2015-2016学年人教版选修2-2第一章 导数及其应用 单元测试4
2015-2016学年人教版选修2-2第一章 导数及其应用 单元测试
一、选择题(10×5′=50′)
1.已知f (x )=x (x -1)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5),则f ′(0)为 ( ) A.-5 B.-5! C.0 D.-1
2.以下四个关于复合函数如何复合而成的结论中，不正确的结论是 ( )
A.y =sin 4(1+31x )是由y =u 4 u =sin v v =1+31x
复合而成
B.y =(3+4x m )n 是由y =u n ,u =3+4x m 复合而成
C.y =log 2(2x +1-1)是由y =log 2u u =2v v =x +1复合而成
D.y =A sin(ωx +φ)是由y =A sin u u =ωx +φ复合而成 3.函数y =x 2cos x 的导数为 ( )
A.y ′=2x cos x -x 2sin x
B.y ′=2x cos x +x 2sin x
C.y ′=x 2cos x -2x sin x
D.y ′=x cos x -x 2sin x 4.函数y =x
x sin 的导数为 ( )
A.y ′=2sin cos x x x x +
B.y ′=2sin cos x x
x x -
C.y ′=2cos sin x x x x -
D.y ′=2
cos sin x
x
x x + 5.函数y =x x sin 1+的导数为 ( ) A.y ′=x
x x x 2sin cos )1(sin +- B.y ′=
x
x
x x 2sin cos )1(sin ++
C.y ′=
x
x
x x 2cos cos )1(sin +- D.y ′=x
x
x x x sin cos )1(sin )1(+-+
6.函数y =x
a x 2
2+(a >0)的导数为0，那么x 等于 ( )
A.a
B.±a
C.-a
D.a 2 7.函数y =cos 2x +sin x 的导数为 ( ) A.-2sin2x +x x 2cos B.2sin2x +x x 2cos C.-2sin2x +x
x 2sin D.2sin2x -
x
x 2cos
8.已知y =
2
1
sin2x +sin x ，那么y ′是 ( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 9.函数y =
x
x
ln 的导数为 ( )
A.21ln x x +
B.21ln x x -
C.2ln x x x +
D.2
ln 1x x
-
10.y =4ln x 的导数为 ( )
A.x -1·4ln x ·ln4
B.x 4ln x ·ln4
C.x ·4ln x
D.x -1·4ln x 二、填空题（4×4′=16′）
11.由函数f (x )=log 2x ,g (x )=3x ,φ(x )=2x 2+5构成的复合函数f ［g (φ(x ))］= . 12.函数y =23x +2,那么y ′= . 13.y =cos(5e x )的导数为 .
14.y =x
x
e e +-11的导数为 .
三、解答题（4×10′+14′=54′）
15.求函数y =(x -a )(x -b )(x -c )(x -d )的导数.
16.已知曲线216
922=+y x ,求过点M （3，4）切线的斜率.
17.已知双曲线xy =a 2,过其上任一点P 作切线与x 、y 轴分别交于Q 、R ，试证：
（１）P 平分QR ； （2）△OQR 面积一定.
18.圆柱形容器，其底面直径为2m,深度为1 m,盛满液体后以0.01m 3/s 的速率放出，求液面高度的变化率.
19.已知a 为实常数，函数f (x )=ln(21x ++x )+ax . (1)若a ≥0,求证：函数f (x )在其定义域内是增函数； (2)若a <0，试求函数f (x )的单调递减区间.
2015-2016学年人教版选修2-2第一章 导数及其应用 单元测试参考答案
一、选择题
1.B 由导数的定义，f ′(0)=0
lim
→?x x f x f ?-?+)0()0(=0lim →?x x
f x f ?-?)
0()( =0
lim
→?x x
x x x x x x ?--?-?-?-?-??0
)5)(4)(3)(2)(1(=-5!.
2.C C 中函数y =log 2(2x +1-1)是由y =log 2u u =2v -1 v =x +1复合而成的.
3.A y ′=(x 2cos x )′=(x 2)′cos x +x 2(cos x )′=2x cos x -x 2sin x .
4.B y ′=22sin cos )(sin )(sin x x
x x x x x x x -=
'?-'. 5.A y ′=x
x
x x x x x x x 22
sin cos )1(sin )(sin ))(sin 1(sin )1(+-=
'
+-'+.
6.B y ′=
2
2
222222
22222)
()(x
a x x x a x x a x x a x -=--=+'-'+ 由于y ′=0,所以x 2-a 2=0,解得x =±a .
7.A y ′=(cos2x )′+(sin x )′=(-sin2x )(2x )′+(cos x )(x )′=-2sin2x +x
x 2cos .
8.B 设原函数为f (x ),则
f (x )′=y ′=+'
??
? ??x 2sin 21(sin x )′=21(cos2x )(2x )′+(sin x )′=cos2x +cos x .
由于f (-x )=cos(-2x )+cos(-x )=cos2x +cos x =f (x ),所以f (x )为偶函数.
又由于y ′=2cos 2x -1+cos x =2cos 2x +cos x -1, 令t =cos x ,所以y ′=2t 2+t -1,-1≤t ≤1. 所以y ′max =2,y ′min =-18
1,故选B.
9.D y ′=2
2
2ln 1ln ln )(ln x x x x
x x
x x x x x -=-='-'. 10.A y ′=(4ln x )′=4ln x ·(ln4)·(ln x )′=4ln x (ln4)·x 1.
二、填空题
11.log 23252+x ∵g ［φ(x )］=g (2x 2+5)=3252+x f ［g (φ(x ))］=f (3252+x )=log 23252+x .
12.3ln2·23x +2 y ′=23x +2ln2(3x +2)′=3ln2·23x +2. 13.-5e x sin(5e x ) y ′=-sin(5e x )·(5e x )′=-5e x sin(5e x ).
14.-2e x (1+e x )-2
y =
112
1)1(2-+=
++-x
x
x e
e e y ′=2
2)1(20)1()1(2)1(12x x x x x e e e e e +-=+++-='-+'
??
? ??+. 三、解答题
15.解法一 y ′=(x -a )′［(x -b )(x-c )(x-d )］+(x-a )·［(x-b )(x-c )(x-d )］′
=(x-b )(x-c )(x-d )+(x-a ){(x-b )′(x-c )(x-d )+(x-b )［(x-c )(x-d )］′} =(x-b )(x-c )(x-d )+(x-a ){(x-c )(x-d )+(x-b )·［(x-d )+(x-c )］}
=(x -b )(x-c )(x-d )+(x-a )(x-c )(x-d )+(x-a )·(x-b )(x-d )+(x-a )(x-b )(x-c ).
解法二 两边取自然对数得：ln y =ln(x-a )+ln(x-b )+ln(x-c )+ln(x-d ),
两边取导数得
d
x c x b x a x y y -+-+-+-='1111. ∴y ′=(x-b )(x-c )(x-d )+(x-a )(x-c )(x-d )+(x-a )·(x-b )(x-d )+(x-a )(x-b )(x-c ). 16.解 两边取关于x 的导数得0216192='??+y y x ,∴y ′=-y x 916.
从而过点M 的切线斜率：k =y ′
43
==y x =-3
443916-=?. 17.解 如图所示，（1）设P (x 1,y 1)，则
y 1=12x a ,又y ′1x x ==-212
x a ,故过点P ???? ?
?121,x a x 的切线方程为 y -
)(121212x x x a x a --=，即y =-1
2
2122x a x x a + 令y =0,x =2x 1,得Q (2x 1,0);
令x =0，得y =122x a ,所以R ???
?
?
?122,0x a . RQ 中点横坐标为11202x x =+,纵坐标为12
12220x a x a =
+
,即为点P ，故P 点平分QR . (2)S △OQR =21|OQ |·|OR |=2
1|2x 1|·12
2x a =2a 2，为定值.
18.解 设液体放出t s 后液面高度为y ,则有π·12·y =π·12·1-0.01t 从而y =1-π01.0t ,液面高度的变化率为:y ′=-π
01
.0.
19.分析 考查导数的概念和运算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，考查分类
讨论的思想方法
.
第17题图解
解 (1)∵21x +>|x |,∴原函数的定义域为R .
f ′(x )=
.1111
111)1(1)1(2
2
22
22
2a x
a x
x
x x
a x
x
x a x x
x x ++=+++++=
++++'+=
+++'++
若a ≥0，则f ′(x )>0恒成立，故f (x )在R 上为增函数;
(2)若a <0时，f ′(x )<0?x 2
>22
1a
a -.
①当a <-1时，f ′(x )<0恒成立,
故f (x )的单调递减区间为（-∞,+∞）;
②当a =-1时,对x ≠0,恒有f ′(x )<0,故f (x )在（-∞,0）上为减函数,在(0,+∞)上也为减函数，又函数f (x )在x =0处连续，故f (x )的单调减区间仍为(-∞,+∞);
③当-1 a 2 1-,+∞). 高二数学导数单元测试题（有答案） （一）．选择题 （1）曲线32 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值 导数单元测试 【检测试题】 一、选择题 1. 设函数()y f x =可导，则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于（ ）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1 '(1)3 f D ．以上都不对 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 .()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4.三次函数x ax y +=3 在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ ） A ． 0>a B ．0 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1．已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 （ t 表示时间， s 表示位移），则瞬时速度为 4 0 的时刻是：（ ） A ． 0 秒、 2 秒或 4 秒 B ． 0 秒、 2 秒或 16 秒 C ． 2 秒、 8 秒或 16 秒 D ． 0 秒、 4 秒或 8 秒 2．下列求导运算正确的是（ ） A ． ( x 1 ) 1 1 B ． (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C ． (3x ) 3x log 3 e D ． x 2 cos x 2sin x 3．曲线 y x 3 2x 4 在点 (13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 120° 4．函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ） s s s s O tO tO t O t A ． 1 B ． C ． D ． 6．设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) （ ） x A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 7．如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图，那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 （ ） 8．设 f ( x) x ln x ，若 f '(x 0 ) 2 ，则 x 0 （ ） A ． e 2 B ． e C ． ln 2 D ． ln 2 2(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
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