弹力、摩擦力专题分析

相互作用

课时2 弹力与摩擦力

对物体的受力情况作出全面准确的分析，是解决力学问题的前提和基础。受力分析方法和能力是物理学的基本方法和能力。分析一个物体的受力情况，比较困难的是弹力和摩擦力。

一、框架结构

二、方法分析

(一)弹力的分析

（1）产生条件：弹力属于接触力，是被动力，产生条件是两物体直接接触且接触处有弹性形变发生。判断接触处有无形变，要根据已知力（主动力）和重力的合

力的作用效果，看接触处有无挤压或拉伸。

（2）方向：物体是在发生弹性形变的时候产生弹力的，弹力总是反抗引起形变的外力，欲使自己恢复原形。因此绳索等柔软体发生拉伸形变时产生的弹力（拉力）沿绳索指向绳索伸长的反方向（缩短方向）；两个相互挤压的物体间的弹力（压

力或支持力）垂直于接触面（非平面接触时是切面或公切面）指向形变的反方

向或指向使它发生形变的力的反方向。

（3）大小：弹力的大小与弹性形变的大小有关，弹性形变越大弹力越大。对于弹簧，在弹性限度内，弹力的大小与弹簧的形变成正比（中学阶段只限于沿弹簧轴线

的形变）。对于弹簧沿非轴线形变或其它物体的弹力的大小，一般由力的平衡

条件或牛顿第二定律分析求解。

（4）易错辨析

①杆的弹力：杆产生的弹力的方向比较复杂，有时沿杆方向，有时不在杆的方

向上；有时是拉力，有时是推力。具体方向和大小要结合题目意思，综合运用

力学知识（共点力的平衡条件或牛顿运动定律）和方法分析判断。

②弹簧的弹力不可突变：当弹簧受外力作用，被压缩或伸长后产生一定的弹力，

若使它伸长或压缩的外力突然撤去，这一时刻，由于弹簧的形变不可能在一瞬

间（时刻）发生变化，所以，外力撤去的时刻，弹簧的弹力不变。

③弹簧发生非轴线形变是的弹力：此时弹力不在弹簧轴线方向，方向及大小一

般运用共点力平衡条件或牛顿第二定律确定。

④多解问题：在有弹簧的问题中，当弹簧是处于伸长还是压缩形变不确定或形

变量大小不确定时可产生多解情况，应就各种可能情况分别进行讨论。

⑤跨过光滑定滑轮的绳：对于跨过静滑轮或光滑物体的轻绳等，两边的弹力大

小相等。

例1、如图所示，倾角为30°的光滑杆上套有一个小球和两根轻质弹簧a、b，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M、N固定于杆上，小球处于静止状态，设拔去销钉M瞬间，小球的加速度大小为6m/s2，若不拔去销钉M，而拔去销钉N

瞬间，小球的加速度是（g取10m/s2）（）

A．11m/s2，沿杆向上

B．11m/s2，沿杆向下

C．1m/s2，沿杆向上

D．1m/s2，沿杆向下

【分析】选B和C，因为在拿去M后小球有了6加

速度。当此加速度向上时，说明在没有拿去M时，a弹簧有个6*m的压力压在小球上，松掉M，小球就有了向上的加速度6。所以此时如果撤去N，小球受自身的重力加速度10*sin30°和a弹簧的弹力加速度6，所以就是11，向下，选B。当此加速度向下时，说明在没撤去M时，a弹簧有个6*m的拉力在小球上，本来小球沿杆的重力加速度是5。所以在撤去N后小球合力是1*m，向上。选C

例2、如图所示，一个质量为m的小球，被三根质量不计的相同弹簧a、b、c固定在O点，c竖直向下，a、b、c之间的夹角均为120°．小球平衡时，弹簧a、b、c的弹力大小之比为3：3：1．设重力加速度为g，当单独剪断c瞬间，小球的加速度大

小及方向可能为（）

A．g/2 、竖直向下

B．g/2 、竖直向上

C．g/4 、竖直向下

D．g/4 、竖直向上

【分析】A、根据题意，对小球受力分析，假设C弹簧是向下的拉力，又a、b、c之间的夹角均为120°，且弹簧a、b、c的弹力大小之比为3：3：1，由平衡条件得，mg+F c=F a，又F a/ F c=3/1，则mg=2F c，当单独剪断c瞬间，小球受到的合力与C弹簧的弹力大小相等，方向相反，由牛顿第二定律得：a= F c/m=g/2，方向竖直向上，故A错误，B、同理，B正确，C、假设C弹簧是向上的弹力，同理可得，小球的重力是C弹簧的弹力的4倍，当单独剪断c瞬间，小球受到的合力与C弹簧的弹力大小相等，方向相反，由牛顿第二定律可求小球的加速度大小为g/4，方向竖直向下．故C正确，D、同理，D错误．故选：BC

例3、如右图，轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态．现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1，2的加速度大小分别为a1，a2．重力加速度大小为昏则有（）

A、B、C、D、

【分析】抽取前，1受到重力和弹力，二力处于平衡状态F=mg，抽取后的瞬间由于弹簧的长度来不及改变，所以弹力大小不变，故1仍旧处于平衡状态，即加速度，

抽取前，2受到重力和向下的弹力以及向上的支持力，三力处于平衡状态，抽取后的瞬间，木板的支持力消失，弹力不变，所以2受到重力和向下的弹力作用，根据牛顿第二

定律可得，故选C

【点评】本题难度较小，做此类型题目的关键是知道在抽取掉某个物体的瞬间，由于弹簧的长度来不及改变，所以弹力大小保持不变

例4、如图所示，小车放在水平面上，在水平外力的作用下沿水平向右做匀加速直线运动，放在小车上的两个物体A、B的质量分别为m A=1kg，m B=0.5kg．它们与小车表面的动摩擦因数分别是μA=0.4，μB=0.2，连接两个物体的轻质弹簧的劲度系数k=10N/m．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求当小车的加速度a=2.5m/s2时，A、B 所受的摩擦力和弹簧的形变量．（g=10m/s2）

【分析】首先看两物体A 与B 的最大摩擦力之和为0.4×1×10+0.2×0.5×10=5N ，AB 物体为一个整体加速度为2.5m/s 2，受力为（1+0.5）×2.5=3.75N,故摩擦力可以提供全部加速度，AB 物体相对静止.B 加速度为2.5m/s 2，自身摩擦力摩擦力提供0.2×10=2m/s 2的加速度，则弹簧拉力为 2.5×0.5-0.2×10×0.5=0.25N ，则弹簧的形变量为0.25÷10=0.025m

例5、 如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B 。

它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d 。（重力加速度为g ）

【分析】令x 1 表示未加F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和共点力平衡条件可知，m A gsinθ=kx 1 ①

令x 2 表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量，a 表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知kx 2 =m B gsinθ ；②F-m A gsinθ-kx 2 =m A a ③；由②③式可得a=[ F-( m A + m B )gsinθ] /m A ④；由题意 d=x 1 +x 2 ⑤；由①②⑤式可得d= [( m A + m B )gsinθ]/k ，即块B 刚要离开C 时物块A 的加速度为[F-( m A + m B )gsinθ]/ m A ，从开始到此时物块A 的位移d 为[( m A + m B )gsinθ]/k

例6、 一个劲度系数为k ＝600N/m 的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m ＝15kg 的物

体A 、B ，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图所示，现加一竖直向上的外力F 在物体A 上，使物体A 开始向上做匀加速运动，经0.5s ，B 物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g ＝10m/s 2）。求此过程中所加外力的最大和最小值

【分析】开始时弹簧弹力恰等于A 的重力，弹簧压缩量?l mg k m ==025.，0.5s 末B 物体刚要离开地面，此时弹簧弹力恰等于B 的重力，??l l m '.==025，故对A 物体有2122?l at =，代入数据得a m s =42/。刚开始时F 为最小且F ma N N min ===15460×，

B 物体刚要离开地面时，F 为最大且有F mg mg ma max --=，解得F mg ma N max =+=2360

【分析】

(二) 摩擦力的分析

（1） 产生条件：摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力，都属于接触力，都是被动力。产

生条件为：一是两物体直接接触，二是接触面上有弹力出现，三是接触面不光

滑，四是两物体间有相对运动（滑动摩擦力）或有相对运动趋势（静摩擦力）。这四条缺一不可，若缺任何一条，物体间便无摩擦力作用。相对运动的趋势是

指，当两物体间无摩擦力作用时，物体将要运动的方向，也可以说就是物体受

到的除摩擦力以外的力在物体可能运动方向上的合力的方向。这个趋势的有无、方向可通过确定除摩擦力以外的其它力在物体可能的运动方向上的合力是否为

零、方向来确定。

（2） 方向：摩擦力的方向沿接触面（非平面接触时是公切面）指向相对运动（或趋

势）的反方向。比如甲乙两物体，若甲物体相对于乙物体向东运动（或具有向

东运动的趋势），则甲物体受到的乙物体对它的摩擦力向西，将阻碍甲物体相

对乙物体的运动（或趋势），由于乙物体相对于甲物体来说是向西运动（或趋

势），乙物体受到的甲物体的摩擦力向东，将阻碍乙物体相对甲物体的向西运

动（或趋势）。

（3） 大小：

①滑动摩擦力的大小由接触面的粗糙情况、材料（滑动摩擦因数μ）和接触面间

的压力大小决定，与物体的运动速度及接触面的面积无关。它的大小可由滑动

摩擦定律f=μN 计算，也可根据其它力学规律计算。

②两物体间的静摩擦力的大小，由除摩擦力以外的那些力在物体可能运动方向

上的合力的大小决定（力的平衡条件），在接触面粗糙情况及压力一定时，它

的大小在零和一个最大值之间取值（可使问题出现多解情况），一般用力的平

衡条件或其它力学规律确定。这个最大值，叫最大静摩擦力，它的大小由两物

体接触面的粗糙情况及压力大小决定。当作用在物体上的除静摩擦力以外的力

在可能运动方向上的合力大于最大静摩擦力时，物体将开始滑动，这时的摩擦

力变成了滑动摩擦力，其大小由f=μN 计算。

（4） 易错辨析

①有静摩擦力出现时两物体不一定静止：由于运动的相对性，有静摩擦力作用

的两物体不一定处于静止状态，如将物体放在平板车上，平板车和物体一起在

水平面上加速运动时，相对于地面，两者都是运动的。静摩擦力中的静指的是

施力者与受力者间相对静止。

②静摩擦力方向有可能与物体运动方向垂直：比如将物体放置在沿竖直轴转动

的水平圆盘上，物体随圆盘一起转动时，物体受的静摩擦力沿盘面指向转轴而

充当向心力，其方向沿圆盘半径，与物体随圆盘的运动方向（切线方向）垂直。

③静摩擦力不一定大于滑动摩擦力：对于一定的接触面和压力，滑动摩擦力大

小为f=μN，是定值。但当两物体相对静止时，静摩擦力由摩擦力以外的力在可

能运动方向上的合力而决定，而这个合力不一定大于两物体间的滑动摩擦力，

但它们间的最大静摩擦力一定大于滑动摩擦力。

例1、如图甲所示，在水平桌面上放一木块，用从零开始逐渐增大的水平拉力F拉着木块沿桌面运动，则木块所受到的摩擦力Ff随拉力F变化的图象(如图乙所示)正确的是()

【分析】当木块不受拉力时(F＝0)，桌面对木块没有摩擦力(F f＝0)．当木块受到的水平拉力F较小时．木块仍保持静止，但出现向右运动的趋势，桌面对木块产生静摩擦力，其大小与F相等，方向相反．随着水平拉力F不断增大．木块向右运动的趋势增强，桌面对木块的静摩擦力也相应增大，直到水平拉力F足够大时，木块开始滑动，桌面对木块的静摩擦力达最大值Ff m.在滑动之前，由木块水平方向二力平衡条件知，桌面对木块的静摩擦力F f始终与拉力F等值反向．即随着F的增大而增大．木块滑动后，桌面对它的摩擦力是滑动摩擦力，它稍小于最大静摩擦力，并且在木块继续滑动的过程中保持不变．故正确答案为D

例2、如图所示，质量为m的木块P在质量为M的长木板A上滑行，长木板放在水平地面上，一直处于静止状态．若长木板A与地面间的动摩擦因数为μ1，木块P与长木板A间的动摩擦因数为μ2，则长木板A受到地面的摩擦力大小为（）

A．μ1Mg

B．μ1（m+M）g

C．μ2mg

D．μ1Mg+μ2mg

【分析】有许多同学认为计算时应用到木板与水平地面的动摩擦因数μ1，这种想法是错误的，此题的一大陷阱就在于此．如下图所示，由于长木板始终处于静止状态，木板与地面之间的摩擦力应当是静摩擦力，静摩擦力不能用μ1F N来求解，而是要通过受力分析根据物体所处的状态来求．木块对木板在水平方向的作用力是滑动摩擦力，其大小为F′f2＝μ2mg，对长木板来说，水平方向除了受到向右的滑动摩擦力F f2＝μ2mg外，还受到水平地面对它向左的静摩擦力F f1，这两个力平衡，因此长木板受到地面的摩擦力大小为μ2mg，故选A

例3、如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m间有一个处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态，下列说法正确的是()

A．M对m的摩擦力方向向右

B．M对m的摩擦力方向向左

C．地面对M的摩擦力方向向右

D．地面对M无摩擦力的作用

【分析】首先研究木板和木块组成的整体，不考虑其内部作用力，对整体而言，其静止于水平地面上，没有相对地面运动的趋势，所以和地面之间没有静摩擦力；再单独研究小木块，因为弹簧压缩有恢复原状的趋势，弹簧对小木块有一个向左的推力，根据受力平衡，得出M对m的摩擦力方向向右．故选项A、D正确

例4、质量为m的杆AB，处于静止状态，A端用细绳竖直悬挂，B端放在地板上，如下图所示，下列有关杆B端所受摩擦力的说法中，正确的是()

A．B端受到的静摩擦力方向向右

B．B端受到的静摩擦力方向向左

C．B端受到的静摩擦力沿细杆AB斜向下

D．B端不受静摩擦力作用

【分析】假设B端和水平面是光滑的，则杆AB受到竖直向上的支持力，竖直向上的绳子拉力和竖直向下的重力，能够保持静止状态，则B端和地面无相对运动趋势，即不受摩擦力，故选D

例5、为了测定木块和竖直墙壁之间的动摩擦因数，某同学设计了一个实验如图所示，用一根弹簧将木块压在墙上，同时在木块下方有一个拉力F2作用，使木块恰好匀速向下运动，现分别测出了弹簧的弹力F1，拉力F2和木块的重力G，则动摩擦因数μ应等于()

A. F2＋G

F1 B.

F2

F1 C.

G

F D.

F1＋G

F2

【分析】因为木块匀速向下运动，说明木块处于平衡状态，从竖直方向可以判断，墙壁对木块的滑动摩擦力大小等于F2＋G；在水平方向上可以判断，墙壁对木块的压力大小

等于F1，根据滑动摩擦力表达式F＝μF N，得μ＝F2＋G

F1，故正确答案为A

例6、如图所示，有黑白两条毛巾交替折叠地放在地面上，白毛巾的中部用线与墙壁连接着，黑毛巾的中部用线拉住，设线均呈水平．欲将黑白毛巾分离开来，设每条毛巾的质量均为m，毛巾之间及其跟地面间的动摩擦因数均为μ，则将黑毛巾匀速拉出需用的水平拉力为()

A．2μmg

B．4μmg

C．5μmg

D．5/2μmg

【分析】本题考查滑动摩擦力的求法和平衡条件的应用，求解物体所受摩擦力时，要注意物体有几个面与其他物体接触，有几个接触面就可能受几个摩擦力．将黑毛巾匀速拉出时，黑毛巾的四个面都要受到滑动摩擦力的作用，根据滑动摩擦规律可以知道：自上而下黑毛巾四个面受到的正压力为0.5mg、mg、1.5mg、2mg，由F f＝μF N有拉力F为F ＝μ(0.5mg＋mg＋1.5mg＋2mg)＝5μmg，即将黑毛巾匀速拉出需加的水平力为5μmg.故正确答案为C

例7、如图所示，水平地面上有一倾角为θ的固定斜面，质量为m的小物块在水平恒定推力F作用下静止在斜面上，则斜面对小物块的摩擦力的大小与方向如何？

【解析】由于小物块在斜面上静止，斜面与小物块间若有摩擦力也是静摩擦力。小物块的可能运动方向沿斜面不是向上就是向下，这取决于它受到的除摩擦力以外的各力在斜面方向的分力的合力。重力沿斜面的分力大小为mgsinθ，方向沿斜面向下；推力F沿斜面的分力大小为Fcosθ，方向沿斜面向上。二者的合力为Fcosθ-mgsinθ。由于不知F、m 的大小，故无法确定这个合力的方向是沿斜面向上还是向下。所以，只能按三种情况分别讨论：若Fcosθ>mgsinθ，则合力方向向上，物块相对与斜面的运动趋势方向向上，物块受到的静摩擦力方向向下，大小为Fcosθ-mgsinθ；若Fcosθ=mgsinθ，则物块相对斜面无运动趋势，物块受到的静摩擦力为零；若Fcosθ

三、综合问题

例8、如右图所示，A、B两物体并排放在水平桌面上，C物体叠放在A、B上，D物体悬挂在竖直悬线下端，且与斜面接触，若接触面均光滑，下列说法正确的是（）A．C对桌面的压力竖直向下

B．B对A的弹力方向水平向左

C．斜面对D的支持力方向垂直斜面向上

D．D对斜面没有压力作用

【分析】C与桌面不接触，因此C对桌面无压力，A、B间无挤压，也就没有弹力；D 与斜面仅接触而无挤压，故D与斜面间无弹力，故选D

例9、如右图所示，重400N的大木箱放在大磅秤上，箱内的小磅秤上站着一个重600N 的人，当人用力向上推木箱的顶板时，两磅秤的示数将()

A．小磅秤示数增大，大磅秤示数减小

B．小磅秤示数不变，大磅秤示数增大

C．小磅秤示数增大，大磅秤示数不变

D．小磅秤和大磅秤示数都增大

【分析】磅秤的示数是由于人给磅秤的压力(弹力)产生的，压力不变，磅秤的示数就不变；压力小示数小；压力大示数就大．人向上用力推木箱顶板时，人对小磅秤的压力增大，小磅秤的示数增加．由于小磅秤放在大磅秤上，虽然人给木箱力，但并没给大磅秤增加压力，所以大磅秤的示数应不变，故选C

例10、如图所示，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块Q相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的．已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都是μ，两物块的质量都是m，滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计，若用一水平向右的力F拉P使它做匀速运动，则F的大小为()

A．4μmg

B．3μmg

C．2μmg

D．μmg

【分析】由题意，P相对桌面向右匀速运动，相对于Q向右匀速运动．以P为研究对象，P受到Q对它的滑动摩擦力F1＝μmg，方向向左；Q通过绳对P的拉力F2＝μmg，方向向左；桌面对P的滑动摩擦力F3＝2μmg，方向向左．所以F＝F1＋F2＋F3＝4μmg

例11、如图所示，质量为m的物块在恒力F作用下沿水平天花板匀速直线运动。恒力F与水平方向的夹角为60o。问：天花板对物块有无摩擦力作用？若有请求出二者间的动摩擦因数。

【解析】恒力F具有水平向左的分量Fcos60°，由于物块是在水平方向匀速直线运动，故水平方向应该有一个与此等大反向的力作用在物块上，能提供这个力的只能是天花板，这个力也只能是摩擦力。因此，天花板对物块有摩擦力（滑动）作用。设二者间的动摩擦因数为μ，压力为N。对物块在竖直与水平方向分别运用力的平衡条件有：

Fsin60°-N-mg=0，Fcos60°-f =0，又由滑动摩擦定律有：f =μN ，解得：。 例12、 如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P 连接，P

与固定挡板MN 接触且P 处于静止状态．则斜面体P 此时刻受到外力的个数有可能

为（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【解析】如果：（1）N=G 的话，物体受力可以平衡，故P 可能受2个力的作用．（2）N ＜G 的话，P 不可能平衡（3）如果：N ＞G ，物体会受到挡板MN 的弹力F 和摩擦力f ，受力分析如图：故P 可能受4个力的作用．综上所述：P 可能的受力个数是2个或4个，故选：AC

四、 课后练习

1. 一个质量m=10kg 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数μ=0.4，轻弹

簧的一端系在物体上，如图．当用力F 与水平方向成37°角拉弹簧时，弹簧的长度由10cm 伸长到13cm ，物体沿水平面做匀速直线运动．g 取10m/s 2，求：

(1)弹簧的劲度系数；

(2)摩擦力大小．(sin37°=0.6 cos37°=0.8)

解：如图，对物体进行受力分析，物体作匀速运动，即受力平衡，以水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴建立直角坐标系，沿x 轴方向：Fcos37°=F f ，F f =μF N ，沿y 轴方向：F N +Fsin37°=mg ，解得：F f =31N ，F=39N ，根据胡克定律：F=k （x 2-x 1），得：

k=

，代入数据：k=N ，得：

k=1.3×103N/m

答：（1）弹簧的劲度系数1.3×103N/m ；（2）摩擦力大小为31N

2. 如图a 所示，轻质弹簧原长为35cm ，沿水平方向用其拉着一个质量为5kg 的物体在

水平面上匀速运动，此时弹簧长度为40cm ，当将该物体用弹簧拖着沿倾角为37°的固定斜面匀速上滑时(如图b b 所示)，弹簧长度为45cm ，拉力方向与斜面平行．已知物体与水平面和斜面间的动摩擦因数相同，求弹簧的劲度系数k 及物体与斜面间

的动摩擦因数μ．(g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)

【分析】解：水平面上运动时，弹簧弹力F1=k（L1-L0），滑动摩擦力F f1=μmg，由平衡条件得k（L1-L0）=μmg…①，在斜面上运动时，物体受力如图，由平衡条件得，F2=mgsin37°+F f2，F N=mgcos37，摩擦力F f2=μF N，弹簧弹力F2=k（L2-L0），∴k（L2-L0）=mgsin37°+μmgcos37°…②，由①②解得k=500N/m，μ=0.5

3.如图所示，在动力小车上固定一直角硬杆ABC，分别系在水平直杆AB两端的轻弹

簧和细线将小球P悬吊起来．轻弹簧的劲度系数为k，小球P的质量为m，当小车沿水平地面以加速度a向右运动而达到稳定状态时，轻弹簧保持竖直，而细线与杆的竖直部分的夹角为θ，试求此时弹簧的形变量

【分析】对小球受力分析：Tsinθ=ma，Tcosθ+F=mg，F=kx，解得：x=

讨论：①若a＜gcot θ，则弹簧伸长x=

②若a=gcot θ，则弹簧伸长x=0

③若a＞gcot θ，则弹簧压缩x=