【沪科版】八年级上第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试及答案解析
第13章三角形中的边角关系、命题与证明
一、选择题
1．下列命题是真命题的是（）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
2．下列命题中，真命题的个数有（）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个B．2个C．1个D．0个
3．下列命题正确的是（）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相互垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形
4．下列说法不正确的是（）
A．圆锥的俯视图是圆
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．任意一个等腰三角形是钝角三角形
D．周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大
5．下列命题：
①平行四边形的对边相等；
②对角线相等的四边形是矩形；
③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中真命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列命题中错误的是（）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．同旁内角互补
D．矩形的对角线相等
7．下列命题中，为真命题的是（）
A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边8．下列命题中，属于真命题的是（）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．矩形的对角线互相垂直
C．三角形的中位线把三角形分成面积相等的两部分
D．对顶角相等
9．已知下列命题：
①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB；
②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc；
③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；
④若|﹣x|=﹣x，则x≥0．
其中原命题与逆命题均为真命题的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
10．下列命题中，属于真命题的是（）
A．三点确定一个圆B．圆内接四边形对角互余
C．若a2=b2，则a=b D．若=，则a=b
11．下列说法正确的是（）
A．面积相等的两个三角形全等
B．矩形的四条边一定相等
C．一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等
D．随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上
12．命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（）
A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=2
13．下列四个命题中，真命题是（）
A．“任意四边形内角和为360°”是不可能事件
B．“湘潭市明天会下雨”是必然事件
C．“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中一定有95人做对
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是
14．下列命题正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
15．下列命题正确的是（）
A．矩形的对角线互相垂直
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．分式方程+1=可化为一元一次方程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5
D．多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t
16．下列命题中，是假命题的是（）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
17．下列命题中是真命题的是（）
A．确定性事件发生的概率为1
B．平分弦的直径垂直于弦
C．正多边形都是轴对称图形
D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
18．下列给出5个命题：
①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
②六边形的内角和等于720°
③相等的圆心角所对的弧相等
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．
其中正确命题的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
19．下列命题是真命题的是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形
20．下列命题错误的是（）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
21．下列命题中的真命题是（）
A．两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．正方形不是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
22．下列命题是假命题的是（）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
23．下列命题中，真命题的个数是（）
①若﹣1＜x＜﹣，则﹣2；
②若﹣1≤x ≤2，则1≤x 2≤4
③凸多边形的外角和为360°；
④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
24．在平面直角坐标系中，任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），规定运算：
①A⊕B=（x 1+x 2，y 1+y 2）；②A ?B=x 1x 2+y 1y 2；③当x 1=x 2且y 1=y 2时，A=B ，有下列四个命题：
（1）若A （1，2），B （2，﹣1），则A ⊕B=（3，1），A ?B=0；
（2）若A ⊕B=B ⊕C ，则A=C ；
（3）若A ?B=B ?C ，则A=C ；
（4）对任意点A 、B 、C ，均有（A ⊕B ）⊕C=A ⊕（B ⊕C ）成立，其中正确命题的个数为（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
25．下列说法中，正确的是（ ）
A ．三点确定一个圆
B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C ．对角线互相垂直的四边形是菱形
D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
26．下列命题的逆命题一定成立的是（ ）
①对顶角相等；
②同位角相等，两直线平行；
③若a=b ，则|a|=|b|；
④若x=3，则x 2﹣3x=0．
A ．①②③
B ．①④
C ．②④
D ．②
二、填空题
27．下列命题：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；
②点G 是△ABC 的重心，若中线AD=6，则AG=3；
③若直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则k ＜0，b ＞0；
④定义新运算：a*b=2a ﹣b 2，若（2x ）*（x ﹣3）=0，则x=1或9；
⑤抛物线y=﹣2x 2+4x+3的顶点坐标是（1，1）．
其中是真命题的有（只填序号）
28．以下四个命题：
①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补；
②边数相等的两个正多边形一定相似；
③等腰三角形ABC中，D是底边BC上一点，E是一腰AC上的一点，若∠BAD=60°且AD=AE，则∠EDC=30°；
④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点．
其中正确命题的序号为．
29．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是命题．（填入“真”或“假”）
30．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题（填“真”或“假”）．
第13章三角形中的边角关系、命题与证明
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列命题是真命题的是（）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
【考点】命题与定理．
【专题】计算题．
【分析】根据平行线四边形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法，对角线相等的平行四边形是矩形，则可对B进行判定；根据菱形的判定方法，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可对C进行判定；根据正方形的判定方法，对角线互相垂直的矩形是正方形，则可对对D进行判定．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项为真命题；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以D选项为假命题．
故选A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
2．下列命题中，真命题的个数有（）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【考点】命题与定理；平行四边形的判定．
【分析】分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．
【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．
故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．
3．下列命题正确的是（）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相互垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形
【考点】命题与定理．
【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．
【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，此选项错误；
B、对角线相互垂直的四边形是菱形也可能是梯形，此选项错误；
C、对角线相等的四边形是矩形也可能是等腰梯形，此选项错误；
D、对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形，此选项正确；
故选D．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．
4．下列说法不正确的是（）
A．圆锥的俯视图是圆
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．任意一个等腰三角形是钝角三角形
D．周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大
【考点】命题与定理．
【分析】根据三视图、菱形的判定定理、等腰三角形的性质、正方形的性质、即可解答．
【解答】解：A、圆锥的俯视图是圆，正确；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；
C、任意一个等腰三角形是钝角三角形，错误；例如，顶角为80°的等腰三角形，它的两个底角分别为50°，50°，为锐角三角形；
D、周长相等的正方形、长方形、圆，这三个几何图形中，圆面积最大，正确；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是熟记三视图、菱形的判定定理、等腰三角形的性质、正方形的性质．
5．下列命题：
①平行四边形的对边相等；
②对角线相等的四边形是矩形；
③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中真命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行四边形的性质对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断；根据正方形的性质对③进行判断；根据菱形的判定方法对④进行判断．
【解答】解：平行四边形的对边相等，所以①正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误；
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以③正确；
一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．下列命题中错误的是（）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．菱形的对角线互相垂直
C．同旁内角互补
D．矩形的对角线相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据矩形的性质对D进行判断．
【解答】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项为真命题；
B、菱形的对角线互相垂直，所以B选项为真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，所以C选项为假命题；
D、矩形的对角线相等，所以D选项为真命题．
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．下列命题中，为真命题的是（）
A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关
C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边
【考点】命题与定理．
【分析】根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．
【解答】解：A、六边形的内角和为720°，错误；
B、多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；
C、矩形的对角线相等，错误；
D、三角形的两边之和大于第三边，正确；
故选D．
【点评】本题考查命题的真假性，是易错题．
注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握．
8．下列命题中，属于真命题的是（）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．矩形的对角线互相垂直
C．三角形的中位线把三角形分成面积相等的两部分
D．对顶角相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据正多边形的定义对A进行判断；根据矩形的性质对B进行判断；根据三角形中位线性质和相似三角形的性质对C进行判断；根据对顶角的性质对D进行判断．
【解答】解：A、各边相等、各角相等的多边形是正多边形，所以A选项错误；
B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项错误；
C、三角形的中位线把三角形分成面积为1：3的两部分，所以C选项错误；
D、对顶角相等，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9．已知下列命题：
①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB；
②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc；
③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；
④若|﹣x|=﹣x，则x≥0．
其中原命题与逆命题均为真命题的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【考点】命题与定理．
【分析】先对原命题进行判断，再根据互逆命题的定义写出逆命题，然后判断逆命题的真假即可．【解答】解：①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB，原命题为真命题，
逆命题是：在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA＞sinB，则∠A＞∠B，逆命题为真命题；
②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc，原命题为真命题，
逆命题是：四条线段a，b，c，d中，若ad=bc，则=，逆命题为真命题；
③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1），原命题为真命题，
逆命题是：若a（m2+1）＞b（m2+1），则a＞b，逆命题为真命题；
④若|﹣x|=﹣x，则x≥0，原命题为假命题，
逆命题是：若x≥0，则|﹣x|=﹣x，逆命题为假命题．
故选A．
【点评】主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．下列命题中，属于真命题的是（）
A．三点确定一个圆B．圆内接四边形对角互余
C．若a2=b2，则a=b D．若=，则a=b
【考点】命题与定理．
【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；
根据圆内接四边形的性质对B进行判断；
根据a2=b2，得出两数相等或相反对C进行判断；
根据立方根对D进行判断．
【解答】解：A、任意不共线的三点确定一个圆，所以错误；
B、圆的内接四边形的对角互补，错误；
C、若a2=b2，则a=b或a=﹣b，错误；
D、若=，则a=b，正确；
故选D．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
11．下列说法正确的是（）
A．面积相等的两个三角形全等
B．矩形的四条边一定相等
C．一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等
D．随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上
【考点】命题与定理．
【分析】直接根据全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，此选项错误；
B、矩形的对边相等，此选项错误；
C、一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等，此选项正确；
D、随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后不一定是正面朝上，此选项错误；
故选C．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定定理、矩形的性质、旋转的性质以及概率的知识，此题难度不大．
12．命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（）
A．b=﹣3 B．b=﹣2 C．b=﹣1 D．b=2
【考点】命题与定理；根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出b的范围即可做出判断．
【解答】解：∵方程x2+bx+1=0，必有实数解，
∴△=b2﹣4≥0，
解得：b≤﹣2或b≥2，
则命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是b=﹣1，
故选C
【点评】此题考查了命题与定理，以及根的判别式，熟练掌握举反例说明命题为假命题的方法是解本题的关键．
13．下列四个命题中，真命题是（）
A．“任意四边形内角和为360°”是不可能事件
B．“湘潭市明天会下雨”是必然事件
C．“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中一定有95人做对
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是
【考点】命题与定理．
【分析】根据四边形内角和和不可能事件的定义对A进行判断；根据必然事件的定义对B进行判断；根据估计的含义对C进行判断；根据概率的定义对D进行判断．
【解答】解：A、“任意四边形内角和为360°”是必然事件，错误；
B、“湘潭市明天会下雨”是随机事件，错误；
C、“预计本题的正确率是95%”表示100位考生中不一定有95人做对，错误；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，正确．
故选D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
14．下列命题正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【考点】命题与定理．
【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．
【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．
15．下列命题正确的是（）
A．矩形的对角线互相垂直
B．两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．分式方程+1=可化为一元一次方程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5
D．多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t
【考点】命题与定理．
【分析】根据矩形的性质，全等三角形的判定，分式方程的解法以及因式分解对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、矩形的对角线互相垂直是假命题，故本选项错误；
B、两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误；
C、分式方程+1=两边都乘以（2x﹣1），可化为一元一次力程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5是真命题，故本选项正确；
D、多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t错误，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
16．下列命题中，是假命题的是（）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据直线公理对C进行判断；根据角平分线性质对D进行判断．
【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项为真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，所以B选项为假命题；
C、两点确定一条直线，所以C选项为真命题；
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以D选项为真命题．
故选B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
17．下列命题中是真命题的是（）
A．确定性事件发生的概率为1
B．平分弦的直径垂直于弦
C．正多边形都是轴对称图形
D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
【考点】命题与定理．
【分析】根据概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理进行判断即可．【解答】解：确定性事件发生的概率为1或0，故A错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B错误；
正多边形都是轴对称图形，故C正确；
两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故D错误，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握概率的求法、垂径定理、轴对称图形的概念和三角形确定的判定定理是解题的关键．
18．下列给出5个命题：
①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
②六边形的内角和等于720°
③相等的圆心角所对的弧相等
④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．
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