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矩阵理论

矩阵理论
矩阵理论

1. 在R 22?中求矩阵

??

?

???=3021A 在基123111111,,,111000E E E ??????===????????????41000E ??

=????下的坐标。 2. 试证:在R 22?中矩阵

123411111110,,,11011011αααα????????

====?

???????????????线性无关,并求??

????=d c b a α在1234,,,αααα下的坐标。

3. 在R 22?空间中,线性变换T :

()221240,2114T X X X R ?-????

=∈????

????

, 求T 在基123101111,,,000010ααα??????===????????????41111α??

=??

??下的矩阵表示。 4. 设T 是线性空间3R 上的线性变换,它在R 3中基123,,ααα下的矩阵表示是

??

??

?

?????-=512301321A (1)求T 在基112123123,,ααααααβββ==+=++下的矩阵表示; (2)求T 在基123,,ααα下的核与值域。 5. 求下列矩阵的Jordan 标准及其相似变换矩阵P

(1)??????????-----21

1212112 , (2)??

???

????

???-200

1200

1020101

2

. 6. 已知矩阵

310121013A -??

??=--??

??-??

验证A 是正规矩阵,并求A 的谱分解表达式。 7. 已知3阶矩阵

1114335A x y -??

??=??

??--??

的二重特征值2λ=对应两个线性无关的特征向量 (1)求,x y ;

(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP -为对角矩阵; (3)求A 的谱分解表达式。

8. 已知矩阵

011101110A ??

??=??

????

验证A 是正规矩阵,并求A 的谱分解表达式。

9. 已知矩阵

024********

2

A ???????

?=????????

验证A 是单纯矩阵,并求A 的谱分解表达式。 10. 设

000a a A a a a a ??

??=??

????

问a 取何值时,有lim 0k k A →∞

=。

11. 判断矩阵幂级数01

16

3

413

6k

k ∞=??

-?

??

???-????

∑的敛散性。 12. 已知 1

35

5315

5A ??

??=?

???????

(1)求证:矩阵幂级数21

k k k A ∞

=∑收敛。

(2)求矩阵幂级数21

k k k A ∞

=∑的收敛和。

13. 已知A 为一个n 阶矩阵,且()1A ρ<,求0

k k kA ∞

=∑。

14. 已知矩阵A 的某种范数1A <,求11

k k kA ∞

-=∑。

15. 已知10001

10001100

01

1A ??

???

?=??????

,求tA e ,sin A ,cos A ,ln A .

16. 已知矩阵A ,求矩阵函数的()f A 多项式表示,并计算A

e ,tA

e ,sin A π,

cos A π

(1)221261004A ????=-??????

(2) 210100212A ??

??=-??

??--?? 17. 求解线性常系数奇次微分方程

()

()(0)[1,1,0]T dx t Ax t dt x ?=???=?, 其中311201112A -????=-????-??

。 18. 求解线性常系数非奇次微分方程

()

()()(0)[1,1,0]

T dx t Ax t f t dt x ?=+?

?

?=? 其中311201112A -????=-????-??

,2()[0,0,]t T

f t e =。 19. 求解线性常系数非奇次微分方程

()

()()(0)[1,1,1]

T dx t Ax t f t dt x ?=+?

??=?

其中211031213A -??

??=-??????

,22()[,0,]t t T

f t e te =。 20. 求微分方程组

1

12

2

12313214221t

dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-??

满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。

21. 求矩阵1141??

= ?

??

A 的谱分解。 22.设???

? ??-=2010A 求A e A

sin ,。 23.矩阵n n C A ?∈的序列}{)(m A 收敛于01)(

24. 已知三阶方阵A 的初等因子为()()2

1,1λλ--,求A 的约当标准形和最小多项式

25.. 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ??= ?-??

,求(),|()|d d

A t A t dt dt 。答 26. 2sin cos sin(2)()cos 102x

x x x A x x x

e ??

?= ? ??

?,求220

0();();x d A t dt A x dx dx ??答: 27. 设4321,,,x x x x 是四维线性空间V 的一组基,线性变换A 在这组基下的矩阵为

??

?????

??---=212255213121

1201

A ,求A 在基???????=+=--=+-=444334

3224

21132x y x x y x x x y x x x y 下的矩阵。 28. 设,n n

A C

?∈且谱半径()1A ρ<,求级数∑∞

=-11m m mA 的和。

29.. 设???

?

?

??-=032311210A ,试计算:

876532()2228321316A A A A A A A A E φ=+--++--

30. 用圆盘定理估计矩阵???

??

??-=321321242A 的特征值分布范围。

31. 求 311,201(0)(1,1,1)

112T dX

AX A dt

X -??

?=?

?

=-? ?? ?=-???

的解。

32. 设???

??

??=010101001A ,证明:当3≥n 时,,22E A A A n n -+=- 并求.100A

33.求方程组:1231231

2324

2253339

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?的通解。

34.. 证明:lim m m A O →∞

=(阵)的充分条件是:存在一方阵范数?,使得1A <。

证明:

35. 设T 是内积空间V 的一个变换。证明:如果T 保持向量的内积不变,即

V y x y x Ty Tx ∈=,),,(),(

则T 一定是线性变换,因而是正交变换。

36. 已知6阶矩阵A 的初等因子组为32)3(,)2(),1(---λλλ,求A 的行列式因子,不变因子,若当标准形。

37. 已知cos 4sin 4sin 3(),2sin cos 2sin 22x x x A x x x x -??

?= ?-+?? 求)(lim 2x A x π→

;'()A x 38.判断k

k k

k

???

??

?--∑∞

=12816

0的敛散性 39. 求4R 的子空间

}

0|),,,{(}0|),,,{(4321432143214321=+++==-+-=a a a a a a a a W a a a a a a a a V

的交W V 的一组基。 40.设,n n

A C

?∈且谱半径()1A ρ<,求级数11

m m A ∞

+=∑的和。

41.设211121112A ??

?

= ? ???

,试计算432()5362A A A A A E φ=-++-。

42.. 估计矩阵0.90.010.120.010.80.130.010.020.4A ??

?

= ? ???

的特征值以及其实部和虚部的界限。

43. 设????

??--=1411A ,计算sin cos A A +

44.求微分方程组

1

12

2

12313214221t

dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-??

满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。

45.求矩阵1141??

= ???

A 的谱分解。

46..设21,V V 分别是齐次线性方程组021=+++n x x x 与n x x x === 21的解空

间,试证明21V V P n +=。

47.设}{)(m A ,}{)(m B 是n n C ?上的矩阵序列,若A A m m =∞

→)(lim ,B B m m =∞

→)(lim ,则

B A B A m m m ?=?∞

→)()(lim 。

48.非齐次微分方程组()()??

???=+=T x t F AX dt dx

1,0)0(的解:

其中????

??-=3553A ()???

? ??=-0t e t F

49.设n n C A ?∈,则对任何矩阵范数?,都有A A ≤)(ρ。

50.设???

?

? ??=010100012A ,求At e 。

51.设n

n C

A ?∈,且1)(

=0

m m A 的和。

52.求矩阵???

??

??---=502613803A 的约当标准形。

53.求???

?? ??----=031251233A 的最小多项式)(λm 。

54.讨论k

k k

k

??

????--∑∞

=12816

0的敛散性。 55.已知m n m R b R A ∈∈?,,对于矛盾线性方程组b Ax =,使得2

2)(b Ax x f -=为最小的向量)0(x 称为最小二乘解,试导出最小二乘解所满足的方程组。

56 .设321,,x x x 是三维欧氏空间V 的一组标准正交基,试求V 的一个正交变换T ,使得

??

?+-=-+=3212

3

2112222x x x Tx x x x Tx 57. 设线性空间4

R 上的线性变换A 在基4321,,,x x x x 下的矩阵为:

????

??

?

??=22113

10310758231A 试求A 在基???????=+=++=+++=1

42133

2124

3211x y x x y x x x y x x x x y 下的矩阵

58. 用最小二乘法解方程组:??????

?=-+-=++=+=+0

12132

13212

12

1x x x x x x x x x x

59..设矩阵A ,B 的不变因子分别为:

)2()3()2(,)3)(2(,1,1,1,1,1,1,1322+----λλλλλ 232)2()3)(2(,)3)(2(,1,1,1,1,1,1,1+--+-λλλλλ

试分别写出其初等因子组。

60. ??????

?

??000111λλλ 求矩阵的特征矩阵的不变因子与初等因子。

61.已知6阶矩阵A 的初等因子组为3

2

)2()2)(1(---λλλ 求A 的约当标准形与不变因子。

62.求???

??

??--=201034011A 的约当标准形

63.求???

?

? ??---=502613803A 的标准形

64.设()212221221212

1,x x x x x x x x x x x A =???

?

??+?+= 求

dx

dA

65.设 ()???? ??-=42sin cos 2sin t t t t t t A 求 ()?3

0x dt t A dx d 66. 设()()z y x x xy yz x

sy xz xyz X ,,sin sin 22

=???

?

?

?= 求

dx

dz

67. 证明:对n

n C

A ?∈?

()() +-+-+-!21!

41!21242k A A A I k

k 绝对收敛

68.设()1,0,,ππ-=ding A 求 A s i n ,A cos ,A

e

69. 设 ????

? ??=001100010A 求A

e ,A cos

70. 求微分方程组

1

12

2

12313214221t

dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-??

满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。

71. 设 ?

???

? ??=200120001A 求 ????

??3arctan A

72. 设????

??

?

?

?=10

0011000020

0012A ()x x f ln = 求 ()A f 73设,,,m n n k n k A R b R B R d R ??∈∈∈∈,且rankA n =

,方程Bx d =有解,试求约束极小化问题

2

2min Bx d

Ax b =-

的解,也就是求函数2

2()i i f x A x b =-在约束Bx d =下的极小点和极小值。

74.设实数域上的多项式空间3[]P t 中的多项式230123()f t a a t a t a t =+++在线性变换T 下的像为2301122330()()()()()Tf t a a a a t a a t a a t =-+-+-+-,求线性变换T 的值域和核空间的基与维数。

75.设?

???

?

??=032100010A ,?

??? ??-=2010A ,求A

e 。3.求矩阵1141??= ???A 的谱分解。 76.求微分方程组112212313214221t

dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-??和1

1

3212331

3383625dx x x dt dx

x x x dt dx x x dt ?=+???=-+???=--??

满足初始条件

123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。

77.证明矩阵n

n C

A ?∈的幂序列}{)(m A 收敛于0的充分必要条件是()1A ρ<。

78. 求矩阵???

?

? ??---=502613803A 的Jordan (约当)标准形。

79. 设102011010A ?? ?

=- ? ???

,试计算:8542()234A A A A A E ?=-++-。

80. 证明矩阵幂级数

∑∞

=0

m m m

A c

绝对收敛的充分必要条件是对任一矩阵范数?,正项级数

∑∞

=0

m m m

A c

收敛。

历届考题一、

一、填空题:(每空3分,共18分)

1. 已知三阶方阵A 的初等因子为()()2

1,1λλ--,则A 的约当标准形为: ;最小多项式为: 。

2. 已知cos sin ()sin cos t t A x t t ??

=

?-??

,则

()_____________,|()|_______________d d

A t A t dt dt

==

3. 已知2sin cos sin(2)()cos 102x x x x A x x

x e ?? ?

= ? ???

,则 2

20

0()_______________;()_________________;x d A t dt A x dx dx ==?? 二、解答下列各题:(每题8分,共40分)

1. 设4321,,,x x x x 是四维线性空间V 的一组基,线性变换A 在这组基下的矩阵为

??

????

?

?

?---=212255213121

1201A ,求A 在基???????=+=--=+-=444334

3224

21132x y x x y x x x y x x x y 下的矩阵表示。

2. 设,n n

A C

?∈且谱半径()1A ρ<,求级数∑∞

=-1

1m m mA 的和。

3.设

??

??

?

??-=032311210A ,试计算:

876532()2228321316A A A A A A A A E φ=+--++--,其中E 是三阶单位矩阵。

4.用圆盘定理估计矩阵???

?

? ??-=321321242A 的特征值分布范围。

5. 求定解问题

311,201(0)(1,1,1)

112T dX

AX A dt

X -??

?=?

?=-? ?? ?=-???

的解。

三、(12分)设???

?

? ??=010101001A ,

证明:当3≥n 时,,22E A A A n n -+=- 并求.100

A

四、(14分)求方程组:1231231

23242253339

x x x x x x x x x ++=??

++=??++=?的通解。

五、证明:(16分)

1.证明:lim m

m A O →∞

=(阵)的充分条件是:存在一方阵范数?,使得1A <。

2.设T 是内积空间V 的一个变换。证明:如果T 保持向量的内积不变,即

V y x y x Ty Tx ∈=,),,(),(

则T 一定是线性变换,因而是正交变换。 历届考题二、

一、填空题:(每空3分,共18分)

1. 已知6阶矩阵A 的初等因子组为32)3(,)2(),1(---λλλ,则A 的行列式因子为 ,不变因子为 ,若当标准形为

2. 已知cos 4sin 4sin 3(),2sin cos 2sin 22x x x A x x x x -??

?= ?-+?? 则 )(lim 2x A x π→

= ____________)('=x A 3.判断k

k k

k

???

??

?--∑∞

=12816

0的敛散性为 二、解答下列各题:(每题8分,共40分) 1. 求4

R 的子空间

}

0|),,,{(}0|),,,{(4321432143214321=+++==-+-=a a a a a a a a W a a a a a a a a V

的交W V 的一组基。 2. 设,n n

A C

?∈且谱半径()1A ρ<,求级数11

m m A ∞

+=∑的和。

3. 设211121112A ?? ?

= ? ???,试计算432()5362A A A A A E φ=-++-。

4. 估计矩阵0.90.010.120.010.80.130.010.020.4A ??

?

= ? ???

的特征值以及其实部和虚部的界限。

5. 设???

?

??--=1411A ,计算sin cos A A +

三、(14分)求微分方程组

1

12

2

123

1

3214221t dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-??

满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。 四、(12分)求矩阵1141??

=

???

A 的谱分解。 五、证明:(16分)

3.设21,V V 分别是齐次线性方程组021=+++n x x x 与n x x x === 21的解空间,试证明21V V P n

+=。 4.设}{)

(m A

,}{)(m B 是n n C ?上的矩阵序列,若A A m m =∞

→)(lim ,B B m m =∞

→)(lim ,则

B A B A m m m ?=?∞

→)()(lim 。

矩阵理论在通信的应用

矩阵理论在通信网络中的应用 ——利用幺模矩阵分析最小费用流问题 摘要 将通信网络中节点间的业务看作是一个流,假设一对节点间存在v个流量的业务需求,怎样使得最终达到满足要求且费用最小。通过线性规划建模,利用矩阵理论中完全幺模矩阵以及幺模矩阵的知识,保证求得的最优解为整数解,使得最小费用流问题得以解决。 关键字:最小费用流,完全幺模矩阵,幺模矩阵,整数解 ABSTRACT View the business communication between nodes in the network as a stream, a v of the flow between nodes business needs, how to make the end meet the requirements and minimum cost. The linear programming model, by using matrix theory totally unimodular matrix

and knowledge unimodular matrix, guarantee to obtain the optimal solution for the integer solution, so that the minimum cost flow problem can be solved. Key Words: Minimum Cost Flow ,Totally Unimodular ,Unimodular , integer solution 第一章矩阵理论简介 根据世界数学发展史的记载,矩阵理论概念剩余19世纪50年代,是为了解决线性方程组的需要而诞生的。1855年,英国数学家Caylag在研究线性变换下的不变量时,为了简介、方便而引入了矩阵的概念。矩阵的理论发展非常的迅速,到19世纪末,矩阵理论体系已经基本形成。到20世纪,矩阵理论得到了进一步的发展。目前,它已近发展成为在物理、控制论、经济学、等学科有大量应用的分支。 用矩阵的理论与方法来处理通信网络技术中的各种问题已越来越普遍。在通信工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷,而且对理论的实质刻画也更为深刻,这一点是不容置疑的,更由于计算机和计算方法的普及发展,不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景,也使通信网络技术的研究发生新的变化,开拓了崭新的研究途径,例如网络中的最小费用流问题、最短分离路径对问题、多商品流问题等,无不与矩阵理论发生紧密结合。因此矩阵的理论与方法已成为研究通信工程技术的数学基础。

矩阵的开题报告doc

矩阵的开题报告 篇一:矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计(论文)开题报告 课题名称:浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名:李露露 专业:数学与应用数学 班级:10级1班 学号: 30 指导教师:裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义: 矩阵是数学中的一个重要内容,是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算,它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此,矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义:

矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性,并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述: 矩阵不仅是个数学学科,而且也是许多理工学科的重要数学工具,因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词, 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年,凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后,国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中,就有关于矩阵变换的内容, 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容,并有初等变换在矩阵方程中的应用,在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的

CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容,此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展,为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价: 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具,矩阵变换是矩阵理论的基础, 近年来有许多关于矩阵变换的研究,这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化,也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展,同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中,这样就使得矩阵变换知识日渐完善,并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用

矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文

矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要:该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法,通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵,仅需知道一步转移概率矩阵,利用现代计算机编程语言(如MAPLE,MATLAB等)的符号运算功能,即可得到捕获系统的传输函数:通过对传输函数求导,可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数,可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项;可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词:CDMA;矩阵分析;传输函数;流程图;捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract:A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis.Given the first step transition probability matrix,the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE,MATLAB and so on,and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function.The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis,it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme.

矩阵理论

2011学年 (A) 学号姓名成绩 考试科目:《矩阵理论》(A)考试日期:2011年 1 月10 日 注意事项:1、考试7个题目共7页 2、考试时间120分钟 题目:一(本题35分) 二(本题18分) 三(本题14分) 四(本题08分) 五(本题07分) 六(本题09分) 七(本题09分) (注: I表示单位矩阵;H A表示H转置;det(A)代表行列式)

姓名: 学号: A 一. 填空(35分) ( 任意选择填写其中35个空即可 ) (1)1113A ??= ?-??,则2 (2)A I -= ,A 的Jordan 形A J = (2)若3阶阵2≠A I ,且2440-+=A A I ,则Jordan 形A J = (3) I 是单位矩阵,则范数1 ||I||||I||∞== ;cos 0n n ?= (4)Hermite 阵的特征根全为 , 斜(反)Hermite 阵的特征根必为纯虚数或 (5)秩 ()()()r A B r A r B ?-= ; ()A B A B +++?-?= ;; ()T T T A B A B ?-?= ;()H H H A B A B ?-?= (6) 若2320++=A A I ,则A 一定相似于 (7)d dt tA e = ,d dt tA e -= ,dsin(At)dt = (8)2()A A += ;00A B + ??= ??? ; (, 0)0A A + + ??- ??? = (9)设A 的各列互相正交且模长为1,则 H A A +-= (10)(),ij A a =则 2 2 ,,()()H H ij ij i j i j A A a AA a -=-=∑∑tr ||tr || (11) 若 ()0H A A =tr 则A = (12) (正规阵无偏性)若A 是上三角形正规阵,则A 一定是 (13) 若0n n n n B D C ???? ??? 为正规阵, 则D = (14)021, ,103a A B b ???? == ? ????? 则A B ?的特征根为 (15) 0.2 0.30.210.5 0.20.310.30.4 0.21A x ???? ???== ??? ???? ?? ?, , 则谱半径(最大特征根) ()A ρ范围是 ;且A x ∞ = ;||A||∞= (16)01,10A -??= ??? 则 ()=A H A e e

矩阵分析在通信领域的应用论文

矩阵分析在通信领域的应用学院:电气与电子工程学院 学号:____201606001____ 姓名:___江诚____

矩阵分析在通信领域的应用 【摘要】矩阵是数学的基本概念之一,也是线性代数的核心内容。矩阵广泛运用于各个领域,如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等,解决了大量的实际问题。本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用,如:在保密通信中,应用逆矩阵对通信的信息进行加密;在信息论中,利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等;在信息论的信道编码中,利用监督矩阵,生成矩阵,对信道中的信息进行编码,利用错误图样对信道传输的信息进行纠正;此外,矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用,基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。关键词:矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO 1、引言 随着科技快速稳健的发展,通信技术也得到了飞速的发展,人们对通信的要求也不断提高,不仅要求通信的实时性、有效性,还要求通信的保密性。而现实环境中,由于噪声的影响,常常使通信出现异常,这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。此外,在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面,是可用的频谱有限;另一方面,是所使用 的频谱利用率低下。因此,提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的 技术,该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识,本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合,通过建立一些简单的分析模型,利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。 2、矩阵在通信领域中的应用 2.1 矩阵在保密通信中的应用[2] 保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵[3][4]所传递的明文消息进行加密(即密文消息),然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。

矩阵理论

矩阵理论 通过学习矩阵理论这门课,发现在这个大数据的时代,矩阵理论是这个时代的基础学科,也是计算机飞速发展的引擎,它的重要性令我咂舌。一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。 本门课程主要包含以下几部分内容:线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。 一 线性方程组 对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换),相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。 由于现代计算机处理的数据越来越多,运行的任务越来越大,因此,对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。 对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算,但是它的计算时间是!n 级。所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要,但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。 判断一个算法的优劣,有很多标准,包括时间复杂度和空间复杂度,显然,时间复杂度越小,说明算法效率越高,因此算法也越有价值;而空间复杂度越小,说明算法越好。但主要考虑时间复杂度,因为人生苦短嘛哈哈。 对于一些常用的()f n ,成立下列重要关系: 23(1)(log )()(log )()() (2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<< LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。LU 分解就是在可以的情况下,将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。这样的话,对Ax b =求解,可以转化为对Ly b =求解,然后对Ux y =求解。但是,不是每一个矩阵都可以这样分解,是要满足一定的要求的,这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。 但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗?当然不是啦!加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候,但是通过行变换,可以满足要求,这样就得了下面这个定理。 如果存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U ,使得方阵A 满足P A L U =,称作带置换的LU 分解。

矩阵理论在信号系统中的应用

五邑大学研究生矩阵理论论文

矩阵理论在信号系统中的应用 摘要:在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下,现代控制理论在上世纪60年代开始形成并得到了迅速的发展。现代控制理论的重要标志和基础就是状态空间方法。现代控制理论用状态空间法描述输入、状态、输出等各种变量间的因果关系。不但反映系统输入与输出的外部特性,而且揭示了系统内部的结果特性,可以研究更复杂而优良的控制算法。现代控制理论及使用于单变量控制系统,有适用于多变量控制系统,既可以用于线性定常系统,又可以用于线性时变系统,还可用于复杂的非线性系统。 本文主要介绍了连续时间线性时不变系统零输入响应运动分析,如何利用数学模型,求解线性定常系统的零输入响应问题。是矩阵理论中约当标准形和对角线标准形在线性系统理论中的一个很典型的应用。 状态与状态变量:系统在时间域中运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立(数目最少的)变量称为状态变量。它是能完整地确定地描述系统的时间行为的最少的一组变量。 状态向量:如果n 个状态变量用()1x t 、()2x t 、…()n x t 表示,并把这些状态变量看做是 向量X (t )的分量,则向量X (t )称为状态向量,记为()()()()12n x t x t X t x t ????? ?=???????? 或者()()()()12T n X t x t x t x t =???? 状态空间:以状态变量()1x t 、()2x t 、…()n x t 为坐标轴构成的n 维空间。 状态方程:描述系统的状态变量之间及其和系统输入量之间关系的一阶微分方程组 线性系统:满足叠加原理的系统具有线性特性 零输入响应:若输入的激励信号为零,仅有储能元件的初始储能所激发的响应,称为零输入响应。 一、线性系统状态方程: A :表示系统内部状态关系的系数矩阵 B :表示输入对状态作用的输入矩阵 从数学的角度上,就是相对于给定的初绐状态x0和外输入u (t ),来求解状态方程的解,即系统响应。解的存在性和唯一条件:如果系统A 、B 的所有元在时间定义区间 []0t t α上均为 t 的实值连续函数,而输入u(t)的元在时间定义区间[]0t t α上是连续 实函数,则其状态方程的解X(t)存在且唯一。 ()()[] ()()0 )0(x t t :)(x t t :0 000≥=+=∈=+=t x Bu A t t t x t Bu A x x x x 时不变时变α

矩阵理论

1. 在R 22?中求矩阵 ?? ????=3021A 在基123111111,,,111000E E E ??????===????????????41000E ??=???? 下的坐标。 2. 试证:在R 22?中矩阵 123411111110,,,11011011αααα????????====????????????????线性无关,并求??????=d c b a α在1234,,,αααα下的坐标。 3. 在R 22?空间中,线性变换T : ()221240,2114T X X X R ?-????=∈???????? , 求T 在基123101111,,,000010ααα??????===????????????41111α??=???? 下的矩阵表示。 4. 设T 是线性空间3R 上的线性变换,它在R 3中基123,,ααα下的矩阵表示是 ???? ??????-=512301321A (1)求T 在基112123123,,ααααααβββ==+=++下的矩阵表示; (2)求T 在基123,,ααα下的核与值域。 5. 求下列矩阵的Jordan 标准及其相似变换矩阵P (1)??????????-----211212112 , (2)????? ???????-2000120010201012 . 6. 已知矩阵 310121013A -????=--????-??

验证A 是正规矩阵,并求A 的谱分解表达式。 7. 已知3阶矩阵 1114335A x y -????=????--?? 的二重特征值2λ=对应两个线性无关的特征向量 (1)求,x y ; (2)求可逆矩阵P ,使得1P AP -为对角矩阵; (3)求A 的谱分解表达式。 8. 已知矩阵 011101110A ????=?????? 验证A 是正规矩阵,并求A 的谱分解表达式。 9. 已知矩阵 024*********A ????????=???????? 验证A 是单纯矩阵,并求A 的谱分解表达式。 10. 设 000a a A a a a a ????=?????? 问a 取何值时,有lim 0k k A →∞ =。 11. 判断矩阵幂级数01 1634136k k ∞=??-??? ???-??? ?∑的敛散性。 12. 已知 13553 155A ????=????????,

矩阵论在电气工程中的应用

题目: 矩阵论在电气工程中的应用指导老师: xxx 学生姓名:xxx 所属院系:电气工程学院 专业:电气工程 学号:xxx 完成日期:20xx年x月x日

矩阵论在电气工程中的应用 摘要 电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。为了解决这个问题,因此引入了矩阵理论,并结合软件对矩阵分析的良好支持,以期达到优化分析电路的目的。本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开,介绍了网络拓扑在电路中的应用,并以给予求解。 关键词:电路分析矩阵法网络拓扑 ABSTRACT: Circuit analysis is an essential ability of professional personnel in the field of electronic. The concept of strong, complex circuit analysis calculation with the knowledge of the characteristics of large amount. In order to alleviate this problem, so we introduced matrix theory, combined with good support analysis software for matrix, in order to achieve the purpose of optimization of circuit analysis. In this paper, the network topology in matrix theory unfolds, introduces the application of network topology in circuit, and to give the solution. KEY WORDS:circuit analysis;matrix method;network topology 0 前言 矩阵是线性代数里的一个重要概念,在电路网络分析、工程结构分析等面,矩阵都是一个强自力的工具,因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算,便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。当运行这些程序时,能迅速地得到较准确的计算结果。在电子领域基础知识电路分析中,经过理论分析

矩阵变换及应用开题报告

鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计(论文)开题报告 课题名称:浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名:李露露 专业:数学与应用数学 班级:10级1班 学号:30 指导教师:裴银淑 2013年12月26日

一、选题意义 1、理论意义: 矩阵是数学中的一个重要内容,是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算,它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此,矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义: 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性,并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述: 矩阵不仅是个数学学科,而且也是许多理工学科的重要数学工具,因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词,他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年,凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后,国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中,就有关于矩阵变换的内容,在第一章中有关于矩阵初等变换的内容,并有初等变换在矩阵方程中的应用,在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容,此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展,为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价:

矩阵论答案

习题 一 1.(1)因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ,故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 (2)直接计算得4 A E =-,故设4(0,1,2,3)n k r r =+=,则4(1)n k r k r A A A A ==-,即只需算出23,A A 即可。 (3)记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ,则 , 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2.设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -, 其中P 为任意满秩矩阵,而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注:2 A E =-无实解,n A E =的讨论雷同。 3.设A 为已给矩阵,由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ,即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解,由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵,

矩阵理论报告

电子科技大学 矩阵理论课程报告 报告题目:线性投影非负矩阵分解 指导老师:高中喜 学生姓名:陈汪学号: 201521090515 专业:生命科学与技术学院

线性投影非负矩阵分解 摘要对非负矩阵分解迭代方法比较复杂的问题,提出了一种线性投影非负矩阵分解方法.从投影和线性变换角度出发,将Frobenius范数作为目标函数,利用泰勒展开式,严格导出基矩阵和线性变换矩阵的迭代算法,并证明了算法的收敛性.实验结果表明:该算法是收敛的;相对于非负矩阵分解等方法,该方法的基矩阵具有更好的正交性和稀疏性;人脸识别结果说明该方法具有较高的识别率.线性投影非负矩阵分解方法是有效的. 关键词投影非负矩阵分解,线性变换,人脸识别 Method for Linear Projective Non-negative Matrix Factorization Abstract To solve the problem that the iterative method for Non-negative Matrix Factorization,called Linear Projective Non-negative Matrix Factorization(LP-NMF) was proposed.LP-NMF,from projection and linear transformation angle,an objective function of Frobenius norm is considered.The Taylor series expansion is used.An itemtive algorithm for basis matrix and linear transformation matrix is derived strictly and a proof of algorithm convergence is provided.Experimental results show that the algorithm is convergent,and relative to Non-negative Matrix Factorization(NMF)and so on.The orthogonality and the sparseness of the basis matrix ale better,in face recognition,there is higher recognition accuracy.The method for LP-NMF is effective.Keywords Projective non-negative matrix hctorization,Linear transformafion,Face recognition X≈是从“对整体的感知由对组成整体的部分感知构成”观点出非负矩阵分解(NMF)WH 发而构建的数据处理方法.该方法揭示了描述数据的本质,并被广泛应用到数据降维、文本挖掘、光谱数据分析嘲、图像分析、人脸识别等诸多领域. X≈是基于线性变换Q而构建的.在LPBNMF 基于线性投影结构的非负矩阵分解(LPBNMF)WQX 中,提出了一个单调递减算法,定量地分析了基矩阵的正交性和稀疏性,并将它应用到有遮挡的人脸识别问题中. 本文基于LPBNMF方法,实现一种新的非负矩阵分解方法,我们称该方法为线性投影非负矩 X≈. 阵分解((Line project Non-negative Matrix Factorization, LPNUM)方法,WQX

矩阵分解及其应用

《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名:****** 专业:******* 学号:******* 指导教师:******** 2015年12月

Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015

中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法,它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分,在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此,本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词:等价分解,三角分解,奇异值分解,运用

Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words:Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application

矩阵论在电路中的应用

矩阵论在电路分析中的应用 随着科学技术的迅速发展,古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要,矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系,甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域,矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此,学习和掌握矩阵的基本理论和方法,对于工科研究生来说是必不可少的。全国的工科院校已普遍把“矩阵论”作为研究生的必修课。 对于电路与系统专业的研究生,矩阵论也显得尤为重要。本文以电路与系统专业研究生的必修课《电网络分析与综合》为例,讲解矩阵论的重要作用。 在电路分析中,对于一个有n个节点,b条支路的电路图, 每条支路的电压和电流均为未知,共有2b个未知量。根据KCL 我们可以列出(b-1)个独立的方程,根据KVL我们也可以列出 (b-n+1)个独立的方程,根据每条支路所满足的欧姆定律,我 们还可以可以列出b个方程;总共2b个方程要解出b个支路电 流变量和b个支路电压变量。当b的数值比较大时,传统的解数学方程组的方法已经不再适用了,因此我们需要引入矩阵来帮助我们求解电路。 一. 电网络中最基本的三个矩阵图 1 1.关联矩阵

在电路图中,节点和支路的关联性质可以用关联矩阵][ij a A =来表示。 选取一个节点为参考节点后,矩阵A 的元素为: ?????-+=个节点无关联条支路与第第方向指向节点个节点相关联,且支路条支路与第第方向离开节点个节点相关联,且支路条支路与第第i j i i j i i j a ij 0 1 1 图1中电路图的关联矩阵为 ????????????= 0 1- 0 1- 1- 0 0 1- 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1- 1-0 0 1- 1 0 0 1 A 2. 基本回路矩阵 在电路图中,基本回路和支路的关联性质可以用基本回路矩阵][ij f b B =来表示。当选定电路图中的一个树,额外再增加一个连枝的时候,就会形成一个基本回路。选取基本回路的方向与它所关联的连枝方向一致,矩阵f B 的元素为: ?? ???-+=个回路无关联条支路与第第反方向和基本回路方向相个回路相关联,且支路条支路与第第同方向和基本回路方向相个回路相关联,且支路条支路与第第i j i j i j b ij 0 1 1 图1中电路图的基本回路矩阵为 ???? ??????=1 0 0 1- 1 0 0 0 1 0 1- 1 1- 1 0 0 1 0 1- 1 1-f B 3. 基本割集矩阵 在电路图中,基本割集和支路的关联性质可以用基本割集矩阵][ij f q Q =来表示。当选

矩阵分析试题中北大学33

§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积,这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式,一方面反映了原矩阵的某些数值特性,如矩阵的秩、特征值、奇异值等;另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据,因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便,这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵(或正交矩阵)与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积,这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手,进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,R 称为单位上三角复(实)矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数,()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复(实)矩阵,特别当1(1,2,,)ii a i n == 时,L 称为单位下三角复(实)矩阵。 定理1设,?∈n n n A C (下标表示秩)则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵,R 是正线上三角复矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵,L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵,R 是正线上三角实矩阵;或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵,L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵,则存在唯一的正线上三角实矩阵R ,使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵,则存在唯一的正线上三角复矩阵R ,使得 =T A R R

上海交大研究生矩阵理论答案

n k r n n 1 2 习题 一 1.( 1)因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ,故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx ( 2)直接计算得 A 4 E ,故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ,则 A n A 4 k A r ( 1) A , 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 ( 3 )记 J= ,则 , 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 , 其中 P 为任意满秩矩阵,而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注: A 2 E 无实解, A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵,由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ,即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解, 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵, 1

矩阵在通信中的应用论文

矩阵理论(论文) 矩阵理论在通信领域的应用 学生: 学号:

矩阵理论在通信领域的应用 【摘要】矩阵是数学的基本概念之一,也是线性代数的核心内容。矩阵广泛运用于各个领域,如数学建模、密码学、化学、通信和计算机科学等,解决了大量的实际问题。本文主要介绍矩阵在通过信领域的应用,如:在保密通信中,应用逆矩阵对通信的信息进行加密;在信息论中,利用矩阵理论计算信源熵、信道容量等;在信息论的信道编码中,利用监督矩阵,生成矩阵,对信道中的信息进行编码,利用错误图样对信道传输的信息进行纠正;此外,矩阵分析在MIMO技术这个模块中也有着很重要的应用,基本可以说矩阵分析是MIMO技术研究的基础。关键词:矩阵;保密通信;信道容量;信道编码;MIMO 1、引言 随着科技快速稳健的发展,通信技术也得到了飞速的发展,人们对通信的要求也不断提高,不仅要求通信的实时性、有效性,还要求通信的保密性。而现实环境中,由于噪声的影响,常常使通信出现异常,这就要求人们对接收到的信号能够更好的实现检错纠错。此外,在频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面,是可用的频谱有限;另一方面,是所使用 的频谱利用率低下。因此,提高频谱利用率就成为解决实际问题的重要手段。多进多出(MIMO)[1]技术即利用多副发射天线和多副接收天线进行无线传输的 技术,该技术能够很好的解决频谱利用率的问题。然而对以上通信中存在的问题的分析和研究都需要用到矩阵理论的知识,本文把矩阵理论和其在通信领域的应用紧密结合,通过建立一些简单的分析模型,利用矩阵知识将通信领域很多复杂的计算和推导变得简单明了。 2、矩阵在通信领域中的应用 2.1 矩阵在保密通信中的应用[2] 保密通信是当今信息时代的一个非常重要的课题, 而逆矩阵正好在这一领域有其应用。我们可以用逆矩阵[3][4]所传递的明文消息进行加密(即密文消息),然后再发给接收方,而接收方则可以采用相对应的某种逆运算将密文消息编译成明文。

矩阵理论试卷(整理版)

山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中,行空间、列空间、零空间和左零空间中,维数与矩阵的秩相等的子空间是行空 间和列空间. 2、 在矩阵的四个基本子空间中,和列空间构成正交补的是 左零空间。 3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。 4、 通过矩阵 svd 分解,可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。 5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换,对应的初等矩阵式 ???? ? ??101010001 6、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候,线性方程组Ax=b 有无穷多解。 7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间,这个空间的标准基是 ???? ?????? ?????? ?????? ??1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。 9、 在选定一个基后,任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。 10 如果将矩阵视为线性处理系统,矩阵有m 行,n 列,则输入空间的维数是n 。 二、判断题 1、给定一个线性空间,他的基不是唯一的,但是各个基中的基向量个数是相等的。(R ) 2、两个子空间的并集是一个子空间。(F ) 3、在线性方程组Ax=b ,当矩阵A 式列满秩的时候,无论向量b 是什么,方程组都有解。(F ) 4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同,同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。(R ) 5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同,但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。(F ) 6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。(F ) 7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。(F ) 8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。(F ) 9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。(R ) 10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。(R ) 三、(矩阵的四个基本子空间和投影矩阵) 设矩阵A 为 A=??? ? ??4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数 初等变换 ??? ? ??0042 dim R (A )=dim R (T A )=1 dim N (A )=dim N (T A )=1 R(A)的基 ???? ??22 R(T A )的基 ???? ??42 N(A)的基???? ??-12 N(T A )的基 ??? ? ??-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。 自己画很好弄 3、写出投影到矩阵A 的列空间的正交投影矩阵,计算向量b=[0 1]T 在列空间上的投影矩阵。

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