2013安庆二模数学答案数学(理)二模考试参考答案

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C

D

2013年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(理科) 参考答案及评分标准

一、选择题

2013安庆二模数学答案数学(理)二模考试参考答案

1.解析:

3

111i i i i

i

++==-+-,故选B 。

考点:复数的基本运算 2.解析:∵}10|{}ln 1

1|{≠>=+-=

=x x x x x y x A 且,

}1|{}21|{≤=+-

==y y x y y B

∴)1,0(=B A ,故选D 。

考点:集合的含义与运算。错误!未找到引用源。 3.解析:663624186=?=+?+=a d a a a ,∴4272

7

)(4717==?+=

a a a S ,

故选B 。

考点:等差数的通项与求和。

4.解析:∵021=?PF PF ,∴21PF PF ⊥,∴102||||2||2121===+F F PO PF PF ,

故选D 。

考点:向量的运算与双曲线的性质。

5.解析:由题意得:)3

22sin(]3

)(2sin[)(π

?π?++=++=x x x g

则Z k k ∈+

=+

,2

3

ππ

?,可得?的最小正值为

12

π

,故选A 。

6. 解析:∵若A 、B 、C 三点共线,

∴AC AB λ=即)(b y a b a x +=+λ11=??

?

?==?xy y x λλ

,故选B 。 考点:向量共线的充要条件与轨迹

7.解析:由三视图知原几何体为四个面均为直角三形的三棱锥,

如右图所示。则外接球球心为AD 的中点,故2=r ,

∴外接球的体积是

π3

28。故选C 。

考点:三视图与几何体体积的计算。

8.解析:∵方程),(022

R b a b ax x ∈=-++的两根分别错误!未找到引用源。在区间

]2,(--∞和),2[+∞上错误!未找到引用源。

, ∴??

?≤++≤+-0

22022b a b a ,由线性规划知识得:22b a +错误!未找到引用源。的最小值

为4。故选D 。

考点:二次方程的根的分布和简单的线性规划。

9.解析:将极坐标方程22sin cos =+θρθρ和1=ρ化为直角坐标系下的方程得:

22=+y x 和12

2

=+y x ,由数形结合易得:这两条切线的夹角的最大值为

3

π,

故选B

10.解析:设c bx ax x x f +++=23)(在区间)2,1(上的三个零点为1x 、2x 、3x ,

则))()(()(321x x x x x x x f ---=,

∴)2)(2)(2)(1)(1)(1()2()1(321321x x x x x x f f ------=? )]2)(1)][(2)(1)][(2)(1[(332211x x x x x x -------=

6412212212212

332

222

11-=??

?

??-+-??? ??-+-??? ??-+--≥x x x x x x ∵1x 、2x 、3x 为三个零点,∴1x 、2x 、3x 互不相等,∴上式“=”不成立。 ∴64

1)2()1(-

>?f f ,故选C.

二、填空题

11.-16; 12.4; 13.6.2; 14. (1,2); 15.②③

11.解析:由5

)2)(12(-+x x ])2()2()2()[12(54454155-+-?++-?+-=x C x C x x

∴16)2(5)2(2)2(4

5510-=-?+-?+-=+a a

考点:二项式定理.

12.解析:由框图知 ++++=11

3

1

2

221S ,由100

考点: 程序框图

13.解析: ∵ 回归直线方程为5.05.1?+=x y

,3=x ,∴样本中心点为(3,5) 又由于除去)9.2,2.2(和)1.7,8.3(这两个数据点后,,x y 的值没有改变,所以中心点也没有改变,设新的回归直线l 为b x y

+=2.1?,将样本中心点(3,5)代入解得:4.1=b , 当4=x 时,y 的估计值为6.2.

14.解析: 设2

T x ax =-,得log a y T =

当01a <<时,得log a y T =在区间[2,3]上是减函数且0T >.

所以2T x ax =-在区间[2,3]上也是减函数,那么

32a ≥且2

330a ->,

此种情况无解. 当1a >时,得log a y T =在区间[2,3]上是增函数且0T >. 所以2T x ax =-在区间[2,3]上也是增函数,那么22

a ≤且2

220a ->,解得12a <<.

所以实数a 的取值范围是(1,2). 15.解析: ①设P 点的坐标为),(00y x P ,则:

2

22

02

2

00

00

021a

b x

b y x b y x b y k k PB PB -

=-=-?+=

,∴①错误;

②0),)(,(2

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20

20

000021>-+=-----=?b y x y b x y b x PB PB , (∵),(00y x P 在圆222b y x =+外)∴②正确

③易知当点P 在长轴的顶点上时,21PB B ∠最小,且21PB B ∠为锐角, ∴设21B PB ?的外接圆半径为r ,由正弦定理得:

a

b a b

a a

b b OAB

b AB B b PB B b r 2

2

2

2

2

2

12

1222sin 2sin 2sin 22+=

+=

∠=

∠≤

∠=

∴a

b a r 22

2+≤

,∴21B PB ?的外接圆半径的最大值为

a

b a 22

2+,∴③正确。

④∵直线1PB 的方程为:x x b y b y 0

0+=

+ (1)

直线2QB 的方程为: x x b y b y 0

0--=

- (2)

(1)?(2)得2

2

02

2

02

2x x

b y b y --=

-12

22

2=-

?

a

x b

y ,

但因P 点不与B1

、B2点重合,∴点M 的轨迹为此双曲线的一部分。

∴④不正确。

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. 解:3(

,),(

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,),cos()42

4

24

4

10

A A A ππππππ∈∴+

∈∴+

==-

4sin sin[()]sin()cos

cos()sin

4

4

4

4

4

4

5

A A A A π

π

π

π

π

π

∴=+

-

=+

-+

=

3cos 5

A ∴=

………4分

(Ⅰ)2

3)2

1(sin 2sin 2sin

21sin 22cos )(2

2

+

-

-=+-=+=x x x x x x f ………5分

∵R x ∈,∴2

3,3[)(-∈x f ………………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当1sin 2

x =

时,()f x 取得最大值, ∴2

1sin =

B , 6

B π

∴=

或6

5π=B (舍去)

由正弦定理知:86

sin

5

sin =?=

BC A

BC π ………9分

又10

343)6

5sin(

)6

sin(sin +=

-=--

=A A C ππ

π ………11分

∴38610

343852

1sin 2

1+=+?

??=

??=

?C BC AC S ABC ……………12分

17. (1)证明:在矩形ABCD 中,AB=2AD=2,O 为CD 的中点

?AOD ?、BOC ?为等腰直角三角形

?o

90=∠AOB …………2分

H 为AO 的中点2

2=

=?DH OH

?2

5)2

2(

)2(2

2

2

2

2

=

+=+=OH

BO

BH

?2

22

2

3)2

2(

2

5BD

DH

BH

==+=

+?DH BH ⊥ ………… 4分

又OA DH ⊥,D H ∩BH H =? ⊥DH 平面ABCO,而 ?DH 平面 AOD

?平面 AOD ⊥平面ABCO ………… 6分

(2)解:分别以直线 OA 、OB 为 x 轴和 y 轴, O 为坐标原点,建立空间直角坐标系,

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如图所示.则)0,0,0( O 、)0,0,2

2( H 、)2

2,0,2

2( D 、

A O D

B

C

A

C

H B

D

O

)0,2,

0( B .………… 8分

设平面 BHD 的一个法向量),,(1z y x n = ,

111 2 0(2,1,0) 1

n H B x y n H D z n y ?⊥?=??

⊥?=?=??=??

由由令,

类似可求得平面 BOD 的一个法向量

)1-,0,1(2= n ………… 10分

5

10252,cos 21=

?

=

???n n

所以二面角O —DB —H 的余弦值为

5

10 ………… 12分

18.解:(Ⅰ)该选手恰好答题4道而通过的概率27

8

31)32(323==C P ……3分

(Ⅱ)由题意可知,ξ可取的值是5,4,3……4分

31)32()31()3(33=+==ξP 2710

278311)4(=

--==ξP

278)31()32()5(2

224=

==C P ξ ξ的分布列为

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……10分

所以ξ的数学期望为.27107

278527104313=?+?+?=ξE

……12分

19.解:(1)由0122=+-n n n a S a ?01)(2)(12

1=+-----n n n n n S S S S S

?12

12

=--n n S S ()2≥n ,∴}{2

n S 为等差数列 ……3分

∵10121112

1±=?=+-S S S S ,

又∵}{n a 为正项数列,∴11=S ……5分 ∴n S n n S n n =

?=?-+=1)1(12

……6分

(2)

)1(2122211n n n

n n n

S n -+=+

+>

=

=

……9分

)1(2)11(2)12312(211

112

1

-=-+=-

+++-+->++++n n

S n n n S S S

)1(211112

1

->+

++

+n n

S S S S 。

……12分 注:第(2)小题也可用数学归纳法或用数列单调性加以证明,请酌情给分。 20.证明:(1)设),(11y x A ,),(22y x B ,

由1-=?OB OA ?12121-=+y y x x ?14

2

2

2

121-=+

x x x x ,

∴221-=x x ……3分 ∵AB 的方程为:)(11

2121x x x x y y y y ---=

-2

2

212

1x x x x x y -

+=

?

∵221-=x x ,∴AB 的方程为12

2

1++=

x x x y ,

∴直线AB 恒过定点(0,1) ……6分 (2)不妨设12x x >

则AB 与抛物线围成的封闭区域的面积dx x

x x x S x x )2

12

(

2

2

12

1

-

++=

?

……8分

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)(6

1)()(43

13

2122

1222

1x x x x x x x x --

-+-+=

]12)(2)(3[12212

2212211

2+++-+-=

x x x x x x x x

)124(12

2122

2

11

2+++-=

x x x x x x )64(12

212122

211

2x x x x x x x x -++-=

12

)

(3

12x x -=

……10分

∵12x x >,120x x >>

∴222)(211212=-≥-+=-x x x x x x

∴3

2412

)22(12

)

(3

3

12=

-=

x x S ,“=”当且仅当21x x -=时成立。

∴直线AB 与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为3

24。 ……13分

另解:设),(11y x A ,),(22y x B ,AB 的方程为:b kx y += 联立???=+=y

x b kx y 22消去y 得:0222=--b kx x

∴k x x 221=+,b x x 221-= ……3分 由1-=?OB OA ?12121-=+y y x x ?14

2

2

2

121-=+

x x x x ?221-=x x

∴1=b ,∴直线AB 恒过定点Q (0,1)。……6分 (2)由(1)知AB 的方程为:1+=kx y

不妨设12x x >,则AB 与抛物线围成的封闭区域的面积dx x

x k S x x )2

1(2

2

1

-

+=

?

……8分

)(6

1)()(2

3

132122

122x x x x x x k --

-+-=

]6)()(3[6

212

22

1211

2+++-+-=

x x x x x x k x x

]6)24(6[6

2

21

2++--=

k k x x )2(4)(3

12

212

12+-+=

k

x x x x )

2(23

22

2

++=

k

k

……11分

3

24)2(323

2

+=k

,“=”当且仅当0=k 时成立。

∴直线AB 与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值为

3

24. ……13分

21.证明:(1)∵)1,0(,ln )1ln()(∈--+=λλλλx x x g

∴)

1()1)(1(1)('λλλλλλ

λλ-+--=

-

-+=

x x x x

x x g ……2分

∵1,[0,1)x λ≥∈,∴0)('≥x g

∴)(x g 在),1[+∞上为增函数,∴0)1()(=≥g x g ,

∴当),1[+∞∈x 时,0)(≥x g 恒成立. ……4分 (2))()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≥+?22112211ln ln )ln(x x x x λλλλ+≥+

?0ln )1(ln )ln(21112211≥---+x x x x λλλλ?0

ln

)1ln(2

1112

11

≥--+x x x x λλλ ……6分

∵021>≥x x ,记

x x x =2

1,则),1[+∞∈x

设)1(ln )1ln()(111≥--+=x x x x h λλλx x ln )1ln(111λλλ--+=, ∵正数1λ,2λ满足:121=+λλ,∴)1,0(1∈λ

由(1)知:0ln )1ln()(111≥--+=x x x h λλλ在),1[+∞上恒成立。 ∴)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≥+……9分 另证:

∵)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≥+?0ln ln )ln(22112211≥--+x x x x λλλλ 设),[,ln ln )ln()(2221221+∞∈--+=x x x x x x x h λλλλ ……6分 求导得:1

1

122

'()h x x x x

λλλλ=

-

+x

x x x x x )()

(22122111λλλλλλ++-=

x

x x x x )()(221221λλλλ+-=

∵),[2+∞∈x x ,∴0)()()('221221≥+-=

x

x x x x x h λλλλ,∴)(x h 在),[2+∞x 上为增函数,

∴)()(2x h x h ≥0ln ln )ln(22212221=--+=x x x x λλλλ

∴)()()(22112211x f x f x x f λλλλ+≥+ ……9分 (3)结论:“对于任意的正数1λ,2λ,3λ满足:1321=++λλλ,

都有)()()()(332211332211x f x f x f x x x f λλλλλλ++≥++”。 ……11分 证明如下:∵]))(

[()(3322

1212

1121332211x x x f x x x f λλλλλλλλλλλλ+++

++=++

由于1)(321=++λλλ,

12

122

11=++

+λλλλλλ,利用(2)的结论可得:

]

))(

[()(3322

1212

1121332211x x x f x x x f λλλλλλλλλλλλ+++

++=++)()][(

)(3322

1212

1121x f x x f λλλλλλλλλ+++

++≥

)()]()()[

(3322

1212

1121x f x f x f λλλλλλλλλ+++

++≥

)()()(332211x f x f x f λλλ++=。

∴)()()()(332211332211x f x f x f x x x f λλλλλλ++≥++成立。 ……14分

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