湖南师大附中2013届高三第六次月考文科数学试题

湖南师大附中2013届高三第六次月考

数学（文科）

命题：湖南师大附中高三数学备课组

(考试范围：高中文科数学全部内容)

一．选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合{}4M y y i =>（i 为虚数单位），{}2N y y x x R ==∈，，则M N ?=（C ）

A.(0)+∞，

B. [)0+∞，

C. (1)+∞，

D. [)1+∞，

解析：{}1M y y => ，{}0N y y =≥，{}1M N y y ∴?=>，选C.

2.设命题p ： 7m >，命题q ：函数2()9()f x x mx m R =++∈有零点，则p 是q 的 （A ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件，

解析：函数2()9()f x x mx m R =++∈有零点，则2360m ?=-≥，即6m ≥或

6m ≤-，显然，P 可以推出q ，而q 不能推出P ，故选A.

3.曲线lg y x =在1x =处的切线的斜率是 （A ） A.

1ln10 B. ln10 C.lg e - D ．1lg e

- 解析：'1ln10y x =

，'11ln10x y =∴=，即切线的斜率为1

ln10，选A. 4.若1sin()63πα-=，则cos()3

π

α+的值为 （B ）

A.13-

B.13

C.2

D. 3

-

解析：1cos()cos ()sin()32663ππππααα??

+=--=-=????

，选B.

5.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且8310S S -=，则11S = （C ） A.12 B.18 C.22 D.44

解析：8310S S -= ，118732

8(3)1022

a d a d ??∴+-+=，即152a d +=，

1111161()11

1111(5

)222

a a S a a d +?∴=

==?+=，故选C. 6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45?，腰和上底均为1

的等腰梯形，则原平面图形的面积为 （D ）

A.122+

B. 12

+

C. 1

D. 2+解析：原图形是上底为1

，下底为1+2的直角梯形

. 22S ∴=

=+原选D. 7.已知点()P x y ，的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数2z x ay =-取

得最小值的最优解有无数个，则a 的取值为 （Ｃ）

A.2-

B.0

C.6

D.8

解析：①当0a =时，2z x =的最小值在点B

②当0a ≠时，有

2z y x a a =-，

()i 当0a <时，21

00a a <->，， 2z x ay =-只在点A ()ii 当0a >时，2100a a >-<，，若221641

AC k a a -

==?=-时，目标函数2z x ay =-在线段AC 上的所有点处都取得最小值，6a ∴=，选C.

8.如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，线段CO 段BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC mOA nOB =+

则m n +的取值范围是 （D ）

A.(01)，

B. (1)+∞，

C. (1)-∞-，

D. (10)-， 解析： 线段CO 的延长线与线段BA 的延长线的交点为D ，则OD tOC =

， D

在圆外，1t ∴<-，又D 、A 、B 共线，故存在λμ、，使得OD OA OB λμ=+

，且

1λμ+=，又OC mOA nOB =+ ，tmOA tnOB OA OB λμ∴+=+ .1

m n t

∴+=，

(10)m n ∴+∈-，.选D.

9．在计算机语言中有一种函数y =int （x ）叫做取整函数（也叫高斯函数），它

表示不超过x 的最大整数，如int （0.9）=0，int （3.14）=3，已知.

758241.07

1

??????=令,),7

10int(11a b a n

n ==令当n>1时,*),(101N n a a b n n n ∈-=-则当n >1时,则

2013b = （ D ） A. 2009 B. 1 C. 2010 D. 2 解析：由题意可知，b a n ,,地对应情况如下表：

n 2013335633?+选D.

二．填空题：本大题共7个小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题：从下列两题中任意选做一题，若两题全做，则只按第9题记分． 10.在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

已知射线4π

θ=与曲线2

1(1)x t y t =+??=-?

（t 为参数）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为55

()22

，

解析：记11()A x y ，，22()B x y ，，将4

π

θ=

转化为直角坐标方程为(0)y x x =≥，曲

线为2(2)y x =-，联立上述两个方程得2540x x -+=，故125x x +=，∴线段AB

的中点坐标为55

()22

，.

11.（优选法与试验设计初步）用0.618法寻找实验的最优加入量时，若当前存优

范围是[]628774，，好点是718，则此时要做试验的加入点值是 684 . 解析：此时要做实验的加入点的值是628774718684+-=. （二）必做题（11~16题）

12.在区间[]ππ-，内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数

222()44f x x ax b π=+-+有零点的概率为14

π-

解析：若使函数有零点，必须满足222(4)16()0a b π?=--+≥，即222a b π+≥，

于是函数有零点的概率为221144

πππ

π-=- .

15.在ABC ?中，已知4cos 3AB B ==，，角B 的平分线BD 交AC 于点D ，且BD =

则sin A =

解析：1cos 3B =

，cos 2B ∴=sin 2B =ABD ?中，

2222cos

62

B

AD AB BD AB BD =+-= ，AD ∴=又BD =，A ABD ∴∠=∠，

sin sin

2B A ∴==

.

（2） 2a - 当a x =时，（2）)(x f 取得最小值2a -.

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012

年开始，将对CO 2排放量超过130g/km 的M 1型新车进行惩罚（视为排放量超标）．某检测单位对甲、乙两M 1型品牌车各抽取5辆进行CO 2排放量检测，记录如下（单位：g/km ）

经测算发现，乙品牌CO 2排放量的平均值为X 乙=120g/km ．

（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则CO 2排放量都不超标的概率是多少？

（2）若80

解析：（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的CO 2排放量结果：

（80，110）；（80，120）；（80，140）；（80，150）；（110，120）；（110，140）；（110，150）；（120，140）；（120，150）；（140，150），…………………………………3分 设“CO 2排放量都不超标”为事件A ，则事件A 包含以下3种不同的结果：（80，

110）；（80，120）；（110，120）；∴ 3

()=10

P A (6)

分

（2）由题可知=120x x =乙甲，220x+y =

2222225(80120)(110120)(120120)(140120)(150120)3000S =-+-+-+-+-=甲 2222225(100120)(120120)(120)(120)(160120)S x y =-+-+-+-+-乙 222000(120)(120)x y =+-+-……………………………………………8分

220x y +=

222252000(120)(100)244026400S x x x x ∴=+-+-=-+乙

2222552440244002(22011700)2(90)(130)S S x x x x x x ∴-=-+=-+=--乙甲

80130x <<

∴当8090x <<时，

22S S >乙甲；当90x =时，22=S S 乙甲；当90130x <<时，22S S <乙甲

又=120x x =乙甲

∴当8090x <<时，甲类品牌车碳排放量的稳定性好；

当90x =时，两类品牌车碳排放量的稳定性一样好；

当90130x <<时，乙类品牌车碳排放量的稳定性好.…………………………12分 18．如图，斜三棱柱ABC – A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B 1在

底面内的射影恰好是BC 的中点，且BC=CA=2

（I ）求证：平面ACC 1A 1 ⊥平面BCC 1B 1；

（Ⅱ）若A 1A=2，求点B 到平面B 1CA 的距离． 解析：（1）取BC 中点M,连接B 1M,则B 1M ⊥面ABC, ∴面BB 1C 1C ⊥面ABC

BC=面BB 1C 1C 面ABC,AC ⊥BC ∴AC ⊥面BB 1C 1C AC ?面ACC 1A 1

∴面

ACC 1A 1⊥面BB 1C 1C ………………………………… 6分

（2）设点B 到平面B 1CA 的距离为h ，

由11B B CA B BCA V V --=

有1111

(22)(22)3232h ??=??，

h ?= 12分

19.已知数列{}n a 的首项t a =10>，1321

n

n n a a a +=+，12n = ，

，

（1）若53

=t ，求证11n a ??-????

是等比数列并求出{}n a 的通项公式；

（2）若n n a a >+1对一切*N n ∈都成立，求的取值范围.

解析：（1） 由题意知,0>n a n n

n a a a 31211+=+， 32

311+=n n a a ， ???

? ??-=-+11

3111

1n n a a ， 11213a -= 0,≠ …………………………………… 3分 所以数列11n a ??-????是首项为23，公比为1

3的等比数列；……………………… 4分

n n n a 3

2

31135111

=??

?

????? ??-=-- ， 233+=n

n n a ………………………………6分 （2）由（1）知???? ??-=-+113111

1n n a a ，1

311111-??? ????? ??-=-n n

t a ……………… 8分 由1130,21n n n a a a a +>=+知0n a >，故1n n a a +>得

111

n n

a a +< …………………… 10分 即11111

(1)()1(1)()133

n n t t --+<-+得110t ->，又0t >，则01t <<……… 12分

20．在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA ）的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老王在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA 均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy ，则股价y （元）和时间x 的

B 1 A 1

C 1

B

B

A

关系在ABC 段可近似地用解析式)0(19)72

sin(

π??π

<<++=x a y 来描述，从C 点走到今天的D 点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D 点和C 点正好关于直线34:=x l 对称．老王预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE 段与ABC 段关于直线对称，EF 段是股价延续DE 段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F ．现在老王决定取点A （0，22），点B （12，

19），点D （44，16）来确定解析式中的常数?,,b a

（1）请你帮老王算出?,,b a ，并回答股价什么时候见顶（即求F 点的横坐标）； （2）老王如能在今天以D 点处的价格买入该股票5000股，到见顶处F 点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

解：（1）∵C ，D 关于直线34:=x l 对称∴C 点坐标为（2×34-44，16），

即（24，16），…………………………………………………………2分

把A 、B 、C 的坐标代入解析式，得sin 1922..........................1)sin()1919.................2)6sin()1916.................3)3a a a φπφπφ?

?+=?

?

++=??

?++=??

)4)5，整理得3

3

tan -=? 又π?<<0 65π?=∴……………6分

21.已知抛物线24y x =，过点(0,2)M 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且直线与

x 轴交于点C .

(1)求证:||MA ，||MC ，||MB 成等比数列；

(2)设MA AC α= ，MB BC β=

，试问αβ+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 解析

1）设直线的方程为：)0(2≠+=k kx y

联立方程???=+=x

y kx y 42

2得04)44(22=+-+k x k

设)0,2(),,(),,(2211k C y x B y x A -， 则2

2

12214

,44k x x k k x x =?--=+ ①…2分 2

22

122

2212222222121)1(4)1()1(])2([])2([||||k k x x k x x k y x y x MB MA +=

+=+=-+?-+=+

……………………………………………………………………………………… 4分

2

22

22

)1(42)2(||k k k MC +=+-= …………………………………………5分

所以||||||2MB MA MC = 即||MA ，||MC ，||MB 成等比数列…………6分 (2)由βα==,，得，

),2

()2,(),,2()2,(22221111y k

x y x y k x y x ---=---

-=-αα 即得：2,22211+=

+=kx kx kx kx βα则4)(2)

(222121221212++++--=+x x k x x k x x k x x k βα ………10分 将①代入得1-=+βα，故βα+为定值且定值为1-………………………12分 22.已知函数1ln )(+-=px x x f ()p R ∈．

（1）1p =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（2）当0p >时，若)(x f 在区间],1[e 上的最大值为-1，求p 的取值；

（3）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈，且22

1122()()f x x f x x +<+恒成立，

求p 的取值范围。

解析：（1）当1p =时，'(1)0f =，(1)0f =

∴曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为：0y =.

（2）函数1ln )(+-=px x x f 的导函数为'1

()f x p x

=-， 令'1()0f x p x =->得10x p <<，所以函数1ln )(+-=px x x f 在1

(0,)p

上单调递增; 令'1()0f x p x =

-<得1x p >，所以函数1ln )(+-=px x x f 在1

(,)p

+∞上单调递减. ①当1

01p

<

≤，即1p ≥时，)(x f 在区间],1[e 上的最大值为(1)1f p =-+，由(1)11f p =-+=-得2p =，符合题意；

②当11e p

<

<，即11p e <<时，)(x f 在区间],1[e 上的最大值为1

()ln f p p =-，由

1

()ln 1f p p

=-=-得p e =，不符合题意，舍去； ③当1

e p

≤

，即10p e <≤时，)(x f 在区间],1[e 上的最大值为()2f e pe =-，由

()21f e pe =-=-，得3

p e

=

，不符合题意，舍去. 综上所述，2p = .

（3）设2()()g x f x x =+，则2()ln 1g x x x px =+-+，只要()g x 在(0,)+∞上单调

递增即可.而2'

121

()2x px g x x p x x

-+=+-=，所以只需'()0g x ≥在(0,)+∞上恒成

立即可.

因为0x >，所以只需2

210x px -+≥在(0,)+∞恒成立即可. 即2211

2x p x x x

+≤=+

即可.而12x x +

≥12x x =即2

x =时，最小值为

所以p ≤p 的取值为(-∞.