习题详解-第10章 微分方程与差分方程初步
习题10-1
1. 指出下列方程的阶数：
(1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2
2
d d 0d d Q Q Q L R t c t
++=． (3)2d cos d ρ
ρθθ
+=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=．
解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶
2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =．
(2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =．
(3)20y y y '''++=， x y x e -=．
(4)22d 0.4d s t
=-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；
(3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=；
(4)是，代入，2
12d d 0.4,0.4d s s t C t
=-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程
222d 0d x k x t += 的通解.
解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2
22
d 0d x k x t
+=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解.
4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t
+=的通解,求满足初始条件 x | t =0 =2, x '| t =0 =0
的特解.
解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠
习题10-2
1. 求下列微分方程的通解：
(1)()2
3
10y y x '++=； (2) 2+'=x y y ；
(3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2
d d d d x xy y y x y y +=+；
(5) 22
d d d d y y y x
xy x x +=； (6) d d y x y x x y
-=+； (7) 22
d d y y x xy x
=+； (8) )2(tan 212
y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得
()
2
31d =d y y x x
+-
两端分别积分：
()3
4111=+34
y x C,+-
这就是方程通解 .
(2)这是可分离变量方程，分离变量得
2d =2d y x y x
-
两端分别积分：
122+ln2y x C ,--=?即12+202x y C (C ln C )--==?
这就是方程通解 .
(3)这是可分离变量方程，分离变量得
d d cos y cos x
y x sin y sin x
=
两端分别积分：
ln sin y ln sin x lnC,-=--即sinx sin y Ce =
这就是方程通解 .
(4)这是可分离变量方程，分离变量得
2
1d =d 11
y y x y x --
两端分别积分：
211
11+22
ln(y )ln(x )lnC,-=-即221+1y C(x )=- 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令,x y
u =
则
d d ,d d y u u x x
=+代入原方程并整理 1
d d u u x u
-=
两端分别积分：
ln u u x C -=+即
ln y y
x C x x
-=+ 这就是方程通解 .
(6)这是齐次方程，化简得
1d d 1y
y x y
x x
-
=
+
令,x y
u =
则
d d ,d d y u u x x
=+代入原方程并整理 21d d 12u u x u u +=--，两端分别积分：
2
11ln 1222u u x C ---=+ 即2
22ln 10y y x C x x
--++=
这就是方程通解 .
(7)这是齐次方程，化简得
2
d d 1y y x y
x x
?? ???=
+
令,x y
u =
则
d d ,d d y u u x x
=+代入原方程并整理 1
d d u u x u +=-，两端分别积分：ln u u x C +=-+ 即ln 0y y x C x x
++-= 这就是方程通解 .
(8)这是特殊方程，用换元法，令,2y x u +=则
d 1d 1,d 2d y u x x ??
=- ???
代入原方程并整理 2cos ud d u x =，两端分别积分：11
sin 224
u u x C +=+
即42sin(24)40y x x y C -++-=
这就是方程通解 .
2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 3
sin y y x '=， (0)1y =；
(2) 222
(1)
(1)x y y x +'=+， (0)0y =； (3)
d tan d y y y x x x =+，(1)6
y π=； (4) 222
d d 2x y
x xy y y xy
=-+-，(0)1y =． 解 (1)分离变量：
3
1
d sin d y x x y =． 两端分别积分：
3
1
d sin d y x x y =?
?． 解得：
21
cos 2x C y -
=-+． 将(0)1y =代入通解中，求得1
2C =．故所求特解为
21
2cos 1x y
=-． (2)分离变量：
222
1d d 1(1)x
y x y x =++． 两端分别积分：
211
arctan d 2(1)y x C x =-?++．
将(0)0y =代入通解中，求得1
2
C =．故所求特解为
2111
arctan d 2(1)2
y x x =-?++．
(3) 这是齐次方程,令,x y
u =则
d d ,d d y u u x x
=+代入原方程并整理 1
d d .tan u x u
= 两边积分得
,ln sin ln C x u +=即.sin x Ce u =
变量回代得所求通解
.sin
x Ce x
y
=
由(1)6y π
=代入通解，得612
C e π
-=，故所求初值问题的解为
61sin .
2x y e e x π
-=
3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.
解：设曲线方程为：()y f x =
由题意可得方程: 2002y y
y x x
-'=
=--,且(1)2y =，
解分离变量方程得：xy C =,由(1)2y =得
2C =，
故所求曲线为：2xy =.
4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t 的变化规律.
解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =建立该问题的数学模型:
?????=--==100
|)
20(0t T T k dt
dT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20
kdt T dT
-=- 两边积分
,20
1
?
?-=-kdt dT T 得1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)， 即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=). 从而,20kt Ce T -+=再将条件(2)代入,得,8020100=-=C
于是，所求规律为.8020kt e T -+=
习题10-3
1. 求下列微分方程的通解：
(1) cos sin x y y x e '+=； (2) 2x y y e '-=；
(3) 2(1)x x y x y e '=-+； (4) 22d (2)d 0y x x x y y y +--=；
(5) ()1y x e y '-=； (6) 3(1)2(1)2x y y x y
-'=+
- 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中()sin ,P x x =cos ()x Q x e =． 首先求出Pd sin d cos x x x x ==-?? (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为
d d d d P x P x P x
y Ce e Qe x --???=+?
cos cos x x Ce xe =+．
(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),2
P x =-1()2x Q x e =．
首先求出Pd 2
x x -=? (积分后，不再加任意常数)，
然后用公式(10-6)可得所求通解为
d d d d P x P x P x
y Ce e Qe x --???=+?
2
4
x x Ce =+．
(3) 这是一阶线性非齐次方程，其中1()1,P x =-21()x Q x e =．
首先求出Pd ln x x x =-? (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为
d d d d P x P x P x
y Ce e Qe x --???=+?
2x x
e e C =?+．
(4)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程
2
12d 1d y x x y y -+?=， 于是，2
12()y
P y y -=
()1Q y =． 首先求出1Pd 2ln y y y
=--?，然后代入通解公式，可得所求通解为
112ln 2ln 1d y
y y
y
x e e
y C +--??=?+ ????
11122221d y y
y y e e y C Cy e y y -??=?+=+ ???
?.
(5)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程
d d y x
x e y
--=-， 于是，()1P y =-()y Q y e -=-．
首先求出Pd y y =-?，然后代入通解公式，可得所求通解为
()
d y y y x
e e e y C --=-?+?
12
y y e Ce -=+.
(6)令,1-=
x y
u 则d d (1),d d y u u x x x
=+-代入原方程并整理 2
2d d .31
u x
u u x =-- 两边积分得
,ln ln )3ln(2C x u +-=-
变量回代得所求通解
22
3.(1)y C
x x
-=-
2. 求解下列初值问题：
(1) 2(2)d d 0y x y x x y -+=，1x y e ==； (2)sin x y y x '+=，()1y π=； (3) 2
y y x y '=
-，(2)1y =； (4) 5y y x y '-=，(0)1y =.
解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得2
d (12)0d y x y x x -+?=， 其通解为(12)1
d 2=x x
x x
y Ce Cx e --
?
=，将初始条件1x y e ==代入上式，可得1C =，
故所求特解为
1
2=x y x e ．
(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x =1()sin Q x x x =．
首先求出Pd ln x x =? (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为
d d d d P x P x P x
y Ce e Qe x --???=+?
cos C x
x
-=
将初始条件()1y π=代入上式，可得1C π=-，故所求特解为
1cos x y x
π--=
．
(3)将x 看作y 的函数，即对()x x y =进行求解，可将原方程化为未知函数为()x x y =的线性方程
d 1
d x x y y y
-=-， 于是，1()P y y
=-()Q y y =-．
首先求出Pd ln y y =-?，然后代入通解公式，可得所求通解为
1()d x y y y C y ??
=?-+ ???
?
2Cy y =-.
将初始条件(2)1y =代入上式，可得3C =，故所求特解为
23x y y =-．
(4) 这是伯努利方程，以5y 除方程的两端,得
5
4d ,d y y y x x ---=即44d()1,y y x ----= 令4,z y -=则上述方程变为 d 44.d z
z x x
+=- 解此线性微分方程(过程略)，可得41
4
x z x Ce -=-++，
得所求通解为4441
()4x y z x Ce -==-++，将初始条件(0)1y =代入上式，可得34
C =，故
所求特解为
44413
()x y z x e -==-++．
3. 通过适当变换求下列微分方程的通解：
(1) d 11d y x x y
-=-； (2) d 4
d y y x x x -=解 (1)令y x u -=则d d 1,d d y u
x x
=+原方程化为
d 1u =-. 分离变量,得
d d u u x =-， 两端积分得
2
u x C =-+ 以y x u -=代入上式,得通解
2
()2y x x C -=-+.
(2)这是伯努利方程，其中214
,(),()2n P x Q x x x
=
=-=，则有公式得通解 1(1)()d (1)()d 12
()(1)d n P x x n P x x n
y
y e Q x n e x C ----????==-+ ?
??? 2ln 22ln 1
(d )2
x x e x e x C -=??+?
21
().2
x C x =+ 4. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和. 解：由题意可得方程
d 2d y
x y x
=+， 这是一阶非齐次线性方程，其中()1,P x =-()2Q x x =，然后用公式(10-6)可得所求通解
为
d d d d P x P x P x
y Ce e Qe x --???=+?
22x x Ce -=--+.
习题10-4
1. 求下列微分方程的通解：
(1) sin 2y x x ''=-； (2) 2cos x y e x '''=-；
(3) -20x y y '''= ； (4) 4x y y x '''+=； (5) 2=2()y y '''； (6) 31y y ''=
解：(1) 21cos ,y x x C '=--+
3121
sin ,3
y x x C x C =--++
(2) 211sin 2
x y e x C ''=-+,2121
cos ,4x y e x C x C '=+++
2212311
sin .82
x y e x C x C x C =++++
(3) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程
20xp p '-=． 分离变量，得
12
d d p x p x
=. 两边积分得: 21p C x =再积分一次即得原方程的通解为 3121
3
y C x C =+．
(4) 该方程是不显含y 的方程，令y p '=，则y p '''=.原方程化为一阶方程
4xp p x '+=． 整理，得
4p
p '+
=， 这是一阶非齐次线性方程，解得1
2C p x x
=
+再积分一次即得原方程的通解为 212ln y C x x C =++．
(5)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d d p
y p
y
''=,原方程化为 2d 2d p
p
p y
=． 分离变量得
d 2d p
y p
=．两边积分得： 211y p C e =．
再由
211d d y y
C e x
=，解得212y e C x C -=+． (6)该方程是不显含x 的方程，令y p '=，则d p
y p ''=,原方程化为
3d d y p p y =．
得22
1122
11
C y p C y y -=-+=．解得：d d y x =
可解得通解为：221121()C y C x C -=+．
2. 求解下列初值问题：
(1) 12cos y x x '''=+,(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==；
(2) 21,x y x y '''+=1
0,x y
==11x y ='=；
(3) 2()yy y '''=，(0)(0)1y y '==. 解 (1)相继积分三次得出:
216sin y x x C ''=++，3122cos y x x C x C '=-++，4212311sin 22
y x x C x C x C =
-+++， 以(0)1,(0)(0)1y y y '''=-==代入后可得出1231,2,1C C C ===-，于是所求特解为
4211
sin 2122
y y x x x x ==
-++-． (2)令,y p '=代入方程并整理,有211.p p x x
'+=
这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得
11
(ln )p y C x x
'==+
由条件 11x y ='=得11,C =所以1(1ln )y x x
'=+
两端再积分,得221ln (ln ).2
y x x C =++
又由条件 10,x y == 得20,C =
于是所求初值问题的解为
21
ln (ln ).2
y x x =+
(3)令,y p '=由d d p
y p y
''=代入方程并化简得
d .d p y p y
= 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p y Cy '== 再分离变量,得
d d ,y
x Cy
= 由初始条件(0)(0)1y y '==得出1,C = 从而得
d d ,y
x y
= 再两边积分,得1x y C e =, (0)1y =，得11,C =从而所求特解为x y e =.
3. 已知平面曲线()y f x =的曲率为32
(1)y y ''
'+,求具有常曲率(0)K K >的曲线方程.
解：由题意得方程32
(0)(1)
y K K y ''
=>'+，令(),y p x '=代入方程,有32(1)p K p '=+ 即
3
2d d .(1)
p K x p =+解之，得1Kx C =+ 32
d d .(1)
p K x p =+
习题10-5
1.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
(1) 22
,;x x e x e (2) ,()ax bx e e a b ≠；
(3) 1cos 2x +，2sin x ； (4) cos ,x sin x .
解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.
2. 验证1y x =与2x y e =是方程(1)0x y xy y '''--+=的线性无关解，并写出其通解.
解：当1y x =，1
1y '=，10y ''=，代入满足方程；当2x y e =，2x y e '=，2x y e ''=，代入也满足方程；另外，1y x =，2x y e =是线性无关的（由定义可知），方程的通解为：
112212x y C y C y C x C e =+=+.
3. 求下列微分方程的通解：
(1) 230y y y '''--=； (2) 280y y y '''--=； (3) 440y y y '''++=； (4) 690y y y '''-+=； (5) 250y y y '''++=； (6) 160y y ''+= ; (7) x y y x e ''+=+ ； (8) 4sin y y x ''+=.
解：(1) 特征方程2230r r --=的根为：121=3r r =-，,通解为312x x y C e C e -=+； (2) 特征方程2280r r --=的根为：1224r r =-=，,通解为2412x x y C e C e -=+； (3) 特征方程2440r r ++=的根为：122r r ==-,通解为2212x x y C e C xe --=+； (4) 特征方程2690r r -+=的根为：123r r ==,通解为3312x x y C e C xe =+；
(5) 特征方程2250r r ++=的根为：1,212r i =-±,通解为12(cos2sin 2)x y e C x C x -=+； (6) 特征方程2160r +=的根为：1,24r i =±,通解为12cos4sin 4y C x C x =+； (7) 特征方程210r +=的根为：12r r i ==±,齐次通解为12cos sin y C x C x =+； ()x f x x e =+可以看成是1()f x x =与2()x f x e =之和．
所以分别求方程y y x ''+=与方程x y y e ''+=的特解． 容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．
按例9的方法可求得方程x y y e ''+=的一个特解为：212
x y e =．
于是原方程的一个特解为12y y y =+＝12
x x e +．故原方程的通解为
y y Y =+=12
x x e +12cos sin C x C x ++.
(8) ()4sin f x x =为(cos sin )αx
e A ωx B ωx +型的函数，且0α=，1ω=，αωi i +=是特征方程210r +=的根，所以取1k =．设特解为
()cos sin y x C x D x =+．
()cos sin cos sin y C x D x x D x C x '=++-． 2cos 2sin (cos sin )y D x C x x C x D x ''=--+．
代入原方程，得 2c o s
2s i n 4s i D x C x x -=． 比较两端sin x 与cos x 的系数，得2,0C D =-=，故原方程的特解为2cos y x x =-． 而对应齐次方程0y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+.
于是原方程的通解为y y Y =+2cos x x =-＋12cos sin C x C x +．
4. 求解下列初值问题：
(1) 20,y y y '''++=y |x =0=4、y '| x =0=-2；
(2) 20y y y '''-+=,(0)(0)1y y '==
解：(1) 特征方程2210r r ++=的根为：121r r ==-,通解为12x x y C e C xe --=+；代入初值条件00|4|2x x y y =='==-、，得124,2C C ==，方程特解为42x x y e xe --=+.
(2) 特征方程2210r r -+=的根为：121r r ==,通解为12x x y C e C xe =+；代入初值条件(0)(0)1y y '==，得121,0C C ==，方程特解为x y e =.
5. 求下列微分方程的一个特解：
(1) 2331y y y x '''--=+； (2) 94y y x '''+=-；
(3) 2x y y y e '''-+=； (4) 9cos 21y y x x ''+=++.
解：(1) 因为()31f x x =+，且y 的系数30q =-≠，设特解为y Ax B *=+． 则 ()y A '*=，()0y ''*=，代入原方程，得23()31A Ax B x --+=+， 使两端x 同次幂的系数相等：11,2A B =-=,所求的特解为12
y x *=-+．
(2) 因为()4f x x =-，且y 的系数0q =，设特解为()y x Ax B *=+．
则 ()2y Ax B '*=+，()2y A ''*=，代入原方程，使两端x 同次幂的系数相等 得，137,A B -==,所求的特解为2137y x x *=-．
(3) 1α=是特征方程2210r r -+=的重根，取2k =，所以可设原方程的特解为2x y Bx e =，则
22224x x x x x y Bxe Bx e y Be Bxe Bx e '''=+=++，，代入原方程得解得12
B =，
故方程有一特解为212
x y Bx e =.
(4) ()cos 21f x x x =++可以看成是1()21f x x =+与2()cos f x x =之和． 所以分别求方程921y y x ''+=+与方程9cos y y x ''+=的特解． 容易求得方程921y y x ''+=+的一个特解为：12199
y x =+．
另求得方程9cos y y x ''+=的一个特解为：21cos 8
y x =．
于是原方程的一个特解为12y y y =+＝211cos 998
x x ++．
习题10-6
1. 求下列函数的一阶与二阶差分：
(1) y t =3t 2-t 3； (2) y t =e 2t ； (3) y t =ln t ； (4) y t =t 2·3t .
解：(1) ()()()23
23231133+32t y t t t t t t ?=+-+--=-+［］,
()22()3+326t t y y t t t ?=??=?-+=-；
(2) 2(1)222e e e (1)t t t t y e +?=-=-,
()22222222()e (1)(1)(e )e (1)t t t t t y y e e e ?=??=?-=-??=-，
(3) ln(1)ln t y t t ?=+-,
()2()ln(1)ln ln(2)2ln(1)ln t t y y t t t t t ?=??=?+-=+-++ (4) ()()2
1221333263t t t t y t t t t +?=+-=++,
()()
()()
22122()326332(1)693263t t t t t y y t t t t t t +?=??=?++=+++-++
()2342430t t t =++
2. 将差分方程Δ2y t +2Δy t =0表示成不含差分的形式.
解：因为1t t t y y y +?=-，21()t t t t Δy ΔΔy Δy Δy +==-212t t t y y y ++=-+， 故220t t y y ?+?=可化为211222()0t t t t t t t y y y y y y y ++++-++-=-= 3. 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，确定差分方程的阶：
(1) y t +5-y t +2+y t －1=0; (2) Δ2y t -2y t =t ； (3) Δ3y t +y t =1； (4) 2Δy t =3t -2y t ； (5) Δ2y t =y t +2-2y t +1+y t .
解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此方程的阶为7； (2) 是差分方程.由于2t y ?212t t t y y y ++=-+，方程变为212t t t y y y t ++--=，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；
(3)是差分方程.由于Δ3y t 32133t t t t y y y y +++=-+-，方程变为321331t t t y y y +++-+=，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；
(4) 将原方程变形为2(y t +1-y t )= 3t -2y t ，即2y t +1=3t,不符合定义3′，因此，该等式不是差分方程.
(5) 不是差分方程.由于2t y ?212t t t y y y ++=-+，方程变为00=，所以不是差分方程.
4. 验证y t =C (-2)t 是差分方程y t +1+2y t =0的通解.
解：112(2)2(2)0t t t t y y C C +++=-+-=，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.
习题10-7
1. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解： (1) y t +1-2y t =0； (2) y t +1+3y t =0； (3) 3y t +1-2y t =0.
解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为 y t =C 2t . (2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为 y t =C (-3)t . (2)特征方程为：3λ-2=0,特征根为2λ=-，于是原方程的通解为()
2
.3t
t y C =- 2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：
(1) y t +1-3y t =0，且y 0=3； (2) y t +1+y t =0，且y 0=-2.
解 (1)特征方程为30λ-=,特征根为3λ=，于是原方程的通解为 3.t
t y C = 将初始条件y 0=3代入，得出C =3，故所求解为13.t t y +=
(2)特征方程为10λ+=,特征根为1λ=-，于是原方程的通解为(1).t t y C =- 将初始条件y 0=-2代入，得出C =-2，故所求解为2(1).t t y =-- 3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解： (1) y t +1+2y t =3； (2) y t +1-y t =-3； (3) y t +1-2y t =3t 2； (4) y t +1-y t =t +1; (5) 11522t
t t y y +??-= ???
； (6) y t +1+2y t =t 2+4t .
解 (1) 由于a =-2，k =3，令y *t =A (待定系数)，代入方程得A +2A =3，从而A =1，即y *t =1，故原方程的通解为y t =C (-2)t +1.
(2) 由于a =1，k =-3，令y *t =At (待定系数)，代入方程得A =-3，即y *t =-3t ，故原方程的通解为y t =-3t+C .
(3) 设y *t =A 0+A 1t +A 2t 2为原方程的解，将y *
t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得
A 0=-9，A 1=-6，A 2=-3.
从而*2963t y t t =-+--,故原方程的通解为
29632.t t y t t C =-+--+
(4) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *
t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得0112A A ==,从而*1(1)2
t y t t =+,故原方程的通解为
1(1).2
t y t t C =++
(5) 由15122a k b ===，，，令原方程有一个特解为*5·()2t t y A =，解得35
A =.
于是原方程的通解为()
351
·().522
t
t t y C =+ (6)设f 1(t )= t 2，f 2(t )= 4t ，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).
对于f 1(t )= t 2，因a =-2≠1，可令特解y *
t 1= A 0+A 1t +A 2t 2；
对于f 2(t )= 4t ，因a =-2≠4，可令y *
t 2=B4t
故原方程的特解可设为y *
t = A 0+A 1t +A 2t 2 +B4t ，代入原方程，得
0121211,27934
A A A
B =-=-==-，，，
于是21121 42793t t y t t *-=-+-+-，故所求通解为21121 4(2).2793
t t t y t t C -=-+-+-+- 4. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解： (1) y t +1-y t =3+2t ，且y 0=5； (2) 2y t +1+y t =3+t ，且y 0=1; (3) y t +1-y t =2t -1，且y 0=2.
解 (1) 由于a =1,设y *t =(A 0+A 1t )t 为原方程的解，将y *
t 代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得012,1A A ==,从而*(2)t y t t =+,故原方程的通解为(2).t y t t C =++又有初始条件y 0=5，可知5C =，故特解为(2) 5.t y t t =++
(2) 由于12
a =-,设y *t =A 0+A 1t 为原方程的解，将y *
t 代入原方程并整理，比较同次幂系数,
可得0171,93A A ==,故原方程的通解为171().392t t y t C =++-又有初始条件y 0=1，可知29
C =，
故特解为1721().3992
t t y t =++?-
(3) 由a =1可知，对应的齐次方程的通解为y t =C . 设f 1(t )=2t ，f 2(t )=-1，则f (t )=f 1(t )+f 2(t ).
对于f 1(t )=2t ，因a =1≠3，可令y *t 1=A 2t ；对于f 2(t )=-1，因a =1，可令y *
t 2=Bt .故原方程
的特解可设为y *
t =A 2t +Bt ，代入原方程，得11A B ==-，,故所求通解为2t t y C t =+-
又有初始条件y 0=2，可知1C =,故特解为12t t y t =+-.
5. 某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，计划用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱？若记y t 为第t 个月后还需偿还的债务，a 为每月的还款额，写出y t 所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.
解 先对问题的进行分析， 第1个月后还需偿还的贷款为
y 1= y 0 (1+1%)-a;
第2个月后还需偿还的贷款为
y 2=y 1(1+1%)-a ;
……
第t +1个月后还需偿还的贷款为
y t +1=y t (1+1%)-a ，
即
y t +1-1.01y t =-a .
这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为λ=1.01≠1，设差分方程有特解y *t =A ，代入得到100A a =，于是有通解
(1.01)100t t y C a =+.
代入初始条件y 0=25000，及12(1.01)1000t y C a =+=得
12
10025000
(1.01)1000C a C a +=??+=?
， 从上面的等式解得
1212250001.011001.01100
a ?=
?-.
6. 设某产品在时期t 的价格、供给量与需求量分别为P t ，S t 与Q t (t =0，1，2，…).并满足关系：(1)S t =2P t +1，(2)Q t =-4P t －1+5，(3) Q t =S t .
求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程P t +1+2P t =2.若已知P 0，求上述差分方程的解. 解 由题意可得2P t +1=-4P t －1+5，即2P t+1=-4P t +4，得差分方程P t +1+2P t =2，
容易求得方程的特解为：*23y =，方程的通解为：2(2)3
t y C =+-,00,t y p ==当时，
023C p =-所以,故所求差分方程的解为022
()(2).33
t y p =+--
7. 设C t 为t 时期的消费，y t 为t 时期的国民收入，I =1为投资(各期相同)，设有关系式 C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，
其中a ，b 为正常数，且a <1，若基期(即初始时期)的国民收入y 0为已知，试求C t ，y t
表示为t 的函数关系式.
解 由C t =ay t －1+b ，y t =C t +1，得11t t y ay b -=+－，又因为a <1，故可设特解为*y A =，代
入得11b A a +=-，所以方程的通解为11t b y Ca a +=+-，00,t y y ==当时，011b C y a
+=-
-所以,故所求差分方程的解为011()11t t b b y y a a a ++=-
+--，从而01()11t t b a b
C y a a a
++=-+--.
复习题10 （A ）
1. 通解为y =C e -x +x 的微分方程是 .
解 方程是一阶的，e 1x y C -'=-+，方程为1y x y '=-+.
2. 通解为y =C 1e x +C 2e 2x 的微分方程是 .
解 易见这是二阶常系数方程的解，特征根为121,2r r ==,特征方程为2
320r r -+= 所以微分方程为320y y y '''-+=.
3. 微分方程x d y -(x 2e －
x +y )d x =0的通解是 .
解 方程可化为e x y
y x x
-'-
=，通解为x y xe Cx -=-+. 4. 微分方程xy ′+y =0满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 分离变量得
d d y x
y x
=-，通解为xy C =，初始条件y (1)=1特解为1xy .= 5. 设非齐次线性微分方程y ′+P (x )y =Q (x )有两个不同的解y 1(x )与y 2(x )，C 是任意常数，
则该方程的通解是 .
A C ［y 1(x )+y 2(x )］
B
C ［y 1(x )-y 2(x )］
C y 1(x )+C ［y 1(x )-y 2(x )］
D y 1(x )+C ［y 1(x )+y 2(x )］
解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解()()12Y C y x y x =-［］，非齐次特解为：()()12=y*y x y*y x =或者，所以选择C.
6. 微分方程y ″+4y =sin2x 的一个特解形式是 .
A C cos2x +D (sin2x )
B D (sin2x )
C x ［C cos2x +
D (sin2x )］ D x ·D (sin2x )
解 因为0α=，2ω=，2i i αω+=是特征方程240r +=的根，所以取1k =．设特解为 ()cos2sin 2y x C x D x =+．选择C.
7. 解下列一阶微分方程： (1) (1+y 2)d x =xy (x +1)d y ； (2) x (y ′+1)+sin(x +y )=0；
(3) (cos )d cos d y y
x y x x y x x
+=； (4) xy ′+2y =sin x ；
(5) tan y d x =(sin y -x )d y ； (6) (y -2xy 2)d x =x d y .
解 (1)分离变量()2
1
d d 11y y x x x y
=++，积分得211ln(1)ln ln()221x y C x ++=+， 化简得2
2
(1)(
)1
x C y x +=+； (2)令d d ,1d d y u
u x y x x
=+=-则
，原方程化为d d d sin 0,d sin u u x x u x u x +==-即，积分得
ln(csc cot )ln ln u u x C -=-+，化简并整理得通解：
1cos()sin()x y C
x y x
-+=+.
(3) (1cos )d d d ,,d d d cos
y y
y y y u x x u x u y x x x x x
+
===+原方程可化为
令则，原方程化为d cos d x u u x =，积分得sin ln ||,u x C =+方程通解为sin ln ||.y
x C =+
(4)这是一阶线性非齐次方程，2sin (),()x P x Q x x x
==，所以方程通解为
()d d 21
(d )sin cos P x P x y e Qe x C x x x C x
-??=+=-+?
(5) )设()x x y =，方程化为d sin cot cos d tan x y x
x y y y y
-==-+，
这是一阶线性非齐次方程，()cot ,()cos P y y Q y y ==，所以方程通解为
d d 211(d )sin sin 2P y P y x
e Qe y C y C y -??
??=+=+ ???
?
(6)方程可化22d 2y y xy y
y -==-，
这是伯努利方程，其中1(),()2,2P x Q x n x =-=-=，所以方程通解为2
(1)()d (1)()d 1()(1)d ,n P x x
n P x x n
x C y
e Q x n e x C x ----+???
?=-+= ?
??
?即 2x y x Cy -=.
8. 解下列二阶微分方程：
(1) (1+x )y ″+y ′=ln(1+x )； (2) y ″+3y ′+2y =2x 2+x +1； (3) y ″+2y ′-3y =2e x ； (4) y ″+y =x +cos x .
解 (1)易见不显含y ，令(),=,y p x y p ''''=则代入方程得()()1ln 1x p p x '++=+，
即()ln 111x p
p x x
+'+
=
++，所以11()((1)ln(1))1p x C x x x x =+++-+ 1ln(1)1
C x x x -=+++，两边积分12()d =(+2)ln(1)2y p x x x C x x C =++-+?. (2)这是二阶常系数非齐次方程，由=20,p ≠设特解为2y Ax Bx C *=++，带入方程并
对比两端x 的系数，得5131,,A B C ==-=，故非齐次特解为2
513*24
y x x =-+ ；齐次通
解为212x x y C e C e --=+，从而方程通解为22
1251324
x x y C e C e x x --=++-+.
(3) 这是二阶常系数非齐次方程，因为1α=是特征方程2230r r +-=的单根，所以取
1k =．设特解为x y Bx e =，代入原方程后，解得12B =，故方程的一个特解为：12
x y xe =.
所求的通解为
3121
2
x x x y C e C e xe =++.
(4) ()cos f x x x =+可以看成是1()f x x =与2()cos f x x =之和．所以分别考察方程y y x ''+=与方程cos y y x ''+=的特解．
容易求得方程y y x ''+=的一个特解为：1y x =．
容易求得方程cos y y x ''+=的一个特解为：21sin 2y x x =．
于是原方程的一个特解为12y y y =+＝1
2
x x sin x +
． 又原方程所对应的齐次方程40y y ''+=的通解为12cos sin Y C x C x =+， 故原方程的通解为121
2
y C cos x C sin x x x sin x =+++
. 9. 解下列差分方程： (1) y t +1+4y t =2t 2+t -1； (2) y t +1-y t =t ·2t +3.
解 (1) 由于a =4，令 y *
t =A 0+A 1t +A 2t 2 (待定系数)，代入方程得
23612*125255t y t t =-
++，故原方程的通解为23612(4)125255
t t y t t C =-+++-. (2) 分别求y t +1-y t =t ·2t 和y t +1-y t =3的特解，
对y t +1-y t =t ·2t ，由a =3，b =2，可设原方程有一特解为y *
t =(A 0+A 1t )2t ，代入原方程，
可解得*(2)2t t y t =-+；对y t +1-y t =3，由a =1，可设原方程有一特解为y *
t =Bt ，代入原方程，可解得*3t y t =；
故原方程的通解为(2)23t t y C t t =+-++
（B ）
1. 设曲线y =f (x )过点(0，-1)，且其上任一点处的切线斜率为2x ln(1+x 2)，则f (x )= .
解 易得微分方程 ()
2
2ln 1y x x '=+，
直接积分得 ()(
)()
222
2ln 1d =ln 1d 1y x x x x x =+++?
?，
利用分部积分法()2
2
2
(1)ln 1y x x x
C =++-+，过点(0，-1)，代入可得1C =-，
所以f (x )= ()
222(1)ln 1 1.x x x ++--
2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加10%的基础上再追加奖金3百万元.若以y t 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则y t 满足的差分方程是 .
解 易见 1(10.01)3t t y y +=++，所以差分方程为11.13t t y y --=.
3. 微分方程3
3d d 2y y y x x x =-满足初始条件y (1)=1的特解是 . 解 令,,y u y xu x ==则所以d d d d y u u x x x
=+，带入方程得，3d 1,d 2u x u x =-求解得
2
ln ,u
x C -=+即2
ln ,x x C y ??=+ ???
代入条件y (1)=1，可得1C =，化简得y =4. 差分方程2y t +1+10y t =5t 的通解是 .
解 由51a =-≠，设特解为*t y Bt A =+，代入得55
,7212
A B =-
=，所以通解为 55
(5)7212
t t y C t =--
+. 5. 设三个线性无关函数y 1，y 2，y 3都是二阶线性非齐次微分方程y ″+Py ′+Qy =f (x )的解，C 1，C 2是独立的任意常数，则该方程的通解是 .
A C 1y 1+C 2y 2+y 3
B C 1y 1+C 2y 2-(C 1+C 2)y 3 C C 1y 1+C 2y 2-(1-C 1+C 2)y 3 D C 1y 1+C 2y 2+(1-C 1-C 2)y 3
解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，121323,y y y y y y ---，是齐次方程y ″+Py ′+Qy =0的解，而且是线性无关的，所以齐次通解为：1122123C y C y (C C )y ++--，非齐次特解为：()()()123==y*y x y*y x y*y x =或或，所以选择D.
6. 设f (x )=g 1(x )·g 2(x )，其中g 1(x )，g 2(x )在(-∞，+∞)内满足条件
g 1′(x )=g 2(x )， g 1(x )=g 2′(x )，
且g 1(0)=0，g 1(x )+g 2(x )=2e x .
(1) 求f (x )所满足的一阶微分方程； (2) 求出f (x )的表达式.
解 (1) 1212()()()()()f x g x g x g x g x '''=+2
221()()g x g x =+
21212[()()]2()()g x g x g x g x =+-2(2)2()x e f x =-
故f (x )所满足的一阶微分方程为：2()2()4x f x f x e '-=.
(2) 2d 2d 2()(4d )x x
x f x e e e x C -??=+?24(4d )
x x e e x C -=+?
24()x
x e
e C -=+22x x
e Ce
-=+
由g 1(0)=0，则f (0)=g 1(0)·g 2(0)=0，代入上式得：1C =- 所以f (x )的表达式为：22()x x f x e e -=-.
7. 设连续函数f (x )满足2
1
0()2()d (1)x f x x f tx t e x =+-?，且f (0)=1，求f (x ).
解 设0
()()d ,x
y F x f u u ==
?
显然()y f x '=，
又,00;u xt u t ===令当时，1u x t ==当时，；且d d u x t =，
1
1
()d =()d ()()d x
f u u f tx x t f x x f tx t y ?===???则，所以2
1
0()2()d (1)x f x x f t x t
e x =+-?
可化为微分方程2
2(1)x y y e x '-=-，这是一阶线性非齐次方程，解得
2d d 21(d )2
P x P x
x x y e Qe x C Ce e -??=+=-?，22()2x x y f x Ce xe '==-，又因为f (0)=1，可得
21C =，所以2
2()x x f x e xe =-.
8. 在xOy 坐标平面中，连续曲线L 过点M (1，0)，其上任意点P (x ，y )(x ≠0)处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax (常数a >0).
(1) 求L 的方程；
(2) 当L 与直线y =ax 所围成平面图形的面积为4时，确定a 的值.
解 (1)由题意可得方程y
y a x x
'-=，这是一阶线性非齐次方程，其中1(),P x x
=-
()Q x ax =，所以d d 2(d )P x P x y e Qe x C Cx ax -??=+=+?，又曲线L 过点M (1，0)，故C a =-，所以曲线方程为y = ax 2 –ax.
(2)由定积分的知识可知，围成面积()2
2
2
2
300
14 d ()433x x a
S ax ax ax x ax ax ===-+=-==?，故3a =.
9. 验证函数
36931()3!6!9!(3)!
n
x x x x y x n =++++++-∞<<+∞
满足微分方程y ″+y ′+y =e x
；利用所得结果求幂级数30(3)!
n
n x n ∞
=∑的和函数.
解 258
31(),2!5!8!(31)!
n x x x x
y x n -'=++++
+-∞<<+∞- 4732
(),n x x x
y x x -''=+++++-∞<<+∞
231(),2!3!!
n
x x x x y y y x e x n "+'+=++++++=-∞<<+∞
所以是微分方程的解，下面我们来求微分方程y ″+y ′+y =e x 的通解，这是常系数二阶
0y y y "+'+=
的通解为：12()x
Y e C C -=+，故y ″+y ′+y =e x 通解为
2121
()3
x x y Y y e C C e -=+=++，令
36932121
1()3!6!9!(3)!3x n x x x x x y e C C e n -=++++++=++ ，下面确定系
数，令0x =，得1113C =+，即123
C =，两边同时求导得
258312
12122!5!8!(31)!
111()223
n x x
x x x x y n e C C e --'=+++++-=---++
再令0x =
，得1211023
C -+=，即20C =，所以
3369
3021
1(3)!3!6!9!(3)!33x n n x n x x x x x e e n n ∞-==++++++=+∑ .
第十二章 微分方程(习题及解答)说课材料
第十二章微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答： arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：
第十二章 微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：
常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4
考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷4 (总分：58.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：3，分数：6.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 2.设函数y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6．2)的解，C 1，C 2为任意常数，则该非齐次方程的通解是 （分数：2.00） A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3． B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3． C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3． D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3．√ 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且y 3是非齐次方程(6．2)的一个特解，y 1 -y 3与y 2 -y 3是(6．4)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(6．2)的通解．故应选(D)． 3.已知sin 2 x，cos 2 x是方程y""+P(x)y"+Q(x)y=0的解，C 1，C 2为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00） A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x． B.C 1 +C 2 cos2x． C.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x．√ D.C 1 +C 2 cos 2 x． 解析：解析：容易验证sin 2 x与cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解．而(B)，(D)中的解析式均可由C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解．事实上，sin 2 2x，tan 2 x都未必是方程的解，故选(C)． 二、填空题(总题数：1，分数：2.00) 4.当y＞0时的通解是y= 1． （分数：2.00） 填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]） 解析：解析：将原方程改写成，然后令y=ux，则y"=u+xu"．代入后将会发现该变形计算量较大．于 是可转换思维方式，将原方程改写成分离变量，然后积分得 三、解答题(总题数：25，分数：50.00) 5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 解析： 6.求微分方程x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解． （分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为由此可见这是一个变量可
最新微分方程与差分方程
微分方程与差分方程
第八章微分方程与差分方程 一、作业题 1．?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?为任意常数 (2)?Skip Record If...? 设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? (代入上式) ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? (3)?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? (4)?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 满足?Skip Record If...?的特解为?Skip Record If...? (5)设?Skip Record If...?代入（1）式中， ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?满足初始条件的特解为?Skip Record If...? (6)特征方程为?Skip Record If...?，解得?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢70
习题详解-第10章微分方程与差分方程初步
习题10-1 1. 指出下列方程的阶数： (1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2 2 d d 0d d Q Q Q L R t c t ++=． (3)2d cos d ρ ρθθ +=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=． 解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =． (2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =． (3)20y y y '''++=， x y x e -=． (4)22d 0.4d s t =-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=； (4)是，代入，2 12d d 0.4,0.4d d s s t C t t =-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程 222d 0d x k x t += 的通解. 解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2 22 d 0d x k x t +=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t +=的通解,求满足初始条件 x | t 2 x | t 的特解. 解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠ 习题10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)()2 310y y x '++=； (2) 2 +'=x y y ； (3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2 d d d d x xy y y x y y +=+； (5) 22 d d d d y y y x xy x x +=； (6) d d y x y x x y -= +； (7) 22 d d y y x xy x =+； (8) )2(tan 21 2y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 () 2 31d =d y y x x +- 两端分别积分：
高数 第七章题库 微分方程
第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1
第十二章微分方程习题及解答
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5．微分方程'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ??=+ ????，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =?．
第12章--MATLAB-Simulink系统仿真-习题答案
, 第12章 MATLAB Simulink系统仿真 习题12 一、选择题 1．启动Simulink后，屏幕上出现的窗口是（）。A A．Simulink起始页 B．Simulink Library Browser窗口 C．Simulink Block Browser窗口 D．Simulink模型编辑窗口 2．模块的操作是在（）窗口中进行的。D A．Library Browser B．Model Browser ( C．Block Editer D．模型编辑 3．Integrator模块包含在（）模块库中。B A．Sources B．Continuous C．Sinks D．Math Operations 4．要在模型编辑窗口中复制模块，不正确的方法是（）。B A．单击要复制的模块，按住鼠标左键并同时按下Ctrl键，移动鼠标到适当位置放开鼠标 B．单击要复制的模块，按住鼠标左键并同时按下Shift键，移动鼠标到适当位置放开鼠标 C．在模型编辑窗口选择Edit→Copy命令和Edit→Paste命令 D．右键单击要复制的模块，从快捷菜单中选择Copy命令和Paste命令 | 5．已知仿真模型如图12-41（a）所示，示波器的输出结果如图12-41（b）所示。 （a）仿真模型
（b ）示波器输出结果 图12-41 习题仿真模型及仿真结果 则XY Graph 图形记录仪的输出结果是（ ）。C A ．正弦曲线 B ．余弦曲线 C ．单位圆 D ．椭圆 】 二、填空题 1．Simulink （能/不能）脱离MATLAB 环境运行。 2．建立Simulink 仿真模型是在 窗口进行的。模型编辑窗口 3．Simulink 仿真模型通常包括 、系统模块和 三种元素。 信号源（Source ），信宿（Sink ） 4．由控制信号控制执行的子系统称为 ，它分为 、 和 。 条件执行子系统，使能子系统，触发子系统，使能加触发子系统。 5．为子系统定制参数设置对话框和图标，使子系统本身有一个独立的操作界面，这种操作称为子系统的 。封装（Masking ） % 三、应用题 1．利用Simulink 仿真来实现摄氏温度到华氏温度的转换：9325f c T T = +。 2．利用Simulink 仿真)5cos 2513cos 91(cos 8)(2t ωt ωt ωπ A t x ++= ，取A=1，ω=2π。 3．设系统微分方程为 '(1)2y x y y =+??=? 试建立系统模型并仿真。 4．设计一个实现下面函数模块的子系统并对子系统进行封装。 Output = (Input1+ I nput2)×Input3-Input4
微积分(B)常微分方程与差分方程 练习题
For personal use only in study and research; not for commercial use 2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题 第六章 For personal use only in study and research; not for commercial use 一、选择题 1. 微分方程xy y 2='的通解为 （ ） A. C e y x +=2 ； B. 2 x Ce y =； For personal use only in study and research; not for commercial use C. 2 C x y e =； D. x Ce y =. 2. 函数221x c y c e +=是微分方程20y y y '''--=的 （ ） A. 通解； B. 特解； C. 不是解； D. 是解, 但既不是通解, 也不是特解. 3. 设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解， 21,C C 是任意常数，则该方程的通解是 （ ） A. 32211y y C y C ++； B. 3212211)(y C C y C y C +-+； C. 3212211)1(y C C y C y C ---+； D. 3212211)1(y C C y C y C --++. 4. 微分方程22y x y y x += +'是 （ ） A. 可分离变量的微分方程； B. 齐次微分方程； C. 一阶线性齐次微分方程； D. 一阶线性非齐次微分方程. 二、填空题 1. 微分方程y y y x ln ='的通解是 . 2. 方程x y y sin 2='的奇解为_______________.
常微分方程边值问题的数值解法
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
常微分方程和差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳 1. 一阶微分方程部分 ① 可分离变量方程（分离变量法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为) ()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dx dy =为可分离变量的方程。 对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为 dx x g y h dy )() (=的形式，再对此式两边积分得到 C dx x g y h dy +=??)()(从而解出)()(y h x g dx dy =的解，其中C 为任意常数。 具体例子可参考书本P10—P11的例题。 ②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法） 如果一阶微分方程),(y x f dx dy =中的二元函数),(y x f 可表示为 y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dx dy =+为一阶线 性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。 对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程 0)(=+y x P dx dy ，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到?=-dx x P Ce y )(，其中C 为任意常数。这也是一阶线性 非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性 非齐次微分方程存在着形如?=-dx x P e x C y )()(的解。将其代入)()(x Q y x P dx dy =+我们就可 得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---这其实也就是 ? ='dx x P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dx x P +? =? )()()(，于是将其回代入 ? =-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+的通解? ? ? ??+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。 具体例子可参照书本P16—P17的例题。
第10章 微分方程与差分方程
第十章 微分方程与差分方程 A 级自测题 一、选择题（每小题5分，共20分） 1．下列方程中为可分离变量方程的是（ ）． A ．xy y e '=． B ．x xy y e '+=． C ．22()()0x xy dx y x y dy +++=． D ．0yy y x '+-=． 2．下列方程中为可降阶的方程是（ ）． A ．1y xy y '''++=． B ．2()5yy y '''+=． C ．x y xe y ''=+． D ．2(1)(1)x y x y ''-=+． 3．若连续函数()f x 满足关系式30()()ln 33 x t f x f dt =+?，则()f x 等于（ ）． A ．ln 3x e ． B ．3ln 3x e ． C ．ln 3x e +． D ．3ln 3x e +． 4．函数28x x y A =?+是差分方程（ ）的通解． A ．21320x x x y y y ++-+=． B ．12320x x x y y y ---+=． C ．128x x y y +-=-． D ．128x x y y +-=． 二、填空题（每小题5分，共20分） 1．微分方程2sin d d ρρθθ +=的阶数为 ． 2．一阶线性微分方程()()y g x y f x '+=的通解为_________． 3．微分方程0y y e '+=满足初始条件(1)0y =的特解为_________． 4．差分方程12x x y y +-=的通解为 ． 三、求下列微分方程的通解（每小题5分，共40分） 1．240ydx x dy dy +-=； 2．()220x y dx xydy +-=；
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解 ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=
常微分方程习题及答案.[1]
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。
7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=
微分方程与差分方程详细讲解与例题
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。
微分方程与差分方程 详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。