2010北大附属中学2010届高三数学教案：第七讲——导数概念、运算及应用

北大附属中学2010届高三数学教案： 第七讲——导数概念、运算及应用

知识清单 1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f

（x 0），比值x

y

??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即

x y ??=x

x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0

lim

→?x x y

??=0lim →?x x

x f x x f ?-?+)()(00。 说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，

x y ??有极限。如果x

y

??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；

（2）求平均变化率

x y ??=x

x f x x f ?-?+)

()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x

y

x ??→?0lim 。

2．导数的几何意义

函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线

的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:

①0;C '= ②()

1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1

l g log a a o x e x

'=.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=

若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，

再除以分母的平方：??

?

??v u ‘=2

''v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X

导数应用知识清单：

1．单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)(

如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；

2．极点与极值：

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值：

一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数?)(x 在(a ，b)内的极值；

②求函数?)(x 在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数? )(x 的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分

（1）概念：设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，

2，…n ）作和式I n ＝∑n

i f 1

＝(ξi

)△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间

[a ，b ]上的定积分，记作：?b

a

dx x f )(，即?b

a

dx x f )(＝∑=∞

→n

i n f 1

lim (ξi )△x 。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式。 基本的积分公式： ?dx 0＝C ；

?dx x m ＝

11

1

++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）； ?x 1

dx ＝ln x ＋C ； ?dx e x ＝x

e ＋C ；

?dx a x

＝a a x

ln ＋C ； ?xdx cos ＝sin x ＋C ；

?xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）

。

（2）定积分的性质

①??=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；

②???±=±b a

b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③???+=b a

c a

b

c

dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a ＜c ＜b )。

（3）定积分求曲边梯形面积

由三条直线x ＝a ，x ＝b （a

a dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a

曲边梯形AMNB

－S

曲边梯形DMNC

＝

?

?-b

a

b

a

dx x f dx x f )()(21。

课前预习

1．求下列函数导数

（1）)11(32x x x x y ++= （2）)11

)(

1(-+=x

x y （3）2cos 2sin x x x y -= （4）y=x x sin 2 （5）y ＝x

x x x x 9

532-+-

2．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++= 3．过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ） （A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 4．半径为r 的圆的面积S(r)＝πr 2,周长C(r)=2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)`＝2πr ○

1，○1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于 ○

1的式子： ； ○

2式可以用语言叙述为： 。 5．曲线1

y x

=

和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 。

6．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A ．f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C ．f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 7．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在

开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个

8．已知函数()11ax

x f x e x

-+=

-。（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。

9．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）

(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4 10．设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）讨论f(x)的极值。

11．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分

别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足?4PA PB =

,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求

(I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.

12．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

13．计算下列定积分的值 （1）?--3

12)4(dx x x

（2）?-21

5)1(dx x ；

（3）dx x x ?+20

)sin (π

；

（4）dx x ?-22

2cos π

π；

14．（1）一物体按规律x ＝bt 3作直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x ＝0运动到x ＝a 时，阻力所作的功。

（2）抛物线y=ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y=4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求S max ． 典型例题

一 导数的概念与运算

EG ：如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为（ ）

A. 6m/s

B. 18m/s

C. 54m/s

D. 81m/s

变式：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：x D ?∈，?常数0M >，

都有|()|f x ≤M 成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数的上界.

【文】（1）若已知质点的运动方程为at t t S ++=

1

1

)(，要使在[0,)t ∈+∞上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.

EG ：已知x

f x f x x f x ?-?+=→?)

2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）

A. 41-

B. 2

C. 41

D. －2

变式1：()()()为则设h

f h f f h 233lim ,430

--='→（ ）

A ．－１ Ｂ．－2

C ．－3

D ．1 变式2：()()()

0000

3,lim

x f x x f x x f x x x

?→+?--??设在可导则等于

（ ）

A ．()02x f '

B ．()0x f '

C ．()03x f '

D ．()04x f '

根据所给的函数图像比较012(),,h t t t t 曲线在附近得变化情况。 变式：函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. )2()3()3()2(0//f f f f -<<<

B. )2()2()3()3(0//f f f f <-<<

C. )2()3()2()3(0//f f f f -<<<

D. )3()2()2()3(0//f f f f <<-< x EG ：求所给函数的导数：

()

33

2991

log ; ; sin ((1); 2; 2sin 25n x

x x y x x y x e y x

y x y e y x x --=+==

=+==+（文科）理科）。 变式：设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是

A ．(－3,0)∪(3,+∞)

B ．(－3,0)∪(0, 3)

C ．(－∞,－ 3)∪(3,+∞)

D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)

EG ：已知函数ln y x x =.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线的方程. 变式1：已知函数x e y =.

（1）求这个函数在点e x =处的切线的方程； （2）过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程.

变式2：函数y ＝ax 2

＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )

A.

18 B. 41 C. 2

1

D. 1 EG ：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

3232(1)()3; (2) ()23; (3) ()sin ,(0,);(4)()2324 1.

f x x x f x x x f x x x x f x x x x π=+=--=-∈=+-+

变式1：函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是 A.[]0,1- B. []8,2 C. []2,1 D. []2,0

变式2：已知函数53

1

23-++=ax x x y

(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a 的是 . (2)若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是 . 变式3： 设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线. （Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；

（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围.

EG ：求函数31()443f x x x =-+的极值.

求函数31

()443

f x x x =-+在[]0,3上的最大值与最小值..

变式1： 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

变式2：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.

变式3：若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值3

4

-， （1）求函数的解析式；

（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围． 变式4：已知函数32

1()22

f x x x x c =--+，对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）

EG ：利用函数的单调性，证明：ln ,0x x x e x <<>

变式1：证明：()x x x ≤+≤+-

1ln 1

1

1，1x >- 变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x 的方程f(x)=x 2+x+a 在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.

EG ： 函数(),3)(3R x x x x f ∈+=若()

()012>-+mx f mx f 恒成立,求实数m 的取值范围

变式1:设函数(),3)(3R x x x x f ∈+=若()()??? ?

?

≤≤>-+2001sin πθθm f m f 恒成立，求实数m 的

取值范围.

变式2:如图,曲线段OMB 是函数2()(06)f x x x =≤≤的图象,BA x ⊥轴于点A,曲线段OMB 上一点M 2(,)t t 处的切线PQ 交x 轴于点P,交线段AB 于点Q ， (1)若t 已知,求切线PQ 的方程 (2)求QAP ?的面积的最大值

变式3:用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？

变式4:某厂生产某种产品x 件的总成本3

75

21200)(x x c +

=（万元），已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？ EG ：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）

232110220

11

(1)x; (2)(2)x; (3)sin dx; (4)sin dx; (5)sin d x d x x x x xdx

πππ

π

-?????

变式1：计算：；

（1）dx x x x ?+20sin cos 2cos π

；（2）dx x ?-20

24

变式2： 求将抛物线x y =2和直线1=x 围成的图形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体积.

变式3：在曲线()02

≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为12

1，

试求：（1）切点A 的坐标；（2）在切点A 的切线方程.

实战训练

1. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如右图所示，则导函数y=f '(x )的图象可能为( )

2. 已知曲线S :y =3x －x 3

及点(2,2)P -,则过点P 可向S 引切线的条数为( ) (A )0 (B )1 (C)2 (D)3

3. C 设S 上的切点00(,)x y 求导数得斜率，过点P 可求得:200(1)(2)0x x +-=.

4. 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）.

3()(,)22A ππ ()(,2)B ππ 35()(,)22

C ππ

()(2,3)D ππ

5. y =2x 3－3x 2

+a 的极大值为6，那么a 等于( ) (A )6 (B )0 (C)5 (D)1

6. 函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( ) (A )1，－1 (B )3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19

7.设l 1为曲线y 1=si nx 在点(0，0)处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点(

2

π

,0)处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________.

8. 设函数f (x )=x 3+ax 2+bx －1，若当x =1时，有极值为1，则函数g(x )=x 3+ax 2+bx 的单调递减区间为 .

9．（07湖北）已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1

22

y x =+，则

(1)(1)f f '+=

10．（07湖南）函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 11．（07浙江）曲线32242y x x x =--+在点(1

3)-，处的切线方程是 9．. 已知函数32()(,)f x x ax b a b R =-++∈

（Ⅰ）若函数)(x f 图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：a <<

（Ⅱ）若[]0,1x ∈，函数()y f x =图像上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论1k ≤的充要条件。

12．(07安徽)设函数f （x ）=-cos 2x -4t sin 2x cos 2

x +4t 2+t 2-3t +4,x ∈R,其中t ≤1，将f (x )的最小值记为g (t ).

(Ⅰ)求g (t )的表达式；(Ⅱ)诗论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

实战训练B

1．（07福建）已知对任意实数x ，有()()()(f x f x

g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）

A ．()0()0f x g x ''>>，

B ．()0()0f x g x ''><，

C ．()0()0f x g x ''<>，

D ．()0()0f x g x ''<<，

2．（07海南）曲线1

2

e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．29

e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e

3．（07海南）曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2

e Ｄ．22e

4．（07江苏）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都

有()0f x ≥，则(1)

'(0)

f f 的最小值为（ ）

A ．3

B ．52

C ．2

D ．3

2

5．（07江西）5．若π

02

x <<

，则下列命题中正确的是（ ） A ．3sin πx x < B ．3sin πx x > C ．224sin πx x < D ．224

sin π

x x >

6．（07江西）若π

02

x <<，则下列命题正确的是（ ）

A ．2sin πx x <

B ．2sin πx x >

C ．3sin πx x <

D ．3

sin π

x x >

7．（07辽宁）已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．

出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是

()f x 的极小值，但不是()g x 的极值

8．（07全国一）曲线313y x x =+在点413??

???

，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）

A ．19

B ．29

C ．13

D ．23

9．（07全国二）已知曲线2

4

x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10．（07浙江）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

11． (07北京)()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是 12．（07广东）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是

13．（07江苏）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=

14．（07福建）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；

（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，

恒成立，求实数m 的取值范围．

15．(07广东)已知a是实数，函数2

f x ax x a

=+--．如果函数()

()223

-上

=在区间[1,1]

y f x

有零点，求a的取值范围．

导数的概念及运算

导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所

以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

《导数的概念与基本运算》教案1

导数的概念与基本运算 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，自变量x 在点x 0有增量△x ，函数y ＝f (x )相应有增量 △y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)，比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00是函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋△x 的平均变化率。如果当0→?x 时， x y ??有极限，则称函数y ＝f (x )在点x 0处有导数（又称可导），而这个极限值就叫做函数y ＝f (x )在点x 0处的导数（或变化率），记作f ' (x 0)或y'|0x x =，即 )(x f '=x y x ??→?0lim ＝x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000。 2．导数概念的某些实际背景 瞬时速度是导数概念的一个物理背景，切线的斜率是导数概念的一个几何背景。 3．求导数的方法 导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函数的导函数，并作为公式加以应用。教科书上只介绍了两个求导公式：C'=0， 及()n x '= （n 为正整数）；两个法则：[f(x)±g(x)]'=f '(x)±g '(x)， [Cf （x ）]'=C f '(x) 。 根据定义不难证明上述两个法则： [f(x)±g(x)]'= = = ±= ()f x '()g x '±； ()Cf x '????0 lim x C ?→==()Cf x ' 。 有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了。 另外，∵=≈， ∴当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。 （1）几种常用函数的导数公式如下：

《导数的概念》(第1课时)教案1

导数的概念（第1课时） 一、教学目标： 1．了解曲线的切线的概念． 2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念． 3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础． 二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念． 教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 三、教学用具：多媒体 四、教学过程： 1．曲线的切线 如图，设曲线C 是函数)(x f y =的图像，点),(00y x P 是曲线C 上一点，点),(00y y x x Q ?+?+是曲线C 上与点P 邻近的任一点．作割线PQ ，当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线． 问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？因为P 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ，即.)()(lim lim tan 0000x x f x x f x y x x ?-?+=??=→?→?α 例题 求曲线12+=x y 在点P （1，2）处的切线的斜率k ． 解：x x x f x f x f x x f y ?+?=+-+?+=-?+=-?+=?2)11(1)1()1()1()()(2200 222+?=??+?=??x x x x x y ∴2)2(lim lim 0 0=+?=??=→?→?x x y k x x ，即2=k ． 2．瞬时速度 我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数)(t s s =描述．

2012届高考数学复习 第95课时 第十三章 导数-导数的概念及运算名师精品教案

第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算 课题：导数的概念及运算 一．复习目标： 理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点： 1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习： 1．函数2 2 (21)y x =+的导数是 （ C ） ()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x + 2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ） ()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f ()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f 3．曲线2 4y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ） ()A (1,3) ()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4) 4．若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ） 5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为 34 π ，则(2)f '-=1-，[( 2)]f '-=0．

6．曲线2122y x =- 与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4 π． 四．例题分析： 例1．（1）设函数2 ()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-； （2）设函数32 ()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值． （3）设函数()(2)n f x x a =-，求()f x '． 解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2 ()18225f x x x '=++ （2）∵32()25f x x x x =-++，∴2 ()341f x x x '=-+ 由()0f x '=得：2 03410x x -+=，解得：01x =或013 x = （3）0(22)(2)()lim n n x x a x x a f x x ?→-+?--'=? 112 210 lim[(2)24(2)2()]n n n n n n n n x C x a C x x a C x ---?→=-?+?-++?12(2)n n x a -=- 例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离2 12 S gt = 其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1) lim t S t S V t ?→+?-=?9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ） （A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s （B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s （D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率； 若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率． 小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →?t t S t S ?-?+) 1()1(中的△t 可正可负 例3．（1）曲线C ：3 2 y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程； （2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程． 解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴? ??=+++=439271 d c b a d ∵2 32y ax bx c '=++ / (0)f c = / (3)276f a b c =++

苏教版 导数的概念及运算

导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.

高等数学导数的概念学习教案.docx

教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：

教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t

《导数的概念》说课稿(完成稿)

实验探究，让数学概念自然生长 ——《导数的概念》说课 江苏省常州市第五中学张志勇 一. 教学内容与内容解析 1、教学内容：本节课的教学内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2第一章第一节的《导数的概念》第2课时“瞬时变化率——导数”，导数的概念包括三部分教学内容，即平均变化率、瞬时变化率、导数，其中瞬时变化率包括曲线上一点处的切线和瞬时速度、瞬时加速度，本节课之前学生已完成平均变化率的学习． 2、内容解析：导数是研究现代科学技术必不可少的工具，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，在物理学、经济学等领域都有广泛的应用．对于中学阶段而言，导数是研究函数的有力工具，在求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题时有着广泛的应用，同时对研究几何、不等式起着重要作用．从而导数在函数研究中的应用应是整个章节的重点，但不能仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，导数的概念无疑是教学的起点也是关键，否则学生很难体会导数的思想及其内涵．事实上导数概念的建立基于“无限逼近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同．囿于学生的认知水平和可接受能力，教材中并没有引进极限概念（过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质的理解），而是从学生的生活经验出发，通过实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，直至建立起导数的数学模型． 3、教学设想：导数的本质在于从平均变化率到瞬时变化率的“无限逼近”，而无限逼近有三种方式：数值逼近、几何直观感知、解析式抽象；而达成学生极限思想形成之教学目标，需要以问题为背景，关键是设计活动让学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程．因此教学处理时，试图还 原知识建构的完整过 程，实现导数概念的“再 创造”，其中数学探究 环节采用数学实验的方

《导数的概念》说课稿与教学说明

《导数的概念》说课稿 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时． 教学内容分析 1．导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数． 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．

教学目的 1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度； 2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念； 3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤； 4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验； 5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程． 教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念． 教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念． 教学准备 1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法； 2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训； 3．制作《数学实验记录单》及上课课件． 教学流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：

导数的概念与计算练习题带答案

导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-

高中数学选修2-2教学设计9：1.1.2 导数的概念教案

1.1.2 导数的概念 教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念. 2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 教学重难点： 重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 难点：导数概念的理解. 教学过程： 情境导入： 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为： 2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t =1时的瞬时速度. 合作探究： 探究任务一：瞬时速度 问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 新知： 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 探究任务二：导数 问题2： 瞬时速度是平均速度t s ??当t ?趋近于0时的速度. 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0 |x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0 (3)x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率 (4)导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.

人教版高中数学(文科)选修导数的概念及运算教案

导数的概念及运算 【考点指津】 1．了解导数的概念，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义． 2．熟记基本导数公式．掌握两个函数四则运算的求导法则，会求多项式的导数． 【知识在线】 1．函数y =14223++x x 的导数是 ． 2．曲线y =x 4+x 2上P 处的切线的斜率为6，则点P 的坐标是 ． 3．设函数f(x)= -35 x 5 - 74 x 4+8，则0 lim →?x f(x+Δx)-f(x)Δx = ． 4．已知使函数y=x 3+ax 2- 43 a ，若存在0)()(,000=='∈x f x f R x 使的求常数a ． 【讲练平台】 例1 函数y=(3x 2+x+1)(2x+3)的导数是 （ ） A ． (6x+1)(2x+3) B ． 2(6x+1) C ． 2(3x 2+x+1) D ． 18x+22x+5 分析 先把函数式右边展开，再用和的求导法则求导数． 解 y=(3x 2+x+1)(2x+3)=6x 3+11x 2+5x+3 ∴y'=18x 2+22x+5，故应选D 点评 要善于化归，本题函数解析式就可转化为多项式． 例2 设函数f(x)=x 3-2x 2+x+5， 若f'(x 0)=0，则x 0= ． 分析 x 0是方程f'(x)=0的根，只要解方程f'(x)=0 解 f(x)=x 3-2x 2+x+5， 求f'(x)=3x 2-4x+1 由f'(x 0)=0， 得3x 2-4x+1=0 解得x 0=1或13 ∴应填写答案为1或13 点评 导数的运算法则再加上已有的导数公式(如(x n )'=n ．x n -1， 其中n ∈N*)是求某些简单函数的导 数的常用工具． 例3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点(1，1)，且在（2，-1）处的切线的斜率为1， 求a ，b ，c 的值． 分析 题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a ，b ，c ． 解 ∵y=ax 2+bx+c 分别过（1，1）点和（2，1）点 ∴a+b+c=1 (1) 4a+2b+c=-1 (2) 又 y'=2ax+b ∴y'|x=2=4a+b=1 (3) 由(1)(2)(3)可得，a=3，b=-11，c=9． 点评 函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系．利用导数能解决许多曲线的切线的问题，使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求． 【知能集成】 1．两种常见函数的导数：c'=0 （C 是常数）；(x n )'= nx n - 1(n ∈N *)． 导数和运算法则：若 f(x)，g(x)的导数存在，则[f(x)±g(x)]' = f '(x)+g'(x)， [cf(x)]' = cf '(x)．（C 是常数） 2．能应用由定义求导数的三个步骤推导出常数及函数y=x n (n ∈N*)的导数公式，掌握两个函数的和与差的求导法则及常数与函数的积的求导法则，能正确运用这些求导法则及导数公式求某些简单函数的导数．

导数概念 教案

导数的概念 （教案?讲稿?PPT） 一、教案 【教学目标】 (1)、知识与技能目标 1.了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程 2.掌握导数的内容，初步会用它进行有关的计算求解． 3.使学生深刻理解导数的概念，理解导数在几何、物理上的意义，能够根据导数的定义求函数在区间上的导数． (2)、过程与方法目标 1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例，培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想. 2．通过探究导数定义的过程，体验数学思维的严谨性。 (3)、情感、态度与价值观目标 1. 了解导数发现的历史，感受数学知识所蕴含的数学文化，培养学生学习数学，探究数学的兴趣与本领。 2. 在探究活动中，体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想，培养学生的探究精神。 【教学重点】导数的概念. 【教学难点】如何引出导数的概念，并根据导数的定义计算导数. 【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法. 【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题，曲线切线的斜率问题等. 【特色和创新之处】 用通俗易懂的语言，通过文、理结合的方式，最后以口诀的形式结尾，讲解抽象的内容，体现数学的草根本色。 【教学进程概要】 用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义，由例题1和例题2，来讲述在一点上求导的方法；接着由例题2，引出函数左、右导数的概念；用例题3引出在开区间上的导数，即导函数的定义，在此基础上给出求导函数的例子，例题4；最后以口诀的形式结尾。 【板书内容】 导数的概念

00000 ()()()lim lim t t s t t s t s v t t t ?→?→+?-?==?? 0000 ()()lim lim MT x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==?? 对一般函数： ()y f x = 0000 0()()|lim lim x x x x f x x f x y y x x =?→?→+?-?'==?? x x f x x f x y y x x ?-?+=??='→?→?) ()(lim lim 00

2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算教学案理北师大版

第1讲变化率与导数、导数的计算 一、知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ＝lim Δx→0 Δy Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)， 即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx . (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝_lim Δx→0_ f（x＋Δx）－f（x） Δx 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数导函数y＝c(c为常数) y′＝0 y＝xα(α为实数) y′＝αxα－1 y＝a x (a>0且a≠1) y′＝a x ln a 特别地(e x)′＝e x y＝log a x (x>0，a>0，且a≠1) y′＝ 1 x ln a 特别地(ln x)′＝ 1 x y＝sin x y′＝cos__x

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ?? ??f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝ y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )． 3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 二、教材衍化 1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 2．曲线y ＝1－ 2 x ＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ′＝2 （x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2. 故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 3．有一机器人的运动方程为s ＝t 2 ＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的 瞬时速度为________． 解析：因为s ＝t 2 ＋3t ，所以s ′＝2t －3t 2，

高三数学一轮复习——导数的概念及运算

高三数学一轮复习——导数的概念及运算 考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 知 识 梳 理 1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ?→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ?→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ?→Δy Δx ＝ lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数 如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导 函数. 3.导数公式表 基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0

导数的概念教学设计

《导数的概念》教学设计 胡雪东 一、【教材分析】 1. 本节内容： 《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度与瞬时加速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成. 2. 导数在高中数学中的地位与作用： “导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展. 二、【学情分析】 1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础． 2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度． 三、【目标分析】 1. 教学目标 （1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法. （2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力． （3）情感、态度与价值观目标： ①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度． ②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．

高中数学_导数的概念及运算教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计 【教学目标】 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 【重点难点】 1.教学重点：①能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数; ②能利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 2.教学难点：理解导数的几何意义； 【教学策略与方法】 自主学习、学生展示、师生互动法 【教学过程】 【考纲再现】 导数的概念；基本初等函数导数公式；导数的四则运算；导数的几何意义。 【题型分析】 题型一 导数的运算 题型二 导数的几何意义 求切线方程 求切点坐标 求参数的值 【思维升华】 1.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ； (3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0 求解． 2. 求解与切线有关的问题时，要注意分析切点的性质，切点有3个性质：①切点在曲线上；②切点在切线上；③在切点处的导数等于切线的斜率．由此可以建立方程 (组)求解参数的取值问题． 【方法与技巧】

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导． 2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 【课后作业】 高考真题 学情分析 1.学生的情感特点和认知特点：学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础 2.已具备的与本节课相联系的知识、生活经验：学生已较好地在物理中学过平均速度、瞬时速度，并学习了一些的关于函数变化率的知识，为本节课学习瞬时变化率、导数做好铺垫。 3.学习本课存在的困难：导数概念建立在极限基础之上，极限是文科学生没有学习过的新知，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度． 效果分析 学生通过基本问题的解决，发现自己对知识的掌握情况。通过学生板书或讲述锻炼学生表达能力。 教材分析 导数是高考的热点，一般不单独出题,往往和导数的几何意义结合，既有选择题,填空题，又有解答题，难度中档左右，解答题作为把关题存在．导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方

2012届高考数学一轮复习教案：13.1 导数的概念与运算

*第十三章导数 ●网络体系总览 ●考点目标定位 1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数. 2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度. 3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间. 4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值. ●复习方略指南 在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导. 课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可. 从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.

13.1 导数的概念与运算 ●知识梳理 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ； （2）求平均变化率 x y ??. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0 lim →?x x y ??. 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度. 3.求导公式 (c )'=0，(x n )'=n ·x n － 1（n ∈N *）. 4.运算法则 如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'= c f '（x ）. ●点击双基 1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则x y ??等于 A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx 2 解析：Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ， x y ??=4+2Δx . 答案：C 2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为 A.f （x ）=x 4－2 B.f （x ）=x 4+2 C.f （x ）=x 3 D.f （x ）=－x 4 解析：筛选法. 答案：A 3.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81 解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=5 4. 答案：C 4.若抛物线y =x 2－x +c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________. 解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x =－2=－5. 又P （－2，6+c ），∴2 6-+c =－5. ∴c =4. 答案：4 5.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则