2013解三角形专题--17题 ---有答案

解三角形专题

1、在ABC ?中，已知内角3

A π

=

，边23BC =.设内角B x =,面积为y .

(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ?中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→

→

?=BC AB f )(θ，

（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；

3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2

1222ac b c a =-+ （1）求B C

A 2cos 2

sin 2

++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量()

2sin ,3m B =-，

2cos 2,2cos 12B n B ?

?=- ??

?，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，5cos 5A =

，10

cos 10

B =. （Ⅰ）求角

C ； （Ⅱ）设2AB =，求ABC ?的面积.

7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =

，

(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++= 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.

8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。

9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知1

1tan ,tan 2

3

A B ==，且最长

Ａ

Ｂ Ｃ

120°

θ

边的边长为l.求：

（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.

10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且

.2

7

2cos 2sin 42

=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,23ABC S ?=. （1）求△ABC 外接圆面积. （2）求cos(2B+

3

π

)的值. 12、在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。

⑴求角A 的大小； ⑵当22sin sin(2)6

y B B π

=++取最大值时，求角B 的大小

13、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=?=? （Ⅰ）判断△ABC 的形状； （Ⅱ）若k c 求,2=的值. 14、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且

c o s c o s B C b

a c

=-+2. （I ）求角B 的大小； （II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积. 15、（2009全国卷Ⅰ理） 在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

16、（2009浙江）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos

25

A =， 3A

B A

C ?=

．

（I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．

17、6.（2009北京理）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π

=，4

cos ,35

A b ==。 （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ?的面积.

18、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，

2

3cos )cos(=

+-B C A ,ac b =2

，求B. 19、（2009安徽卷理）在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=1

3

.

（I ）求sinA 的值 ， (II)设AC=6，求?ABC 的面积.

20、（2009江西卷文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6

A π

=

，

(13)2c b +=．

（1）求C ； （2）若13CB CA ?=+

，求a ,b ，c ．

21、（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

sin sin tan cos cos A B

C A B

+=

+,sin()cos B A C -=.

（1）求,A C ； （2）若33ABC S ?=+,求,a c . 21世纪教育网 22、（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4

2sin(π

-A 的值。

23、(2010年高考天津卷理科7)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若223a b bc -=，sinC=23sinB ，则A=

（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 24．(2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）

ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =

，3

cos 5

ADC ∠=，求AD 25．（2010年高考浙江卷理科18）在ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C= -1

4

。 （Ⅰ）求sinC 的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC ，求b 及c 的长。

26、（2010年高考广东卷理科16）

已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ??π=+>∈-∞+∞<<在12

x π

=时取得最大值4．

(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=12

5

,求sin α．

27、（2010年高考安徽卷理科16）（本小题满分12分）

设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且

22sin sin() sin() sin 33

A B B B ππ

=+-+。

(Ⅰ)求角A 的值； (Ⅱ)若12,27AB AC a ==

，求,b c （其中b c <）。

答案：

1. 解：（1）ABC ?的内角和A B C π++=

3A π

=

203B π

∴<<

sin 4sin sin BC

AC B x

A == 12sin 43sin sin()23y A

B A

C A x x π∴=?=- 2(0)3x π

<<

（2）y =

231

43sin sin(

)43sin (cos sin )322x x x x x π-=+

2

6sin cos 23sin x x x =+723sin(2)3,(2)

6666x x ππππ=-+-<-<

当

26

2x π

π

-

=

即

3x π

=

时，y 取得最大值33 ………………………14分

2、解：（1）由正弦定理有：

)60sin(|

|120sin 1sin ||0

0θθ-==AB BC ；

∴θsin 120sin 1

||0

=BC ，

00120sin )60sin(||θ-=AB ； ∴→

→?=BC

AB f )(θ21)60sin(sin 340?-?=

θθθ

θθsin )sin 21cos 23

(32-=

)30(61)62s i n (31π

θπθ<<-+= （2）由

6562630π

πθππθ<

+

)62sin(21≤+<πθ；∴)

(θf ]61

,0(∈ 3、解：(1) 由余弦定理：conB=1

4

sin

2

2A B

++cos2B= -14

（2）由

.415sin ,41cos ==

B B 得 ∵b=2，

a 2

+c 2

=12ac+4≥2ac,得ac ≤38

,S △ABC=12acsinB ≤315(a=c 时取等号)

故S △ABC 的最大值为315

4、(1)解：m ∥n ? 2sinB(2cos2B

2－1)＝－3cos2B ?2sinBcosB ＝－3cos2B ? tan2B ＝－ 3

……4分

∵0＜2B ＜π,∴2B ＝2π3,∴锐角B ＝π

3 ……2分

(2)由tan2B ＝－ 3 ? B ＝π3或5π

6

①当B ＝π

3时，已知b ＝2，由余弦定理，得：

4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ……3分 ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝3

4ac ≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3

……1分

②当B ＝5π

6时，已知b ＝2，由余弦定理，得：

4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3) ……1分

∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝1

4ac ≤2－ 3 ∴△ABC 的面积最大值为2－ 3

……1分

注：没有指明等号成立条件的不扣分.

5、解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，

,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则

因此

.

31

cos =B …………6分 （II ）解：由2cos ,2==?B a BC BA 可得，

,,0)(,

12,cos 2,

6,3

1

cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又

所以a ＝c ＝ 6

6、（Ⅰ）解：由

5cos 5A =，10cos 10B =，得02A B π??∈ ?

??、，，所以23

sin sin .510A B =

=， …… 3分

因为

2

cos cos[()]cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=

…6分

且0C π<< 故

.

4C π

=

………… 7分

（Ⅱ）解： 根据正弦定理得

sin 6

sin sin sin 10AB AC AB B AC C B C ?=?==， ………….. 10分

所以ABC ?的面积为16

sin .

2

5AB AC A ??= 7、解：（1）由m//n 得0cos 1sin 22

=--A A ……2分

即01cos cos 22

=-+A A

1c o s 21

c o s -==

∴A A 或 ………………4分

1cos ,-=?A ABC A 的内角是 舍去 3π

=∴A ………………6分

（2）a c b 3=+ 由正弦定理，

23

sin 3sin sin =

=+A C B (8)

分

π

32

=+C B 23)32s i n (s i n =-+∴B B π ………………10分

23

)6sin(23sin 23cos 23=+=+∴

πB B B 即

8、解：由π=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin

有

23

sin 0cos ,0cos 3cos sin 2=

==-C C C C C 或所以 ……6分

由

3,23sin ,,13,4π==

<==C C a c c a 则所以只能有， ……8分

由余弦定理

31,034cos 22

222===+-?-+=b b b b C ab b a c 或解得有 当

.3sin 21

,133sin 2

1

,3=?=

==?=

=C ab S b C ab S b 时当时

9、解：（I ）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）11

tan tan 231111tan tan 123A B A B +

+=-=-

=---?

∵0C π<<， ∴

34C π

=

……………………5分

（II ）∵0

，最长边长为c ……………………7分

由

1tan 3B =

，解得10

sin 10B =

……………………9分

由sin sin b c

B C =

，∴

10

1sin 5

10sin 52

2c B

b C

?

?=

==

………………12分

10、解：(1) ∵A+B+C=180°

由

27

2cos 2cos 4272cos 2sin 422

=-=-+C C C B A 得 …………1分

∴

27)1cos 2(2cos 142=--+?

C C ………………3分

整理，得01cos 4cos 42

=+-C C …………4分

解 得：

21

cos =

C ……5分

∵?<

（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC ，即7=a2+b2－ab …………7分

∴

ab b a 3)(72

-+= ………………8分 由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分

ab=6……10分

∴

23

323621sin 21=??==

?C ab S ABC …………12分

11、解：依题意，

113

sin 42sin 23,sin 222ABC S AB AC A A A =

?=??== ，

所以

3A π

=

或

23A π

=

；………………………………………………………………..（1分）

(1)当

3A π

=

时，BC=23,△ABC 是直角三角形，其外接圆半径为2，

面积为2

24ππ=；……………………………………………………………………. （3分）

当

23A π=

时，由余弦定理得22222cos 164828

3BC AB AC AB AC π

=+-=++= ，

BC=27,△ABC 外接圆半径为R=221

2sin 3BC A

=

， 面积为283π

;……………………………………………………………………………….(5

分)

（2）由（1）知

3A π

=

或

23A π=

，

当

3A π

=

时, △ABC 是直角三角形，∴

6B π

=

, cos(2B+3π)=cos 21

32π=-

;………..7分

当23A π=

时,由正弦定理得，27221

,sin sin 1432B B

=∴=

,

cos(2B+3π)=cos2Bcos 3π-sin2Bsin 3π

=(1-2sin2B)cos 3π-2sinBcosBsin 3π

=

22211215731(1)2142141427?-?-???=-

(10分) 12、解：⑴由⊥m n ，得0= m n ，从而(2)cos cos 0b c A a C --= 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=

2sin cos sin()0,2sin cos sin 0B A A C B A B -+=-=

,(0,)A B π∈，∴

1sin 0,cos 2B A ≠=

，∴

3A π=

（6分）

⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2cos cos 2sin

666y B B B B B πππ

=++=-++ 311sin 2cos 21sin(2)226B B B π

=+

-=+-

由(1)得，

270,2,366662B B ππππππ

<<

-<-<=∴2B -时，

即

3B π

=

时，y 取最大值2

13、解：（I ）B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =?=? …………1分

B ac A bc B

C BA AC AB cos cos =∴?=?又

B A A B cos sin cos sin =∴

…………3分

即0cos sin cos sin =-A B B A

0)sin(=-∴B A …………5分 B

A B A =∴<-<-ππ

ABC ?∴为等腰三角形. …………7分

（II ）由（I ）知b a =

22cos 2

222c bc a c b bc A bc AC AB =

-+?==?∴ …………10分 2=c

1=∴k …………12分

14、解：（I ）解法一：由正弦定理a A b B c

C R s i n s i n s i n ===2得 a R A b R B cR C ===222s i n s i n s i n ，，

将上式代入已知c o s c o s c o s c o s s i n s i n s i n B C b a c B C B

A C =-+=-+22得

即20s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++= 即20s i n c o s s i n ()A B B C ++=

∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20

∵

s i n c o s A B ≠，∴，

012=- ∵B 为三角形的内角，∴

B =

2

3π.

解法二：由余弦定理得

c o s c o s B a c b a c C a b c

a b =+-=

+-22222222， 将上式代入c o s c o s B C b a c a c b a c a b a b c b

a c =-++-+-=-+2222222

222

得×

整理得a c b a c 222

+-=-

∴c o s B a c b a c a c a c =+-=-=-

222221

2

∵B 为三角形内角，∴

B =

2

3π

（II ）将b a c B =+==1342

3，，π代入余弦定理b a c a c B 222

2=+-c o s 得

b a

c a c a c B 22

22=+--()c o s ，

∴131621123

=--=a c a c ()，∴ ∴S a c B A B C

△==123

43s i n .

15、分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)22

2a c b -=左

侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在

已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C = 则由正弦定理及余弦定理

有:2222223,22a b c b c a a c ab bc +-+-= 化简并整理得：222

2()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又22

2a c b -=,0b ≠。

所以2cos 2b c A =+…………………………………①

又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C

c =，故4cos b c A =………………………②

由①，②解得4b =。

16、解析：（I ）因为

25cos

25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ?= ，

得cos 3,bc A =5bc ∴=，1

sin 2

2ABC S bc A ?∴== 21世纪教育网

（II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得

2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴= 21世纪教育网

17、【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．

（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且

4

,cos 3

5B A π

=

=

，

∴

23

,sin 35C A A π=

-=，

∴

231343sin sin cos sin 32210C A A A π+??

=-=+=

???.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

3343

sin ,sin 510A C +==

， 又∵

,3

3

B b π

=

=，∴在△ABC 中，由正弦定理，得

∴

sin 6

sin 5b A a B =

=.

∴△ABC 的面积

1163433693sin 32251050S ab C ++=

=???=.

18、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三

角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=23(负值舍掉)，从而求出B=3π

。

解：由 cos （A -C ）+cosB=3

2及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=3

2，

cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=3

2,

sinAsinC=3

4.

又由2

b =a

c 及正弦定理得21世纪教育网

2s i n s i n s i n

,

B A

C = 故

23

s i n 4B =

，

3s i n 2B =

或 3

sin 2B =-

（舍去），

于是 B=3π 或 B=23π

.

又由 2

b a

c =知a b ≤或c b ≤

所以 B=3π

。

19、本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分

解：（Ⅰ）由

2C A π-=

，且C A B π+=-，∴42B

A π=-

，∴

2sin sin()(c os sin )42222B B B

A π=-=-，

∴

2

11

sin (1sin )23A B =-=

，又sin 0A >，∴3sin 3A = （Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC

B A =

∴

3

6sin 332

1sin 3

AC A

BC B

?=

=

=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+

32261633333=

?+?=

∴

116

sin 63232223ABC S AC BC C ?=

??=???=

20、解：（1）由(13)2c b += 得 13sin 22sin b B

c C =+=

则有

55sin()

sin

cos cos sin 666sin sin C C C

C

C π

ππ

π-

--=

=1313cot 2

222C +=+

得cot 1C = 即

4C π

=

.

（2） 由13CB CA ?=+ 推出 cos 13ab C =+ ；而

4C π=, 即得2

13

2ab =+,

A B

C

则有

2

132(13)2sin sin ab c b a c A C

?=+???

+=???=?? 解得 2

132a b c ?=??

=+??=??

21、解：(1) 因为

sin sin tan cos cos A B C A B +=

+，即sin sin sin cos cos cos C A B

C A B +=

+，

所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，

得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).

即 2C A B =+, 得

3C π

=

，所以.

23B A π+=

又因为

1sin()cos 2B A C -==

，则6B A π-=，或56B A π

-=（舍去）

得

5,4

12A B π

π=

=

(2)

162

sin 3328ABC S ac B ac ?+=

==+，

又sin sin a c A C =

, 即 23

2

2a

c

=

，21世纪教育网

得22,2 3.a c ==

22、【解析】（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理，A BC

C AB sin sin =

，于是

522sin sin ===BC A BC

C

AB

（2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=

2cos 2

22 于是

A A 2

cos 1sin -==55

，

从而

53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==

=A A A A A A

102

4

sin

2cos 4

cos

2sin )4

2sin(=

-=-

π

π

π

A A A

23、【解析】由sinC=23sinB 结合正弦定理得：23c b =，所以由于余弦定理得：

222cos 2b c a A bc +-==222(3)cos 2b c b bc A bc +-+==

232c bc

bc -= 2(23)323223b b b

b b -?=?3

2，所以A=30°，选A 。

解三角形题型总结

解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例1、（2013?北京）在△ ABC 中，a=3, b=5 , sinA=2，贝U sinB= ________ 3 a + b + c = sin A sin B sin C 例2、已知.'ABC中，.A =60 , 例3、在锐角△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB= 7b. 求角A的大小； 2、三角形形状问题 例3、在ABC中，已知a,b,c分别为角A, B, C的对边, a cos A 1）试确定-ABC形状。 b cosB 2）若—=c°s B，试确定=ABC形状。b cos A 4 ）在.ABC中，已知a2 ta nB=b2ta nA，试判断三角形的形状。 5）已知在-ABC中，bsinB=csinC，且sin2 A =sin2 B sin2 C ,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知MBC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 __________ 类型二：余弦定理 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在厶ABC中， 若a2b2c2，则角C是直角； 若a2b2 ::: c2，则角C是钝角； 若a2b2c2，则角C是锐角. 例1、在厶ABC中，若a=9,bT0,c=12,则厶ABC的形状是______________ ， 2、求角或者边 例2、（2016 年天津高考）在△ABC 中，若AB= 13 ,BC=3, Z C =120’ 则AC=. 例3、在△ ABC中，已知三边长a=3 , b=4 , c=—37 ，求三角形的最大内角.

例4、在厶ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC? 3、余弦公式直接应用 例5、：在也ABC中，若a2=b2+c2+bc ,求角A 例6、：(2013重庆理20)在厶ABC中，内角A B, C的对边分别是a，b，c, 且a2+ b2+、、2 ab= c2. (1)求C 例7、设厶ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .若(a- c)(a ? b ? c) =ab , 则角C二例8 (2016年北京高考) 在ABC中，a2c^b^ . 2ac (1)求/ B的大小； (2 )求、、.2 cosA - cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若a = ＜：:'3 , 1 n sin B = —，C = 一，则b =. 2 6 例 2. (a c) J=1，贝q B等于。 ac 例3.【2015高考天津，理13】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 MBC 的面积为3、'15 , b—c =2,cos A =-1,则a 的值为. 4 1 例 4.在厶ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。 3 例5.【2015高考北京，理12】在厶ABC 中, c=6，则sin2A = sin C

高二解三角形综合练习题

解三角形 一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，c＝2，b＝1，则a＝() A．1 B. 3 C．2 D．3 2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线l1：sin A·x＋ay＋c ＝0与l2：bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是() A．平行B．重合 C．垂直D．相交但不垂直 3．在△ABC中，若2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是() A．等腰直角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形 4．在△ABC中，已知A∶B＝1∶2，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分，则cos A等于() A.1 3 B. 1 2 C.3 4D．0 5．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于() A. 3 2 B. 33 2 C.3＋6 2 D. 3＋39 4 6．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为() A．1

A ．43－1 B.37 C.13 D ．1 8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π 6] B ．[π 6，π) C ．(0，π 3] D ．[π 3，π) 9．如图，△ADC 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 与AC 交于E 点．若AB ＝2，则AE 的长为( ) A.6－ 2 B.1 2(6－2) C.6＋ 2 D.1 2(6＋2) 10．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( ) A.31010 B.1010 C.510 D.515 11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝π 3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( ) A ．1 B ．2

高中数学解题思维提升专题05三角函数与解三角形大题部分训练手册

专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断； 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形； 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数； 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式； 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式； 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、（浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文） 已知函数. （1）.求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）.当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】（1）π, （2） 【解析】 （1） ,π=T , 单调递增区间为； （2） ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、（河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文）试卷）已知 中,角 所对的边分别是 ,

且,其中是的面积,. （1）求的值； （2）若,求的值. 【答案】 （1）；（2）. （2）,所以,得①, 由（1）得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题）已知函数f（x）=sin（ωx+）- b（ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f（x）的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数． （1）求f（x）的解析式并写出单增区间； （2）当x∈,f（x）+m-2<0恒成立,求m取值范围． 【答案】 （1）,单调递增区间为； （2）．

(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

高中解三角形题型大汇总

解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______

解三角形知识点汇总和典型例题

中小学1对1课外辅导专家 文成教育学科辅导教案讲义 授课对象 授课教师 徐老师 授课时间 3月11日 授课题目 解三角形复习总结 课 型 复习课 使用教具 人教版教材 教学目标 熟练掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形 教学重点和难 点 灵活解斜三角形 参考教材 人教版必修5第一章 教学流程及授课详案 解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝2 1 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；

三角函数与解三角形专题训练

三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义：设 P(x,y)，记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式： 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式： 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式： si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式：① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(

其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R，证明：sin(-) cos

4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明：cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ，求cos( )的值. 2 ?若（0,—）, tan 2，求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 ， sin() 2，求芽的值.

3 5 6

1 2?若sin2 2，求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型：①知三个条件 （知三个角除外），求其他（角、边、面积、周长等 ② 知两个条件，求某个特定元素或范围； ③ 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中，若acosA bcosB ，试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形： b c a a c cosA ，其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系：在 △ ABC 中, ②若a b c ，则a b c ；③等边对等角，大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形：a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R （ R 是厶ABC 外接圆的半径）. 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式： S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程：① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式：① a b si nA sin B cosA cosB .

解三角形专题题型归纳

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

解三角形题型总结原创

解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.

四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135）

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论

解三角形专项练习(含解答题)

解三角形专练 1.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 2.在ABC ?中，若0 120,2==A b ，三角形的面积3= S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A ． B ．2 C ．．4 3.边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． 120 B ． 135 C ． 90 D ． 150 4.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边C 的值是( ) A ．8 B ． C ． D ． 5.在三角形ABC 中，若1tan tan tan tan ++=B A B A ，则C cos 的值是 B. 22 C. 21 D. 21- 6.在△ABC 中，若22 tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 7.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若 2226 5b c a bc +-=，则 sin()B C +=( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.3 5 8.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 9.在ABC ?中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若18=a ，24=b ，?=45A ,则这样的三角形有（ ）A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个 10.已知锐角A 是ABC ?的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221 sin cos 2A A -= ,则下列各式正确的是 ( ) A. 2b c a += B. 2b c a +< C. 2b c a +≤ D. 2b c a +≥ 11.在ABC ?中,已知 30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ?的面积是 A ．34 B ．38 C ．34或38 D ．3 12.在ABC ?中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22 a b -=且sin C B =，则A 等于A ．6π B ．4 π C ．3π D ．2 3π 13.若?ABC 的三角A:B:C=1:2:3 ，则A 、B 、C 分别所对边a ：b ：c=( ） A.1:2:3 B.2 D. 1:2: 14.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别a ，b ，c ，且a cosC,b cosB,c cosA 成等差数列，则角B 等于( )A 30 B ．60 C 90 D.120 15.在?ABC 中，三边a ，b,c 与面积S 的关系式为 2221 () 4S a b c =+-，则角C 为 ( ) A ．30 B 45 C ．60 D ．90 16.△ABC 中，a b sin B ＝ 2 ，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 17.设?ABC 的内角A,B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若b+c= 2a,.3sinA=5sinB ，则角C=

高考中《解三角形》题型归纳

1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B =. （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17 2ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= .

2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23 π，则S △ABC ＝________.【答案】34 【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34 .【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4) 由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac 再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝ C ＝3 π

解三角形难题及答案

解三角形难题及答案 1、在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B b A a sin cos =，则 =+B A A 2co s co s sin ___D______ A 、21- B 、2 1 C 、-1 D 、1 2、在ABC ?的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则ABC ?=_C____ A 、一定是锐角三角形 B 、一定是直角三角形 C 、一定是钝角三角形 D 、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 3、ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若b a 25= ，B A 2=，则=B c o s （ B ） A 、35 B 、45 C 、55 D 、6 5 4、在ABC ?中，D 为BC 边上的一点，BC=3BD ，2=AD ， 135=∠ADB ，若AC=AB 2，则BD=_52+_______ 5、在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若C a A c b cos cos )3(=-，则=A cos ___ 33___ 6、设A 、B 、C 为三角形的三内角，且方程0)sin (sin )sin (sin )sin (sin 2=-+-+-B C x C A x A B 有等根，那么B ∠=___B_____ A 、??60 B B 、?≥60B C 、??60B D 、?≤60B 解析：0)(422 22=+---+-ab ac b bc c ac a 04)(4)(22=++-+b c a b c a 0)2(=-+b c a ac b c a 22≥=+ 123cos 2 -=ac b B

解三角形专题练习【附答案】

解三角形专题（高考题）练习【附答案】 1、在ABC ?中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 13,4==c a ，求△ABC 的面积。 2、已知ABC ?中，1||=AC ，0120=∠ABC ， θ=∠BAC ， 记→ → ?=BC AB f )(θ， （1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域； 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2 ++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，cos 5A = ，cos 10 B =. （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r ，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当 Ａ Ｂ Ｃ 120° θ

必修五解三角形题型归纳

一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5

7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积.

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】

高中数学专题练习：解三角形问题

高中数学专题练习:解三角形问题 [题型分析·高考展望]正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为背景，考查解三角形问题;三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点. 常考题型精析 题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题 例1(1)(·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23， cos A＝ 3 2且b

点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解;在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生. 变式训练1(·课标全国Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC. (1)求sin B sin C; (2)若∠BAC＝60°，求B. 题型二正弦、余弦定理的实际应用 例2如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为 1 260 m，经测量cos A＝12 13，cos C＝ 3 5.

高考数学三角函数与解三角形练习题

三角函数与解三角形 一、选择题 （2016·7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ =-∈ B ．()26k x k Z ππ =+∈ C ．()212 k x k Z ππ =-∈ D ．()212 k x k Z ππ =+∈ （2016·9）若3 cos( )45 π α-=，则sin 2α =（ ） A ． 725 B ．15 C ．1 5 - D ．7 25 - （2014·4）钝角三角形ABC 的面积是12 ，AB =1，BC ，则AC =（ ） A ．5 B C ．2 D ．1 （2012·9）已知0>ω，函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减，则ω的取值范围是（） A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] （2011·5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，则cos2θ =（ ） A ．45 - B ．35 - C ．35 D ．45 （2011·11）设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π，且()()f x f x -=， 则（ ） A ．()f x 在(0,)2π 单调递减 B ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C ．()f x 在(0,)2π 单调递增 D ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 （2017·14）函数()23sin 4f x x x =- （0,2x π?? ∈???? ）的最大值是 ． （2016·13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4 5 A = ，1cos 53C =，a = 1，则b = . （2014·14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. （2013·15）设θ为第二象限角，若1 tan()42 πθ+=，则sin cos θθ+=_________. （2011·16）在△ABC 中，60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题