高等数学第二章课后习题答案

第二章 导数与微分

1. ()().

1,

102-'=f x x f 试按定义求

设

2

2

(1)(1)

10(1)10

'(1)lim

lim

1020lim

lim (1020)20

x x x x f x f x f x

x

x x

x x

?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-?

2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。

⑴ ()()

=?-?-→?x

x f x x f x 000

lim （0'()

f x -）；

⑵ ()=

→?x

x f x 0

lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '=

⑶ ()()

=--+→h

h x f h x f h 000

lim

（02'()f x ）.

3. 求下列函数的导数：

⑴ ='=y x y ,4

则3

4x ⑵ =

'=

y x y ,3

2

则13

23

x

-

⑶ ='=

y x

y ,1则32

12

x

-

-

⑷ =

'=y x x

y ,5

3则11

5

165

x

4． 求曲线. 21,

3 cos 程处的切线方程和法线方

上点??

?

??=π

x y

'sin ,'()3

2

y x y π

=-=-

所以切线方程为1)2

2

3

y x π

-

=-

-

2(1)03

y +-+

=

法线方程为1)2

3

y x π

-

=

-

化简得3)0x π+-=

5. 讨论函数??

???=≠=0 00

1sin 2

x x x

x y 在0=x 处的连续性和可导性. 2

(0)01lim sin

0(0)()

x f x f x

→===因为有界量乘以无穷小

所以函数在0x =处连续

因为 2

01

sin

(0)(0)

1lim

lim

lim sin 0x x x x f x f x x x

x x

?→?→?→?+?-==?=???

所以函数在0x =处可导.

6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 , 0

0 2f f f x x x x x f '''?

??<-≥=-+

2

'

(0)(0)

(0)lim

lim

0h h f h f h

f h

h

+

→+→++-===

'

(0)(0)

(0)lim

lim

1h h f h f h f h

h

-→-→++--===-

'

'

(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在

7. ()(). , 0

0 sin x f x x x x x f '??

?≥<=求已知

当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;

当0x =时

'

(0)(0)

(0)lim

lim

1h h f h f h f h

h

+→→+-===＋＋

'

(0)(0)

sin (0)lim

lim

1h h f h f h f h

h

-→-→+-===－

'(0)1f ∴=

综上，cos ,0'()1,0

x x f x x

8. 求下列函数的导数：

（1）;5432

3-+-=x x x y （2）;122744

5

+-

+

=

x

x

x

y

2

2

2

2

2

2

2

23

2

2

4

2

2

2

2csc cot (1)2csc 2'(1)

2(1)csc cot 4csc (1)

23(3)(3ln )(2ln )(

2)

'(3ln )

(94)ln 32(3ln )

x x x x x

y x x x x x x

x x x x x x x x

x

y x x x x x x x x

x x -+-=

+-+-=

+++-++=

+-+-+=

+ 2

'364

y x x =-+

6

5

2

'20282y x x

x

---=--+

（3）;3253x

x e x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y

2'152ln 23x x y x e =-+ 2

'2sec sec tan y x x x =+

（5）;log

3lg 2ln 2

x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=

123'ln 10

ln 2

y x

x x =

-

+

'422y x =--

（7）;ln x

x y =

（8）;cos ln 2

x x x y =

2

1ln 'x x x y x -= 2

2

1'2ln cos cos ln sin y x x x x

x x x x x

=+-

2

1ln x

x

-=

2

2ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+-

（9）;1csc 22

x

x y +=

2

2

2

2csc cot (1)2csc 2'(1)

x x x x x

y x -+-=

+

2

2

2

2(1)csc cot 4csc (1)

x x x x x

x -+-=

+

（10）.ln 3ln 22

3x x x x y ++=

2

23

22

23(3)(3ln )(2ln )(

2)

'(3ln )

x x x x x x x

x

y x x ++-++=

+

4

2

2

2

(94)ln 32(3ln )x x x x x x

x x -+-+=

+

9. 已知.

,cos 2

1sin 4

π??

ρ???ρ=

+

=d d 求

因为

1

s i n c o s s i n 2

d d ρ

????

?=+- 所以

4

2

22

4

2

22

8

4

d d π?ρπ

?

=

=+

-

=+

10. .1 轴交点处的切线方程

与写出曲线x x

x y -

=

令0y =，得11x x ==-或 因为2'1y x -=+， 所以 11

'

2,'

2x x y y ==-==

曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=； 曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。

11. 求下列函数的导数：

（1）()可分解为：函数4

52+=x y 4

,25y u u x ==+

其导数='y 3

8(25)x +

（2）函数可分解为：2

3x e y -= 2

,3u y e u x ==- ='y 其导数2

36x

xe --

（3）可分解为：函数2

2

x a

y -=

2

2

y u a x =

=-

='y 其导数

-

（4）()可分解为：函数x e y arctan = a r c t a n ,

x

y u u e ==

='y 其导数21x x

e

e

+

12. 写出下列函数的导数（只需写出结果）： （1）()='-=y x y , cos 343sin(43)x - （2）()=

'+=y x y , ln 2

12

21x x

+

（3）='=y x y , sin

2

2sin cos x x

（4）()=

'=y x y , arctan 24

21x x

+

（5）()='=y x y , tan 2222sec ()x x （6）()

,log

='++=y x x

y a

12

2

21(1)ln x x x a

+++

（7）='=y x y ,cos ln tan x - （8）()='-=y x y ,arcsin 21

1-

13. 求下列函数的导数（要有解题步骤）：

（1）;2arcsin 2

??? ?

?=x y （2）;arctan

x

e

y =

（3）()[]; ln ln ln x y = （4）.cos sin nx x y n

=

14. 设():dx

dy y x f 的导数

可导，求下列函数

（1）();2

x

f y = （2）()().cos

sin

2

2

x f x f y +=

2

2'()dy xf x dx

=

2

2

'(sin )2sin cos '(cos )2cos sin dy f x x x f x x x dx

=-

2

2

sin 2['(sin )'()]x f x f cox x =-

15. 求下列函数的导数： （1）()2

2

sin sin x

x y ?=

（2）x

y 1cos ln =

（3）x

e y 1sin

2

-=

（4）x x y +=

16. 求下列函数的二阶导数： （1）x x y ln 22

+=

1'4y x x =+

2

1''4y x

=-

（2）t e

y t

sin -=

'sin cos (cos sin )t

t

t

y e t e t e t t ---=-+=-

''(cos sin )(sin cos )2cos t

t

t

y e t t e t t e t ---=--+--=-

（3）(

)

1ln 2

x x y ++=

1'x y =

=

=

32

2

3

2

2

1''(1)

22

(1)x

y x x x -

=-

+=-

+

17. 若():2

2

dx

y d x f 阶导数

存在，求下列函数的二''

（1）()2x f y = （2）()[]x f y ln =

2

2

2

2

'()()''()()['()]

[()]

dy

f x dx

f x d y f x f x f x dx

f x =

-=

18. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式： （1）x y 2

sin = （2）x x y ln =

19. 求下列函数所指定阶的导数： （1）,cos x e y x = 求()

.4y （2）,2sin 2

x x y = 求()

.50y

20. 求下列方程所确定的隐函数:dx

dy y 的导数

（1）033

3

=-+axy y x (2) y

xe y -=1

方程两边关于x 求导得： 方程两边关于x 求导得：

2

2

33330dy dy x y

ay ax

dx

dx

+--=

y y

dy dy e xe

dx

dx

=--

所以

2

2

2

2

3333dy ay x

ay x

dx

y ax

y ax

--=

=

-- 所以

1y y

dy e

dx

xe

-=

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2'()

2['()2''()]

2'()4''()

dy xf x dx

d y f x x xf x dx

f x x f x ==+=+

21. .42

,

4

2

32

32

32

程处的切线方程和法线方在点求曲线????

??

=+a a a y x

方程两边关于x 求导得：

113

3

2203

3

dy x y

dx

--

+

=

所以

1313

dy x dx

y

-

-

=-

=从而切线斜率

1)

1dy k dx =

=-，法线斜率 21

11k k =-

=

所以切线方程为()4

4

y a x a -=--

，即02

x y a +-

=；

法线方程为4

4

y a x a -

=-

，即0x y -=。

22. .12

2

dx

y d y xe y y

的二阶导数

所确定的隐函数

求由方程+=

23. 用对数求导法求下列函数的导数

:dx

dy

（1）5

5

2

2

5

+-=x x y （2）()

()

5

4

132+-+=

x x x y

24. 求由参数方程???==t

y t x 2cos sin ，所确定的曲线在4

π

=

t 处的切线方程和法线方程.

25. :22

dx

y d 的函数的二阶导数

求下列参数方程所确定

（1）?????==-t

t

e

y e x 23 （2）()()()???-'='=t f t f t y t f x ,().存在且不为零设t f ''

22233t

t t

dy dy

e dt e dx dx e dt

-===-- '()''()'()''()

dy

dy f t tf t f t dt t dx dx f t dt

+-=== 22

32

4

4

339

t

t

t

e

d y

e dx

e --=

=- 2

21''()d y

dx f t =

26. 注水入深m 8上顶直径m 8的正圆锥形容器中，其速率为m in 43

m

.当水深为m 5时,

其表面上升的速率为多少？

27. 求下列函数的微分:

⑴ ;2sin x x y = ⑵ ()[];1ln 2

x y -=

s i n 2s i n d y x d x x d x =+

2

[ln(1)]dy d x =- s i n 22c o s 2x d x x x d

x =+

2ln(1)ln(1)x d x =--

(s i n 22c o s 2)x x x d x =+ 2ln(1)(1)1x d x x -=

-- 2ln(1)1

x dx x -=

-

⑶ (); 3cos x e y x -=- ⑷ .1arcsin

2

x y -=

cos(3)(3)x

x

dy x de

e dcox x --=-+- a r c s d y d =

c o s (3)s i n (3x x

x e dx e

x dx --=--+-

)=

(s i n (3)

c o s (3)x

e x x d x

-=---

x =-

28. 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：

⑴ (

)22;d

x C

dx += ⑵2

332

d x C xdx ??+=

???；

⑶ (

)sin cos d x C

xdx

+= ⑷ cos sin ;x

d C xdx ωωω

??

-

+=

??

?

⑸ (

)

1

ln(1);1d

x C

dx x ++=+ ⑹ 22;2

x

x

e

d C

e dx --?

?-

+= ??

?

⑺ (

);d

C

dx

=

⑻ 2

tan 3sec 33

x d C xdx ??+= ??

?

29. 计算三角函数值

29cos 的近似值。

因为 cos 29cos(301)=-

所以 cos 29cos 30sin 30180

π

≈+

1

0.874762

2180

π

=+

≈ 30. 计算根式665的近似值。

11

66

(65)(641)

==+

所以

115

666

1111

(65)64(64)22 2.0052

6632192

-

≈+=+=≈

31. 当x较小时，证明下列近似公式：(利用()(0)'(0)

f x f f x

≈+) （1）()；

是角的弧度值

x

x

x

tan≈（2）().

1

ln x

x≈

+

(tan)'sec

x x

=

1

(ln(1))'

1

x

x

+=

+ 0

tan0

x

x

=

=

ln(1)0

x

x

=

+=

(tan)'1

x

x

=

=

[ln(1)]'1

x

x

=

+=所以t a n x x

≈所以l n(1)

x x

+≈