高等数学 上册 答案
第三章 微分中值定理与导数的应用
1. 验证罗尔定理对在上的正确性f x x x ()[,].=---22313
2. .)1,0(234:23内至少一个根在求证c b a cx bx ax ++=++
)
(]5
4,53[)(]2,2[)(]1,1[)(]1,0[)(:
,)1()(.3322 答 条件的区间是适合罗尔定理使函数----=D C B A x x x f )
(,)()()()(,0)(,),()();()()(,),(,],[)(.4 也非必要条件 答Ⅰ与Ⅱ既非充分Ⅰ是Ⅱ的充要条件
条件Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分件是Ⅱ的充分但非必要条则：使内至少存在在∶Ⅱ∶记内可导在上连续在设D C B I A f b a b f a f I b a b a x f ≡'=ξξ
)
()()()()()()()(),()(,),()(0)(),()(,),(,],[)(.5 答 既非充分也非必要条件充要条件
必要但非充分条件充分但非必要条件 的Ⅱ是Ⅰ则上在Ⅱ与内在Ⅰ则内可导在上连续在设 D C B A a f x f b a x f b a b a b a x f =≡' 6. .]2
,
0[sin )(理的正确性上验证拉格朗日中值定在区间对函数π
=x x f 7.．的中值内在 ， ，ξξ)(2)0()2()2,0(1110)3(2
1)(2
f f f x x x x x f '=-???
????+∞<<≤≤-=
)
()()()()()02)(()0()2()
2,0(,212103)(.82 有三个 答 有两个 不存在
只有一个 值的满足则在区间内 当
当设D C B A f f f x x
x x x f ξξ-'=-???
??≤<≤≤-=
)
(,,)(,)()()(.
))(()()(,1
)(,0,.9 的具体数值有关 与是否存在 不存在有两点
只有一点 成立的点内使则在设b a D C B A a b f a f b f b x a x
x f ab b a ξξ-'=-<<=<< .
2)(,)1,0(:1
)1(,1)1()0(,]1,0[)(.10=''='==c f c f f f x f 使内存在点在证明上二阶可导在设
11. ().,,)(),(,),,(
为常数其中内则在有若对B A B Ax x f b a A x f
b a x +==∈
12. 证明当时恒等成立:,arctan arctan .x x x ≠+=012
2
2π 13. 证明当时:,sin tan .02
2<<
+>x x x x π
14. 证明当时:,
arctan arctan .01122
<<-+<-<-+a x x a x x a x a
a
15. 证明当时成立:,
ln .0<<-<<-y x x y x x y x y
y
16. .]2
,
0[cos 1)(sin 2)(上的正确性在和数验证柯西中值定理对函π
-==x x g x x f 要条件 答（ ）
的充分条件，也不是必Ⅱ不是Ⅰ 的充要条件
Ⅱ是Ⅰ 的必要但非充分条件Ⅱ是Ⅰ 的充分但非必要条件Ⅱ是Ⅰ 关系是Ⅱ与则且
的某去心邻域内可导在 设)()()()()()()()()()()()(:)()
(lim )()()(lim )(,0)(lim )(lim 0)(,)(),(.1700000D C B A A x g x f A x g x f I x g x f x g x x g x f x x x x x x x x =''===≠'→→→→
.
0)(,,
),1( ,0,0,1,)
1ln()(.18处的连续性在并判定值求上连续在当 当 设='+∞-??
?
??=≠->+=x x f A x A x x x x x f 19. _____________)
1ln(lim
20的值等于x
x x x +-→ 20. _____________),(tan tan lim 的值等于为正整数其中n m mx
nx
x π→
x
x x
x x sin tan lim
.210--→求极限 x
x x
x sin tan lim .2230-→求极限
x
x
e e x x x cos 13lim .2320----→求极限
)0(sin lim .242sin 0>-→a x
x a a x
x x ，求极限
25. ________________3sin 3lim
3
的值等于x x
x x -→
26. __________
__________21lim 30
的值等于x x
e x x --→ 27. ___________________41
lim 1,020的值等于则设x a a a x x -≠>→
28. 求极限 lim tan sin .x x x
x x
→-02
29. 求极限 lim sin ()
.x x e x x x x →-+031
30. 求极限 lim cos tan x x x x
→--02
2
21
31. 求极限 lim ()tan(cos )
.x x x →--22
21ππ
32. 求极限 lim sin .x x x e e x
x x
→----02
33. 求极限 ，lim (,).x a x a
a x x a a a →-->≠01
34. 求极限 lim x x x x
→-+-02222
35..1)(,, .1,2,10ln )(2处连续在使值确定当
且，当=???
??=≠>+=x x f b a x x x x b
ax x f
36. ).0( .0,1
,01
)(f x x x e x f x '???
??=≠-=求 ，设
37. ．
，的值等于)0(__________________cos ln cos ln lim
0≠→b bx
ax
x 38. ．的值等于则设___________________ln lim 0ax x e
x
a +∞→>
39. ．的值等于则设__________________ln lim 0a
x x x
a +∞→>
40. ．
的值等于则设_________________lim 0,0ax p
x e
x p a +∞→>> 41. 求极限 lim tan tan x x x →
π2
3 42. 求极限 lim x x x x e →+∞+2
43. 求极限 lim
ln()
.x x x
→∞+22 44. .0)( ,0,,0,)1()(11处连续在取何值使
=?
??????=≠??
??
?
???
??+=x x f A x A x e x x f x x 45. 求极限 limsin cot x x x →?π
53 46. 求极限 lim ln x x x →+0
2
47. 求极限 lim(sec tan ).x x x →
-π
2
48. 求极限 lim(cos )x x x
→∞
12
49. 求极限 lim .x x x x x →-+??
?
?
?121
21 50. 求极限 lim(sin )x x x →+0
51. 求极限 lim .x x
x →+∞
1 52. 求极限 lim(cos ).x x
x →+0
1
53. 求极限 lim sin .x x x x →??
??
?01
54. 求极限 lim arctan .x x
x →+∞-?? ?
??π21
55. ()
求极限 lim tan .sin x x
x →+0
56. 求极限 lim tan x x
x →+?? ?
?
?
01
57. 求极限 lim .sin x x
x
→+0
58. .lim 0
x x x +→求有限
上应用拉格朗日中值
在区间证明对于函数],[.592q p c bx ax y ++=定理时所得的.位于区间的中点点ξ
____
)()()()()(,1)(.6002
02010=-++-+-+=+n n
n n a x x a x x a x x a a x P x f n x f 中系数的泰勒多项式
则阶的导数有直至设
)
,3,2,1,0_()()(:)(,10)(.6110n k a x R x a x a a x f n x f n x x f k n n n ==++++=+=中系数展开式阶的麦克劳林的则阶的导数的某邻域内有直至在设 ()0
)()
(l i m )(0)()(l i m )(0
)()(l i m )(0)(l i m )(()(),()(!
)
()(,)(.620
100
000000=-=-=-=+-∑=→+→∞→∞→=n
n x x n n x x n
n n n n n n k k n
k x x x R D x x x R C x x x R B x R A x R x R x x k x f x f x x f ）
适合式中其泰勒展开式为
点无限次可导在设
______
)(421)(.63404=-=+=x R x x x f 项阶麦克劳林展开式的余处的在点函数
4
444
34)(41
1)()(!41)())(10()
()()2()(.
64x
D x C x B x A x R x x f --<<=-= 式中 的余项的三阶麦克劳林展开式θθθ 65. ()
.1)1ln(
)(阶麦克劳林展开式带拉格朗日型余项的写出n x x x f <-= 66. .11
)(阶麦克劳林展开式的带拉格朗日型余项的试写出n x x f +=
67. .11
)(阶麦克劳林展开式的带拉格朗日型余项的试写出n x x f -=
68. ).20(,11
)(0<<==x n x x x f 阶泰勒展开式的处的带拉格朗日型余项在点求
69. .21
)(02阶泰勒展开式的处的带拉格朗日型余项在求n x x
x f ==
n
D n C B A a x a x a x a a x P n x x f n
n n n
n n )1()
(1
)()1()(1)()()(11
)(.
702210--=++++=-=
其中阶泰勒多项式为的
)(!
1)(!1)(1
)(1)()()
(.712210 答 其中阶麦克劳林展开式为的设ξe n a D n a C n
a B a A a x R x a x a x a a e n e n n n n n n n n x x ==
=
==+++++=
).(121
)(.7202
式不写出余项的具体表示处四阶泰勒展开式在点求=-=
x x
x x f
73. ).(3arctan )(表示式不要求写出余项的具体阶麦克劳林展开式的求x x f = 74. 单调增加证明 函数x x y sin -=
75. 证明函数单调增y x x =+arctan
76. 内单调减 在区间试证明函数)1,2(112322
3
-+-+=x x x y
77. 讨论函数的单调性y x x =-+3
31 78. 求函数的单调区间y x x
=+
2
6
79. 求函数 的单调区间y x x x =+-+2433
2
80. 确定 的单调区间y x
x
=
+212
81. 当时，证明023
3
<<>+x x x x π
tan
)
()()()()()()()()()(0)()()(0)()()(],[)()(,],[)(),(.82a f a f x g x f D b g b f x g x f C x g x f B x g x f A b a x g x f b a x g x f ->-->-≥->-'>' 上有
则在且上可导在区间设 83. 证明当时 x e x x
>>+01
84. 证明当时 x x x
>>-
1231
85. 证明 当时 x x x x >+>-0122
ln()
有三个实根
有两个实根 有唯一实根 无实根
在定义域内 方程)()()()()(013.863D C B A x x =+- 87. 的极值求函数 x
y 2
sin 110
+=
)(2,0)(3,0)(1
,1)(1,2)(, , 21)(.8823 答 之值为
则常数处有极值在已知-==-==-===-=-=++=b a D b a C b a B b a A b a x bx ax x x f
)
(0)()(0)(0)()(0)()(0)()()
()()(.890000000 或不存在 答 且 处必有在处连续且取得极大值则在点函数='<''='<''='==x f D x f x f C x f B x f A x x f x x x f y
必不取得极值
能不取得极大值 可能取得极大值也可 必有极小值 必有极大值 处则在的某邻域有定义且在)()()( )()
)((0)(,0)()(.
900000D C B A x f x x x f x f x x x f ==''='=
)
(: )()()()()()()(,
0)(,0)()(,)(.
9100000000答是否为极值点 不能断定的极值点 不是 的极小值点
是 的极大值点 是 阶导数的某邻域内有连续的三在x D x f x C x f x B x f x A x f x f x f x x f >'''=''=' )
(2
1)()(2
ln 42)(2ln 42)()4ln(2.922 答 有极小值 无极值 有极小值 有极大值的极值结论是
关于函数D C B A x x y ---=
)
(11)(1,01)(1:1)(1:01)(53.9335 是极小点 答 是极大点， 是极大点
是极小点， 是极大点，是极小点 是极大点是极小值， 的极值点的正确结论是关于=-==-==-==-=-=x x D x x C x x B x x A x x y
)
(0)(0)(21
)(21)(ln .942 答 有极大值 有极小值 有极小值 有极大值
的极值正确结论为
关于函数D C e
B e A x x y -
= 95. 求 的极值y x x =-+4
2
25
)
(25
4
53,0)( 0,81)(0
,8
1
)( 520)()1()(.96332
答 极小值 极大值 极小值 极大值极大值 极小值 ，极大值 极小值的极值正确结论是
关于函数----=D C B A x x x y
)
(1,0)(0
,8)(1,0)(0,8)(2.9742 答 极小值极大值极小值极大值极大值
极小值极大值极小值的极值正确结论为关于函数D C B A x x y ---=
98. 求函数的极值y x x x =-+-32694
)
()13
7()()37313()()1313()()371()()()(1323
1.9923
答 ， ， ， ， ，则，序数组的极小值和极大值为有记函数---=
++-=D C B A M m M m x x x y
100. []
求函数在，上的最大值最小值y x x x =--+2618271432,
才使盒子的容积最大
问小方块的边长为多少一个无盖的方盒子作成方块从四个角截去同样的小的正方形铁皮设有一块边长为,,,.101a
才使表面积最小
问各边长为多少时关系：成其底边其体积为的带盖的箱子欲做一个底面为长方形,,2172,.1023cm
?
,,.103可使表面积最小为多少时及底半径高的圆柱形闭合容器容积为r h V
104. 在抛物线找出到直线的距离为最短的点y x xk y =-=2
342
?
,,.105问底边的长应为多少要使其总面积为最小体积为直柱体设有底为等边三角形的V
)
()0(,)0()0(,)0()()(arctan .106 内向上凸 答 ，而内向上凹， 内向上凹
，内向上凸， 内向上凹
， 内向上凸， 曲线∞-∞∞+-∞∞+-∞∞+-∞=D C B A x x y
)
()0(,)0()0(,)0()1(,)1()1(,)1(3.10732 是上凸的 答 ，内是上凹的， 是上凹的
，在内是凸的， 是凹的，是凸的， 内是凸的，在是凹的， 在
曲线-∞∞+-∞∞+-∞∞+-∞∞+-=D C B A x x y
)
(,,.)2
1(ln .108422 右侧的邻向上凸 答 左侧近邻向上凹右侧近邻向上凹
左侧近邻向上凸 向上凹的
向上凸的近邻是，在点曲线D C B A e
e x x y -=
不存在
， ， ， 的拐点曲线)()20()()11()()02()()(1)1(.1093D D B A x y ----=
110. ____),(,)31(2
3
=+=b a bx ax y 则数组为拐点，以点设曲线
[])
()()()()()()
()()()()()
()()()()()()()()()(,0)(,)(.111 答 正确的是
则下列不等式且上有二阶导数，在设b f a f b f a f D a f b f a f b f C a f a f b f b f B a f b f a f b f A x f b a x f '>->''>'>-'>->'->'>'>''
)
(4)(3)(2)(1)(3053.11235 答 的极值点的个数为
D C B A x x y --=
)
( : ))((,)()())(()()())((,)()())((,)()()(0)(,0)()(,)(.1130000000000000000答是拐点而的极小值点是 是拐点
的极大值点且是 是拐点且的极值点不是 不是拐点，的极值点是 则 且续导数的某邻域内且有三阶连在设x f x x f x D x f x x f x C x f x x f x B x f x x f x A x f x f x f x x f y ''''<'''=''='=
)
(:))((,)())((,)())((,)())((,)()(0)(,0)()(,)(.1140000000000000000不是拐点 答不是极值点 是拐点
不是极值点 不一定是拐点，是极值点 不是拐点，是极值点 ，则如果续导数的某邻域内具有三阶连在设x f x x D x f x x C x f x x B x f x x A x f x f x f x x f y ≠'''=''='=)
()()()()()()()()(0
, 2cos 1)
(lim
,0)0(,0)(.1150 答 的驻点但不是极值点
是的驻点 不是的极小值点 是的极大值点 是则点且的某邻域内连续在设x f D x f C x f B x f A x x
x f f x x f x ==-==→)
()()(,,)()()()()()(,1)
()
()(lim
.1162
的驻点 答 不是 但不是极值点的驻点 是的极小值点
是 的极大值点 是则点设 x f D x f C x f B x f A a x a x a f x f a
x =-=--→
)
(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)(,)(,)1()(.11723 答 都不是极值点 也是极值点
是极值点 不是极值点是极值点
是极值点不是极值点 以下判断正确的是的极值则关于设========-=x x D x x C x x B x x A x f x x x f
可使容积最大。
的尺寸如何与高问它的半径积为圆锥形开口容器的表面H r S ,.1180
119. _____________2
0cos 2上的最大值为，
在区间函数??
???
?
π
+=x x y (][][)(][))
(12)(1)(12)(2)(212.120432 答 ，及， ， 仅为， 仅为 ，
仅为的向上凹区间曲线∞+-∞-∞+--∞---++=D C B A x x x bx a y
)
()())(()()()()()()()(0)()(0)(,0)()()(.1210000000 的拐点 答 是曲线， 点的极小值
是 的极大值是 的极小值为 则下列结论正确的是适合设x f y x f x D x f x f C x f x f B x f A x f x f x f x f ='<'''=''='
)
(2ln )(ln ln )(2ln
)(ln ln )(2ln
)(ln ln )(2ln
)(ln ln )()( , ,.122 答 式成立 则有是任意两个正数且设y
x y x y y x x D y
x y x y y x x C y
x y x y y x x B y
x y x y y x x A y x y x ++≤+++<+++≥+++>+≠
必不为零
存在 如果必等于零存在 如果但不一定等于零一定存在 存在且等于零 必有 则的拐点为曲线，若,)()(,)()(,)()()()()(,)())((.123000000x f D x f C x f B x f A x f y x f x ''''''''=
两个点
，及， 有三个点，，，，， 有一点
， 只有一点
， 只有 的拐点曲线)41()41()()41()41()00()()41()()41()()(3.1243
2
---?????+==D C B A t
t y t
x
)
(2
)(2)(2)(2)()(,.1252
222 答
式成立 有时当y x y
x y x y
x y x y
x y x y x e
e e D e e e C e e e B e e e A y x ++++>+<+≥+≤+≠
)
()()()()(,)()(.
)()()()()(0)(,0)(,)(,)(.12600000000000 的拐点 答 必不是曲线， 的极值点也可能不是的极值点既可能是 的拐点必是曲线， 的极值点
必是 则下列结论正确的是且的某邻域内连续在设x f y y x D x f x f x C x f y y x B x f x A x f x f y x f x x f ===''='=
)
(: 0)(3)(2)(1)()(360103.12735答 个 的拐点有曲线D C B A x x x y --=
)
(13)(01)(10)(131)()
(,)10(.12823 答任意，， 任意
，， ，任意， ，， 则必有的拐点是曲线，点=-======-==++=c a a b D c b a C c b a B c b a A c bx ax y
)
(,)()()()())(()(,0)(.12900 也非必要条件 答 既非充分条件 充分而且必要条件
充分但非必要条件 必要但非充要条件处有拐点的，的图形在点是函数条件D C B A x f x x f y x f ==''
1)(0)(0)(0
0)()(ln .130=======
x y D x C y B x y A x
x
y 及 而无水平渐近线 而无垂直渐近线 及 的渐近线是曲线
)
()(0,2)(0
)(2)(,)2(1
.1313
答 没有渐近线 也有水平渐近线 既有垂直渐近线 仅有水平渐近线 仅有垂直渐近线则曲线
设D y x C y B x A x y =-==-=+=
)(,)(,)()()(,sin .132 答 也没有铅直渐近线 既没有水平渐近线又有铅直渐近线
既有水平渐近线 只有铅直渐近线
只有水平渐近线下述结论正确的是的渐近线关于曲线D C B A x x y +=
)(,)(,)()()(,ln .133 答 也没有铅直渐近线 既没有水平渐近线又有铅直渐近线
既有水平渐近线 只有铅直渐近线
只有水平渐近线下述结论正确的是的渐近线关于曲线D C B A x y = )
(,)(,)(,)(,)(,)1(1
2.1342
答 也没有铅直渐近线 既没有水平渐近线又有铅直渐近线
既有水平渐近线没有水平渐近线 有铅直渐近线没有铅直渐近线 有水平渐近线下列结论正确的是
的渐近线关于曲线D C B A x x y ++=
)
()(,)()()()
0(1
sin .135 答 没有渐近线 也有铅直渐近线 既有水平渐近线 有且仅有铅直渐近线
有且仅有水平渐近线 曲线D C B A x x
x y >=
)
(4)(3)(2)(1)()3)(2(.1362 答 渐近线的条数为曲线D C B A x x x x y +-+= ________________)13(106.1372处的曲率为，在点曲线+-=x x y
______________)00()1ln(.1382处的曲率为，在点曲线++=x x y
)
(221)(2)(2)(21)()()0(.1392 答 处的曲率为
，在点双曲线a D a C a B a A a a a a xy >= 140. 求曲线在点，处的曲率y x =ln ()10
141. 处的曲率。
，在点求曲线)14(
tan π
=x y 142. 求曲线在点，处的曲率y x =2
2349
()
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高数期末考试试题及答案[1]
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
高数2试题及答案(1)
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 第六章 定积分的应用 1、[]求曲线和在上所围成的平面图形的面积y x y x ==2 3 01,. 2、.,2 2 积轴旋转所得旋转体的体围成的平面图形绕 求由曲线ox y x x y == 2 112212121)()()()() ( )(,,3s s D s s C s s B s s A dx x f s s b a ---+=? 则如图表示的面积和、 ????= <<===a b b a e e e e x b a y b a xdx D dx e C dy e B xdx A A y b a b y a y x y ln )()()(ln )()0(ln ,ln ,ln 4ln ln ln ln 面积为轴所围成的平面图形的及、曲线 dy y y D dx x x C dy y y B dx x x A A x y x y )43 ( )()34()()43( )()34()(4,351 4 4 1 2 3 121 42 2 ????------ ------= -== 积所围成的平面图形的面 、曲线 dx x x D dx x x C dx x x B dx x x A A y x x y )32 ( )()2 3()()32( )()23()(3,2 62 1 1 2 1 1 22 2 22 2 2 2 22 2 22 -- - -----= =+=????--- - 面部分的面积所围成的平面图形上半 、求曲线 4 1 )(31)(21)(1)(72 积是 所围成的平面图形的面和、曲线D C B A x y x y = = 2 3 )(3)(21)(1)(83 3 积为 所围成的平面图形的面和、曲线D C B A x y x y = = 3 4 )(320)(1217)(1273)(: 293 2 积为所确定的平面图形的面及、由不等式D C B A x x y x ≤≤≤ 3 )(1)(0)(2)(0,cos ,sin 10 积是 所围成的平面图形的面及、曲线D C B A x x x y x y π==== 3 24)(21)(1)(32 4)(2 0sin sin 113 2 - += ===ππ π 积为 所围成的平面图形的面及和、曲线D C B A x x y x y 6 25)(29)(6)(4)(223122 积所围成的平面图形的面与直线、曲线D C B A A y x x y = =+-= 12 13 )(49)(94)(421)() ( )1(2)4,0(42132 002 的平面图形的面积 所围成 与曲线处的切线上点、曲线D C B A A x y T M M x x y =-=+-= 1 1 )()1 1(2)(1 )(1)(0,1ln 14+-+-= === =e D e C e e B e e A A y e x e x x y 积所围成的平面图形的面 及与直线、曲线 15、积为所围成的平面图形的面 与直线抛物线x y x x y =-=)2(____________． π ππππθθ29 )(9)(2)(4)()20(c o s 216 积为 所围成的平面图形的面 、曲线D C B A r ≤≤+= 4 )(41)(3)( 2)(02)1(173 2 π π π 旋转体的体积为 轴旋转所得的 所围成的平面图形绕 和直线、由曲线D C B A x x x y =-= 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 课程名称 高等数学I （A ）解答 一 选择题（4小题，每题4分，共16分） 1． 下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3． 已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4． 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三 解答题（5小题,每题6分，共30分） 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2l n 2x x x dx C =+? B ）、s i n c o s t d t t C =-+ ? C ）、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划 《高等数学》上册（一----七） 第一单元、函数极限连续 使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版； 同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点： 1.函数的概念及表示方法； 2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性； 3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念； 4.基本初等函数的性质及其图形； 5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系； 6.极限的性质及四则运算法则； 7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法； 8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型； 10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最 小值定理、介值定理），会用这些性质. 天数学 习 时 间 学 习 章 节 学习知识点 习 题 章 节 必做题目 巩固习题 （选做） 备注 第一天2 h 第 1 章 第 1 节 映 射 与 函 数 函数的概念 函数的有界性、单调性、 周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段 函数和隐函数 初等函数具体概念和形 式，函数关系的建立 习 题 1 － 1 4(3) (6) (8),5(3)★, 9(2),15(4) ★,17★ 4(4)(7),5(1), 7(2),15(1) 本节有两部分内容 考研不要求，不必 学习： 1. “二、映射”； 2. 本节最后—— 双曲函数和反双曲 函数 第二天3 h 1 章 第 2 节 数 列 的 极 限 数列极限的定义 数列极限的性质(唯一 性、有界性、保号性) 习 题 1 － 2 1(2) (5) (8) ★ 3(1) 1. 大家要理解数 列极限的定义中各 个符号的含义与数 列极限的几何意 义； 2. 对于用数列极 限的定义证明，看 懂即可。 第 1 章 第 3 节 函 数 的 极 限 函数极限的概念 函数的左极限、右极限与 极限的存在性 函数极限的基本性质（唯 一性、局部有界性、局部 保号性、不等式性质，函 数极限与数列极限的关 系等） 习 题 1 － 3 2,4★3, 1. 大家要理解函 数极限的定义中各 个符号的含义与函 数极限的几何意 义； 2. 对于用函数极 限的定义证明，看 懂即可。 第三天3 h 第 1 章 第 4 节 无 穷 小 与 无 穷 大 无穷小与无穷大的定义 无穷小与无穷大之间的 关系 习 题 1 － 4 4,6★1,5 大家要搞清楚无穷 大与无界的关系 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有 由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线 方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e高等数学 上册 答案
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