2018年浙江高考数学二轮复习：技法强化训练1 函数与方程思想 Word版含答案

技法强化训练(一) 函数与方程思想

(对应学生用书第159页)

题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题

1．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 是其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8

的值为( ) A ．16 B ．32 C ．64

D ．62

C [由题意可知a 2

2＝a 1a 5，

即(1＋d )2

＝1×(1＋4d )，解得d ＝2， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. ∴S 8＝

a 1＋a 8

2

＝4×(1＋15)＝64.]

2．若2x

＋5y

≤2－y

＋5－x

，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0

D ．x －y ≥0

B [原不等式可化为2x

－5－x

≤2－y

－5y

，构造函数y ＝2x

－5－x

，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，即x ＋y ≤0.]

3．若关于x 的方程x 2

＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是( ) 【导学号：68334007】

A.? ????－34，0

B.? ????－34，0

C.? ??

??0，34 D.????

??0，34 B [构造函数f (x )＝x 2

＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2

＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1

＜0＜x 2＜2，

所以????

?

f －，f

＜0，f

＞0，即????

?

－2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，

所以－34＜k ≤0，所以k 的取值范围是? ??

??－34，0.]

4．已知数列{a n }满足a 1＝60，a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *

)，则a n n

的最小值为________．

29

2

[由a n ＋1－a n ＝2n ，得 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1

＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋60

＝n 2

－n ＋60.

∴a n n ＝n 2－n ＋60n ＝n ＋60n

－1.

令f (x )＝x ＋60

x

－1，易知f (x )在(0,215)上单调递减，在(215，＋∞)上单调递增．

又n ∈N *

，当n ＝7时，a 77＝7＋607－1＝1027，

当n ＝8时，a 88＝8＋608－1＝29

2

.

又

292＜1027，故a n n 的最小值为29

2

.] 5．已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，g (x )＝12

x 2

＋ax ，其中a ≥0.

(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )也相切，求a 的值； (2)证明：x ＞1时，f (x )＋1

2

＜g (x )恒成立．

【导学号：68334008】

[解] (1)由f (x )＝x ln x ＋a ，得f (1)＝a ，

f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1. 1分

所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝x ＋a －1.因为直线y ＝x ＋a －1与曲线y ＝g (x )也相切，

所以两方程联立消元得12x 2

＋ax ＝a ＋x －1，

即12

x 2

＋(a －1)x ＋1－a ＝0，

3分

所以Δ＝(a －1)2－4×12×(1－a )＝0，得a 2

＝1.

因为a ≥0，所以a ＝1.

4分

(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立，等价于12x 2＋ax －x ln x －a －1

2＞0恒成立．

令h (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －1

2，

则h (1)＝0且h ′(x )＝x ＋a －ln x －1.

6分

令φ(x )＝x －ln x －1，则φ(1)＝0且φ′(x )＝1－1x ＝x －1

x

，

8分

所以x ＞1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增， 所以φ(x )＞φ(1)＝0.

又因为a ≥0，所以h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0，

所以x ＞1时，12x 2＋ax －x ln x －a －1

2＞0恒成立，

11分 即x ＞1时，f (x )＋1

2＜g (x )恒成立.

12分

题组2 利用函数与方程思想解决几何问题

6．设抛物线C ：y 2

＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．y 2

＝4x 或y 2

＝8x B ．y 2＝2x 或y 2

＝8x C ．y 2

＝4x 或y 2

＝16x

D ．y 2

＝2x 或y 2

＝16x

C [由抛物线的定义可知MF ＝x M ＋3p 4＝5，∴x M ＝5－3p 4，y 2M ＝15p －9p

2

4，故以MF 为直径的圆的

方程为(x －x M )(x －x F )＋(y －y M )(y －y F )＝0， 即? ????0－5＋3p 4? ????0－3p 4＋(2－y M )(2－0)＝0.

∴y M ＝2＋15p 8－9p 2

32＝2＋y 2

M 8?y M ＝4，p ＝43或16

3.

∴C 的方程为y 2

＝4x 或y 2

＝16x .]

7．(2017·宁波市镇海中学高三模拟考试)在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，∠BAC ＝

π

2

，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为( )

【导学号：68334009】

A.??????

55，1 B.??????

55，1 C.?

??

??

255，1 D.??

??

??

255，1 A [建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，E ? ????0，1，12，G ? ????12，0，1，设F (x,0,0)，

D (0，y,0)，则GD →＝? ????－12，y ，－1，EF →＝? ??

??x ，－1，－12，x ，y ∈(0,1)．

由于GD ⊥EF ，所以x ＋2y －1＝0，x ＝1－2y ∈(0,1)，解得0＜y ＜12.DF ＝x 2＋y 2＝5y 2

－4y ＋1

＝

5? ????y －252＋1

5

，当且仅当y ＝25时，线段DF 长度的最小值是55，当y ＝0时，线段DF 的最

大值是1，由于不包括端点，故y ＝0不能取，所以线段DF 的长度的取值范围是????

??

55，1，故选A.]

8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，并且经过定点P ? ????3，12.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)问：是否存在直线y ＝－x ＋m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足OA →·OB →＝12

5？若存在，

求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：68334010】 [解] (1)由e ＝c a ＝

32且3a 2＋14b

2＝1，c 2＝a 2－b 2

， 解得a 2

＝4，b 2

＝1，

即椭圆E 的方程为x 2

4＋y 2

＝1.

4分

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?????

x 2

4

＋y 2＝1，

y ＝－x ＋m

?x 2

＋4(m －x )2

－4＝0?

5x 2

－8mx ＋4m 2

－4＝0.(*) 所以x 1＋x 2＝8m 5，x 1x 2＝4m 2

－45

，

8分

y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝m 2

－85m 2＋4m 2

－45＝m 2

－45，由OA →·OB →＝12

5

得(x 1，

y 1)·(x 2，y 2)＝125，即x 1x 2＋y 1y 2＝125，4m 2－45＋m 2

－45＝12

5

，

m ＝±2.

又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m )2

－4×5(4m 2

－4)＞0，解得－5＜m ＜5，所以m ＝±2.

12分

9．如图1，直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝

BE

EB ′

＝λ.

图1

(1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；

(2)当λ为何值时，三棱锥A ′-CDE 的体积最小，并求出最小体积． [解] (1)证明：∵λ＝1，∴D ，E 分别为AB 和BB ′的中点. 1分

又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B . 2分 ∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB . 3分 ∵三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴CD ⊥平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ， 4分

又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE . ∵CE ?平面CDE ，∴A ′B ⊥CE .

6分 (2)设BE ＝x ，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由已知可得C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对应的高h ＝

AC 2－? ??

??AB 2

2＝4，

8分

∴V A ′-CDE ＝V C -A ′DE ＝1

3(S 四边形ABB ′A －S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )·h

＝13?

??

?

??36－3x －

12－x x －

－x ·h

＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2

＋27](0＜x ＜6)，

14分 ∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′-CDE 有最小值18. 15分