： 12 ： 9 36份

14 ： 12 ： 10 36份

对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙

所以15÷（10—9）×10＝150（块）

【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的14，15年后，儿子的年龄是父亲年龄的511

．今年儿子多少岁？ 【解析】 方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的11413

=-，15年后儿子的年龄相当于父子年龄差的551156=-，所以15年相当于父子年龄差的511632-=，年龄差为115302

÷=岁.今年儿子30310÷=岁. 方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的14

，所以儿子：父亲＝1：4；15年后，儿子的年龄是父亲年龄的511

，所以儿子：父亲＝5：11。因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为： 儿子 父亲 年龄差

1 ： 4 3

5 ： 11 6

根据不变量化通比为 2 ： 8 6

5 ： 11 6

对比分析为：15÷（5—2）×2＝10（岁）

【例 25】 一个周长是56厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长

方形面积的比是:1:2A B =，:1:2B C =．而在图⑵中相应的比例是':'1:3A B =，':'1:3B C =.又知

长方形'D 的宽减去D 的宽所得到的差与'D 的长减去D 的长所得到差之比为1:3．求大长方形的面

积．

（1）D C B A ⑵D'

C'

B'A'

【详解】因为:1:2A B =，:1:2B C =，所以:1:4A C =；

因为':'1:3A B =，':'1:3B C =，所以':'1:9A C =，

设长方形的宽为a ,长为b ,得：32143943

105

a a

b b -=-． 得:2:5a b =．又56228a b +=÷=，所以8a =，20b =．

所以长方形面积208160=?=．

【例 26】 北京中学生运动会男女运动员比例为19:12，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员

比例变为20:13；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为30:19,已知男子象棋项目运动员比

女子艺术体操运动员多15人，则总运动员人数为多少？

【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“1”，那么男运动员人数为1919191231=+，女运动员人数为1231

，而

增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是

1931，所以这时女运动员人数为19247201331620

÷?=，增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，仍然是247620

，所以男运动员人数增加为24739193062062÷?=．女子艺术体操项目人数为24712762031620-=，男子象棋项目的人数为39191623162

-=，男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多173********-=，原来总运动员人数为3153100620

÷=人，男子象棋项目运动员有131005062?=人，女子艺术体操运动员有7310035620

?=人，所以现在的总运动员人数为310050353185++=人．

【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是19:13．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3；再

放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11．已知放入的红球比白球少80只．那么原来袋

子里共有 只球．

【解析】 根据第一次操作白球的数量不变，把19:13改写成57:39，5:3改写成65:39．第二次操作相对于第

一次操作红球数量不变，把13:11改写成65:55，这时我们可以看出，经过两次操作后，红球共增加

了65578-=份，白球增加了553916-=份．原来红球有()8016857570÷-?=个，白球有()8016839390÷-?=个．两种球共570390960+=个．

【例 27】 有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的718

，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的817

，问开始共有多少支突击队参加会战？ 【解析】 由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的718，所以原来全体女队员的人数是全体男队员的718

，即原来女队员的人数占所有队员人数的725

，调走第一突击队的一半队员后，女队员的人数占剩下的队员总数的825

，由于调走的全是男队员，女队员的人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前的队员总数之比为2525:7:887=，即调走的队员人数占原来队员总人数的18

，而调走的队员为第一突击队的一半，且每个突击队人数相同，11428

÷=，故开始共有4支突击队参加会战． （三）利用等量关系列方程解比例

【例 28】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比

是8:5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:4． 问报考的共有多少人？

【解析】 (法1)录取的学生中男生有8915658

?=+人，女生有915635-=(人)，先将未录取的人数之比3:4变成44:43?，又有356424?=(人)，所以每份人数是()442354333??-÷?-= ???

(人)，那么未录取的男生有4312?=(人)，未录取的女生有443163

??=(人)．所以报考总人数是 ()()56123516119+++=(人)．

(法2)设未被录取的男生人数为3x 人，那么未被录取的女生人数为4x 人，由于录取的学生中男生有

8915658

?=+人，女生有915635-=(人)，则()()563:3544:3x x ++=，解得4x =．所以未被录取的男生有12人，女生有16人．报考总人数是 ()()56123516119+++=(人)．

【例 29】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下

重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与

甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________．

【解析】 设切下的部分重量为x 千克，则甲切下的x 千克与乙剩下的(4)x －千克混合．由于得到的两块新合金

的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含

铜率相同，而这一大块合金是由6千克甲块合金与4千克乙块合金混合而成的，所以x 千克甲块合金

与(4)x －千克乙块合金混合后的含铜率与6千克甲块合金与4千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即644

x x =－，所以：464x x =（－），解得 2.4x =．

课后练习：

练习1. 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的34是草地；圆的67

是竹林；竹林比草地多占地450平方米． 问：水池占多少平方米?

【解析】 正方形的34是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是3份；圆的67

是竹林，水池占1份，竹林的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3份。3份的面积是450平方米，可见1份面

积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米。

练习2. 乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15

，且乙班比甲班多种树24棵，甲、乙两个班各种树多少棵?

【解析】 甲、乙两班种树棵数之比为：11:4:554

=，甲班种树棵数为：()2454496÷-?=(棵)，乙班种树棵数为：()24545120÷-?=(棵)． 练习3. 甲本月收入的钱数是乙收入的58

，甲本月支出的钱数是乙支出的34，甲节余240元，乙节余480元．甲本月收入多少元？

【解析】 甲、乙本月收入的比是5:8，分别节余240元和480元，支出的钱数之比是3:4．如果乙节余480

元，甲节余48085300÷?=元，那么两人支出的钱数之比也是5:8，现在甲只节余240元，多支出

了60元，结果支出的钱数之比从5:8变成了6:8(即3:4)，所以这60元就对应651-=份，那么甲

支出了606360?=元，所以甲本月收入为360240600+=元．

练习4. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向开出，甲车速度是50千米／小时，乙车速度是40千米／小

时，当甲车驶过A 、B 距离的13

多50千米时与乙车相遇，A 、B 两地相距 千米． 【解析】 在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之比等于50:405:4=，

那么A 、B 距离的13多50千米即是A 、B 距离的55459

=+，所以50千米的距离相当于全程的512939

??-= ???，全程的距离为2502259÷=(千米)． 月测备选

【备选1】甲、乙、丙三个数，已知():4:3+=甲乙丙，:2:7=乙丙，求::甲乙丙。

【解析】 由:2:7=乙丙可得到():2:9+=乙乙丙，():7:9+=丙乙丙，而():4:3+=甲乙丙， 所以：427::::12:2:7399

=

=甲乙丙． 【备选2】有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果中有奶

糖多少块?

【解析】 方法一：原来奶糖占45910020

=，后来占2511004=，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也比原来糖果多16粒，从而原来的糖果是16+(9420?- 1)=20块.其中奶糖有20×920

=9块． 方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,设奶糖有9份，其他糖(包

含水果糖)有11份．现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27,奶糖的份数不变，其他

糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，l 份即1块．奶糖占9份，就

是9块奶糖．

【备选3】甲、乙两个工人上班，甲比乙多走15的路程，而乙比甲的时间少111

，甲、乙的速度比是 ． 【解析】 甲走的路程是乙走的路程的65，甲用的时间是乙用的时间的1110，所以甲的速度是乙的速度的6111251011

÷=，即甲、乙的速度比是12:11． 【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑

棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？

【解析】 第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由()2:110:5=变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，

所以黑棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份，这样原来黑棋的个数为4591050÷?=(枚)，白棋的个数为45951540÷?+=(枚)．

【备选5】加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在三人在同样的时

间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件?

【解析】 根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为111::28:24:213 3.54

=，那么在相同的时间内，三人完成的工作量之比也是28:24:21，所以甲加工了2836501400282421

?=++个零件，乙加工了2436501200282421?=++个零件，丙加工了2136501050282421

?=++个零件。

【强烈推荐】六年级奥数：比和比例

比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比 号后面的数叫比的后项。 比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。 比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。 比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或 比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。 正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。 按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。 【意义】 >>>比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。 “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 性质 >>>比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。 >>>比例的性质 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 求比值和化简比 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 【比例尺】 图上距离：实际距离=比例尺 要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。按比例分配

六年级奥数工程问题教师版

工程问题 一：基本类型 工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。 模型一：工作效率（和）×工作时间=工作总量 模型二：工作总量÷工作效率（和）=工作时间 模型三：工作总量÷工作时间=工作效率（和） （一）先合作，后独作 例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A） 例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天？（B级）

（二）丙先帮甲，再帮乙 例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？（B级） （三）甲乙合作，中途有人休息 例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天，而丙一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？（B级）

（四）独做化合做 例5、甲乙合做一项工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5，两队单独做完成任务各需多少天？（B级） （五）合做变独做 例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是2：3。如果由乙单独做，需要多少天才能完成？（B）

(完整版)六年级数学比和比例应用题典型题(张)

一、判断。 1.某班男生有8人，女生有10人，男生与女生人数之比是0.8。（） 2.甲、乙二人同时走同一条路，甲走完需20分钟，乙走完需30分钟， 甲和乙的速度比是2∶3。（） 3.在比例尺是8∶1的图纸上，2厘米的线段表示零件的实际长16厘米。（） 4.两个圆的周长比是2∶3，面积之比是4∶9。（） 二、应用题。 1、在一幅地图上，5厘米的长度表示地面上150千米的距离，求这幅地图的比例尺。 2、在比例尺是1∶6000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是25厘米，求两地间的实际距离。若一架飞机以每小时750千米的速度从北京飞往南京，大约需要多少小时？ 3、混凝土的配料是水泥∶黄沙∶石子=1∶2∶3。现在要浇制混凝土楼板40块，每块重0.3吨，需要水泥、黄沙、石子各多少吨做原料？ 4、一艘轮船，从甲港开往乙港，每小时航行25千米，8小时可以到达目的地．从乙港反回甲港，每小时航行20千米，几小时可以到达？ 5、某工人要做504个零件，他5天做了120个，照这样的速度，余下的还要做多少天？ 6、一间大厅，用边长6分米的方砖铺地，需用324块；若改铺边长4分米的方砖，需要多用几块？ 7、一根皮带带动两个轮子，大轮直径30厘米，小轮直径10厘米；小轮每分钟转300转，大轮每分钟转几转？ 小学数学比和比例应用题典型题库班级姓名

8、一件工程，如果34人工作需20天完成，若要提前3天完工，现在需要增加几名工人？ 9、一本文艺书，每天读6页，20天可以读完，要提前8天看完，每天要比原来多看几页？ 10、羊毛衫厂共有工人538人，分三个车间，第一车间比第三车间少12人，已知第二车间与第三车间的人数比是3∶4。三个车间各有多少人？ 11、学校把购进的图书的60％按2∶3∶4分配给四、五、六三个年级。已知六年级分得56本，学校共购进图书多少本？ 12、小明居住的院内有4家，上月付水费39.2元，其中张叔叔家有2人，王奶奶家有4人，李阿姨家有3人，小明家有5人，若按人口计算，他们四家各应付水费多少元？三、判断下列各题中的两种量成什么比例，为什么？（因为···所以···） 1、买相同电脑，购买电脑的台数与总价。 2、每捆练习本的本数相同，练习本的本数与捆数。 3、总路程一定，已行路程与未行路程。 4、分数值一定，分数的分子与分母。 5、长方形的长一定，它的的面积与宽。 6、长方形的体积一定，底面积和高。 7、书的总页数一定，看的天数与平均每天看的页数。 8、圆的周长与直径。 9、订阅廊坊日报，订的份数与总价。 10、图上距离一定，实际距离与比例尺。 11、小麦的出粉率一定，小麦的质量与面粉的质量。 12、六（1）班同学做操，每排站的人数与排数。 13、汽车的速度一定，行驶的路程与时间。 14、3A=4B 15、房间的面积一定，正方形地砖的边长与块数。 16、工程总量一定，已完成的部分和未完成的部分。

小学六年级奥数题-专题训练之比和比例应用题

小学六年级奥数题:专题训练之比和比例应用题 例１、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是50:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？ 提示:单价比:成年人:儿童:残疾人=3:2:1 人数比:50:20:1 [练习]甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？ 例２、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6，乙商品与丙商品的数量之比为4:11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元。 提示:根据已知条件可先求三种商品的数量比。 [练习]一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的单价比是11:8:7,要合成这样的什锦糖120千克，什锦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？ 例３、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？ 提示:根据已知条件已知A、B、C转速与齿数的积都相等，即它们的转速与齿数成反比例。

习题： 1、甲、乙、丙三个平行四边形的底之比是4:5:6，高之比是3:2:1，已知三个平行四边形的面积和是140平方分米，那么甲、乙、丙三个平行四边形的面积各是多少？ 2、甲、乙、丙三个三角形的面积之比是8:9:10，高之比是2:3:4，对应的底之比是多少？ 3、某校四、五年级参加数学竞赛的人数相等，四年级获奖人数与未获奖人数的比是1:4，五年级获奖人数与未获奖人数的比是2:7；两个年级中获奖与未获奖人数的比是多少？ 4、盒子里共有红、白、黑三种颜色的彩球共68个，红球与白球个数的比是1:2，白球与黑球个数的比是3:4，红球有多少个？

六年级奥数一至十讲教师版

小学六年级奥数教案—01比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 2.化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 4.根据倒数比较大小。 5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，

6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。 （2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。 前一个差比较小，所以m＜n。 （3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。 注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。 利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。

六年级奥数比和比例

六年级奥数比和比例 分析 依据题意有32A=43B=54C,则A:B:C=18:16:15 例题2 甲；乙两校原有图书的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲；乙两校的图书本数的比就是3：4，原来甲校友图书多少本？ 随堂练习 《1》有一个长方体，长和宽的比是2：1，宽与高的比是3:2。已知这个长方体的全部棱长之和是220cm ，求这个长方体的体积。 《2》小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多51，小方用的时间比小明多81。小明和小方的速度之比是多少？ 《3》甲；乙两仓库存货吨数比为4：3，如果由甲库中提取8吨放到乙库中，则甲；乙两仓库存货吨数比为4：5。两仓库原存货总吨数是多少吨？

例题3 如图《见黑板》，正方形ABCD的边AB与正方形MNPQ的边PQ平行且相等。试求阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比。 例题4 如图，三个同心圆，他们的半径之比是3：4：5，如果大圆的面积是100平方厘米，那么中圆和 小圆之间的圆环面积是多少？ 练习 (1)如图在四边形ABCD中，AC和BD相交于O点。三个小三角形的面积分别是20；16；32。那么阴影三角形BOC的面积是多少？ B C (2)如图所示梯形ABCD的上底AD长12厘米，高BD长18厘米，BE=2DE,则下底BC长多少厘米？ B C

1；六年级一班的男；女生比例是3：2，又来了4名女生后，全班共有44人，求现在的男；女生人数之比。 2、师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 3、甲；乙两人的钱数之比是3：1，如果甲给乙0；6元，则两人的钱数之比变为2：1；两 人共有多少钱？ 4；一条路全长是60千米，分成上坡；平路；下坡三段，各段路程的长度之比是1：2：3， 某人走各段路程所用的时间之比是3：4：5。已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程 用多少时间？

六年级北师大版比和比例奥数题

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 比和比例（二） （一）典型例题： 例1. 六年级一班小图书箱里共有文艺书和科技书91本，文艺书本数的25%与科技书本 数的 2 5 正好相等，两种书各有多少本？ 分析与解：根据第二个已知条件可得： 文艺书本数?= 25%科技书本数? 2 5 再利用比例的基本性质把上式转化为： 文艺书本数：科技书本数== 2 5 25%85 ：： 利用按比例分配的方法分别求出每种书各有多少本。8513 += 91 8 13 56 ?=（本） 91 5 13 35 ?=（本） 答：文艺书有56本，科技书有35本。 例2. 甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4：3，当甲队给乙队54吨水泥后，甲、乙两队水泥的重量比变为3：4，原来甲队有水泥多少吨？ 分析与解：解答此题的关键是要抓住甲、乙两队水泥的总数没有变，原来甲队占两队水 泥总量的4 7 ，甲队少了54吨后，甲队占两队水泥总量的 3 7 。 “1” 4 7 3 7 54吨 ？吨 通过上图可知：总吨数的 4 7 3 7 - ? ? ? ? ?是54吨，可以求出两队水泥的总吨数，要求甲队原 有水泥吨数，就是求总吨数的4 7 是多少？ 437 +=

544737541 7 378÷-?? ? ??= ÷=（吨） 37847 216?=（吨） 答：甲队原有水泥216吨。 例3. 如下图，甲、乙二人绕一个长方形操场跑步。该操场长160米，宽120米，甲从A ，乙从B 相向而跑，结果第一次在E 处相遇，E 处距A 处60米，相遇后，甲、乙二人继续跑。 问：甲、乙二人能否在E 处再次相遇？若相遇，这是甲、乙的第几次相遇？ D C A E B 分析与解：由图知，B E =100 米，这说明乙的速度比甲快，甲乙速度之比是3：5，假设能够再次在E 处相遇，则此时，甲、乙又跑了整数圈，由于时间相同，路程与速度成正比，所以甲、乙所跑路程（圈数）与速度成正比，即：甲、乙所跑圈数为3：5，只需甲跑3圈，乙跑5圈，二人恰好在E 处再次相遇。 因为甲、乙相遇一次，就相当于合起来共跑了一圈，所以甲、乙共跑了() 358+=圈，所以从E 处出发后，甲、乙两人共相遇了8次，这说明最后在E 点相遇是甲、乙的第九次 相遇（包括第一次在E 点相遇） 例4. 把在比例尺为1：250的平面图上，面积是64平方厘米的正方形移到比例尺为多少的平面图上，它的面积将是100平方厘米？ 分析与解：864 10100 2 2 == 即第一幅图的正方形边长为8厘米，第二幅图的正方形边长为10厘米，通过比例尺和图上距离可以求出实际距离。 81250 2000÷ =（厘米） 知道正方形实际的边长2000厘米和图上的边长10厘米，可以求出第二幅图的比例尺。 1020001200：：= 答：移到比例尺是1：200的平面图上，正方形的面积将是100平方厘米。 例5. 甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两地同时相向而行，速度比是7：11。相遇后两车继续行驶，分别到达B 、A 两地后立即返回，当第二次相遇时，甲车距B 地80千米，A 、B 两地相距多少千米？ 分析与解：时间一定，速度和所行路程成正比例。

人教版六年级数学上册比和比例练习题

比和比例 1、两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。比的后项不能为0。 2、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 3、商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。 4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），它们的比值不变。 5、小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 6、公因数只有1的两个数叫做互质数。最简整数比：比的前项和后项是互质数。 7、比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。 8、比例：①表示两个比相等的式子叫做比例。如：（3：4=9：12）。 比例有四个项，分别是两个内项和两个外项。在3：4=9：12中，其中3与12叫做比例的外项，4与9叫做比例的内项。比例的四个数均不能为0。 9、比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 10、比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。 一．填空

1、0.6=3：（）=（）÷15=（）成=（）％ 2、11 2 ： 0.75的比值是（），把它化为最简的整数比是（） 3、比例4：9=20：45写成分数形式是（），根据比例的基本性质写成乘法形式是（） 4、18的约数有（），选出其中四个数组成一个比例是（） 5、在比例尺1：2000000的地图上，图上1厘米表示实际距离（）千米。 6、在一个比例中，两个内项互为倒数，一个外项是2 5 ，另一个外项是（） 7.甲数除以乙数的商是4，甲数与乙数的最简整数比是（） 8、我国<<国旗法>>规定，国旗的长和宽的比是3：2，学校的国旗宽是128厘米，长应该是( )厘米。 9、三角形底一定，它的高和面积成（）比例。 10、用0.2 、 6、 30、 1这四个数组成两个比例式是（）和（） 11、某厂男职工人数是女职工的2 3 ，女职工与男职工的人数比是（） 12、两个正方体的棱长比是3：4，它们的体积比是（） 13、如果3a=2b，那么a：b=（）：（） 14、从A地到B地，甲用12分钟，乙用8分钟，甲乙的速度比是( ) 15、小圆的半径是2厘米，大圆的半径是3厘米，小圆和大圆的周长比是（），面积比是（）

六年级奥数-等积变形(教师版)

第三讲 等积变形 1.等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 2.鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，

则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 3.蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 4.相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

六年级比和比例奥数题

六年级比和比例(1) 1.4:（ ）=()12 =（ ）÷12=0.8=（ ）%=（ ）:（ ） 2.建筑工地计划运进一批水泥，第一次运来总数的 41，第二次运来180吨，这时运来的与没有运来的吨数比是4:3，工地计划运进水泥多少吨？ 3.已知a:b=c:d ，现将a 扩大2倍，b 缩小到原来的 2 1，c 不变，d 应 （ ）才能使比例式仍成立。 4.在1、2、3、4、6、8、12、16这八个数中，哪些数能组成比例。（答案有多组，至少写出其中的两组，即8个比例式。） 5.在一个比例式里，第一个比是最简整数比，且比值是0.75，两个内项的乘积是60，这个比例式是（ ）。 6.在比例尺50001的地图，量得一长方形地长3.2厘米，宽1.2厘米，这块土地实际的面积是多少？ 第一部分 必做题 1.(☆)两个正方体棱长的比是2:3，这两个正方体底面积的比是（ ）:（ ），体积比是（ ）:（ ）。

2.(☆)甲数和乙数的比是4:3，甲数与甲乙两数和的比是（），甲数 比乙数多() ()，乙数比甲数少（）%。 3.一个正方体的六个面分别是红色、黄色、绿色、蓝色、红色、白色，把它拿 在手上掷回桌面，蓝色朝上的可能性大约是（）%，红色大约是（）%。 4.(☆)⑴一幅行政区域图上用5厘米表示实际距离100千米，这幅地图的比例 尺是（）。 ⑵一个零件实际长度是3毫米，画在图上的长度是3厘米，这幅图的比例 尺是（）。 ⑶在比例尺1:2000000的地图上，测得A、B两地是4.5厘米，实际距离 是（）千米。 ⑷如皋、海安两城之间的实际距离是192千米，在比例尺为1:600000的 图纸上，应画（）厘米。 5.(☆)海安实小新建学生公寓楼，地基是长方形，长40米，宽15米，把它画 在设计图上，长画80厘米，宽应画多少厘米？ 6.(☆☆)看下图回答下列问题： 学校 西 小青家 0 200 400 600米 小红家 a.图中比例尺是（）。

比和比例奥数题

比和比例奥数题 小学六年级奥数训练题之比和比例(1) 例1、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是50:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？ 提示：单价比：成年人：儿童：残疾人=3:2:1 人数比：50:20:1 [练习]甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？ 例2、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6，乙商品与丙商品的数量之比为4:11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元。 提示：根据已知条件可先求三种商品的数量比。 [练习]一种什锦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的单价比是11:8:7,要合成这样的什锦糖120千克，什锦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？ 例3、A、B、C是三个顺次咬合的齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，问这三个齿轮的齿数的最小数分别是多少？ 提示：根据已知条件已知A、B、C转速与齿数的积都相等，即它们的转速与齿数成反比例。 习题： 1、甲、乙、丙三个平行四边形的底之比是4:5:6，高之比是3:2:1，已知三个平行四边形的面积和是140平方分米，那么甲、乙、丙三个平行四边形的面积各是多少？ 2、甲、乙、丙三个三角形的面积之比是8:9:10，高之比是2:3:4，对应的底之比是多少？ 3、某校四、五年级参加数学竞赛的人数相等，四年级获奖人数与未获奖人数的比是1:4，五年级获奖人数与未获奖人数的比是2:7；两个年级中获奖与未获奖人数的比是多少？ 4、盒子里共有红、白、黑三种颜色的彩球共68个，红球与白球个数的比是1:2，白球与黑球个数的比是3:4，红球有多少个？ 1 / 1

六年级奥数题：比和比例一

比例问题 一、 填空题 1.4:( )=20 16=( )÷10 2.在3:5里,如果前项加上6,要使比值不变,后项应加 . 3.12:1的图纸上,精密零件的长度为6厘米,它的实际长度是 毫米. 4.某生产队有一块正方形菜地,边长120米,在总面积中种植西红柿、南瓜、茄子面积的比是25:1:2 1,三种蔬菜各种了 亩. 5.买甲、乙两种铅笔共210支,甲种铅笔每支价值3分,乙种铅笔每支价值4分,两种铅笔用去的钱相同,甲种铅笔买了 支. 6.车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数的比是2:5.问:摩托车的辆数与小卧车的辆数的比是 . 7.自然数A 、B 满足182 111=-B A ,且A :B =7:13.那么,A +B = . 8.光明小学有三个年级,一年级学生占全校学生人数的25%,二年级与三年级学生人数的比是3:4,已知一年级比三年级学生少40人,一年级有学生 人. 9.水泥、石子、黄砂各有5吨,用水泥、石子、黄砂按5:3:2拌制某种混凝土,若用完石子,水泥缺 吨.黄砂多 吨. 10.甲、乙两人步行的速度比是13:11.如果甲、乙分别由A 、B 两地同时出发相向而行,0.5小时后相遇,如果它们同向而行,那么甲追上乙需要 小时. 11.已知甲、乙两数的比为5:3,并且它们最大公约数与最小公倍数的和是1040,那么甲数是多少,乙数是多少. 12.有一块铜锌合金,其中铜与锌的比是2:3.现在加入锌6克,共得新合金36克,求在新合金内铜与锌的比. 13.一段路程分成上坡、平路、下坡三段,各段路程长之比依次是1:2:3.某人走各段路所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡时速度为每小时3千米.路程全长50千米.问:此人走完全程用了多少时间? 14.一个圆柱体的容器中,放有一个长方形铁块.现在打开一个水龙头往容器中注水,3分钟时,水恰好没过长方体的顶面,又过了18分钟,水灌满容器.已知容器的高度是50厘米.长方体的高度是20厘米,那么长方体底面积:容器底面面积等于多少? 练习题 1 有一个长方体，长与宽的比是2：1，宽与高的比是3：2，已知这个长方体的全部棱长之和是220cm 。 求这个长方体的体积。 2 6枚一分硬币叠在一起与5枚二分硬币叠在一起一样高，4枚一分硬币叠在一起与3枚五分硬币叠在一起一样高，用一

六年级奥数分数百分数应用题教师版定稿版

六年级奥数分数百分数 应用题教师版精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

第六讲：分数百分数应用题 教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨： 一、知识点概述 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为 19 1 88 +=，因此乙比甲少 191 889 ÷=.

方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少 1 19 9÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较 分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。 （三）、原数量与现数量

六年级下册数学比和比例的练习题及答案

六年级下册数学比和比例的练习题及答案经典题型 一、填空： 1. 甲乙两数的比是11:9,甲数占甲、乙两数和的 ，乙数占甲、乙两数和的。甲、 。 乙两数的比是3:2，甲数是乙数的倍，乙数是甲数的2. 在3:5里,如果前项加上6,要使比值不变,后项应加。 91 吨大豆可榨油吨，1吨大豆可榨油吨，要榨1吨油需大豆吨。3 22 4. 甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是。 35 3. 5. 把甲数的 1 给乙，甲、乙两数相等，甲数是乙数的，甲数比乙数多。 1

，甲数与乙数比是。乙数比甲数少。 6. 甲数比乙数多 7. 车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数的比是2:5.问:摩 托车的辆数与小卧车的辆数的比是。 8. 一种盐水是由盐和水按1 ：30 的重量配制而成的。其中，盐的重量占盐水的， 水的重量占盐水的。 9. 光明小学有三个年级,一年级学生占全校学生人数的25%,二年级与三年级学生人数的 比是3:4,已知一年级比三年级学生少40人,一年级有学生人。 10. 加工零件的总个数一定，每小时加工的零件个数的加工的时间比例；订数学 书的本数与所需要的钱数比例；加工零件的总个数一定，已经加工的零件和没有加工的零件个数比例。 11. 如果x÷y = 1×2，那么x和y成比例；如果x:4=5:y，那么x和y成 比例。 12. 甲、乙两人步行的速度比是13:11.如果甲、乙分别由A、B两地同时出发相向而行,0.5 小时后相遇,如果它们同向而行,那么甲追上乙需要小时二、选择

1 / 1. 图上６厘米表示表示实际距离240千米，这幅图的比例尺是。 A、1：40000 B、1：400000 C、1：4000000 2. 小正方形和大正方形边长的比是2:7小正方形和大正方形面积的比是 A、2： B、6：21 C、4：14. 三角形的高一定,它的面积和底 A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 4. 与 15：1 6 能组成比例的是。 A、16：1 B、1 6 ： C、：D、6：5 5. 在盐水中，盐占盐水的1 10 ，盐和水的比是。 A、1： B、1：9 C、 1：10 D、1：11 6. 如果X＝ 3 4Y，那么Y：X＝。 A 、1：3B、3

六年级奥数比和比例

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例题1 有三盒珠子，每盒的珠子的数量互不相同。小王从第一个盒子内取出该盒珠子数量的31，又从第二个盒子内取出该盒珠子数量的41，再从第三个盒子内取出该盒珠子数量51 。最后，这三个盒子内剩下的珠子的数量都相等。请问小王从这三个盒子内所取出的珠子数量之总和的最小可能的值是什么？ 分析 依据题意有32A=43B=54C,则A:B:C=18:16:15 例题 2 甲、乙两校原有图书的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两校的图书本数的比就是3：4，原来甲校友图书多少本？ 随堂练习 （1）有一个长方体，长和宽的比是2：1，宽与高的比是3:2。已知这个长方体的全部棱长之和是220cm ，求这个长方体的体积。 （2）小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多51，小方用的时间比小明多81。小明和小方的速度之比是多少？ （3）

（3）甲、乙两仓库存货吨数比为4：3，如果由甲库中提取8吨放到乙库中，则甲、乙两仓库存货吨数比为4：5。两仓库原存货总吨数是多少吨？ 例题3 如图（见黑板），正方形ABCD的边AB与正方形MNPQ的边PQ平行且相等。试求阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比。 例题4 如图，三个同心圆，他们的半径之比是3：4：5，如果大圆的面积是100平方厘米，那么中圆和小圆之间的圆环面积是多少？ 练习 (1)如图在四边形ABCD中，AC和BD相交于O点。三个小三角形的面积分别是20、16、32。那么阴影三角形BOC的面积是多少？ B C (2)如图所示梯形ABCD的上底AD长12厘米，高BD长18厘米，BE=2DE,则下底BC长多少厘米？

六年级奥数试题-排列组合(教师版)

第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1

…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（）　． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．

小学六年级比与比例知识点梳理

复习课:比和比例 知识点三：求比值和化简比 1、 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，如果这两种量中相 对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比 例关系。正比例的关系式： k x y =（一定） 2、 反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，如果这两种量中相 对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 反比例的关系式：k xy =（一定） 3、 判断正、反比例的方法：一找二看三判断 （1） 找变量：分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2） 看定量，分析这两种相关联的量，它们之间的关系是商一定还是积一定。 （3） 判断：如果商一定，就成正比例；如果积一定就成反比例；如果商和积都不是定量， 就不成比例

知识点五：用比例知识解决问题 1、 按比例分配问题 （1） 按比例分配应用题：把一个量按照一定的比分配成几部分，求每个部分数量各是多少的 应用题叫做按比例分配应用题。 （2） 解题方法 一般方法：把比转化成为分数，用分数方法解答，即先求出总分数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少 归一法：把比看做分得的分数，先求出各部分的总分数，然后再用“总量÷总份数=平均每份的量（归一）”，再用“一份的量?各部分量所对应的份数”，求出各部分的量。 用比例知识解答：首先设未知量为。再根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x 的比例式，再解比例求出x 。 2、 用正、反比例知识解答应用题的步骤 （1）分析数量关系。判断成什么比例。（２）找等量关系。如果成正比例，则按等比找等量关系式；如果成反比例，则按等积找等量关系式。（３）解比例式。设未知数为x ，并代入等量关系式，得正比例式或反比例式。（４）解比例。（５）检验并写出答语。 精讲典型题 例题1 （1） 一项工程，甲单独做要4天，乙单独做要5天完成，甲和乙的工作效率比是（）： （） （2） 把2米：4厘米化成最简单的整数比是（），比值是（）。 例题2 汉江码头第一货场有750吨货物，分给两个运输队运到另一货场。甲队有载重6吨的汽车6辆，乙队有载重8吨的汽车3量，按两个队的运输能力分配，甲、乙两队各应运货多少吨？ 巧练考点题 1. 请你填一填 （1）2.1:0.9化简成最简单的整数比是（），比值是（）。 （2）甲乙两数的比是4:5，甲数是乙数的（），乙数是甲乙和的（） （3）一个最简单的整数比的比值是1.5，这个比是（） （4）4.5与它的倒数的比是（） （5）（）÷24= 8 3 =24：（）=（）% （6）如果a ?7=b ÷2(a 、b 都不为0)，那么a :b =（）：（） （7）除数、被除数的比是1:3，被除数、除数、商的和是35，被除数是（） （8）一汽车工人加工一批零件，如下表

六年级奥数 分数百分数应用题教师版

一、解答题（共25小题，满分0分） 1．（2011?成都）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元？ 2．（2006?泉山区校级自主招生）100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，这100千克的蘑菇现在还有千克． 3．有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是多少升？ 4．（2012?哈尔滨校级自主招生）有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重．如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍．这两堆煤共重多少吨？

5．一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2：1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，求开始时黑棋子、白棋子各有多少枚？ 6．某班有学生48人，女生占全班的%，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生？ 7．（2010?北京校级自主招生）把一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形．它与原来的正方形面积相等．问正方形的面积是多少？ 8．学校男生人数占45%，会游泳的学生占54%．男生中会游泳的占72%，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？

9．某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ 10.（2012?中山校级模拟）一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？ 11．有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5．现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（图1），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（图2），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？

六年级奥数比例应用题

六年级奥数比例应用题 【指点迷津】 比例解题是小学数学综合能力的一个重要方面,这里的比例题主要包括正比例和反比例的应用。它常常同分数应用题、工程问题、行程问题等交织在一起,使数量关系变得复杂。 解题的关键在于找出与问题有关的几种相关联的量，并判断它们的关系。 【经典例题】1、 小明和小方各走一段路,小明走的路程比小方多15,小方用的时间比小明多1 8,小明和小方 的速度之比是多少? 【思路导航】根据题意,小明和小方路程之比为6 : 5,小明和小方所用的时间的比是8:9,我们把这两个比看作最简整数比,利用路程与时间的关系, 可求出小明和小方的速度之比。 解:68 :5 9=27:20 答:小明和小方的速度之比是27: 20。 【举一反三】1、 1. 张师傅和李师傅加工一些零件,张师傅加工的个数比李师傅多1 6 ,李师傅用的时间比 张师傅多1 8; ,张师傅和李师傅每小时加工的个数之比是多少? 2.李刚和张亮各走一段路,李刚走的路程比张亮多25 ,张亮用的时问比李刚多3 8 ,李刚和

张亮的速度之比是多少? 【经典例题】2、 甲、乙两仓库存货吨数比为4 : 3,如果由甲库中取出8吨放到乙库中,则甲、乙两仓库存货吨数比为4 : 5 ,两仓库原存货总吨数是多少吨? 【思路导航】甲库中原来存货占甲、乙两库总数的44+3 =4 7,取出8吨后,那么甲库余下的 吨数是甲、乙两库总吨数的49,所以取出的8 吨是占甲、乙两库总数的47— 4 9 解：8÷（47— 4 9）= 63（吨） 答：两仓库原存货总吨数是63吨。 【举一反三】2、 1、甲、乙两厂的人数比是7: 6,从甲厂调360人到乙厂后，甲、乙两厂人数的比是2：3, 甲、乙两厂原来一共有多少人? 2 甲、乙两工程队的人数比是6: 5，从甲队调50人到乙队后,甲、乙两队人数的比是4 5,甲、乙两队原来一共有 多少人？