数学正态分布论文
高中数学选修本(理科)1.5正态分布(一)
1.5正态分布（一） 教学目的： 1.掌握正态分布在实际生活中的意义和作用. 2.结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理. 3.通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质. 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N (0，1). 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质. 授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教 具：多媒体、实物投影仪. 内容分析： 1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布.但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口.正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布. 2.正态分布是可以用函数形式来表述的.其密度函数可写成： ),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ， （σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的.常把它记为),(2σμN . 3.从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x =μ，并在x =μ时取最大值.从x =μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的. 4.通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征. 5.由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难.但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N （0，1），其他的正态分布都可以通过)( )(σμ-Φ=x x F 转化为N （0，1），我们把N （0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2121)(x e x F -=π ，x ∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化. 6.结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质.正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质. 教学过程： 一、复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.
高三数学 正态分布和线性回归(知识点和例题)
正态分布和线性回归高考要求 1.了解正态分布的意义及主要性质 2.了解线性回归的方法和简单应用 知识点归纳 1．正态分布密度函数： 2 2 () 2 () 2 x f x e μ σ πσ - - =，（σ＞0，-∞＜x＜∞） 其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) , (2 σ μ N 2．正态分布) , (2 σ μ N）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 例1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ．（1）2 2 2 1 ) ( x e x f- = π ，（-∞＜x＜+∞) （2） 2 (1) 8 () 22 x f x e π - - =，（-∞＜x＜+∞) 解：(1)0,1 (2)1,2 3．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量ξ～N(μ，σ2)，根据定义有：μ=Eξ，σ=Dξ。 正态曲线具有以下性质： （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 （2）曲线关于直线x =μ对称。 （3）曲线在x =μ时位于最高点。 （4）当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降。并且当曲线向左、
右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近。 （5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 五条性质中前三条较易掌握，后两条较难理解，因此应运用数形结合的原则，采用对比教学 4．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其 相应的函数表示式是2 221)(x e x f - = π ，（-∞＜x ＜+∞） 其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5.标准正态总体的概率问题: 对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率， 即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态 分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00 正态分布 ㈠ 知识点回顾： 1、正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为 ),(,21)(2 22)(∞+-∞∈= --x e x f x σμσ π， 其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。 ()f x 的图象称为正态曲线。 2、正态分布的期望与方差 若ξ～()2,N μσ，则2,E D ξμξσ== 3、正态曲线的性质： ①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线关于直线x=μ对称． ③曲线在x=μ时位于最高点． ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐进线，向它无限靠近． ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 4、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=< 00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态 分布表中查到 00 x y O （6）、()2,N μσ与()0,1N 的关系： ①若ξ～()2,N μσ，有()()000x P x F x μξσ-??<==Φ ??? ②若ξ～()2,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--???? <<=Φ-Φ ? ????? （二）习题 一、选择题 1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 )(10 21 )(200 )80(2R x e x f x ∈?= --π，则下列命题不正确的是 （ B ） A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分； B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同； C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同； D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10. 2.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ） A. 2 p B. 1p - C. 12p - D. 12p - 3.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ） μμσ...0.D C B A - 4. 已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D.不确定 5.正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p 的大小关系为（ ） A ．12p p < B ．12p p > C ．12p p = D.不确定 6.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( B ) 1)2(2.)4()2(.)2()4(.1)1(2.-ΦΦ-ΦΦ-Φ-ΦD C B A 7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ，0.84 8.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ D ） (A)15 (B)14 (C)13 (D)12 1 x 2 x )(0x Φ) (10x -Φ- 正态分布 要求层次 重难点 正态分布 A 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． （一） 知识内容 1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近 的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为22 ()2()2πx f x e μσσ --=?，x ∈R ， 其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞． 式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． 例题精讲 高考要求 正态分布 x=μ O y x ⑶重要结论： ①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%． ②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． （二）典例分析： 【例1】 已知随机变量X 服从正态分布2(3)N a ， ，则(3)P X <=（ ） A ．1 5 B ． 1 4 C ．1 3 D ． 12 【例2】 在某项测量中，测量结果X 服从正态分布() ()210N σσ>，，若X 在()01， 内取值的概率为0.4，则X 在()02， 内取值的概率为 ． 【例3】 对于标准正态分布()01N ， 的概率密度函数()2 2 x f x -=，下列说法不正确的是（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()f x C ．()f x 在0x >时是单调减函数，在0x ≤时是单调增函数 D ．()f x 关于1x =对称 【例4】 已知随机变量X 服从正态分布2(2)N σ， ，(4)0.84P X =≤，则(0)P X =≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【例5】 某种零件的尺寸服从正态分布(04)N ，，则不属于区间(44)-，这个尺寸范围的零件约占总数 的 ． 【例6】 已知2(1)X N σ-， ~，若(31)0.4P X -=≤≤-，则(31)P X -=≤≤（ ） A ．0.4 B ．0.8 C ．0.6 D ．无法计算 【例7】 设随机变量ξ服从正态分布(29)N ，，若(2)(2)P c P c ξξ>+=<-，则_______c =． 正态分布（一） 教学目的： 1 掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 2．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理 3．通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成： 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞，（σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质教学过程： 一、复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 借助于标准正态分布表求值 例 设ξ服从)1,0(N ，求下列各式的值： （1）);35.2(≥ξP （2）);24.1(-<ξP （3）).54.1(<ξP 分析：因为ξ用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地． 解：（1）;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P （2）;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP （3）)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P .8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ= 说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用． 求服从一般正态分布的概率 例 设η服从)2,5.1(2N 试求： （1）);5.3(<ηP （2）);4(-<ηP （3）);2(≥ηP （4）).3(<ηP 分析：首先，应将一般正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：若),(~2σμηN ，则由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(?? ? ??-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果． 解：（1）;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=??? ??-Φ=<ηP 高考数学复习题库正态分布 正态分布 一.选择题 1.已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝ 0.6826，则P(X>4)＝( ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 解析通过正态分布对称性及已知条件得 P(X＞4)＝＝＝0.1587，故选B. 答案 B 2. 设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为( ) A. B. C. D. 解析函数不存在零点,则因为，所以答案 C 3.以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于( ). A.Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B.Φ (1)－Φ(－1) C.Φ D.2Φ(μ＋σ) 解析由题意得，P(|ξ－μ|＜σ)＝P＝Φ (1)－Φ(－1). 答案 B 4.已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于( ). A.0 B.1 C.2 D.4 解析由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝σ2＝4，∴D(η)＝ 1.答案 B 5.标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为( ). A.0.9987 B.0.9974 C.0.944 D.0.8413 解析标准正态分布 N(0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率 P＝0.997 4. 答案 B 6.已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( ). A.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B.μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C.μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D.μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ 3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ 3. 答案 D 7.在正态分布N中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( ). A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.0026 解析∵μ＝0，σ＝∴P(X＜1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－ 3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.002 6. 答案 D 二.填空题 2．4 正态分布 1．问题导航 (1)什么是正态曲线和正态分布？ (2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读 请试做教材P 74练习1题． 1．正态曲线 函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －（x －μ）2 2σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数， φμ，σ(x )的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝??a b φ μ，σ (x)d x ， 则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________X ～N (μ，σ2)． 3．正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝1 2πσ e －（x －μ）22σ2，x ∈R 有以下性质： (1)曲线位于x 轴________上方，与x 轴________不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线________x ＝μ对称； (3)曲线在________x ＝μ处达到峰值________1 σ2π ； (4)曲线与x 轴之间的面积为________1； (5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②. 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 正态分布2 目的要求 1．利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率。 2．掌握正态分布与标准正态分布的转换。 3．了解正态总体的分布情况，简化正态总体的研究问题。 内容分析 1．标准正态分布是正态分布研究的重点，各式各样的正态分布可以通过)()(σμ -Φ=x x F 转换 成标准正态曲线，转换后正态分布的各项性质保持不变，而标准正态分布的概率又可以通过查表求得，因而标准正态分布表的使用是本节课的重点之一。 2．介绍《标准正态分布表》的查法。表中每一项有三个相关的量：x 、y 、P ，x 是正态曲线横轴的取值，y 是曲线的高度，P 是阴影部分的面积。即)()(00x x P x <=Φ。 3．标准正态曲线关于y 轴对称。因为当00>x 时，)()(00x x P x <=Φ；而当00 12.7 正态分布 一、选择题 1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585 解析 通过正态分布对称性及已知条件得 P(X ＞4)＝1－2＝1－0.6826 2 ＝0.1587，故选B . 答案 B 2. 设随机变量ξ服从正态分布 ),1(2σN ，则函数2()2f x x x ξ=++不存在零点的概率为( ) A.41 B. 31 C.21 D.32 解析 函数2()2f x x x ξ=++不存在零点,则440,1,ξξ?=-<> 因为2~(1,)N ξσ，所以1,μ=()11.2 P ξ>= 答案 C 3．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ 服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )． A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B ．Φ(1)－Φ(－1) C ．Φ? ?? ?? 1－μσ D ．2Φ(μ＋σ) 解析 由题意得，P (|ξ－μ|＜σ)＝P ? ???? |ξ－μσ|＜1＝Φ(1)－Φ(－1)． 答案 B 4．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解析 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝σ2＝4，∴D (η)＝1. 答案 B 5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为( )． A ．0.998 7 B ．0.997 4 C ．0.944 D ．0.841 3 解析 标准正态分布N (0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率 P ＝0.997 4. 2.4正态分布 限时练 周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名 一、选择题 1．设随机变量X 服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x )＝16π 244 6 e x x -+- ，则( ) A ．μ＝2，σ＝3 B ．μ＝3，σ＝2 C ．μ＝2，σ＝ 3 D ．μ＝3，σ＝ 3 2．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 3．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，1 2)，则该随机变量的 方差等于( ) A ．10 B ．100 C.2π D. 2π 4．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P (X >2)＝p ，则P (0 正 态分布 一、选择题 1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)1()1(-<=+>c P c P ξξ，则c 等于（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知随机变量ξ服从正态分),2(2σN ，且8.0)4(=<ξP ，则)20(<<ξP 等于（） A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 3.已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ≤等于（） A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 4.已知随机变量X 服从正态分布),2(2σN ，8.0)40(=< 2021年高中数学选修本(文科)正态分布1 目的要求 1．掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。 2．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。 3．通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 内容分析 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布。在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布。但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口。正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。 2．正态分布是可以用函数形式来表述的。其密度函数可写成： ，（σ＞0，-∞＜x＜+∞） 由此可见，正态分布是白它的平均数μ和标准差σ唯一决定的。常把它记为。 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值。从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的。 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难。但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化。 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质。正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质 教学过程 （一）引入新课 正态分布 教学目标： 知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。 过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。 教具准备：多媒体、实物投影仪。 教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。 内容分析： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成： 2 2 () 2 (),(,) x f x x μ σ - - =∈-∞+∞，（σ＞0） 由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为) , (2 σ μ N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的 4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N （0，1），其他的正态分布都可以通过) ( ) ( σ μ - Φ = x x F转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为 2 2 1 2 1 ) (x e x F- = π ，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化 6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质 教学过程： 学生探究过程： 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． x y O 正态分布 ㈠ 知识点回顾： 1、正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为 ),(,21 )(22 2)(∞+-∞∈=--x e x f x σμσπ， 其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。 ()f x 的图象称为正态曲线。 2、正态分布的期望与方差 若ξ～()2,N μσ，则2,E D ξμξσ== 3、正态曲线的性质： ①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线关于直线x=μ对称． ③曲线在x=μ时位于最高点． ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐进线，向它无限靠近． ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 4、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=< 00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态 分布表中查到 00 （6）、()2,N μσ与()0,1N 的关系： ①若ξ～()2,N μσ，有()()000x P x F x μξσ-??<==Φ ??? ②若ξ～()2,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--????<<=Φ-Φ ? ????? （二）习题 一、选择题 1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 )(10 21)(200)80(2R x e x f x ∈?=--π，则下列命题不正确的是 （ B ） A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分； B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同； C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同； D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10. 2.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ） A. 2 p B. 1p - C. 12p - D. 12p - 3.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ） μμσ...0.D C B A - 4. 已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D.不确定 5.正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p 的大小关系为（ ） A ．12p p < B ．12p p > C ．12p p = D.不确定 6.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( B ) 1)2(2.)4()2(.)2()4(.1)1(2.-ΦΦ-ΦΦ-Φ-ΦD C B A 7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ，0.84 8.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ D ） (A)15 (B)14 (C)13 (D)12 10.若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 (B) A ．0.9987 B ．0.9974 C ．0.944 D ． 0.8413 1x 2 x 高中数学正态分布测试题及答案高二数学随机变量的数字特征；正态分布人教实验版（B） 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 2.3 随机变量的数字特征 2.4 正态分布 二. 教学目的 1、能够求出随机变量的分布列，并利用分布列求出随机变量的均值和方差，能解决简单实际问题。 2、掌握正态分布的性质，能够计算有关概率值；了解假设检验的思想。 三. 教学重点、难点 利用分布列求出随机变量的均值和方差；正态分布的性质。 四. 知识分析 1、离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 ①若X为随机变量，Y = aX + b（其中 a , b 为常数），则Y 也是随机变量，且有E（aX + b）= aE（X）+ b ②若X ～B （n , p ），则E（X）= np ③期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。 ④E（X）是一个实数，由X的分布列惟一确定．即作为随机变量X是可变的，可取不同值，而E（X）是不变的，它描述X取值的平均状态． ⑤＋… 直接给出了E（X）的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加． 2、离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则[xi－E（X）]2描述了xi （i = 1,2,…,n）相对于均值E（X）的偏离程度．而 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E（X）的偏离程度，我们称D（X）为随机变量X的方差，其算术平均根为随机变量X 的标准差。记作． 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均 值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离均值的平均程度越小。 设X 为离散型随机变量，则 （1）D（aX + b）＝a2D（X） 2021年高中数学选修本(文科)正态分布(I) 教学目的： 1利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率 2．掌握正态分布与标准正态分布的转换 3．了解正态总体的分布情况，简化正态总体的研究问题 教学重点：利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率 教学难点：非标准正态总体在某区间内取值的概率及总体在（－∞，ａ）的概率求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1．标准正态分布是正态分布研究的重点，各式各样的正态分布可以通过转换成标准正态曲线，转换后正态分布的各项性质保持不变，而标准正态分布的概率又可以通过查表求得，因而标准正态分布表的使用是本节课的重点之一 2．介绍《标准正态分布表》的查法 表中每一项有三个相关的量：x 、y 、P ，x 是正态曲线横轴的取值，y 是曲线的高度，P 是阴影部分的面积 即 3．标准正态曲线关于y 轴对称 因为当时，；而当时，根据正态曲线的性质可得：，并且可以求得在任一区间内取值的概率:)()()(1221x x x x x P Φ-Φ=<< 4．由例讲授，对于任一正态总体都可以通过，求得其在某一区间内取值的概率 5．从下列三组数据不难看出，正态总体在（μ-3σ，μ+3σ）以外的概率只有万分之二十六，这是一个很小的概率 这样，就简化了正态总体中研究的问题 F （μ-σ，μ+σ）≈0.683， F （μ-2σ，μ+2σ）≈0.954， F （μ-3σ，μ+3σ）≈0.997 教学过程： 一、复习引入： 1.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 正态分布(2) 教学目的： 1利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率 2．掌握正态分布与标准正态分布的转换 3．了解正态总体的分布情况，简化正态总体的研究问题 教学重点：利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率 教学难点：非标准正态总体在某区间内取值的概率及总体在（－∞，ａ）(0a <）的概率求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1．标准正态分布是正态分布研究的重点，各式各样的正态分布可以通过) ()(σμ -Φ=x x F 转换成标准正态曲线，转换后正态分布的各项性质保持不变，而标准正态分布的概率又可以通过查表求得，因而标准正态分布表的使用是本节课的重点之一 2．介绍《标准正态分布表》的查法表中每一项有三个相关的量：x 、y 、P ，x 是正态曲线横轴的取值，y 是曲线的高度，P 是阴影部分的面积即)()(00x x P x <=Φ 3．标准正态曲线关于y 轴对称因为当00>x 时，)()(00x x P x <=Φ；而当00高二数学 正态分布练习题
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